人教版2024-2025学年九年级数学上册22.9线段、面积与角度问题-二次函数的综合(压轴题专项讲练)(学生版+解析)

专题22.9线段、面积与角度问题——二次函数的综合典例分析典例分析【典例1】已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，且A（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接PB，PC，过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点K．记△PBC，△BDK的面积分别为S1，S（3）如图2，连接AC，点E为线段AC的中点，过点E作EF⊥AC交x轴于点F．在抛物线上是否存在点M，使∠MFA=∠OCA？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．【思路点拨】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；（2）求出BC的解析式，设Pm,−m2+2m+3，则Km,−m+3（3）易得FE垂直平分AC，设OF=a，则CF=AF=a+1，勾股定理求出F点坐标，三线合一结合同角的余角相等，推出∠AFE=∠OCA，分两种情况讨论，进行求解即可．【解题过程】（1）解：把A−1,0，C−1−b+c=0c=3，解得：b=2∴y=−x（2）解：∵当y=0时，−x2+2x+3=0解得x∴B3,0∴设直线BC的解析式为：y=kx+3k≠0把B3,0代入，得：k=−1∴y=−x+3，设Pm,−m2+2m+3，则PK=−m2+2m+3−−m+3=−∴S1=1∴S1∴当m=158时，S1（3）解：∴A−1,0，C0,3，点E为∴E−∵FE⊥AC，∴AF=CF，∴∠AFE=∠CFE，设OF=a，则CF=AF=a+1，在Rt△COF中，由勾股定理，得：a∴a=4，∴F4,0，CF=5∵FE⊥AC，∠AOC=90∴∠AFE=∠OCA=90°−∠CAF，∴∠AFE=∠OCA，设FE的解析式为：y=kx+b，E−124k+b=0−解得：k=−1∴y=−1联立y=−x解得x1=7+∴M7−109取点E关于x轴的对称点，连接交抛物线于点M，则：∠MFA=∠EFA=∠OCA，−12,−3设的解析式为：y=k1则：4k+b=0−解得：k=1∴y=1联立y=−x解得x1=5+∴M5+181综上，点M的坐标为7+1096,17−10918或学霸必刷学霸必刷1．（2024·山西·二模）如图，抛物线y=−13x2+43x+4与x轴交于A，B两点（点A在点（1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出线段BC所在直线的函数表达式；（2）点P是线段BC上方抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，交BC于点N求线段PN长的最大值．2．（24-25九年级上·湖北荆门·阶段练习）如图，抛物线y=−12x2+32x+2交x轴于A、（1）求四边形ABDC的面积；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得PC−PB的值最大，若存在，试求出点P的坐标．3．（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A1,0，B−5,0两点，与y轴交于点C，P是抛物线上的任意一点（不与点C重合），点P的横坐标为m，拋物线上点C（1）求抛物线的解析式；（2）若点P位于线段BC上方，求△PBC面积的最大值；（3）若图象G的最大值与最小值的差为4，求m的取值范围．4．（23-24九年级上·宁夏石嘴山·期中）如图，直线y=−x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y=−x2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点E，使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB=∠OCB5．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）如图，抛物线y=x2−2x−3与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，直线l：y=kx+b与抛物线交于（1）求点C的坐标和直线l的解析式；（2）点P是y轴上的一点，求满足PB+PC的值为最小的点P坐标；（3）点Q是直线l下方抛物线上一动点，动点Q运动到什么位置时，△AQC的面积最大?求出此时Q点坐标和△AQC的最大面积．6．（24-25九年级上·重庆·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，拋物线y=−12x2+12x+3与x轴正半轴交于点B，与（1）求△ABC的面积；（2）若点P是抛物线对称轴上一点，且S△ABC=2S7．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，抛物线y=ax2+bx+3过点A(−1，0)，B（3，0），与y（1）求抛物线的解析式；（2）第一象限内的抛物线y=ax2+bx+3图象上有一动点P，x轴正半轴上有一点D，且OD=2，当△PCD（3）抛物线y=ax2+bx+3的顶点为Q，直线y=kx与抛物线交于点E，F，M是线段EF的中点，当0<k<28．（23-24九年级上·广东湛江·期中）如图，二次函数y=x2+bx+c图象的对称轴为直线x=4，图象过点A、B、C，B点的坐标为6,0（1）求二次函数的表达式；（2）当点M位于x轴下方的抛物线上时，过点M作x轴的垂线，交BC于点Q，求线段MQ的最大值．（3）在（2）的条件下，当点M位于x轴下方的抛物线上时，求△CBM的最大面积．9．（23-24九年级下·安徽阜阳·期中）如图1，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B3,0，与y轴交于点C，且

