人教版2024-2025学年七年级数学上册2.3有理数中的新定义问题(压轴题专项讲练)专题特训(学生版+解析)VIP

专题2.3有理数中的新定义问题典例分析典例分析【典例1】在有理数的范围内，定义三个数之间的新运算“⊗”：a⊗b⊗c=a−b−c+a+b+c2（1）计算：4⊗−2（2）计算：3⊗−7（3）已知−67，−57，⋯，−17，0，19，29，⋯，89这十五个数中．从中任取三个数作为a，【思路点拨】（1）直接代入公式计算即可；（2）直接代入公式计算即可；（3）分析a−b−c为负数与非负数两种情况下的最小值，最后综合考虑即可．【解题过程】（1）原式=4−=6；（2）原式=3−=19=3；（3）当a−b−c为非负数时，a⊗b⊗c=a−b−c+a+b+c2∴当a=−67时，a⊗b⊗c的最小值为当a−b−c为负数时，a⊗b⊗c=−a+b+c+a+b+c2∴当b+c的值最小时，a⊗b⊗c的值最小；∵a−b−c为负数，∴a＜b+c，由于a最小取−6∴b+c＞−6综上可得，a⊗b⊗c的最小值为−6学霸必刷学霸必刷1．（23-24七年级上·广东广州·期末）定义新运算：对任意非零有理数a、b，有a⊕b=2ab，则A．5338 B．1 C．120 2．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）定义运算“*”如下：对任意有理数x，y和z都有x∗x=0，x∗(y∗z)=(x∗y)+z，这里“+”号表示数的加法，则2023∗2022的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（23-24七年级上·江西南昌·阶段练习）已知x表示不超过x的最大整数，如：4.7=4，−1.3=−2．现定义：x=x−x4．（23-24七年级下·山西吕梁·期中）定义关于a，b的新运算：fa·b=fa−fba≤b，其中a，b为整数，且a·b为a与b的乘积，例如，f2=5，f35．（23-24七年级上·甘肃兰州·期中）定义：分数nm（m，n为正整数且互为质数）的连分数（其中an为整数，且等式右边的每一个分数的分子都为1），记作：nm=1a1+1a6．（23-24七年级上·广东广州·阶段练习）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n+1；②当n为偶数时，结果为n2k（其中k是使运算结果为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取n=25时，运算过程如图．若n=34，则第2024次“F运算”的结果是7．（23-24七年级上·重庆·期中）定义一种新运算：对于任意实数a、b，满足a,b=a−2ba≤bb−2aa>b，当a=1，8．（23-24七年级上·河南洛阳·阶段练习）在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．他借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：a⊕b=a×b+2×a．（1）求2⊕(−1)的值；（2）求(−3)⊕−4⊕（3）试用学习有理数的经验和方法来探究这种新运算“⊕”是否具有交换律？请写出你的探究过程．9．（24-25七年级上·全国·随堂练习）阅读下列材料，并解答问题：定义一种新运算：a★b★c=a−b+c−（1）计算：−5★（2）计算：−4★10．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）如果10b=n，那么称b为n的劳格数，记为b=d(n)，由定义可知：10b=n与b=d(n)所表示的是（1）根据劳格数的定义，填空：d(10)=，d(100)=；（2）劳格数有如下运算性质：若m、n为正数，则d(mn)=d(m)+d(n)，d(m①d(a3)d(a)②若d(2)=0.3010，则d(4)=，d(5)=，d(8)=．11．（23-24七年级上·江西景德镇·期中）材料一：对任意有理数a，b定义运算“⊗”，a⊗b=a+b−20232，如：1⊗2=1+2−2023材料二：规定a表示不超过a的最大整数，如3.1=3，−2=−2，（1）2⊗6=______，−ππ（2）求1⊗2⊗3⊗4…⊗2022⊗2023的值：（3）若有理数m，n满足m=2n=3n+112．