3微分中值定理

第三章导数的应用

因为导数是函数随自变量变化的瞬时变

所以可借助导数来研究函数.

但每一点的导数仅仅是与局部有关的一点的变化性态,要用导数来研究函数的全部性态,还需架起新的“桥梁”.化率,1罗尔定理拉格朗日中值定理小结思考题柯西中值定理第一节微分中值定理第三章微分中值定理与导数的应用2

本节的几个定理都来源于下面的明显的在一条光滑的平面曲线段AB上,⌒至少有与连接此曲线两端点的弦平行.几何事实:微分中值定理一点处的切线

连续的曲线弧、除端点外处处有不垂直于x轴的切线.有水平的切线3罗尔定理(1)(2)(3)罗尔Rolle,(法)1652-1719使得如,微分中值定理一、罗尔(Rolle)定理4(1)定理条件不全具备,注微分中值定理结论不一定成立.罗尔定理(1)(2)(3)使得(2)

定理条件只是充分的.5几何意义如果连续曲线除端点外处处有不垂直于x轴的切线.且两端点的纵坐标相等,则这曲线上至少存在点C,使得曲线在C点处的切线水平.由图形可知,在曲线的最高点或最低点处切线水平.有水平的切线微分中值定理6例1证明:内只有一个根.例2不用求函数的导数,说明方程有几个实根.微分中值定理7注意:证明方程的根的存在性方法:(1)利用闭区间上零点的存在性定理;(2)归结为考虑函数利用Rolle定理来证明.关键是找辅助函数微分中值定理8例3设证明:微分中值定理提示:9证明几种特殊方程有根时,考虑的辅助函数:微分中值定理10例4试证方程微分中值定理提示:11证设且

罗尔定理即试证方程微分中值定理12注拉格朗日Lagrange(法)1736-1813

拉格朗日中值定理(1)(2)使得微分中值定理二、拉格朗日(Lagrange)中值定理13几何解释:分析定理的结论就转化为函数化为罗尔定理.微分中值定理在该点处的切线平行于弦利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数.14证作辅助函数由此得拉格朗日中值公式且易知微分中值定理微分中值定理15注意:1.特别即Lagrange定理是Rolle定理的推广.时,Lagrange中值公式为2.作辅助函数的方法不是唯一的.思考:Lagrange中值定理证明中还可以如何作辅助函数?3.定理中的条件只是充分条件,而非必要条件.微分中值定理16例5验证Lagrange中值定理对于函数上的正确性.微分中值定理17Lagrange公式可以写成下面的各种形式:

它表达了函数增量和某点的注但是增量、这是十分方便的.由(3)式看出,导数之间的直接关系.微分中值定理导数是个等式关系.拉格朗日中值定理又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式.有限增量定理.18它表明了函数在两点处的函数值的单调性及某些等式与不等式的证明.在微分学中占有极重要的地位.与导数间的关系.今后要多次用到它.尤其可利用它研究函数微分中值定理19例6证

如果f(x)在某区间上可导,要分析函数在该区间上任意两点的函数值有何关系,通常就想到微分中值定理.记利用微分中值定理,得微分中值定理20例7证明下列不等式微分中值定理21推论1证有由条件,即在区间I中任意两点的函数值都相等,所以,微分中值定理(1)(2)22推论2(1)(2)注意:将推论1,推论2中的区间换成其它各种区间(但不能是区间的并),结论仍成立.微分中值定理23例8证明:微分中值定理24例9设证明:微分中值定理提示:25柯西Cauchy(法)1789-1859柯西中值定理(1)(2)使得微分中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理广义微分中值定理26这两个错!柯西中值定理(1)(2)使得微分中值定理柯西定理的下述证法对吗?讨论不一定相同27

前面对拉格朗日中值定理的证明,构造了

现在对两个给定的函数

f(x)、F(x),构造即可证明柯西定理.辅助函数辅助函数微分中值定理

分析上式写成

用类比法28柯西定理的几何意义注意弦的斜率柯西中值定理(1)(2)使得微分中值定理切线斜率29例10证分析结论可变形为即微分中值定理满足柯西中值定理条件,301证明:练习微分中值定理31罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理

罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西中值定理之间的关系:推广推广

这三个定理的条件都是充分条件,换句话说,满足条件,不满足条件,定理可能成立,不是必要条件.而成立;不成立.微分中值定理定理也可能32应用三个中值定理常解决下列问题(1)验证定理的正确性;(2)证明方程根的存在性;(3)引入辅助函数证明等式;(4)证明不等式;(5)综合运用中值定理(几次运用).微分中值定理

关键逆向思维,找辅助函数33四、小结微分中值定理

常利用逆向思维,构造辅助函数注意利用拉格朗日中值定理证明不等式的步骤.三个微分中值定理成立的条件;各微分中值定理的关系;

证明存在某点,使得函数在该点的导数满足一个方程.运用罗尔定理.

拉格朗日中值定理的各种形式,其关系;341.

设且在内可导,证明至少存在一点