（1）求抛物线的解析式；（2）若DE是该抛物线的对称轴，点D是顶点，点P是第一象限内对称轴右侧抛物线上的一个动点．（ⅰ）如图2，连接BP，若△PCB的面积为3，求点P的坐标；（ⅱ）如图3，连接BC，与DE交于点G，连接PC，PG，PD，求2S

10．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图1，抛物线y=ax2+bx−3经过A−1,0，B3,0两点，与y

（1）求抛物线的函数表达式；（2）设四边形COBP的面积为S，求S的最大值；（3）如图2，过点P作PM⊥x轴于点M，连接AC，AP，AP与y轴交于点N．当∠MPA=2∠PAC时，求直线AP的函数表达式及点P的坐标．11．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，有一抛物线y=x24，直线y=kx（k≠0）与抛物线相交于点A，直线y=−（1）当k=2时，求A，B两点坐标．（2）在（1）的条件下，第一象限一点P在抛物线上，当SΔPAB=（3）试探究直线AB是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．12．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+2ax−3a的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），C，D两点的坐标分别为−4,5（1）则点A坐标为；点B坐标为；（2）若二次函数y=ax2+2ax−3a的图象经过点C，点P是二次函数图象上x（3）若二次函数y=ax2+2ax−3a的图象与线段CD13．（2024·安徽六安·模拟预测）如图1，抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于点A，点B6,0（点A位于点B左侧），与（1）求b，（2）连接BC，点P是直线BC下方抛物线上的一点，连接AC，（ⅰ）如图2，AP与BC交于点M，若S△ACM−S（ⅱ）如图3，过点P作PQ∥AC交BC于点Q，连接AQ，求S△PAQ14．（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于A−4,0，B2,0两点，直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点（1）求抛物线的解析式与直线l的解析式；（2）若P是抛物线上的点且在直线l的下方，连接PA，PD，当△PAD的面积最大时，求出点P的坐标及该面积的最大值；（3）若Q是y轴上的点，且∠ADQ=45°，请直接写出点Q的坐标15．（2024·安徽合肥·三模）如图，已知抛物线y＝−x2+bx+c过点A−72,（1）求该抛物线的解析式；（2）点M是x轴上的一个动点，当MA+MC的值最小时，求点M的坐标；（3）如图2，连接AB，在AB上方的抛物线上是否存在一动点D，使△ABD面积取得最大值，若存在，求出D点坐标，并求△ABD的最大面积．16．（2023·山东东营·二模）如图，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于A−1,0，B两点，与y（1）求抛物线的解析式．（2）点P是第三象限抛物线上一点，当△BCP的面积为12时，求P点坐标．（3）抛物线上是否存在点Q使得∠QCB=∠CBO？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．17．（23-24九年级上·全国·开学考试）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象交x轴于点A，B（A在y轴右侧，B在y轴左侧），C为抛物线与y轴的交点，已知OC=3（1）求抛物线的解析式．（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得PO+PC的值最小，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．（3）若y=ax2+bx+c有最低点，点Q是直线AC下方的抛物线上的一个动点，求△ACQ18．（23-24九年级下·重庆南岸·开学考试）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+6a≠0交x轴于A、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线x=−2，点B的坐标为（1）求抛物线的解析式；（2）动点P和动点Q同时出发，点P从点A以每秒2个单位长度的速度沿AC运动到点C，点Q从点C以每秒1个单位长度的速度沿CO运动到点O，连接PQ，当点P到达点C时，点Q停止运动，求S△CPQ的最大值及此时点P（3）将原抛物线沿射线CA方向平移22个单位长度，在平移后的抛物线的对称轴上存在点G，使得∠ACG=15°，请写出所有符合条件的点G19．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)与点B(3,0)，与y轴交于点C(0,3)（1）求抛物线的解析式；（2）在点P的运动过程中，是否存在点P，使∠CAP=45°？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）当点P在第一象限时，连接BP，设△ACP的面积为S1，△BCP的面积为S2，求20．