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2、−3÷−3÷−3÷−3等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作23，读作“2的下3次方”，−3÷−3（1）直接写出计算结果：23=______，【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？例如：2（2）仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式：26=，−1（3）将一个非零有理数a的下n次方写成幂的形式是：an（4）【结论应用】计算：12213．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）探究规律，完成相关题目：小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：(+5)※(+2)=+7；(−3)※(−5)=+8；(−3)※(+4)=−7；(+5)※(−6)=−11；(0)※(+8)=8；(0)※(−8)=8；(−6)※(0)=6；(+6)※(0)=6．小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？（1）观察以上式子，类比计算：①−12※−15=（2）计算：(−2)※[0※(−1)]；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致，写出必要的运算步骤）（3）若1−a※b−3=014．（23-24七年级上·浙江台州·期中）定义：对于任意的有理数a，ba≠b，a⊕b=（1）探究性质：①例：3⊕2=_________；2⊕3=_________；−3⊕2=_________；−3②可以再举几个例子试试，你有什么发现吗？请用含a，b的式子表示出a⊕b的一般规律；（2）性质应用：①运用发现的规律求【−92.5②将−11，−10，−9，−8……，7，8这20个连续的整数，任意分为10组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作a，另一个记作b，求出a⊕b，10组数代入后可求得10个a⊕b的值，则这10个值的和的最小值是．15．（23-24七年级上·湖南益阳·期中）定义新运算：a∗b=1a−例如:3∗7=13−若a⊗b=a∗b，则称有理数a，b为“隔一数对”．例如：2⊗3=12×3=16（1）下列各组数是“隔一数对”的是（请填序号）①a=1，b=2；②a=−43，b=−13；③（2）计算：−3（3）已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”．计算：1⊗2+2⊗3+3⊗4+4⊗5+⋯+2020⊗2021．16．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期中）将两个数轴平行放置，并使二者的刻度数上下对齐，再将两个数轴的原点连接起来，就构成一个“双轴系”．定义“双轴系”中两个点A、B的距离．如果A、B两点在同一个数轴上，则二者之间的距离定义和通常的距离一致，AB=a−b，如果A、B两点分别位于两个数轴上，定义AB=

利用“双轴系”定义一种“有向数”，记号是在通常数的右边加上“↑”或“↓”，例如，“2↑”表示上层数轴中表示数“2”的点，“−3↓”表示下层数轴中表示数“−3”的点，“0↑”“0↓”分别表示上下两个数轴的原点．（1）在双轴系中3↑与5↑的距离为：______，2↑与−3↓的距离为________；（2）在（1）的假设下，现有只电子蚂蚁甲从“0↑”所表示的点出发不断跳跃，依次跳至1↑、12↑、13↑、23↑、14↑、12↑、34↑、15↑、25①当蚂蚁甲第3次跳到12②当甲乙两只蚂蚁的距离为1110专题2.3有理数中的新定义问题典例分析典例分析【典例1】在有理数的范围内，定义三个数之间的新运算“⊗”：a⊗b⊗c=a−b−c+a+b+c2（1）计算：4⊗−2（2）计算：3⊗−7（3）已知−67，−57，⋯，−17，0，19，29，⋯，89这十五个数中．从中任取三个数作为a，【思路点拨】（1）直接代入公式计算即可；（2）直接代入公式计算即可；（3）分析a−b−c为负数与非负数两种情况下的最小值，最后综合考虑即可．【解题过程】（1）原式=4−=6；（2）原式=3−=19=3；（3）当a−b−c为非负数时，a⊗b⊗c=a−b−c+a+b+c2∴当a=−67时，a⊗b⊗c的最小值为当a−b−c为负数时，a⊗b⊗c=−a+b+c+a+b+c2∴当b+c的值最小时，a⊗b⊗c的值最小；∵a−b−c为负数，∴a＜b+c，由于a最小取−6∴b+c＞−6综上可得，a⊗b⊗c的最小值为−6学霸必刷学霸必刷1．