3.2 找一个数的因数、倍数（学霸课堂笔记）-2023-2024学年数学五年级下册同步培优讲义（苏教版）

3.2找一个数的因数、倍数第一部分第一部分学问清单找一个数的倍数的方法：可以用这个数分别去乘1，2，3，…所得的积都是这个数的倍数，也可以找出除以这个数后商分别是1，2，3，…的数。一个数最小的倍数是它本身。没有最大的倍数，一个数的倍数的个数是无限的。找一个数的因数的方法：可以从1开头依次列举积是这个数的乘法算式或被除数是这个数的除法算式，则算式中的乘数或者除数和商就是这个数的因数。一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身。一个数的因数个数是有限的。其次部分其次部分典型例题例1：一个数除去本身这个因数后，其它全部因数的和等于这个数，像这样的数叫做“完全数”。例如：6的因数有1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1＋2＋3＝6。下面几个数中，（

）也是完全数。A．8 B．18 C．28 D．48答案：C分析：求一个数的因数的方法：用这个数分别除以自然数1，2，3，4，5，6…，始终除到商和除数互换位置结束，把能整除的商和除数按从小到大挨次写出来，就是这个数的因数，重复的只写一个，据此写出8、18、28、48的因数，然后依据题中的方法分析找出，即可得出答案。详解：A．8的因数有：1、2、4、8，所以1＋2＋4＝3＋4＝7；B．18的因数：1、2、3、6、9、18，所以1＋2＋3＋6＋9＝3＋3＋6＋9＝6＋6＋9＝12＋9＝21；C．28的因数有：1、2、4、7、14、28，所以1＋2＋4＋7＋14＝3＋4＋7＋14＝7＋7＋14＝14＋14＝28；D．48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24、48，所以1＋2＋3＋4＋6＋8＋12＋24＝3＋3＋4＋6＋8＋12＋24＝6＋4＋6＋8＋12＋24＝10＋6＋8＋12＋24＝16＋8＋12＋24＝24＋12＋24＝36＋24＝60；因此只有C项符合题意。故答案为：C点睛：本题主要考查求一个数的因数的方法，此题先求出因数然后依据“完全数”的含义分析。例2：()()()()()()。答案：21531056分析：依据列乘法算式找一个数的因数的方法：依据从小到大的挨次，一组一组地写出全部积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个数就是这个数的因数，据此解答。详解：30＝1×3030＝2×1530＝3×1030＝5×6因此30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6。点睛：解答本题的关键是把握求一个数的因数的方法，也可以列除法算式找因数。例3：一个数的因数是偶数个。()答案：×详解：一个数的因数中，最小的是1，最大的是它本身，一个数的因数个数是有限的。如6的因数有：1、6、2、3，共4个；9的因数有1、3、9共3个。所以一个数的因数可能是偶数个也可能是奇数个；原说法错误。故答案为：×例4：某社区广场舞队由60人组成，跳舞时要排成一个长方形的队形，要求每行或每列的人数都不能少于5人，共有几种排法？试着写一写。答案：5和12，12和5，6和10，10和6，共4种。分析：依据题意可知，先找出60的因数，可以一对一对的找；由于每行或每列不得少于5人，所以60的因数中，小于5的不考虑；去掉小于5的因数，60的因数中还剩下5、6、10、12，而5×12＝6×10＝60，进而可确定出每行每列的人数。详解：60的因数有：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60。由于每行或每列不得少于5人，所以行、列分别是5和12，12和5，6和10，10和6，共4种。答：共有4种排法。点睛：解答本题关键是把握找一个数的因数的方法。：基础过关练一、选择题1．假如一个数恰好等于除它本身之外全部因数的和，这个数就是“完善数”。下面（

）是完善数。A．16 B．28 C．20 D．482．一盒棋子共有48枚，要求不一次性拿出，也不一枚一枚地拿出，但每次拿出的枚数要相同，最终一次正好拿完。共有（

）种不同的拿法。A．10 B．8 C．123．把45本书平均分成若干份，每份不少于5本，也不多于20本，一共有（

）种分法。A．5 B．4 C．3 D．64．一个三位数，个位上是最小的合数，十位上是3的最小倍数，百位上是6的最大因数，这个三位数是（

）。A．364 B．634 C．632 D．4635．五（1）班的同学数是40～50之间的一个偶数，假如每3人一组进行分组实践活动正好全部分完且没有剩余，那么这个班可能有（