（24-25九年级上·重庆·开学考试）如图1，已知抛物线y=12x2+x−4的图象与x轴交于A，B两点（A在B（1）抛物线顶点为D，连接AD、AC、CD，求点D到AC的距离；（2）如图2，在y轴正半轴有一点E满足OC=2OE，点P为直线AC下方抛物线上的一个动点，连接PA、AE，过点E作EF∥AP交x轴于点F，M为y轴上一个动点，N为x轴上一个动点，平面内有一点G−72,−58，连接PM、MN、（3）如图3，连接AC、BC，将抛物线沿着射线BC平移25得到新的抛物线y'，y'上是否存在一点R，使得∠RAC+∠BCO=45°专题22.9线段、面积与角度问题——二次函数的综合典例分析典例分析【典例1】已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，且A（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接PB，PC，过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点K．记△PBC，△BDK的面积分别为S1，S（3）如图2，连接AC，点E为线段AC的中点，过点E作EF⊥AC交x轴于点F．在抛物线上是否存在点M，使∠MFA=∠OCA？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．【思路点拨】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；（2）求出BC的解析式，设Pm,−m2+2m+3，则Km,−m+3（3）易得FE垂直平分AC，设OF=a，则CF=AF=a+1，勾股定理求出F点坐标，三线合一结合同角的余角相等，推出∠AFE=∠OCA，分两种情况讨论，进行求解即可．【解题过程】（1）解：把A−1,0，C−1−b+c=0c=3，解得：b=2∴y=−x（2）解：∵当y=0时，−x2+2x+3=0解得x∴B3,0∴设直线BC的解析式为：y=kx+3k≠0把B3,0代入，得：k=−1∴y=−x+3，设Pm,−m2+2m+3，则PK=−m2+2m+3−−m+3=−∴S1=1∴S1∴当m=158时，S1（3）解：∴A−1,0，C0,3，点E为∴E−∵FE⊥AC，∴AF=CF，∴∠AFE=∠CFE，设OF=a，则CF=AF=a+1，在Rt△COF中，由勾股定理，得：a∴a=4，∴F4,0，CF=5∵FE⊥AC，∠AOC=90∴∠AFE=∠OCA=90°−∠CAF，∴∠AFE=∠OCA，设FE的解析式为：y=kx+b，E−124k+b=0−解得：k=−1∴y=−1联立y=−x解得x1=7+∴M7−109取点E关于x轴的对称点，连接交抛物线于点M，则：∠MFA=∠EFA=∠OCA，−12,−3设的解析式为：y=k1则：4k+b=0−解得：k=1∴y=1联立y=−x解得x1=5+∴M5+181综上，点M的坐标为7+1096,17−10918或学霸必刷学霸必刷1．（2024·山西·二模）如图，抛物线y=−13x2+43x+4与x轴交于A，B两点（点A在点（1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出线段BC所在直线的函数表达式；（2）点P是线段BC上方抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，交BC于点N求线段PN长的最大值．【思路点拨】（1）分别令x=0,y=0，解方程即可得到A，B，C三点的坐标，再利用待定系数法即可求出线段BC所在直线的函数表达式；（2）根据题意，结合（1）线段BC所在直线的函数表达式，设点P的坐标为m,−13m2+43【解题过程】（1）解：在y=−1令x=0，则y=4，∴点C的坐标为0,4，令y=0，则−1即x2解得：x=−2或x=6，∵点A在点B的左侧，∴点A的坐标为−2,0，点B的坐标为6,0，设线段BC所在直线的函数表达式为y=kx+b，将点B6,0,C0,4代入y=kx+b解得：k=−2∴线段BC所在直线的函数表达式为y=−2（2）解：∵点P在抛物线y=−1∴设点P的坐标为m,−1∵PM⊥x轴交BC于点N，∴点N的坐标为m,−2∵点P在线段BC上方的抛物线上，∴0<m<6且PN=PM−NM=−1∵−13<0∴当m=3时，PN有最大值，线段PN长的最大值为3．2．（24-25九年级上·湖北荆门·阶段练习）如图，抛物线y=−12x2+32x+2交x轴于A、（1）求四边形ABDC的面积；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得PC−PB的值最大，若存在，试求出点P的坐标．【思路点拨】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，求一次函数的解析式，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．（1）分别求得抛物线与x轴和y轴的交点，从而得出OA,OC,OB的值，进一步得出结果；（2）连接PA，PB，则|PC−PB|=PC−PA≤AC，过当A、C、P三点共线时|PC−PB|最大，据此求出直线【解题过程】（1）解：如图，连接OD，当x=2时，y=−1∴D(2,3)，由−12x∴OA=1,OB=4，当x=0时，y=2，∴OC=2，∴S四边形ABDC==1（2）解：如图，抛物线的对称轴为：直线x=−1+4连接PB，PA，根据抛物线对称性可得：PA=PB，则PC−PB=故当A、P、C三点共线，|PC−PB|的值最大，最大值即为AC的长，设直线CP的解析式为：y=kx+b，∴b=2∴b=2∴y=2x+2，当x=32时，∴P33．（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A1,0，B−5,0两点，与y轴交于点C，P是抛物线上的任意一点（不与点C重合），点P的横坐标为m，拋物线上点C（1）求抛物线的解析式；（2）若点P位于线段BC上方，求△PBC面积的最大值；（3）若图象G的最大值与最小值的差为4，求m的取值范围．