2024-2025学年高中数学第一章三角函数3蝗制课时作业含解析北师大版必修4

PAGE第一章三角函数[课时作业][A组基础巩固]1．已知α＝－2，则角α的终边所在的象限是()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限解析：∵1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°，∴α＝－2rad＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(360,π)))°≈－114.60°，故角α的终边所在的象限是第三象限．答案：C2．圆的半径是6cm，则圆心角为15°的扇形面积是()A.eq\f(π,2)cm2 B.eq\f(3π,2)cm2C．πcm2 D．3πcm2解析：∵15°＝eq\f(π,12)，∴l＝eq\f(π,12)×6＝eq\f(π,2)(cm)，∴S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×eq\f(π,2)×6＝eq\f(3π,2)(cm2)．答案：B3．一个扇形的弧长与面积都等于6，则这个扇形圆心角的弧度数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：设扇形的半径为r，圆心角为α(0＜α＜2π)．依据扇形面积公式S＝eq\f(1,2)lr得6＝eq\f(1,2)×6×r，解得r＝2.又扇形弧长公式l＝rα，所以α＝eq\f(l,r)＝3.答案：C4.若角α的终边落在如图所示的阴影部分内，则角α的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，\f(7π,6)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，\f(7π,6)))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(2π,3)，2kπ＋\f(7π,6)))(k∈Z)解析：阴影部分的两条边界分别是eq\f(2π,3)和eq\f(7π,6)角的终边，所以α的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(2π,3)，2kπ＋\f(7π,6)))(k∈Z)．答案：D5．在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角为()A．1弧度 B．2弧度C．3弧度 D．4弧度解析：设扇形所对的圆心角为α弧度，半径为r，扇形的面积为S，则由已知得S＝eq\f(1,2)|α|r2＝eq\f(1,2)|α|×12＝1，所以|α|＝2.答案：B6．112°30′的弧度数为________．解析：112°30′＝112.5°×eq\f(π,180)＝eq\f(5,8)π.答案：eq\f(5,8)π7．半径为2的圆中，长为2的弧所对的圆周角的弧度数为________，度数为________．解析：半径为2的圆中，长为2的弧所对的圆心角的弧度数为1，所对的圆周角的弧度数为eq\f(1,2)，度数为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(90,π)))°.答案：eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(90,π)))°8．若角α的终边与eq\f(π,6)角的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________.解析：由题意，角α与eq\f(π,3)角的终边相同，则eq\f(π,3)＋2π＝eq\f(7,3)π，eq\f(π,3)－2π＝－eq\f(5,3)π，eq\f(π,3)－4π＝－eq\f(11,3)π.答案：－eq\f(11π,3)，－eq\f(5π,3)，eq\f(π,3)，eq\f(7π,3)9．把下列各角化成0～2π间的角加上2kπ(k∈Z)的形式，并指出它们是哪个象限的角．(1)eq\f(29,6)π；(2)－eq\f(17π,3)；(3)－1560°；(4)930°.解析：(1)eq\f(29,6)π＝4π＋eq\f(5π,6)，是其次象限角；(2)－eq\f(17,3)π＝－6π＋eq\f(π,3)，是第一象限角；(3)－1560°＝－1560×eq\f(π,180)＝－eq\f(26π,3)＝－10π＋eq\f(4π,3)，是第三象限角；(4)930°＝930×eq\f(π,180)＝eq\f(31,6)π＝4π＋eq\f(7π,6)，是第三象限角．10．解答下列各题：(1)若扇形的周长为4cm，中心角为2弧度，求该扇形的面积；(2)在半径为6的圆中，求长度为6的弦和它所对的劣弧围成的弓形面积．解析：(1)设扇形的半径为r，弧长为l，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2r＋l＝4，,l＝2r.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1，,l＝2.))故扇形的面积S＝eq\f(1,2)rl＝1(cm2)．(2)如图，因为AB＝6，OA＝OB＝6，所以∠AOB＝eq\f(π,3).所以扇形AOB的面积S扇形AOB＝eq\f(1,2)l·r＝eq\f(1,2)αr2＝eq\f(1,2)×eq\f(π,3)r2＝eq\f(1,2)×eq\f(π,3)×62＝6π.又因为△AOB是等边三角形，所以S△AOB＝eq\f(\r(3),4)×62＝9eq\r(3).所以弓形面积S＝6π－9eq\r(3).[B组实力提升]1．已知集合A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，则A∩B等于()A．∅B．{α|0≤α≤π}C．{α|－4≤α≤4}D．{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}解析：[2kπ，(2k＋1)π]∩[－4,4]在k≥1或k≤－2时为空集，于是，A∩B＝{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}．答案：D2.如图，圆的半径为5，圆内阴影部分的面积是()A.eq\f(175π,36) B.eq\f(125π,18)C.eq\f(25π,6) D.eq\f(34π,9)解析：40°＝40×eq\f(π,180)＝eq\f(2π,9)，30°＝30×eq\f(π,180)＝eq\f(π,6)，∴S＝eq\f(1,2)r2·eq\f(2π,9)＋eq\f(1,2)r2·eq\f(π,6)＝eq\f(175π,36).答案：A3．已知四边形四个内角的度数的比为1∶3∶7∶9，用弧度制写出这四个角从小到大的依次为________．解析：因为四边形四个内角的度数的比为1∶3∶7∶9，所以设这四个角的弧度数分别为x,3x,7x,9x.依据题意得，x＋3x＋7x＋9x＝2π，则x＝eq\f(π,10)，3x＝eq\f(3π,10)，7x＝eq\f(7π,10)，9x＝eq\f(9π,10).答案：eq\f(π,10)，eq\f(3π,10)，eq\f(7π,10)，eq\f(9π,10)4．已知扇形的周长为4cm，当它的半径为________，圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________．解析：设扇形圆心角为α(0＜α＜2π)，半径为rcm，则2r＋αr＝4，∴α＝eq\f(4,r)－2.∴S扇形＝eq\f(1,2)α·r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1，∴当r＝1时，(S扇形)max＝1，此时α＝2.答案：1cm21cm25．如图，已知一截面为长eq\r(3)dm，宽1dm的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚，第四次翻滚时被一小木板拦住，使木块底面与桌面成30°角．求点A走过的路程及走过的弧所对扇形的总面积．解析：如题图，弧AA1所在的圆的半径是2dm，所对的圆心角为eq\f(π,2)；弧A1A2所在圆的半径是1dm，所对的圆心角是eq\f(π,2)；弧A2A3所在圆的半径是eq\r(3)dm，所对的圆心角是eq\f(π,3)，所以点A走过的路程是3段圆弧之和，即2×eq\f(π,2)＋1×eq\f(π,2)＋eq\r(3)×eq\f(π,3)＝eq\f(9＋2\r(3),6)π(dm)；3段圆弧所对的扇形的总面积是eq\f(1,2)×22×eq\f(π,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(π,2)×12＋eq\f(1,2)×(eq\r(3))2×eq\f(π,3)＝eq\f(7π,4)(dm2)．6．圆上一点A依逆时针方向作匀速圆周运动，已知点A每分钟转过θ角(0＜θ≤π)，经过2分钟到达第三象限，经过14分钟回到原