2025版高考数学一轮复习练案2第一章集合与常用逻辑用语第一讲命题及其关系充分条件与必要条件含解析新人教版

其次讲命题及其关系、充分条件与必要条件A组基础巩固一、单选题1．(2024·河北邯郸一中月考)下列命题是真命题的为(A)A．若eq\f(1,x)＝eq\f(1,y)，则x＝y B．若x2＝1，则x＝1C．若x＝y，则eq\r(x)＝eq\r(y) D．若x<y，则x2<y2[解析]选项A，由eq\f(1,x)＝eq\f(1,y)得eq\f(x－y,xy)＝0，则x＝y，为真命题；选项B，由x2＝1得x＝±1，x不肯定为1，为假命题；选项C，若x＝y，eq\r(x)，eq\r(y)不肯定有意义，为假命题；选项D，若x<y<0，则x2>y2，为假命题，故选A.2．(2024·湖北宜昌一中月考)已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的(A．逆命题 B．否命题C．逆否命题 D．否定[解析]命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是3．(2024·河南杞县中学月考)命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为(CA．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”D．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”[解析]依据逆否命题的定义可以解除A、D两项，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝－4或1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．4．命题“若x2＋y2＝0，则x＝y＝0”的否命题是(BA．若x2＋y2＝0，则x，y中至少有一个不为0B．若x2＋y2≠0，则x，y中至少有一个不为0C．若x2＋y2≠0，则x，y都不为0D．若x2＋y2＝0，则x，y都不为0[解析]否命题既否定条件又否定结论．5．(2024·浙江，6)已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的(B)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件[解析]当m，n，l在同一平面内时，它们可能相互平行，所以充分性不成立．当m，n，l两两相交时，因为三条直线m，n，l不过同一点，所以它们必在同一平面内，必要性成立．故选B.6．已知命题p：x≠3且y≠2，q：x＋y≠5，则p是q的(D)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[解析](等价转化法)原命题等价于推断¬q：x＋y＝5是¬p：x＝3或y＝2的何种条件，明显¬q¬p，¬p¬q，所以p是q的既不充分也不必要条件．7．(2024·上海嘉定区期中)已知A：|x－1|<3，B：(x＋2)(x＋a)<0，若A是B的充分非必要条件，则实数a的取值范围是(A)A．(－∞，－4) B．(－4，0)C．(－∞，1) D．(－4，2)[解析]由A是B的充分非必要条件，得A⇒B，但BA.A：|x－1|<3⇒－3<x－1<3⇒－2<x<4.B：(x＋2)(x＋a)<0⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2<x<－a，a<2，,－a<x<－2，a>2，,无解，a＝2.))由A⇒B，但BA，得－a>4且a<2，则实数a的取值范围是(－∞，－4)．二、多选题8．(2024·甘肃酒泉敦煌中学一诊改编)下列四个命题中，是真命题的有(ABCD)A．“若xy＝1，则lgx＋lgy＝0”B．“若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)”的否命题C．“若b≤0，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题D．“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题[解析]A．“若xy＝1，则lgx＋lgy＝0”的逆命题为“若lgx＋lgy＝0，则xy＝1”B．“若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)”的否命题为“若a·b≠a·c，则a不垂直于(b－c)”．由a·b≠a·c可得a·(b－c)≠0，据此可知a不垂直于(b－c)，该命题为真命题．C．若b≤0，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0的判别式Δ＝(－2b)2－4(b2＋b)＝－4b≥0，方程有实根，原命题为真命题，则其逆否命题为真命题．D．“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题为“三个内角均为60°的三角形为等边三角形”，该命题为真命题．综上，是真命题的有A、B、C、D.9．(2024·安徽定远中学月考改编)下列说法不正确的是(ABD)A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题是“若x2＝1，则x≠B．“x＝－1”是“x2－x－2＝0C．