【思路点拨】本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标与图形，二次函数几何综合，二次函数的最值，以及二次函数图象与性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识并灵活运用．（1）利用待定系数法求解，即可解题；（2）根据二次函数得到点C，设直线BC的解析式为y=kx+5，待定系数法求出直线BC的解析式，过点P作PD∥y轴，交BC于点D，利用坐标和三角形面积公式求解，得到（3）根据图象G的最大值与最小值的差为4，分情况讨论①当点P在点C上方时，②当点P在点C下方时，结合二次函数的最值，以及二次函数对称性求解，即可解题．【解题过程】（1）解：∵抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A−1+b+c=0−25−5b+c=0解得b=−4c=5∴抛物线的解析式为y=−x（2）解：∵抛物线的解析式为y=−x2−4x+5，与y∴C0,5设直线BC的解析式为y=kx+5，∴−5k+5=0，解得k=1，∴直线BC的解析式为y=x+5，∵点P位于线段BC上方，点P的横坐标为m，∴Pm,−过点P作PD∥y轴，交BC于点∴Dm,m+5∴S△PBC∵−5∴△PBC面积的最大值为1258（3）解：∵图象G的最大值与最小值的差为4，①当点P在点C上方时，∵y=−x2−4x+5=−−m解得m=−4或0（舍去），∴−4≤m≤−2，②当点P在点C下方时，此时点P在点C左侧，不满足题意，∴点P在点C右侧，∴5−−解得m=−2+22或m=−2−2综上所述，m的取值范围是−4≤m≤−2或m=−2+224．（23-24九年级上·宁夏石嘴山·期中）如图，直线y=−x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y=−x2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点E，使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB=∠OCB【思路点拨】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、点的对称性等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．（1）直线y=−x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为(3，0)、(0，3)，将点B、C的坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）如图1，作点C关于x轴的对称点C'，连接CD'交x轴于点E，则此时EC+ED为最小，即可求解；（3）分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况，分别求解．【解题过程】（1）直线y=−x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为(3，0)、(0，3)，将点B、C的坐标代入二次函数表达式得：−9+3b+c=0c=3，解得：b=2故函数的表达式为：y=−x令y=0，则x=−1或3，故点A(−1，0)；（2）如图1中，作点C关于x轴的对称点C'，连接CD'交x轴于点E，则此时EC+ED为最小，函数顶点D坐标为(1，4)，点C'(0，−3)，设直线C'D的解析式为y=kx+a，将C'、D的坐标代入得：k+a=4a=−3，解得k=7直线C'D的表达式为：y=7x−3，当y=0时，x=3故点E(3则EC+ED的最小值为DC'=1（3）①当点P在x轴上方时，如图2中，∵OB=OC=3，则∠OCB=45°=过点B作BH⊥AP于点H，设PH=BH=m，则PB=PA=2由勾股定理得：AB2=AH解得：m2则PB2则yP②当点P在x轴下方时，同理可得yP故点P的坐标为(1，2+225．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）如图，抛物线y=x2−2x−3与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，直线l：y=kx+b与抛物线交于（1）求点C的坐标和直线l的解析式；（2）点P是y轴上的一点，求满足PB+PC的值为最小的点P坐标；（3）点Q是直线l下方抛物线上一动点，动点Q运动到什么位置时，△AQC的面积最大?求出此时Q点坐标和△AQC的最大面积．【思路点拨】（1）由C点横坐标可求得C点坐标，利用待定系数法可求得直线l的函数表达式；（2）作点B(3,0)关于y轴的对称点B'(−3,0)，连接B'C交y轴于点P，此时（3）过Q作QM∥y轴交AC于M，用m表示出M和Q的坐标，从而可表示出QM的长，表示出△AQC的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值时的【解题过程】（1）解：把x=2代入抛物线解析式y=x2−∴C(2,−3)，把A、C坐标代入直线l：y=kx+b可得，0=k+b−3=2k+b解得k=−1b=−1∴直线l解析式为y=−x−1；（2）解：作点B(3,0)关于y轴的对称点B'(−3,0)，连接B'C交y轴于点P，此时设直线B'C的解析式为把B'(−3,0)、C(2,−3)坐标代入可得，解得a=−3∴直线B'C解析式为令x=0，则y=−9∴点P坐标为0,−9（3）解：过Q作QM∥y轴交AC于设Q(m,m2−2m−3)∴QM=(−m−1)−(m∴==−3∵−3∴当m=12时，△AQC的面积最大，最大值为此时Q16．