）人。A．42 B．45 C．48 D．42或486．N＝2×2×3，它的全部因数有（

）个。A．3 B．5 C．6二、填空题7．一个数，它既是24的因数，又是24的倍数，它有()个不同的因数。8．一个数的最大因数是36，这个数是()，这个数的最小倍数是()。9．小红和小明玩猜数玩耍。小红说：“我的这个数是一位数，是一个奇数，并且只有3个因数。”小明说：“我的这个数，最大的因数和其次大的因数加起来，和是111.”小红的数是()，小明的数是()。10．240有()个因数。自然数123456789是()。（填质数或合数）11．36的因数有()，其中合数有()个。12．一个数的最小倍数是72，这个数的因数有()。三、推断题13．假如两个数都是质数，那它们肯定没有公因数。()14．15的因数有4个，15的倍数有很多个。()15．若a＝5×6，则a有2个因数。()16．一个数的最大因数等于它的最小倍数。()17．4的倍数只有8，12，16，20，24。()：培优提升练四、计算题18．写出4和6的倍数。（各写5个）19．分别写出12和18的因数。五、解答题20．雯雯家打算给卧房的地面铺正方形地砖，要求只铺一种规格的地砖，且铺得既整齐又没有剩余。地面的外形是一个长42分米、宽36分米的长方形，有几种不同规格的正方形地砖可供雯雯家选择？假如选用最大规格的正方形地砖，那么需要多少块？（只考虑地砖的大小，地砖边长为整分米数）21．在本学期的因数和倍数的学习中，我们了解过像6、28等这样的完全数（6的因数有1、2、3、6，这几个因数的关系是1＋2＋3＝6），这是古希腊的数学家毕达哥拉斯在对数的争辩过程中发觉的。其实他在争辩的过程中还发觉了好玩的“亲和数”。例如：A的全部因数除去本身外，其它的因数加起来等于B；而B的全部因数除去本身外，全部的因数加起来等于A。那么A和B这两个数字就被称为“亲和数”。人类发觉的最小的一对“亲和数”是220和（

）。你知道括号里的数字是多少吗？请写出你的计算过程。22．用20个1平方厘米的小正方形拼成长方形，有多少种不同的拼法？23．把40人排成不同的队列，每排人数一样多，有几种排法？请分别写出来。24．一个小于40的自然数，它既是15的倍数，又是6的倍数，这个数是几？

