人教版2024-2025学年八年级数学专题13.4轴对称中的最值问题(压轴题专项讲练)专题特训(学生版+解析)

专题13.4轴对称中的最值问题思维方法思维方法正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。典例分析典例分析【典例1】“将军饮马问题”：如图1所示，将军每天从山脚下的A点出发，走到河旁边的C点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？某课题组在探究这一问题时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小．解法：作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，则A'B与直线l的交点即为P（1）根据上面的描述，在备用图中画出解决“将军饮马问题”的图形；（2）利用轴对称作图解决“饮马问题”的依据是__________________；（3）应用：①如图2，已知∠AOB=30°，其内部有一点P，OP=12，在∠AOB的两边分别有C、D两点（不同于点O），使△PCD的周长最小，请画出草图，并求出△PCD周长的最小值；②如图3，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上的中线且BF=b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是______，此时∠CFE=______．【思路点拨】（1）根据轴对称的性质作出图形；（2）根据两点之间线段最短解答；（3）①分别作P关于OA、OB的对称点M、N，根据轴对称的性质得到△PCD，根据等边三角形的判定定理和性质定理解答；②根据等边三角形的性质可证△BAD≌△CAESAS，根据全等的性质和三线合一可得∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°，所以点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），作点A关于CE的对称的M，连接FM交CE于E'，此时AE+EF的值最小，此时AE+EF=FM，所以△AEF周长的最小值是【解题过程】（1）解：作图如下：（2）利用轴对称作图解决“饮马问题”的依据是两点之间线段最短，故答案为：两点之间线段最短；（3）①分别作P关于OA、OB的对称点M、N，连接MN，交OA、OB于C、D，则△PCD的周长最小，连接OM、由轴对称的性质可知，OM=OP=12，∠MON=2∠AOB=60°，∴△MON为等边三角形，∴MN=12，∴△PCD的周长=PC+CD+DC=CM+CD+DN=MN=12；②∵△ABC、△ADE都是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌∴∠ABD=∠ACE，∵AF=CF，∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°，∴点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），作点A关于CE的对称的M，连接FM交CE于E'此时AE+EF的值最小，此时AE+EF=FM，∵CA=CM，∠ACM=60°，∴△ACM是等边三角形，∴△ACM≌∴FM=FB=b，∴△AEF周长的最小值是AF+AE+EF=AF+MF=12a+b学霸必刷学霸必刷1．（23-24八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，BC=10，CD平分∠BCA交AB于点D，点P，Q分别是CD，AC上的动点，连接AP，PQ，则AP+PQ的最小值是（

）A．6 B．5 C．4.8 D．42．（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，在锐角△ABC中，AB=15,△ABC的面积为90，BD平分∠ABC，若E、F分别是BD、BC上的动点，则CE+EF的最小值为（

）A．12 B．15 C．18 D．93．（23-24八年级上·安徽·单元测试）如图，在锐角△ABC中，BC=4,∠ABC=30°,∠ABD=15°，点D在边AC上，点P、Q分别在线段BD、BC上运动，则PQ+PC的最小值是（A．1 B．2 C．3 D．44．（23-24八年级上·湖北荆门·单元测试）如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=BC，BC上方有一动点P满足S△PBC=12S△ABC，则点

A．60° B．45° C．30° D．不确定5．（23-24八年级上·福建莆田·期中）如图，在五边形ABCDE中，∠BAE=142°，∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE．在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（）