（24-25九年级上·重庆·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，拋物线y=−12x2+12x+3与x轴正半轴交于点B，与（1）求△ABC的面积；（2）若点P是抛物线对称轴上一点，且S△ABC=2S【思路点拨】（1）先求出点B、C坐标，再利用待定系数法求出直线AB的解析式，进而求出点D坐标，最后利用S△ABC（2）由y=−12x2+12x+3可得抛物线的对称轴为直线x=12，利用待定系数法可得直线BC的解析式为y=−x+3，设直线BC与抛物线对称轴相交于点M，点本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．【解题过程】（1）解：把y=0代入y=−12x解得x1=−2，∴B3,0把x=0代入y=−12x∴C0,3设直线AB的解析式为y=kx+b，直线AB与y轴相交于点D，把A−1,2、B3,02=−k+b0=3k+b解得k=−1∴直线AB的解析式为y=−1把x=0代入y=−12x+∴D0,∴CD=3−3∴S△ABC（2）解：由y=−12x设直线BC的解析式为y=mx+n，把B3,0、C0=3m+n3=n解得m=−1n=3∴直线BC的解析式为y=−x+3，设直线BC与抛物线对称轴相交于点M，点P坐标为12把x=12代入y=−x+3得，∴M1∴PM=5∴S△BCP∵S△ABC∴2S∴2×3即52解得p=32或∴点P的坐标为12,37．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，抛物线y=ax2+bx+3过点A(−1，0)，B（3，0），与y（1）求抛物线的解析式；（2）第一象限内的抛物线y=ax2+bx+3图象上有一动点P，x轴正半轴上有一点D，且OD=2，当△PCD（3）抛物线y=ax2+bx+3的顶点为Q，直线y=kx与抛物线交于点E，F，M是线段EF的中点，当0<k<2【思路点拨】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键.（1）依据题意，把点A−10,B(3,0)代入y=a（2）依据题意，先求出点C和点D的坐标，然后连接OP，设点P的坐标为(m,−m²+2m+3)，根据S△PCD=S（3）依据题意可得点Q的坐标是(1，4)，又把y=−x²+2x+3与y=kx联立方程组，得x²+k−2x−3=0,可得xM=x【解题过程】（1）由题意,把点.A−10得a−b+3=09a+3b+3=0∴a=−1∴抛物线的解析式为y=−x²+2x+3.（2）解：当x=0时，y=3，∴点C的坐标为(0,3∵x轴正半轴上有一点D，且OD=2，∴点D的坐标为(2,0连接OP，设点P的坐标为(m,−m²+2m+3)，则S△PCD解得：m1=3∴点P的坐标为(32,（3）解：∵点C的坐标是(0,3∴OC=3.又∵y=−x²+2x+3=−∴点Q的坐标是(1,4把y=−x²+2x+3与y=kx联立方程组，得x²+∴x如图,连接OQ.S四边形MCQB=S△OCQ+∵3当k=12时，S8．（23-24九年级上·广东湛江·期中）如图，二次函数y=x2+bx+c图象的对称轴为直线x=4，图象过点A、B、C，B点的坐标为6,0（1）求二次函数的表达式；（2）当点M位于x轴下方的抛物线上时，过点M作x轴的垂线，交BC于点Q，求线段MQ的最大值．（3）在（2）的条件下，当点M位于x轴下方的抛物线上时，求△CBM的最大面积．【思路点拨】（1）根据抛物线对称轴，求得b=−8，再将点B6,0代入二次函数y=x2（2）先求出点C坐标，再利用待定系数法求出直线BC的解析式，设Ma,a2−8a+12，则Qa,−2a+12（3）先求出点A的坐标，令Ma,a2−8a+12，进而得到a的取值范围，利用待定系数法求出直线CM的解析式，得到N的坐标，从而得到BN的长，由S△CBM=S【解题过程】（1）解：∵二次函数y=x2+bx+c∴−b∴b=−8，将点B6,0代入二次函数y=x2解得：c=12，∴二次函数的表达式为y=x（2）解：∵二次函数y=x2−8x+12与y令x=0，则y=12，∴C0,12设直线BC的解析式为y=kx+m，则m=126k+m=0，解得：k=−2∴直线BC的解析式为y=−2x+12，∵MQ⊥x轴，∴设Ma,a2∴MQ=−2a+12−a∴当a=3时，MQ有最大值，最大值为9；（3）解：∵二次函数y=x2−8x+12与x轴交于点A令y=0，则x2解得：x1=2，∴A2,0，B如图，令CM与x轴的交点为N，令Ma,∵点M位于x轴下方的抛物线上，∴2<a<6，设直线CM的解析式为y=k则m1=12a∴直线BC的解析式为y=a−8令y=0，则a−8x+12=0，解得：x=∴N12∴ON=12∴BN=6−12∵S∴==3×=24a−3=−3=−3a−3∴当a=3时，S△CBM有最大值，最大值为279．（23-24九年级下·安徽阜阳·期中）如图1，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B3,0，与y轴交于点C，且

（1）求抛物线的解析式；（2）若DE是该抛物线的对称轴，点D是顶点，点P是第一象限内对称轴右侧抛物线上的一个动点．（ⅰ）如图2，连接BP，若△PCB的面积为3，求点P的坐标；（ⅱ）如图3，连接BC，与DE交于点G，连接PC，PG，PD，求2S【思路点拨】（1）由抛物线的对称轴为直线x=1和点B3,0，得点A−1,0．由点B3,0，OB=OC（2）（ⅰ）由点B3,0，C0,3，得直线BC的解析式,过点P作PF∥y轴交BC于点F．设点Pm,−m2+2m+3，则点Fm,−m+3，得关于m的方程，解出即可；（ⅱ）由抛物线y=−x2+2x+3求出顶点D的坐标为1,4．由（ⅰ）知直线BC的解析式为y=−x+3，则点G1,2．设直线CP交DE于点F，设点Pm,−m【解题过程】（1）解：由抛物线的对称轴为直线x=1和点B3,0，得点A由点B3,0，OB=OC，得点C由抛物线经过点A，B，得y=ax+1把点C0,3代入，得3=a解得a=−1，∴抛物线的解析式为y=−x+1（2）解：（ⅰ）由点B3,0，C0,3，得直线BC的解析式为如图1，过点P作PF∥y轴交BC于点F．设点Pm,−m2∴PF=−m由题意，得S△BCP整理，得m2解得m=1（舍去）或m=2，则−m∴点P的坐标为2,3．