1．B分析：将每个选项中数的因数写出来，再将除本身之外的全部因数相加，看是否等于它本身即可。详解：A．16的因数有：1、2、4、8、16，1＋2＋4≠16，不是“完善数”；B．28的因数有：1、2、4、7、14、28，1＋2＋4＋7＋14＝28，是“完善数”；C．20的因数有：1、2、4、5、10、20，1＋2＋4＋5＋10≠20，不是“完善数”；D．48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，1＋2＋3＋4＋6＋8＋12＋16＋24≠48，不是“完善数”。故答案为：B点睛：此题主要考查的是如何查找一个数的因数的方法的机敏应用。2．B分析：假如每次拿出的粒数相同，且最终一次刚好拿完，则每次拿出的粒数是总粒数的因数，求出48的因数，48的因数中1和48不符合题意要舍去。详解：48的因数有1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。一次可以拿2个、3个、4个、6个、8个、12个、16个、24个，一共有8种不同的拿法。一盒棋子共有48枚，要求不一次性拿出，也不一枚一枚地拿出，但每次拿出的枚数要相同，最终一次正好拿完。共有8种不同的拿法。故答案为：B点睛：娴熟把握求一个数因数的方法是解答本题的关键。3．C分析：把45本书平均分成若干份，则每份中书的数量是45的因数；将45写成两数乘积的形式可得到45的因数；接下来，找出大于等于5且小于等于20的因数，满足这个条件的因数有几个就有几种分法。详解：45＝1×45＝3×15＝5×945的因数有1、3、5、9、15、45，其中大于等于5且小于等于20的因数有5、9、15，共3个，所以把45本书平均分成若干份，每份不少于5本，也不多于20本，一共有3种分法。故答案为：C点睛：此题考查的是因数的应用，同学还要娴熟把握找一个数因数的方法。4．B分析：一个数，除了1和它本身外，还有其他因数，这样的数叫做合数，最小的合数是4；这个数个位上是4；一个数，最小的倍数是它本身，最大的因数也是它本身，3的最小倍数是3，这个数十位上是3；6的最大因数是6，这个数百位上是6，据此解答。详解：依据分析可知，一个三位数，个位上是最小的合数，十位上是3的最小倍数，百位上是6的最大因数，这个三位数是634。故答案为：B点睛：明确一个数最小的倍数和最大的因数是它本身是解答本题的关键。5．D分析：依据求一个数的倍数的方法：用这个数分别乘自然数1、2、3、4……，从中找出符合要求的倍数，即可解答。详解：在40～50之间3的倍数有：42，45，48，又由于五（1）的同学人数是偶数，所以这个班人数可能有42人或48人。五（1）班的同学数是40～50之间的一个偶数，假如每3人一组进行分组实践活动正好全部分完且没有剩余，那么这个班可能有42或48人。故答案为：D点睛：本题的关键是依据能被3整除的数的特征：各个数位上数的和能被3整除进行解答。6．C分析：先计算出N的值，然后依据列乘法算式找因数，依据从小到大的挨次，一组一组地写出全部积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。进而N推断有几个因数。详解：2×2×3＝12N的值为12，12＝1×12＝2×6＝3×4据此可知，12有6个因数。故答案为：C点睛：本题主要考查了分解质因数的生疏以及因数的求法。7．8分析：依据一个数的最大因数是它本身，最小倍数是它本身；求出它既是24的因数，又是24的倍数的数是24，再求出这个数的全部因数即可。详解：一个数，它既是24的因数，又是24的倍数，这个数是24；它的因数有1、2、3、4、6、8、12、24，共8个不同的因数。点睛：本题主要是考查因数和倍数的意义及机敏运用。8．3636分析：依据因数与倍数的意义，一个数的最大的因数是它本身；最小倍数是它本身；据此填写即可。详解：一个数的最大因数是36，这个数是36，这个数的最小倍数是36。点睛：此题考查的目的是理解把握最大因数与最小倍数的方法及机敏运用。9．974分析：找一个数的因数，可以利用乘法算式，按因数从小到大的挨次一组一组地找；所以，假如这个数是一位数，是一个奇数，并且只有3个因数；这个数是9，9＝1×9，9＝3×3；由于“一个数的最大因数是它本身”，所以这个数最大的因数是其次大的因数的倍数，即：这个数最大的因数与其次大的因数的和应当是其次大因数的倍数；又：111＝3×37，当其次大因数是37、最大因数是“37×2＝74”时，满足题目条件。详解：依据分析可得：9＝1×99＝3×3所以，一个数是一位数，是一个奇数，并且只有3个因数，这个数是9。111＝3×3737×2＝74所以，一个数，最大的因数和其次大的因数加起来，和是111，这个数是74。所以，小红和小明玩猜数玩耍。小红说：“我的这个数是一位数，是一个奇数，并且只有3个因数。”小明说：“我的这个数，最大的因数和其次大的因数加起来，和是111”小红的数是9，小明的数是74。点睛：正确理解因数、倍数和奇数的意义，逐层分析，找出内在关系，是解答此题的关键。10．20合数分析：240＝1×240＝2×120＝3×80＝4×60＝5×48＝6×40＝8×30＝10×24＝12×20＝15×16，即因数有1、2、3、4、5、6、8、10、12、15、16、20、24、30、40、48、60、80、120、240，共20个因数，据此解答即可。