A．76° B．84° C．96° D．109°6．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，∠AOB=18°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，P、Q分别是边OB、OA上的动点，记∠MPQ=α，∠PQN=β，当MP+PQ+QN最小时，则β−α=．7．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）如图，已知∠AOB=30°，点P是射线OA上的一个动点，点M是射线OB上的一个定点，PQ为点P到OB边的距离，则当PM+PQ最小时，PMPQ=8．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图，射线l⊥线段BC，垂足为B，AD⊥BC，垂足为D，AD=4，DC=3，BD=2．点E为射线l上的一动点，当△AED的周长最小时，S△EDC=9．（23-24八年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，点E在等边三角形ABC的边BC上，BE=4，射线CD⊥BC，垂足为C，P是射线CD上一动点，F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF=6，则AB的长为．10．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=150°，点P，Q分别在边AB，BC上，则AQ+PQ的最小值为．11．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°，P为边BC上方的一个动点．△PBC的面积等于△ABC的面积的12，则当PB+PC最小时，∠PCB的度数为12．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）如图，∠AOB=45°，OC平分∠AOB，点M为OB上一定点，P为OC上的一动点，N为OB上一动点，当PM+PN最小时，则∠PMO的度数为．13．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD是BC边上的中线且AD=12，F是AD上的动点，E是AC边上的动点，则CF+EF的最小值为．14．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，锐角△ABC中，∠A=30°，BC=72，△ABC的面积是6，D，E，F分别是三边上的动点，则△DEF15．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，在面积为458的锐角△ABC中，AB=52，∠C=30°，D是△ABC内部一点，E，F分别是边BC,AC上的动点，连接AD,BD,DE,DF,EF．若△ABD的面积为1，则△DEF16．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，点P在∠AOB内部，点M，N分别是边OA，OB上的动点，点M，N不与点（1）若将点P在∠AOB的内部移动位置，使OP平分∠AOB，当PN∥OA，ON=2时，PN的长等于（2）若∠AOB=60°，OP=a，随着点M，N位置的变动，当△PMN周长最小时，点O到直线MN的距离等于．（用含17．（2023八年级上·全国·专题练习）将军要检阅一队士兵，要求（如图所示）；队伍长为a，沿河OB排开（从点P到点Q）；将军从马棚M出发到达队头P，从P至Q检阅队伍后再赶到校场N．问：在什么位置列队（即选择点P和Q），可以使得将军走的总路程MP+PQ+QN最短？18．（23-24八年级上·广西桂林·期中）数学模型学习与应用：白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．——《古从军行》唐李欣模型学习：诗中隐含着一个有趣的数学问题，我们称之为“将军饮马”问题．关键是利用轴对称变换，把直线同侧两点的折线问题转化为直线两侧的线段问题，“将军饮马”问题的数学模型如图1所示：在直线l上存在点P，使PA+PB的值最小．作法：作A点关于直线l的对称点A'，连接A'B，A'B与直线l模型应用：（1）如图2，已知△ABC为等边三角形，高AH=8cm，P为AH上一动点，D为AB①当PD+PB的最小值时，在图中确定点P的位置（要有必要的画图痕迹，不用写画法）．②则PD+PB的最小值为cm．模型变式：（2）如图3所示，某地有块三角形空地AOB，已知∠AOB=30°，P是△AOB内一点，连接PO后测得PO=10米，现当地政府欲在三角形空地AOB中修一个三角形花坛PQR，点Q，R分别是OA，OB边上的任意一点（不与各边顶点重合），求△PQR周长的最小值．

19．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）在△ABC中，∠B=90°，D为BC延长线上一点，点E为线段AC，CD的垂直平分线的交点，连接（1）如图1，当∠BAC=50°时，则∠AED=______°；（2）当∠BAC=60°时，①如图2，连接AD，判断△AED的形状，并证明；②如图3，直线CF与ED交于点F，满足∠CFD=∠CAE，AC=2AB．P为直线CF上一动点．当PE−PD的值最大时，请探究表示PE，PD与20．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图1，△ABC为等腰三角形，AB=AC，D是线段BC的中点，过点D作射线DE和射线DF，分别交边AB，AC于点E，F，∠AED+∠AFD=180°．（1）∠AED与∠CFD相等吗？为什么？（2）DE与DF相等吗？为什么？（3）如图2，若∠A=120°，∠EDF=60°，AB=10，试求EF+EC的最小值．（在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）专题13.4轴对称中的最值问题思维方法思维方法正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。典例分析典例分析【典例1】“将军饮马问题”：如图1所示，将军每天从山脚下的A点出发，走到河旁边的C点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？某课题组在探究这一问题时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小．解法：作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，则A'B与直线l的交点即为P（1）根据上面的描述，在备用图中画出解决“将军饮马问题”的图形；（2）利用轴对称作图解决“饮马问题”的依据是__________________；（3）应用：①如图2，已知∠AOB=30°，其内部有一点P，OP=12，在∠AOB的两边分别有C、D两点（不同于点O），使△PCD的周长最小，请画出草图，并求出△PCD周长的最小值；②如图3，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上的中线且BF=b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是______，此时∠CFE=______．【思路点拨】（1）根据轴对称的性质作出图形；（2）根据两点之间线段最短解答；（3）①分别作P关于OA、OB的对称点M、N，根据轴对称的性质得到△PCD，根据等边三角形的判定定理和性质定理解答；②根据等边三角形的性质可证△BAD≌△CAESAS，根据全等的性质和三线合一可得∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°，所以点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），作点A关于CE的对称的M，连接FM交CE于E'，此时AE+EF的值最小，此时AE+EF=FM，所以△AEF周长的最小值是【解题过程】（1）解：作图如下：（2）利用轴对称作图解决“饮马问题”的依据是两点之间线段最短，故答案为：两点之间线段最短；（3）①分别作P关于OA、OB的对称点M、N，连接MN，交OA、OB于C、D，则△PCD的周长最小，连接OM、由轴对称的性质可知，OM=OP=12，∠MON=2∠AOB=60°，∴△MON为等边三角形，∴MN=12，∴△PCD的周长=PC+CD+DC=CM+CD+DN=MN=12；②∵△ABC、△ADE都是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌∴∠ABD=∠ACE，∵AF=CF，∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°，∴点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），作点A关于CE的对称的M，连接FM交CE于E'此时AE+EF的值最小，此时AE+EF=FM，∵CA=CM，∠ACM=60°，∴△ACM是等边三角形，∴△ACM≌∴FM=FB=b，∴△AEF周长的最小值是AF+AE+EF=AF+MF=12a+b学霸必刷学霸必刷1．（23-24八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，BC=10，CD平分∠BCA交AB于点D，点P，Q分别是CD，AC上的动点，连接AP，PQ，则AP+PQ的最小值是（