（ⅱ）由抛物线y=−x2+2x+3知，顶点D由（ⅰ）知直线BC的解析式为y=−x+3，则点G1,2如图2，设直线CP交DE于点F，设点Pm,−由直线PC经过点C0,3设直线PC的解析式为y=kx+3，把点Pm,−得−m解得m=0（舍去）或m=−k+2，即k=−m+2，∴直线PC的解析式为y=−m+2当x=1时，y=−m+2x+3=5−m，即∴2=2×==−m−2即2S△PCG10．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图1，抛物线y=ax2+bx−3经过A−1,0，B3,0两点，与y

（1）求抛物线的函数表达式；（2）设四边形COBP的面积为S，求S的最大值；（3）如图2，过点P作PM⊥x轴于点M，连接AC，AP，AP与y轴交于点N．当∠MPA=2∠PAC时，求直线AP的函数表达式及点P的坐标．【思路点拨】（1）将A−1,0，B3,0代入（2）过点P作PM⊥x轴于点N，P为第四象限内抛物线上一点，设点Pm,m2−2m−30<m<3，则PN=−m2（3）由题意得到∠NAC=∠NCA，则AN=CN，设N(0,n)，由1+n2=(n+3)2，求出N0,−4【解题过程】（1）解：将A−1,0，B3,0代入∴a−b−3=09a+3b−3=0∴a=1b=−2∴y=x（2）解：过点P作PN⊥x轴于点N，如图所示，

令x=0，则y=∴C0,−3∴OC=3，∵P为第四象限内抛物线上一点，设点Pm,∴PN=−m2−2m−3∵B(3,0)，∴OB=3，∴BN=3−m，∴S====−=−3∵−∴当m=32时，S有最大值，（3）解：设AP交y轴于点N，如图，

∵ON⊥x轴，PM⊥x轴，∴ON∥∴∠ANO=∠APM，∵∠MPA=2∠PAC，∴∠ANO=2∠PAC，∴∠NAC=∠NCA，∴AN=CN，设N(0,n)，则AN=CN=n−−3∴1+n∴n=−4∴N0,−设直线AP的解析式为y=kx+b，把N0,−43b=−4∴k=−4∴y=−4令−4解得：x1=−1，∴点P的横坐标为53把x=53代入y=−4∴点P的坐标为5311．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，有一抛物线y=x24，直线y=kx（k≠0）与抛物线相交于点A，直线y=−（1）当k=2时，求A，B两点坐标．（2）在（1）的条件下，第一象限一点P在抛物线上，当SΔPAB=（3）试探究直线AB是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．【思路点拨】（1）当k=2时，联立y=x24和y=2x，可求出A点坐标，联立y=x2（2）先求出直线AB的解析式为y=12x+12．设P(m,m24)，过P点作PC⊥x轴，交直线AB于E点，则E(（3）由x24=kx得A(4k,4k2)，由x24=−3kx得【解题过程】（1）解：当k=2时，联立y=x得x1=0y∴A(8,16)．联立y=x得x1=0y∴B(−6,9)．（2）解：如图，过P点作PC⊥x轴，交直线AB于E点，设直线AB的表达式为y=kx+b，则8k+b=16−6k+b=9，解得k=∴AB：y=1设P(m,m24∴PE=m∵==7∴m∴m∴m①当m2解得m1=1+51②当m2解得m3=1+47∴P点的横坐标为1+51或1+（3）解：由x24=kx，得x∴A(4k,4k由x24=−3k∴B−设直线AB的解析式为y=mx+n，则4km+n=4k解得m=k−3k，∴直线AB的解析式为y=k−∴直线AB经过定点0,12．12．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+2ax−3a的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），C，D两点的坐标分别为−4,5（1）则点A坐标为；点B坐标为；（2）若二次函数y=ax2+2ax−3a的图象经过点C，点P是二次函数图象上x（3）若二次函数y=ax2+2ax−3a的图象与线段CD【思路点拨】（1）在y=ax2+2ax−3a中，令y=0得0=ax2（2）由二次函数y=ax2+2ax−3a的图象经过点C−4,5，求出a=54，设（3）分①当a>0时和②当a<0时两种情况分析即可；本题考查了二次函数的图象与性质，解一元二次方程，二次函数图象与线段的交点，二次函数最值问题，解题的关键是掌握知识点的应用及分类讨论思想和数形结合思想的应用．【解题过程】（1）在y=ax²+2ax−3a中，令y=0得0=ax解得x=−3或x=1，∴A−3,0故答案为：−3,0，（2）∵二次函数y=ax2+2ax−3a∴16a+2a×−4−3a=5，解得：∴二次函数解析式为y=5设Pm,由（1）得A−3,0∴AB=4，∵点P是二次函数图象上x轴下方一动点，∴△ABP面积为12∵−5∴当m=−1时，△ABP面积有最大值，为10；（3）∵y=ax∴抛物线y=ax2+2ax−3a的对称轴为直线x=−1，顶点坐标为−1,−4a①当a>0时，−3a<0，−4a<0，∴抛物线y=ax2+2ax−3a与y轴交点在D如图：在y=ax2+2ax−3a中，令x=−4∵C−4∴5a=5，即a=1时抛物线过点C，由图可知，当a≥1时，二次函数y=ax2+2ax−3a②当a<0时，若顶点在线段CD时，如图：此时−4a=5解得a=−5若顶点在直线y=5上方，即−4a>5时，如图：∵二次函数y=ax2+2ax−3a的图象与线段CD只有一个交点，C∴5a<5−3a>5解得a<−5此时满足−4a>5，∴a<−5综上所述，二次函数y=ax2+2ax−3a的图象与线段CD只有一个交点，a的取值范围是a≥1或a=−13．