命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题是真命题D．“tanx＝1”是“x＝eq\f(π,4)”的充分不必要条件[解析]由原命题与否命题的关系知，原命题的否命题是“若x2≠1，则x≠1”，即A不正确；因为x2－x－2＝0⇔x＝－1或x＝2，所以“x＝－1”是“x2－x－2＝0”的充分不必要条件，即B不正确；因为由x＝y能推得sinx＝siny，即原命题是真命题，所以它的逆否命题是真命题，故C正确；由x＝eq\f(π,4)能推得tanx＝1，但由tanx＝1推不出x＝eq\f(π,4)，所以“x＝eq\f(π,4)”是“tanx＝1”的充分不必要条件，即D不正确．故选A、B、D.10．下列说法正确的是(ACD)A．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝2”的逆否命题是“若x≠2，则x2－3x＋2≠B．“a>b”是“ac2>bc2”C．命题“∃x∈R，x2－x>0”的否定是“∀x∈R，x2－x≤D．若p∨q为假命题，则p，q均为假命题[解析]本题考查逆否命题、充分必要条件、特称命题的否定及命题的真假．A．同时否定条件和结论，然后以原来的条件作为结论，以原来的结论作为条件即可得到原命题的逆否命题，故命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝2”的逆否命题是“若x≠2，则x2－3x＋2≠0B．若a>b，当c＝0时不满意ac2>bc2，即充分性不成立，反之，若ac2>bc2，则肯定有a>b，即必要性成立，综上可得，“a>b”是“ac2>bc2”C．特称命题的否定是全称命题，则命题“∃x∈R，x2－x>0”的否定是“∀x∈R，x2－x≤0D．由真值表可知若p∨q为假命题，则p，q均为假命题．故选ACD.三、填空题11．命题“已知在△ABC中，若角C＝90°，则角A，B都是锐角”的否命题为已知在△ABC中，若角C≠90°，则角A，B不都是锐角．[解析]否命题同时否定条件和结论．12．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为2[解析]原命题是真命题，所以原命题的逆否命题也是真命题；原命题的逆命题是“若a>－6，则a>－3”，此命题是假命题，所以原命题的否命题也是假命题．综上可知，13．(2024·湖南六校联考)设甲、乙、丙、丁是四个命题，甲是乙的充分不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么丁是甲的必要不充分条件．[解析]因为甲是乙的充分不必要条件，即甲⇒乙，乙甲；又因为丙是乙的充要条件，即乙⇔丙；又因为丁是丙的必要不充分条件，即丙⇒丁，丁丙；故甲⇒丁，丁甲，即丁是甲的必要不充分条件．14．(2024·山西大同一中期中)已知集合A＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<2x<8，))))eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈\o(\s\up7(,)R))，B＝{x|－1<x<m＋1，x∈R}．若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是(2，＋∞).[解析]由题意A＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<2x<8，x∈R))))＝{x|－1<x<3}．∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，∴AB，∴m＋1>3，即m>2.B组实力提升1．(2024·河南信阳期末)某食品的广告词为“华蜜的人们都拥有”，初听起来，这好像只是一般的赞美说词，然而它的实际效果却大着呢，原来这句话的等价命题是(D)A．不拥有的人们不肯定华蜜B．不拥有的人们可能华蜜C．拥有的人们不肯定华蜜D．不拥有的人们不华蜜[解析]本题考查原命题和逆否命题之间的等价关系．依据原命题与逆否命题是等价命题可知，“华蜜的人们都拥有”的逆否命题是“不拥有的人们不华蜜”，故选D.2．设x，y∈R，则“x>y”是“lnx>lny”的(B)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[解析]lnx>lny⇔x>y>0，则“x>y”是“lnx>lny”的必要不充分条件．故选B.3．(2024·安徽合肥模拟)(数学文化题)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，假如在等高上的截面积恒相等，那么体积相等．设A，B为两个同高的几何体，p：A，B的体积不相等，q：A，B在等高处的截面积不恒相等，依据祖暅原理可知，p是q的(A)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[解析]依据祖暅原理，“A，B在等高处的截面积恒相等”是“A，B的体积相等”的充分不必要条件，即¬q是¬p的充分不必要条件，故p是q的充分不必要条件，选A.4．(多选题)“函数f(x)＝－x2＋2mx在区间[1，3]上不单调”的一个必要不充分条件是(BC)A．2≤m<3 B．eq\f(1,2)≤m≤3C．1≤m<3 D．2≤m≤eq\f(5,2)[解析]本题考查必要不充分条件的探求．