）A．6 B．5 C．4.8 D．4【思路点拨】本题考查了轴对称——最短路线问题、角平分线的性质，解此题的关键是根据轴对称的性质找出P点．如图，作点Q关于直线CD的对称点Q'，作AM⊥BC于M.由PA+PQ=PA+PQ'，推出根据垂线段最短可知，当A，P，Q'共线，且与AM重合时，PA+PQ的值最小，最小值=线段【解题过程】解：如图中，作点Q关于直线CD的对称点Q'，作AM⊥BC于M∵PA+PQ=PA+PQ∴根据垂线段最短可知，当A，P，Q'共线，且与AM重合时，PA+PQ的值最小，最小值=线段AM∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，BC=10，AC=8，∴AM=AB⋅AC故选：C．2．（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，在锐角△ABC中，AB=15,△ABC的面积为90，BD平分∠ABC，若E、F分别是BD、BC上的动点，则CE+EF的最小值为（

）A．12 B．15 C．18 D．9【思路点拨】本题主要考查轴对称的性质等知识，熟练掌握“将军饮马”模型是解题的关键．如图：在BA上取一点G，使BG=BF，连接CG，EG，作CH⊥AB于H，可得出CE+CF=CE+EG≥CG≥CH得到CE+EF的最小值为CH的长，再求出【解题过程】解：如图：在BA上取一点G，使BG=BF，连接CG，EG，作CH⊥AB于∵BD平分∠ABC，∴直线BD是∠ABC的对称轴，∴EG=EF，∴CE+CF=CE+EG≥CG≥CH，∴CE+EF的最小值为CH的长，∵AB=15，△ABC的面积为90，∴12AB⋅CH=1∴CE+EF的最小值为：12．故选：C．3．（23-24八年级上·安徽·单元测试）如图，在锐角△ABC中，BC=4,∠ABC=30°,∠ABD=15°，点D在边AC上，点P、Q分别在线段BD、BC上运动，则PQ+PC的最小值是（A．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】本题考查了轴对称-最短路径问题、角平分线的性质定理，30°的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短路径问题，作点Q关于BD的对称点M，连接CM，当CM⊥AB时．此时PQ+PC取得最小值．【解题过程】解：∵∠ABC=30°,∠ABD=15°，∴BD是∠ABC的平分线，作点Q关于BD的对称点M，连接PM、由对称的性质可知，PQ=PM,∠QBP=∠MBP=15°∴PQ+PC=PM+PC≥CM，∵∠QBP=∠MBP=15°,∴∠QBP+∠MBP=30°,∵∠ABC=30°,∴M在AB上由垂线段最短可知：当CM⊥AB时．CM取得最小值，∴此时PQ+PC也取得最小值．∵CM⊥AB，∴∠BMC=90°，∵∠ABC=30°∴CM=∴PQ+PC的最小值为：2．故选：B．4．（23-24八年级上·湖北荆门·单元测试）如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=BC，BC上方有一动点P满足S△PBC=12S△ABC，则点