（2024·安徽六安·模拟预测）如图1，抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于点A，点B6,0（点A位于点B左侧），与（1）求b，（2）连接BC，点P是直线BC下方抛物线上的一点，连接AC，（ⅰ）如图2，AP与BC交于点M，若S△ACM−S（ⅱ）如图3，过点P作PQ∥AC交BC于点Q，连接AQ，求S△PAQ【思路点拨】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合应用，主要涉及了求二次函数解析式、利用面积的转化求三角形面积、在坐标系中求线段的长度，解题的关键是正确设出点的坐标，表示出线段长度．（1）由B点坐标和OB=OC可以求出c的值，再将点B6,0代入抛物线中即可求出b（2）（ⅰ）设点P的坐标为t,12t2−2t−6，再将S△ACM−S△PBM转化为S△ABC−S△ABP即可求出结果；（ⅱ）连接PC，过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点E，由PQ【解题过程】（1）解：∵B6,0∴OB=OC=6，∵点C位于原点下方，∴C0,−6∴c=−6，把点B6,0代入抛物线y=得0=1解得b=−2，故b，c的值分别为（2）（ⅰ）由（1）可知抛物线的解析式为y=1当y=0时，12解得x1∴A−2,0∴AB=6−−2设点P的坐标为t,12t则S△ACM整理，得t2解得t1=−22当t=22+2时，∴此时点P的坐标为22（ⅱ）如图，连接PC，过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点E，∵PQ∥∴S∴S设直线BC的解析式为y=kx+b，将点B6,0和点C0=6k+b−6=b∴直线BC的解析式为y=x−6，设点P的坐标为m,12m∴PE=m−6∴S∵−3∴当m=3时，S△PAQ+S14．（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于A−4,0，B2,0两点，直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点（1）求抛物线的解析式与直线l的解析式；（2）若P是抛物线上的点且在直线l的下方，连接PA，PD，当△PAD的面积最大时，求出点P的坐标及该面积的最大值；（3）若Q是y轴上的点，且∠ADQ=45°，请直接写出点Q的坐标【思路点拨】本题主要考查二次函数和一次函数的结合、等腰直角三角形的性质、坐标与图形等知识点，求得二次函数的性质和一次函数解析式是解题的关键．（1）利用待定系数法将点A、点B和点D代入y=ax（2）利用待定系数法求得直线AD的解析式为y=x+4，过点P作PH⊥x轴交AD于点H，设点Pn,n2+2n−8，则点（3）根据直线AD的解析式为y=x+4，求得点D0,4，则∠OAC=∠ACO=45°，分类讨论①若点Q位于直线AD上面；②若点Q位于直线AD【解题过程】（1）解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于A−4,0，∴0=16a−4b+c0=4a+2b+c7=9a+3b+c，解得则二次函数y=x（2）解：设直线AD的解析式为y=kx+bk≠0则0=−4k+b7=3k+b，解得k=1∴直线AD的解析式为y=x+4，过点P作PH⊥x轴交AD于点H，如图，设点Pn,n2∴S=−=−则当n=−12时，点P−12（3）解：①若点Q位于直线AD上面，如图：过点D作DQ⊥y轴交于点Q,∵∠ADQ=45°，∴∠DCQ=∠ADQ=45°，∴CQ=DQ,∵D3,7，∴CQ=DQ=3,∵直线AD的解析式为y=x+4，∴点C0,4，即OC=4∵A−4,0∴OA=4,∴AO=CO，根据题意设点Q0,m，则m=OC+CQ=4+3=7∴Q0,7②若点Q位于直线AD下面，∵∠ADQ=45°，∠OAC=45°，∴点Q位于与y轴平行的直线上，与题意矛盾，不符合题意．综上，点Q的坐标Q0,715．（2024·安徽合肥·三模）如图，已知抛物线y＝−x2+bx+c过点A−72,（1）求该抛物线的解析式；（2）点M是x轴上的一个动点，当MA+MC的值最小时，求点M的坐标；（3）如图2，连接AB，在AB上方的抛物线上是否存在一动点D，使△ABD面积取得最大值，若存在，求出D点坐标，并求△ABD的最大面积．【思路点拨】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求得直线A'C的解析式为y=2514x+4，又两点之间线段最短，得此时MA+MC取最小值，最小值为线段A（3）过点D作DE⊥x轴，交x轴于点E，过点A作AF⊥x轴，交x轴于点F．如图2所示．先求出直线AB的解析式为y=−12x+12．设点D的坐标为t,−t2−3t+4，则点【解题过程】（1）解：将点A−72,9−解得b=−3,∴该抛物线的解析式为y=−x（2）解：如图1，作A关于x轴对称点A'−72,−9y=−x2−3x+4中，令x=0∴C0设直线A'C的解析式为把A'−72,4=n−解得m=25∴直线A'C的解析式为∵两点之间线段最短，∴此时MA+MC取最小值，最小值为线段A'令y=0，25∴x=−56∴点M的坐标为−56（3）解：过点D作DE⊥x轴，交x轴于点E，过点A作AF⊥x轴，交x轴于点F．如图2所示．设直线AB的解析式为y=mx+n（m≠0），∵点A−72∴−72∴直线AB的解析式为y=−1∵该抛物线的解析式为y=−x∴设点D的坐标为t,−t∴点E的坐标为t,0，点F的坐标为−7∴S==−=−9∵−9∴当t=−54时，点D的坐标为−54,16．（2023·山东东营·二模）如图，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于A−1,0，B两点，与y（1）求抛物线的解析式．（2）点P是第三象限抛物线上一点，当△BCP的面积为12时，求P点坐标．（3）抛物线上是否存在点Q使得∠QCB=∠CBO？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）将A、C两点的坐标代入y=−12x2+bx+c（2）先求出B点的坐标为(4,0)，再求出BC的表达式为y=−12x+2．过P点做y轴的平行线交BC的延长线与M点，设P(m,−12m2+3（3）根据题意当点Q在第一象限时，利用二次函数的对称性求解；当点Q在第四象限时，设CQ与x轴交于点E，首先根据勾股定理求出点E的坐标，然后求出CE的解析式，最后联立直线CE和抛物线即可求出点Q的坐标．【解题过程】（1）解：将A(−1,0)，C(0,2)代入y=−1∴c=2−解得b=3∴抛物线的解析式y=−1（2）解：