（23-24七年级上·广东广州·期末）定义新运算：对任意非零有理数a、b，有a⊕b=2ab，则A．5338 B．1 C．120 【思路点拨】本题考查了有理数的混合运算，整式—数字规律找到运算规律（21×3【解题过程】解∶原式=21×3=1−13=1+=故选：D．2．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）定义运算“*”如下：对任意有理数x，y和z都有x∗x=0，x∗(y∗z)=(x∗y)+z，这里“+”号表示数的加法，则2023∗2022的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】本题主要考查了有理数的加减计算，先根据题意将所求式子变形为2023∗2022+2022−2022，则2023∗2022∗2022−2022，再根据2023∗2023=2022∗2022=0可进一步将原式变形为【解题过程】解：∵x∗x=0，x∗(y∗z)=(x∗y)+z，∴2023∗2022=2023∗2022+2022−2022=2023∗=2023∗0−2022=2023∗==0+2023−2022=1，故选A．3．（23-24七年级上·江西南昌·阶段练习）已知x表示不超过x的最大整数，如：4.7=4，−1.3=−2．现定义：x=x−x【思路点拨】根据题意可得15.4+【详解】解：根据题意得：15.4==15−15.4+3−=−0.8，故答案为：−0.8．4．（23-24七年级下·山西吕梁·期中）定义关于a，b的新运算：fa·b=fa−fba≤b，其中a，b为整数，且a·b为a与b的乘积，例如，f2=5，f3【思路点拨】本题考查了新定义．根据fa·b=fa−fba≤b可依次推导出【解题过程】解：∵f4∴f16∴f256∴f1024故答案为：1．5．（23-24七年级上·甘肃兰州·期中）定义：分数nm（m，n为正整数且互为质数）的连分数（其中an为整数，且等式右边的每一个分数的分子都为1），记作：nm=1a1+1a【思路点拨】本题考查新定义连分数的化简，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新规定解答问题．根据连分数的定义列式计算即可解答．【解题过程】解：11故答案为：7106．（23-24七年级上·广东广州·阶段练习）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n+1；②当n为偶数时，结果为n2k（其中k是使运算结果为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取n=25时，运算过程如图．若n=34，则第2024次“F运算”的结果是【思路点拨】本题考查了整数的奇、偶性的新定义问题，通过若干次得出循环是解题关键．按新定义运算法则，分别计算第一次到第九次运算结果可得出循环规律即可求解．【解题过程】由题意可知，当n=34时，历次运算的结果是∶3413×3+1=40,3×5+1=16,162故规律为：17→52→13→40→5→16→1→4→1…即从第七次开始1和4出现循环，偶数次为4，奇数次为1，∴当n=34时，第2024次“F运算”的结果是4．故答案为：4．7．（23-24七年级上·重庆·期中）定义一种新运算：对于任意实数a、b，满足a,b=a−2ba≤bb−2aa>b，当a=1，【思路点拨】本题为新定义问题，考查了绝对值的意义，有理数混合运算，有理数的大小比较等知识．根据绝对值的意义求出a=±1，b=±2，再分a=1，b=2、a=1，b=−2、a=−1，b=2、a=−1，b=−2分别求出a,b的值，比较大小，即可求解．【解题过程】解：∵a=1，b∴a=±1，b=±2，∴当a=1，b=2时，a,b=1−2×2=1−4=−3当a=1，b=−2时，a,b=−2−2×1=−2−2=−4当a=−1，b=2时，a,b=−1−2×2=−1−4=−5当a=−1，b=−2时，a,b=−2−2×∵−5<−4<−3<0，∴a,b的最大值为0．故答案为：08．（23-24七年级上·河南洛阳·阶段练习）在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．他借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：a⊕b=a×b+2×a．