A．60° B．45° C．30° D．不确定【思路点拨】本题主要考查了轴对称变换−最短距离问题，根据三角形的面积关系得出点P在过AD的中点E且平行于BC的直线l上是解决此题的关键．根据S△PBC=12S△ABC得出点P到BC的距离等于AD的一半，即点P在过AD的中点且平行于BC的直线l上，则此问题转化成在直线l上求作一点P，使得点P到B、C两点距离之和最小，作出点C关于直线l的对称点C'【解题过程】解：∵SΔ∴点P到BC的距离=1∴点P在过AD的中点E且平行于BC的直线l上，作C点关于直线l的对称点C'，连接BC'，交直线l

则点P即为到B、C两点距离之和最小的点，∵AD⊥BC，E为AD的中点，l∥BC，点C和点C'关于直线l∴CC∴三角形BCC∴∠PBC=45°．故选：B．5．（23-24八年级上·福建莆田·期中）如图，在五边形ABCDE中，∠BAE=142°，∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE．在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（）

A．76° B．84° C．96° D．109°【思路点拨】本题考查了最短路线问题．延长AB至A'，使A'B=AB，延长AE至A″，使A″E=AE，则BC垂直平分AA'，DE垂直平分AA″，所以AM=A'M，A″N=AN，△ABC的周长为AM+MN+AN，要使其周长最小，即使A'【解题过程】解：如图，延长AB至A'，使A

