2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第11讲第五章平面向量及解三角形章节验收测评卷(19题新题型)(学生版+解析)

第12讲第五章平面向量及解三角形章节验收测评卷（19题新题型）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列说法错误的是（

）A． B．，都是单位向量，则C．若，则 D．零向量方向任意2．（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（

）A． B． C． D．3．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知均为平面单位向量，若，则（

）A． B． C． D．4．（23-24高一下·浙江·阶段练习）已知的重心为O，若向量，则（

）A． B． C． D．5．（23-24高一下·重庆·阶段练习）碧津塔是著名景点·某同学为了浏量碧津塔的高，他在山下A处测得塔尖D的仰角为，再沿方向前进24.4米到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为，塔底点E的仰角为，那么碧津塔高约为（，）（

）A．37.54 B．38.23 C．39.53 D．40.526．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）如图，已知圆O的半径为2，弦长为圆O上一动点，则的取值范围为（

）11．（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）如图所示，在直角三角形中，是上一点，，，则下列说法中正确的有（

）A． B．C． D．三角形的面积三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（2024·全国·模拟预测）已知向量满足，向量在向量方向上的投影为，则实数的值为．13．（23-24高一下·云南·阶段练习）在中，为上一点，为的平分线，则．14．（23-24高一下·山东枣庄·阶段练习）如图，圆是的外接圆，，，，若，则的最大值是．四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，，，，且.(1)求的值；(2)求向量与向量夹角的余弦值.16．（2024·安徽阜阳·一模）在中，角的对边分别是，且．(1)求角的大小；(2)若，且，求的面积．17．（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）如图，在梯形中，，，，点分别为线段，上的三等分点，点是线段上的一点.(1)求的值；(2)求的值；(3)直线分别交线段于M，N两点，若B，N，D三点在同一直线上，求的值.18．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）约会“哈尔滨”，松花江北岸一方缤纷的冰雪童话世界永藏记忆.龙年春节初六24时，随着最后一名“小金豆”从超级大滑梯上滑下后走出大门，华丽缤纷的哈尔滨冰雪大世界正式闭园.游客从A处上至大滑梯顶端C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿电梯到B，然后从B沿直线步行到C，现有甲、乙两位游客从A处出发，甲沿匀速步行，速度为.在甲出发后，乙从A乘电梯到B，在B处停留后，再匀速步行到C，假设电梯匀速直线运动的速度为，长为，经测量得，.(1)求的长；(2)当乙在电梯上与甲的距离最短时，乙出发了多少min?(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过，问乙步行的速度应控制在什么范围内?19．（23-24高一下·重庆·阶段练习）将所有平面向量组成的集合记作，f是从到的映射，记作或，其中，，，，，都是实数．定义映射的模为：在的条件下的最大值，记作．若存在非零向量，及实数使得，则称为的一个特征值．(1)若，求；(2)若，计算的特征值并求出相应的；（若符合条件的向量有多个，写出其中一个即可）(3)若，要使有唯一的特征值，实数，，，应满足什么条件？试找出一个映射，满足以下两个条件：①有唯一的特征值；②，并验证满足这两个条件．第12讲第五章平面向量及解三角形章节验收测评卷（19题新题型）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列说法错误的是（

）A． B．，都是单位向量，则C．若，则 D．零向量方向任意【答案】C【分析】根据向量的相关定义即可结合选项逐一求解.【详解】对于A，，A正确，对于B,，是单位向量，则，B正确，对于C，向量有大小和方向，不可以比较大小，故C错误，对于D，零向量是模长为0，方向任意的向量，D正确，故选：C2．（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由正弦定理解三角形.【详解】中，由正弦定理，得.故选：A.3．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知均为平面单位向量，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将已知等式两边同时平方，得到，再由数量积公式得到，从而得到答案.【详解】两边同时平方得，则，解得，即，故选：B．4．（23-24高一下·浙江·阶段练习）已知的重心为O，若向量，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据三角形的重心性质，将表示为，对照系数即可求得.【详解】

如图，设E是的中点，由于O是三角形的重心，所以．则.故选:D．5．（23-24高一下·重庆·阶段练习）碧津塔是著名景点·某同学为了浏量碧津塔的高，他在山下A处测得塔尖D的仰角为，再沿方向前进24.4米到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为，塔底点E的仰角为，那么碧津塔高约为（，）（

）A．37.54 B．38.23 C．39.53 D．40.52【答案】B【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出，再结合直角三角形边角关系求解即得.【详解】在中，，则，，由正弦定理得，则，在中，，则，在中，，则，又，因此，，所以碧津塔高约为38.23米.故选：B6．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）如图，已知圆O的半径为2，弦长为圆O上一动点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据数量积的运算律得到，过点作的垂线，垂足为，则，结合图形分析临界情况，即可得解.【详解】依题意，，过点作的垂线，垂足为，则，当与圆相切时取到最大值与最小值，如图，根据对称性，以下对左侧图形进行分析，因为圆的半径为，弦长，所以为等边三角形，所以，连接，则，此时四边形为平行四边形，则，所以也为等边三角形，所以，，所以，此时，当点在右侧图形所示位置，同理可得，所以，所以．故选：D7．（23-24高一下·重庆·阶段练习）在中，，，则的形状为（