（1）求2⊕(−1)的值；（2）求(−3)⊕−4⊕（3）试用学习有理数的经验和方法来探究这种新运算“⊕”是否具有交换律？请写出你的探究过程．【思路点拨】本题主要考查的是新定义运算、有理数的混合运算等知识点，理解新定义的含义是解本题的关键．（1）直接根据新定义的进行计算即可；（2）直接根据新定义的含义列式，再进行计算即可；（3）根据新定义可得a⊕b和b⊕a，然后比较结果即可解答．【解题过程】（1）解：2⊕−1（2）解：∵−4⊕1∴−3⊕（3）解:不具有，探究如下：由b⊕a=b×a+2×b，a⊕b=a×b+2×a，∵a,b不一定是相同的有理数，∴2×b不一定等于2×a，∴a⊕b和b⊕a不一定相等，∴新运算“⊕”不具有交换律．9．（24-25七年级上·全国·随堂练习）阅读下列材料，并解答问题：定义一种新运算：a★b★c=a−b+c−（1）计算：−5★（2）计算：−4★【思路点拨】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确新定义，求出所求式子的值．（1）根据题中给出的新定义，求出式子的值即可；（2）根据题中给出的新定义，求出式子的值即可．【解题过程】（1）解：−5=−5=4−=4+6==2.5；（2）−4=−4=1=1=8=4．10．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）如果10b=n，那么称b为n的劳格数，记为b=d(n)，由定义可知：10b=n与b=d(n)所表示的是（1）根据劳格数的定义，填空：d(10)=，d(100)=；（2）劳格数有如下运算性质：若m、n为正数，则d(mn)=d(m)+d(n)，d(m①d(a3)d(a)②若d(2)=0.3010，则d(4)=，d(5)=，d(8)=．【思路点拨】（1）根据定义可知，d(10)和d(100)就是指10的指数，据此即可求解；（2）①根据d(a3)=d(a⋅a⋅a)=d(a)+d(a)+d(a)即可，②根据d(4)=d(2×2)=d(2)+d(2)，d(5)=d(【解题过程】（1）解：依题意，得101=10，∴d(10)=1，d(100)=2；故答案为：1，2；（2）解：①d(a故答案为：3；②∵d(2)=0.3010，∴d(4)=d(2×2)=d(2)+d(2)=0.3010×2=0.6020，∴d(5)=d(10∴d(8)=d(2×2×2)=d(2)+d(2)+d(2)=0.3010×3=0.9030．故答案为：0.6020，0.6990，0.9030．11．（23-24七年级上·江西景德镇·期中）材料一：对任意有理数a，b定义运算“⊗”，a⊗b=a+b−20232，如：1⊗2=1+2−2023材料二：规定a表示不超过a的最大整数，如3.1=3，−2=−2，（1）2⊗6=______，−ππ（2）求1⊗2⊗3⊗4…⊗2022⊗2023的值：（3）若有理数m，n满足m=2n=3n+1【思路点拨】（1）根据材料1新定义的运算“⊗”的概念即可求出2⊗6的值，根据材料2中的定义即可求出−ππ（2）根据新定义函数把1⊗2⊗3⊗4…⊗2022⊗2023变形为加减运算，再根据运算顺序即可求出1⊗2⊗3⊗4…⊗2022⊗2023的值；（3）根据m=2n=3n+1求出m的值和n的范围，再求出m+n【解题过程】（1）解：∵a⊗b=a+b−2023∴2⊗6=∵−π∴−ππ=故答案为：−20072，（2）依题意，1⊗2⊗3⊗4…⊗2022⊗2023=1+2+3+……+2023+2022×==2023；（3）∵n+1=n+1∴2n∴n=−3∴m=2×−3=−6∴m+n=−6+n∴m⊗m+n=−9⊗12．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2、−3÷−3÷−3÷−3等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作23，读作“2的下3次方”，−3÷−3（1）直接写出计算结果：23=______，【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？例如：2（2）仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式：26=，−1（3）将一个非零有理数a的下n次方写成幂的形式是：an（4）【结论应用】计算：122【思路点拨】本题考查了有理数的混合运算，涉及新定义，解题的关键是熟练掌握有理数相关运算法则，能根据新定义列出算式．