延长AE至A″，使A则BC垂直平分AA'，DE垂直平分∴AM=A'M根据两点之间，线段最短，当A'，M，N，A″四点在一条直线时，则AM+MN+AN的值最小，即△AMN的周长最小，∵AM=A'M∴可设∠MAA'=∠M在△AA'A∵∠AMN=∠MAA'+∠M∴∠AMN+∠ANM=2x+2y=76°，故选：C．6．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，∠AOB=18°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，P、Q分别是边OB、OA上的动点，记∠MPQ=α，∠PQN=β，当MP+PQ+QN最小时，则β−α=．【思路点拨】本题考查轴对称−最短问题、三角形外角的性质．作M关于OB的对称点M'，N关于OA的对称点N'，连接M'N'交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN【解题过程】解：如图，作M关于OB的对称点M'，N关于OA的对称点N'，连接M'N'交OA于Q，交OB于P∴∠OPM=∠OPM'=∠NPQ=1∴∠QPN=∠OPM∴180°−α=36°+180°−β，∴β−α=36°，故答案为：36°．7．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）如图，已知∠AOB=30°，点P是射线OA上的一个动点，点M是射线OB上的一个定点，PQ为点P到OB边的距离，则当PM+PQ最小时，PMPQ=【思路点拨】作点M关于OA的对称点M'，连接OM',PM'，得到PM+PQ=M'P+PQ≥M'Q，进而得到当【解题过程】解：作点M关于OA的对称点M'，连接OM'∴∠M'OM=60°∴△OMM'为等边三角形，当M'，P，Q∴∠OM∵PQ为点P到OB边的距离，∴PQ⊥OB，∴M'∴∠OM∴PM=PM∵∠AOB=30°，PQ⊥OB，∴PM=PM∴PMPQ故答案为：2．8．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图，射线l⊥线段BC，垂足为B，AD⊥BC，垂足为D，AD=4，DC=3，BD=2．点E为射线l上的一动点，当△AED的周长最小时，S△EDC=【思路点拨】本题考查了轴对称的性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积公式，作点D关于l的对称点D'，连接AD'交l于点E'，连接DE'，CE'，则DE'=D'E'，BD=B【解题过程】解：如图，作点D关于l的对称点D'，连接AD'交l于点E'，连接则DE'=∴DD∴△ADD∴∠AD∴△D∴BD∵△AED的周长=AD+AE+DE，∴当A、E'、D'在同一直线上时，△AED的周长最小，∴当△AED的周长最小时，S△EDC故答案为：3．9．（23-24八年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，点E在等边三角形ABC的边BC上，BE=4，射线CD⊥BC，垂足为C，P是射线CD上一动点，F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF=6，则AB的长为．【思路点拨】本题主要考查轴对称一最短路径，等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，根据题意，作点E关于CD的对称点E'，连接PE'，当点E'，P，F三点共线，【解题过程】解：如图所示，作点E关于CD的对称点E′，连接PE∴PE=PE∴EP+FP=PE当点E'，P，F三点共线，E'F⊥AB∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60，∵E∴∠FE∴BE∵BF=6，∴BE∵CE=CE∴12=2CE+BE=2CE+4，解得，CE=4，∴AB=BC=4+4=8，故答案为：8．10．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=150°，点P，Q分别在边AB，BC上，则AQ+PQ的最小值为．【思路点拨】作点A关于直线BC的对称点E，连接EB、AE、PE，作EF⊥AB于点F，由AB=AC=8，∠BAC=150°，求得∠ABC=∠C=15°，EB=AB=8，则∠ABE=30°，所以EF=12EB=4，由EQ+PQ≥PE，PE≥EF，且EQ=AQ【解题过程】解：作点A关于直线BC的对称点E，连接EB、AE、PE，作EF⊥AB于点F，∵AB=AC=8，∠BAC=150°，∴∠ABC=∠C=1∵BC垂直平分AE，∴EB=AB=8，∴∠EBC=∠ABC=15°，∴∠ABE=2∠ABC=30°，∵∠BFE=90°，∴EF=1∵EQ+PQ≥PE，PE≥EF，且EQ=AQ，∴AQ+PQ≥EF，即AQ+PQ≥4，∴AQ+PQ的最小值为4．故答案为：4．11．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°，P为边BC上方的一个动点．△PBC的面积等于△ABC的面积的12，则当PB+PC最小时，∠PCB的度数为【思路点拨】由三角形面积关系得出P在与BC平行，且到BC的距离为12AC的直线l上，l∥BC，作点B关于直线l的对称点B'，连接B'C交l于P，则BB'⊥l，PB＝PB'，此时点P到B、C两点距离之和最小，然后证明△BB′C≌△CAB（SAS），得出∠B′CB＝∠ABC，然后由已知求出∠ABC【解题过程】解：∵△PBC的面积等于△ABC的面积的12，∠ACB∴P在与BC平行，且到BC的距离为12AC的直线l∴l∥BC，作点B关于直线l的对称点B'，连接B'C交l于P，BB′交l于D，如图所示：则BB'⊥l，PB＝PB'，此时点P到B、C两点距离之和最小，∵BB′⊥l，l∥BC，∴BB′⊥BC，即∠B′BC＝90°，∵BD＝B′D＝12BB′，BD＝12∴BB′＝AC，又∵BC＝BC，∴△BB′C≌△CAB（SAS），∴∠B′CB＝∠ABC，∵∠ACB＝90°，∠A＝20°，∴∠B′CB＝∠ABC＝70°，即∠PCB＝70°，故答案为：70°．12．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）如图，∠AOB=45°，OC平分∠AOB，点M为OB上一定点，P为OC上的一动点，N为OB上一动点，当PM+PN最小时，则∠PMO的度数为．【思路点拨】找到点M关于OC对称点M'，过点M'作M'N⊥OB于点N，交OC干点【解题过程】解：如图，作点M关于OC对称点M'∵OC平分∠AOB，∴点M'一定在OA过点M'作M'N'⊥OB于点N'，交∵PM=PM∴此时PM+PN=PM∵点M与点M'关于OC∴OM=OM∵∠AOB=45°，∴∠PM∴∠PMO=∠PM故答案为45°．13．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD是BC边上的中线且AD=12，F是AD上的动点，E是AC边上的动点，则CF+EF的最小值为．