）A．直角三角形 B．三边均不相等的三角形C．等边三角形 D．等腰（非等边）三角形【答案】D【分析】结合条件利用数量积的运算律得，再根据数量积的定义求得，即可判断三角形的形状.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，即，又，所以，所以，所以为等腰非等边三角形.故选：D8．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用余弦定理求出，再由同角三角函数的基本关系求出，即可求出，最后由，利用两角和的正切公式计算可得.【详解】因为，即，由余弦定理得，又，所以，又，，所以，则，所以.故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．（23-24高一下·甘肃金昌·阶段练习）在中，角的对边分别为，则下列对的个数的判断正确的是（

）A．当时，有两解B．当时，有一解C．当时，无解D．当时，有两解【答案】AC【分析】由正弦定理对四个选项一一判断，得到答案.【详解】对于A，由正弦定理得，即，所以，又因为，所以或，有两解，故A正确；对于B，由正弦定理得，无解，故B错误；对于C，由正弦定理得，无解，故C正确；对于D，由正弦定理得，又，所以为锐角，此三角形只有一解，故D错误.故选：AC.10．（2024高一下·全国·专题练习）已知向量，则下列说法正确的是（

）A．的相反向量是B．若，则C．在上的投影向量为D．若，则【答案】AC【分析】根据相反向量定义以及投影向量的公式计算可以判断AC，计算，由向量垂直以及向量共线的运算法则计算可求出的值，从而判断BD.【详解】对于A，由相反向量的定义，即可得到的相反向量是，故A正确；对于B，因为，所以，又，且，所以，解得，故B错误；对于C，因为，所以，，所以在上的投影向量为，故C正确；对于D，因为，又，且，所以，解得，故D错误．故选：AC.11．（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）如图所示，在直角三角形中，是上一点，，，则下列说法中正确的有（

）A． B．C． D．三角形的面积【答案】ACD【分析】对于A，设表示出，利用，在三角形中，正弦定理求出的值，进而判断A；对于B，根据，即可判断B；由，判断C；利用，判断D.【详解】设，则在直角三角形中，，在三角形中，，根据正弦定理可得，即，得，所以，因为，即，所以，即，所以，对于A选项，，故A正确；对于B选项，因为，所以，所以，故B错误；对于C选项，因为，，所以由正弦定理得，所以，故C正确；对于D选项，因为，所以，所以，，故D正确，故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（2024·全国·模拟预测）已知向量满足，向量在向量方向上的投影为，则实数的值为．【答案】/【分析】由向量在向量方向上的投影为以及，计算的值，代入中，可求出的值.【详解】由题知，，，，．故答案为：13．（23-24高一下·云南·阶段练习）在中，为上一点，为的平分线，则．【答案】【分析】由余弦定理计算的长，依据三角形面积结合三角形面积公式可求出.【详解】由余弦定理可得，而，所以，整理可得：，解得或（舍），为的平分线，所以，因为，而，所以，解得．故答案为：14．（23-24高一下·山东枣庄·阶段练习）如图，圆是的外接圆，，，，若，则的最大值是．【答案】【分析】分别取的中点，连接，易得，，再根据，，分别求出，，从而可求出，再利用基本不等式即可得解.【详解】如图，分别取的中点，连接，则，故，，又，，所以，解得，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最大值是.故答案为：.【点睛】关键点点睛：先根据数量积的定义分别求出，，再根据，，分别求出，，求出，是解决本题的关键.四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，，，，且.(1)求的值；(2)求向量与向量夹角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意求出的坐标，由向量平行的判断方法可得关于的方程，即可得到结果；（2）设与的夹角为，由向量夹角公式计算即可得到结果.【详解】（1）因为，，，，则，因为，则有，解得.（2）可知，，设与的夹角为，则，所以，向量与向量夹角的余弦值为.16．（2024·安徽阜阳·一模）在中，角的对边分别是，且．(1)求角的大小；(2)若，且，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，由正弦定理边化角，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由余弦定理结合三角形的面积公式代入计算，即可得到结果.【详解】（1）因为，所以根据正弦定理得，因为，所以，即，即．因为，所以．因为，所以．（2）．因为，所以①．因为，所以②．联立①②可得，解得（负根舍去），故的面积为．17．（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）如图，在梯形中，，，，点分别为线段，上的三等分点，点是线段上的一点.(1)求的值；(2)求的值；(3)直线分别交线段于M，N两点，若B，N，D三点在同一直线上，求的值.【答案】(1)16(2)(3)【分析】（1）根据向量的线性运算，结合模长公式即可求解，（2）根据模长公式即可求解，（3）根据三点共线共线即可求解.【详解】（1）设，，，，即．（2），．（3）连接三点共线，，为的中点，．(3)到之间（含端点值）【分析】（1）利用和余弦差公式求出每个角的正弦和余弦值，然后通过正弦定理即可求出的长；（2）设从乙开始出发经过了分钟后，甲乙两人分别在点处，即可得到米，米，然后使用余弦定理即可将表示为关于的函数，再研究该函数的最小值点即可；（3）设乙步行时每分钟走米，然后分别计算出甲乙两人到点时的取值，由条件知甲乙两人到点时的取值之差的绝对值不超过，从而得到关于的不等式.最后解该不等式即可得到所求范围.【详解】（1）我们记，，，根据条件有，，.这意味着，，从而，故.所以由正弦定理有.（2）设从乙开始出发经过了分钟后，甲乙两人分别在点处，则米，米.同时，乙在电梯上的时间段对应，即.由余弦定理知：，当且仅当时等号成立.所以当时最短，从而当乙在电梯上与甲的距离最短时，乙出发了.（3）首先由正弦定理有.当甲到达点时，有，即.设乙