除了1和它本身，没有其他因数的正整数，叫质数；除了1和它本身，还有其他因数的正整数，叫合数。各个数位上数字之和是3的倍数，则这个数就是3的倍数。123456789各数位数字之和是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45，45÷3＝15，即是3的倍数，所以123456789还有因数3，是合数，据此解答即可。详解：240有20个因数。自然数123456789是合数。点睛：本题考查因数、倍数、质数、合数的概念及推断方法，要重点把握。11．96分析：先用列举法找出36的因数，再依据合数的定义，除了1和它本身外，还有别的因数的数为合数，据此解答即可。详解：36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36共9个，其中合数有：4、6、9、12、18、36共6个。点睛：此题考查了找一个数因数的方法和对合数与质数的生疏。12．1、72、2、36、3、24、4、18、6、12、8、9分析：一个数的最小倍数是它本身，一个数的最大因数也是它本身；据此解答。详解：72＝1×72＝2×36＝3×24＝4×18＝6×12＝8×9所以24的因数有1、72、2、36、3、24、4、18、6、12、8、9。一个数的最小倍数是72，这个数的因数有1、72、2、36、3、24、4、18、6、12、8、9。点睛：本题主要考查求一个数的因数的方法，解题的关键是明确：一个数最大的因数＝最小的倍数＝这个数本身。13．×分析：依据互质数的意义，公因数只有1的两个数叫做互质数。成为互质数的两个数不是没有公因数，而是公因数只有1。详解：两个质数肯定是互质数，成为互质数的两个数不是没有公因数，而是公因数只有1。因此两个质数没有公因数.此说法错误。故答案为：×点睛：此题考查的目的是理解公因数的意义，明确：两个质数肯定是互质数，成为互质数的两个数不是没有公因数，而是公因数只有1。14．√分析：依据求一个数因数、倍数的方法解答即可。详解：15的因数有：1、3、5、15，共4个；15的倍数有：15、30、45……。所以15的因数有4个，15的倍数有很多个。故答案为：√点睛：一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的倍数；一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。15．×分析：若a＝5×6，则a＝30，依据找因数的方法找出30的因数，推断即可。详解：若a＝5×6，则a＝3030＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6所以30的因数有1、2、3、5、6、10、15、30，共8个因数。故答案为：×点睛：本题主要考查找一个数因数的方法。16．√分析：一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身，所以一个数的最大因数等于它的最小倍数，据此解答。详解：由分析可知，一个数的最大因数等于它的最小倍数。说法正确。故答案为：√点睛：此题考查了因数和倍数的生疏，牢记一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。17．×分析：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。详解：4的倍数有4，8，12，16，20，24……，4的倍数的个数是无限的。故答案为：×。点睛：本题主要考查倍数的特点及求法。18．4的倍数：4、8、12、16、206的倍数6、12、18、24、30分析：求一个数的倍数，就用这个数分别乘自然数1、2、3、4、5…就得到了这个数的1倍、2倍、3倍、4倍、5倍……（答案不唯一）。详解：4的倍数有：4、8、12、16、206的倍数有：6、12、18、24、3019．12的因数：1，2，3，4，6，12；18的因数：1，2，3，6，9，18。分析：借助乘法算式，找出12和18的因数即可。详解：12＝1×12＝2×6＝3×4所以，12的因数有1，2，3，4，6，12；18＝1×18＝2×9＝3×6所以，18的因数有1，2，3，6，9，18。20．4；42块分析：首先求出42和36的公因数，它们之间有几个公因数就有几种不同规格的正方形地砖可选择；地面是一个长方形，用长和宽分别除以最大公因数，可得长能放的块数和宽能放的块数，最终相乘，就是需要砖的块数。详解：42的因数有：1，2，3，6，7，14，21，4236的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，3642和36的公因数有：1，2，3，6，有4个公因数。42和36的最大公因数是：642÷6＝7（块）36÷6＝6（块）6×7＝42（块）答：有4种不同规格的正方形地砖可供雯雯家选择。假如选用最大规格的正方形地砖，那么需要42块。点睛：本题是一道关于最大公因数应用题目，留意求最大公因数的方法和计算的正确性。21．284，过程见详解分析：依据“亲和数”的意义，先找出220的