【思路点拨】本题考查了轴对称—最短路线问题，等腰三角形的性质，垂线段最短，作E关于AD的对称点M，连接CM交AD于F，连接EF，过C作CN⊥AB于N，根据三线合一定理求出BD的长和AD⊥BC，根据三角形面积公式求出CN，根据对称性求出CF+EF=CM，根据垂线段最短得出CF+EF≥120【解题过程】解：作E关于AD的对称点M，连接CM交AD于F，连接EF，过C作CN⊥AB于N，，∵AB=AC=13，BC=10，AD是BC边上的中线，∴BD=DC=5，AD⊥BC，AD平分∠BAC，∴M在AB上，在Rt△ABD中，AD=12∴S△ABC∴CN=BC×AD∵E关于AD的对称点M，∴EF=FM，∴CF+EF=CF+FM=CM，根据垂线段最短得出：CM≥CN，即CF+EF≥120即CF+EF的最小值是12013故答案为：1201314．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，锐角△ABC中，∠A=30°，BC=72，△ABC的面积是6，D，E，F分别是三边上的动点，则△DEF【思路点拨】根据对称性质，将△DEF周长转换为一条直线，如图所示（见详解），作点E关于AB的对称点M，作点E关于AC的对称点N，连接AM，AE，AN，三角形AMN是等边三角形，△DEF周长DE+DF+EF=MN，即MN最小就是AE的值最小，△ABC的面积是6，BC=7【解题过程】解：如图所示，作点E关于AB的对称点M，作点E关于AC的对称点N，连接AM，AD，AN，∴AM=AE=AN，即AB是EM的垂直平分线，AC是EN的垂直平分线，且∠MAB=∠BAE，∠CAE=∠CAN∵∠BAC=∠BAE+∠EAC=30°，∴∠MAN=∠MAB+∠BAE+∠EAC+∠CAN，即∠MAN=2(∠BAE+∠EAC)=2×30°=60°，∴三角形AMN是等边三角形，∴AM=AN=MN=AE，∴当点M,D,F,N在一条直线上时，△DEF周长DE+DF+EF=MN，即MN最小就是AD的值最小，根据点到直线垂线段最短，可知当AE⊥BC时，AE最小，即△DEF周长最小，∵△ABC的面积是6，BC=6，即S△ABC∴AD=247，即△DEF周长最小故答案为：24715．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，在面积为458的锐角△ABC中，AB=52，∠C=30°，D是△ABC内部一点，E，F分别是边BC,AC上的动点，连接AD,BD,DE,DF,EF．若△ABD的面积为1，则△DEF【思路点拨】作点D关于BC的对称点N，关于AC的对称点M，连接CD,CM,CN,MN,EN,FM，易证△CMN为等边三角形，得到MN=CD，根据△DEF的周长=DE+DF+EF=FM+EN+EF≥MN，进而得到当M,E,F,N四点共线时，△DEF的周长最小，为MN的长，即为CD的长，进而得到当CD最小时，△DEF的周长最小，过点C作CP⊥AB，过点D作DQ⊥AB，根据三角形的面积公式求出CP,DQ的长，进而得到点D在平行于AB且距离等于DQ的直线HG上，进而得到当D为HG与CP的交点时，CD的长度最小，进行求解即可．【解题过程】解：作点D关于BC的对称点N，关于AC的对称点M，连接CD,CM,CN,MN,EN,FM，则：CD=CN=CM,EN=DE,DF=FM,∠DCE=∠NCE,∠DCF=∠MCF，∴∠DCE+∠NCE+∠DCF+∠MCF=2∠ACB=60°，∴△CMN为等边三角形，∴MN=CN=CD，∴△DEF的周长=DE+DF+EF=FM+EN+EF≥MN，∴当M,E,F,N四点共线时，△DEF的周长最小，为MN的长，即为CD的长，∴当CD最小时，△DEF的周长最小，过点C作CP⊥AB，过点D作DQ⊥AB，∴S△ABC=1∴CP=92，∴点D在平行于AB且距离等于45的直线HG∴当D为HG与CP的交点时，CD的长度最小，此时CD=9∴△DEF周长的最小值为3710故答案为：371016．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，点P在∠AOB内部，点M，N分别是边OA，OB上的动点，点M，N不与点（1）若将点P在∠AOB的内部移动位置，使OP平分∠AOB，当PN∥OA，ON=2时，PN的长等于（2）若∠AOB=60°，OP=a，随着点M，N位置的变动，当△PMN周长最小时，点O到直线MN的距离等于．（用含【思路点拨】本题考查了轴对称最短线路问题、平行线性质、等腰三角形的判定和性质等知识点，作辅助线找到M，N的位置是解题的关键．（1）如图：OP平分∠AOB，当PN∥OA，，得到（2）如图：作P关于OA，OB的对称点C，D，连结CD，交OA，OB于M，N两点，作OE⊥CD于E．此时当△PMN周长最小时，【解题过程】解：（1）如图：∵OP平分∠AOB，∴∠BOP=∠AOP，∵PN∥∴∠AOP=∠NPO，∴∠BOP=∠NPO，∴ON=PN=2．故答案为：2．（2）如图：作P关于OA，OB的对称点C，D，连结CD，交OA，OB于M，N两点，作∴NC=NP，∴△PMN周长=PM+PN+MN=NC+MD+MN=CD，假设随着点M，N位置的变动，M'，N'不在∴△PMN周长的最小值=CD．∵作P关于OA，OB的对称点C，∴OB垂直平分PC，∴OC=OP，同理：OP=OD，∵∠AOB=60°，∴∠COD=120°，∵OC=OD=a,∴∠OCD=∠ODC=30°，∵OE⊥CD，∴OE=1∴点O到直线MN的距离等于12故答案为：1217．（2023八年级上·全国·专题练习）将军要检阅一队士兵，要求（如图所示）；队伍长为a，沿河OB排开（从点P到点Q）；将军从马棚M出发到达队头P，从P至Q检阅队伍后再赶到校场N．问：在什么位置列队（即选择点P和Q），可以使得将军走的总路程MP+PQ+QN最短？【思路点拨】MP+PQ+QN的值最小，其中PQ是定值a，问题转化为MP+QN最小，先作ME∥OB，使得ME=a，再作对称点，连接对称点和N即可求解．【解题过程】解：如图，作ME∥OB，使得ME=a，作点E关于OB的对称点F，连接FN交OB于点Q，在OQ上截取QP=a，连接MP，线路M→P→Q→N时，MP+PQ+QN的值最小，．18．（23-24八年级上·广西桂林·期中）数学模型学习与应用：白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．——《古从军行》唐李欣模型学习：诗中隐含着一个有趣的数学问题，我们称之为“将军饮马”问题．关键是利用轴对称变换，把直线同侧两点的折线问题转化为直线两侧的线段问题，“将军饮马”问题的数学模型如图1所示：在直线l上存在点P，使PA+PB的值最小．作法：作A点关于直线l的对称点A'，连接A'B，A'B与直线l模型应用：（1）如图2，已知△ABC为等边三角形，高AH=8cm，P为AH上一动点，D为AB①当PD+PB的最小值时，在图中确定点P的位置（要有必要的画图痕迹，不用写画法）．②则PD+PB的最小值为cm．模型变式：（2）如图3所示，某地有块三角形空地AOB，已知∠AOB=30°，P是△AOB内一点，连接PO后测得PO=10米，现当地政府欲在三角形空地AOB中修一个三角形花坛PQR，点Q，R分别是OA，OB边上的任意一点（不与各边顶点重合），求△PQR周长的最小值．