由y=−1x1=−1，∵A(−1,0)，∴B(4,0)．设BC的表达式为：y=kx+b，则b=24k+b=0，解得k=−∴BC:y=−1过P点做y轴的平行线交BC的延长线与M点，设P(m,−12m则PM=−∵S△BCP∴12得PM=6，∴12解得m1=−2，∴P(−2,−3)．（3）解：存在，如图所示，当点Q在第一象限抛物线上时，∵∠QCB=∠CBO，∴CQ∥OB，∴点Q和点C关于对称轴对称，∵A−1,0，B∴抛物线的对称轴为x=−1+4∵C0,2∴点Q的坐标为3,2；如图所示，当点Q在第四象限的抛物线上时，设CQ与x轴交于点E．∵∠QCB=∠CBO，∴EC=EB，∴设EC=EB=x，∵C0,2，B∴OC=2，OE=4−x，∴在Rt△OEC中，O即22解得x=5∴OE=3∴E3∴设直线CE的解析式为y=k将C0,2，E32∴解得b1∴y=−4∴联立直线CE和抛物线得，y=−4∴解得x1=0（舍去0），∴将x2=173代入∴点Q的坐标为173综上所述，点Q的坐标为3,2或17317．（23-24九年级上·全国·开学考试）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象交x轴于点A，B（A在y轴右侧，B在y轴左侧），C为抛物线与y轴的交点，已知OC=3（1）求抛物线的解析式．（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得PO+PC的值最小，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．（3）若y=ax2+bx+c有最低点，点Q是直线AC下方的抛物线上的一个动点，求△ACQ【思路点拨】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点，配方法求二次函数的最大值，利用点Q和点F的坐标求得QF的长，从而得到△ACQ的面积与a的函数关系式是解题的关键．（1）由题意可求点A，点B，点C坐标，用待定系数法可求解析式；（2）先求出点O关于对称轴对称的点M坐标，连接MC，交对称轴于点P，用待定系数法可求CM解析式，即可求点P坐标；（3）设点Qa,a2−2a−3，则点Fa,a−3，求出QF【解题过程】（1）（1）∵OC=3，且OA=OC=3OB．∴OA=3，OB=1，且A在y轴右侧，B在y轴左侧，∴点A3,0，点B−1,0，点C设抛物线解析式为y=a(x−3)(x+1)，若点C0,−3∴−3=a×(−3)×1∴a=1，∴抛物线解析式为：y=(x−3)(x+1)=x若点C0,3∴3=a×(−3)×1∴a=−1，∴抛物线解析式为：y=−1×(x−3)(x+1)=−x（2）∵点A3,0，点B∴抛物线对称轴为直线x=1，∴点O0,0关于对称轴x=1的对称点为M连接MC，交直线x=1的交点为P点，∵点C0,3∴设直线MC解析式为y=kx+若C0,3，M2,0解得b则直线MC解析式为：y=−3∴当x=1时，y=∴点P1若点C0,−3同理可得直线EC解析式为：y=3∴当x=1时，y=−∴点P1,−（3）如图，过点Q作QE⊥AB，交AC于点F，∵若y=ax∴y=x∵点A3,0，点C∴直线AC的解析式y=x−3，设点Qa,a2∴QF=a−3−(a∴S∴当a=32时，△ACQ面积的最大值为27818．（23-24九年级下·重庆南岸·开学考试）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+6a≠0交x轴于A、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线x=−2，点B的坐标为（1）求抛物线的解析式；（2）动点P和动点Q同时出发，点P从点A以每秒2个单位长度的速度沿AC运动到点C，点Q从点C以每秒1个单位长度的速度沿CO运动到点O，连接PQ，当点P到达点C时，点Q停止运动，求S△CPQ的最大值及此时点P（3）将原抛物线沿射线CA方向平移22个单位长度，在平移后的抛物线的对称轴上存在点G，使得∠ACG=15°，请写出所有符合条件的点G【思路点拨】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的平移等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键（1）利用对称性求出点A的坐标，利用待定系数法解答即可；（2）求出OA=OC=6，得到∠CAO=45°，得到P2t−6,2t，（3）求出平移后的解析式为y=−12x+42=6，得到抛物线的对称轴为直线x=−4，分两种情况：当点G在直线AC【解题过程】（1）∵对称轴为直线x=−2，点B的坐标为2,0，∴A将点A和点B的坐标代入y=ax4a+2b+6=0解得a=−∴y=−（2）当x=0时，y=−∴点C的坐标为0,6，∴CO=6，∵A∴OA=OC=6，∴∠CAO=45°，∵点P从点A以每秒2个单位长度的速度沿AC运动到点C，∴AP=2t∴P2∵点Q从点C以每秒1个单位长度的速度沿CO运动到点O，∴CQ=t∴Q∴S△CPQ∴当t=322时，S△CPQ的最大值为9（3）∵原抛物线沿射线CA方向平移22∴抛物线向x轴负方向平移2个单位，向y轴负方向平移2个单位，∴平移后的解析式为y=−1∴抛物线的对称轴为直线x=−4当点G在直线AC下方时，如图1，设CG与x轴交于点E，∵∠ACE=15°，∠ACO=45°∴∠OCE=30°∴EO=2∴E−2设直线CE的解析式为y=kx+6∴0=−2∴k=∴直