（1）由新定义列出算式计算即可；（2）根据新定义列出算式，化为乘方形式即可；（3）根据（2）的计算结果得出规律即可；（4）根据有理数的混合运算顺序和运算法则及除方的运算法则计算即可．【解题过程】解：（1）2312故答案为：12（2）2=1×=1−==故答案为：124，（3）a=a×=1故答案为：1a（4）12=144÷=144÷9×=1−3=−2．13．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）探究规律，完成相关题目：小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：(+5)※(+2)=+7；(−3)※(−5)=+8；(−3)※(+4)=−7；(+5)※(−6)=−11；(0)※(+8)=8；(0)※(−8)=8；(−6)※(0)=6；(+6)※(0)=6．小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？（1）观察以上式子，类比计算：①−12※−15=（2）计算：(−2)※[0※(−1)]；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致，写出必要的运算步骤）（3）若1−a※b−3=0【思路点拨】本题考查了有理数的新定义运算，正确理解新定义掌握有理数的运算法则是解题的关键．（1）根据题意得出：同号得正，异号得负，并把绝对值相加的运算法则依次计算即可．（2）根据零与任意数※（加乘）或任何数同零※（加乘），都得这个数的绝对值，结合前面的运算计算即可；（3）根据题意得出1−a+b−3=0【解题过程】（1）解：①−=−1故答案为：710②−=−(−故答案为：−5（2）解：(−2)※[0※(−1)]=−2=−=−3．（3）∵1−a※∴1−a+∴a=1,b=3，∴1====514．（23-24七年级上·浙江台州·期中）定义：对于任意的有理数a，ba≠b，a⊕b=（1）探究性质：①例：3⊕2=_________；2⊕3=_________；−3⊕2=_________；−3②可以再举几个例子试试，你有什么发现吗？请用含a，b的式子表示出a⊕b的一般规律；（2）性质应用：①运用发现的规律求【−92.5②将−11，−10，−9，−8……，7，8这20个连续的整数，任意分为10组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作a，另一个记作b，求出a⊕b，10组数代入后可求得10个a⊕b的值，则这10个值的和的最小值是．【思路点拨】（1）①根据定义a⊕b=12(|a−b|+a+b),a≠b（2）①直接利用规律进行求解；②不妨设a>b，则代数式中绝对值符号可直接去掉，代数式等于a，由此即可解决问题．【解题过程】（1）解：①∵a⊕b=1∴3⊕2=12⊕3=1−3⊕2=−3⊕故答案为：3，3，2，−2；②例如：3⊕−2−2⊕通过以上例子发现，该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值，用a，b的式子表示出一般规律为a⊕b=a,a>b（2）解：①【==16.33②不妨设a>b，则代数式中绝对值符号可直接去掉，∴代数式等于a，a为偶数，b=a−1最小值=−10故答案为：−10．15．（23-24七年级上·湖南益阳·期中）定义新运算：a∗b=1a−例如:3∗7=13−若a⊗b=a∗b，则称有理数a，b为“隔一数对”．例如：2⊗3=12×3=16（1）下列各组数是“隔一数对”的是（请填序号）①a=1，b=2；②a=−43，b=−13；③（2）计算：−3（3）已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”．计算：1⊗2+2⊗3+3⊗4+4⊗5+⋯+2020⊗2021．【思路点拨】本题考查有理数的定义新运算，仔细审题，理解题干中的新定义，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题关键．（1）按照题干定义进行计算，判断是否满足条件即可；（2）直接根据题目定义分别计算各项，然后再合并求解即可；（3）根据定义进行变形和拆项，然后根据规律求解即可．【解题过程】（1）解：①a=1，b=2；∵a∗b=11−∴a⊗b=a∗b，则①是“隔一数对”；②a=−4∵a∗b=1−4∴a⊗b=a∗b，则②是“隔一数对”；③a=−1，b=1；∵a∗b=1−1−∴a⊗b≠a∗b，则③不是“隔一数对”；故答案为：①②；（2）解：根据定义，−===−=−