【思路点拨】此题是几何变换综合题，考查轴对称的性质和最短路径问题，（1）①根据轴对称的性质点B，C关于AH对称，进而连接CD交AH于点P即可；②根据轴对称的性质BP=CP，进而解答即可；（2）分别作点P关于OA，OB的对称点M，N，连接OM，ON，MN，MN交OA，OB于点Q，R，连接PR，PQ，此时ΔPQR周长的最小值等于MN解题的关键是根据轴对称的性质得出线段相等解答．【解题过程】（1）①如图所示点P为所求的点：

②∵B，C关于AH对称，∴BP=PC，∴PD+PB=CD，∴PD+PB的最小值=CD=AH=8cm故答案为：8；（2）如图所示，分别作点P关于OA，OB的对称点M，N，连接OM，ON，MN，MN交OA，OB于点Q，R，连接PR，PQ，此时△PQR周长的最小值等于MN．

由轴对称性质可得，OM=ON=OP=10，∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB，∴∠MON=2∠AOB=2×30°=60°，则△MON为等边三角形，即NM=ON=OP=10cm即ΔPQR周长的最小值等于1019．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）在△ABC中，∠B=90°，D为BC延长线上一点，点E为线段AC，CD的垂直平分线的交点，连接（1）如图1，当∠BAC=50°时，则∠AED=______°；（2）当∠BAC=60°时，①如图2，连接AD，判断△AED的形状，并证明；②如图3，直线CF与ED交于点F，满足∠CFD=∠CAE，AC=2AB．P为直线CF上一动点．当PE−PD的值最大时，请探究表示PE，PD与【思路点拨】（1）利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，四边形内角和定理解决问题即可；（2）①证明EA=ED，∠AED=60°即可推出△AED为等边三角形；②作点D关于直线CF的对称点D'，