人教版2024-2025学年八年级数学专题11.2与三角形有关角的综合(压轴题专项讲练)专题特训(学生版+解析)

专题11.2与三角形有关角的综合思维方法思维方法正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则：1.不重（互斥性）不漏（完备性）；2.按同一标准划分（同一性）；3.逐级分类（逐级性）。知识点总结知识点总结一、三角形的内角及内角和定理1.三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．2.三角形内角和定理：三角形内角和是180°．二、三角形的外角性质1.三角形的外角和为360°；2.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；3.三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．典例分析典例分析【典例1】在△ABC中，∠C=60°，点D，E分别是△ABC边AC，BC上的点，点P是一动点，令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．【问题初探】（1）如图1，若点P在线段AB上，且∠α=60°，则∠1+∠2=______°；（2）如图2，若点P在线段AB上运动，则∠1，∠2，∠α之间的数量关系为______；【问题再探】（3）如图3，若点P在线段AB的延长线上运动，求∠1，∠2，∠α之间的数量关系；（4）如图4，若点P运动到△ABC的内部，求∠1，∠2，∠α之间的数量关系．【问题解决】（5）若点P运动到△ABC的外部，且满足与点A分别居于直线BC的两侧时，请直接写出此时∠1，∠2，∠α之间的数量关系．【思路点拨】本题主要考查了三角形内角和定理，解题关键是正确识别图形，找出相关角与角之间的关系．（1）（2）均先根据三角形内角和定理求出∠A+∠B和∠APD+∠BPE，再根据∠A+∠1+∠APD=∠B+∠2+∠BPE=180°求出∠A+∠1+∠APD+∠B+∠2+∠BPE=360°，从而求出答案即可；（3）先根据三角形内角和定理求出∠A+∠ABC和∠3，∠4，再根据∠A+∠ABC+∠1+∠4=360°，从而求出答案即可；（4）先根据三角形内角和定理求出∠A+∠ABC，再根据五边形内角和公式求出∠A+∠B+∠1+∠2+∠α=540°，从而得到答案即可；（5）分三种情况讨论：①在线段AB的延长线上，②不在线段AB的延长线上，③当点P在AC延长线上，分别画出图形进行解答即可．【解题过程】解：（1）∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=60°，∴∠A+∠B=180°−60°=120°，∵∠APD+∠α+∠BPE=180°，∠α=60°，∴∠APD+∠BPE=120°，∵∠A+∠1+∠APD=∠B+∠2+∠BPE=180°，∴∠A+∠1+∠APD+∠B+∠2+∠BPE=360°，∠A+∠B+∠APD+∠BPE+∠1+∠2=360°，∴∠1+∠2=360°−120°−120°=120°，故答案为：120；（2）∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=60°，∴∠A+∠B=180°−60°=120°，∵∠APD+∠α+∠BPE=180°，∴∠APD+∠BPE=180°−∠α，∵∠A+∠1+∠APD=∠B+∠2+∠BPE=180°，∴∠A+∠1+∠APD+∠B+∠2+∠BPE=360°，∠A+∠B+∠APD+∠BPE+∠1+∠2=360°，∴∠1+∠2=360°−120°−180°+∠α=60°+∠α，故答案为：∠1+∠2=60°+∠α；（3）如图所示：∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∠C=60°，∴∠A+∠ABC=180°−60°=120°，∵∠3+∠2+∠α=180°，∴∠3=∠4=180°−∠2−∠α，∵∠A+∠ABC+∠1+∠4=360°，∴120°+∠1+180°−∠2−∠α=360°，∴∠1−∠2=60°+∠α；（4）∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=60°，∴∠A+∠B=180°−60°=120°，∵五边形ABEPF的内角和为5−2×180°=540°∴∠A+∠B+∠1+∠2+∠α=540°，∴∠1+∠2=540°−120°−∠α，即∠1+∠2=420°−∠α；（5）由题意可知点P的位置可能两种情况，①在线段AB的延长线上，如（3）∠1，∠2，∠α之间的数量关系为：∠1−∠2=60°+∠α；②不在线段AB的延长线上，有两种情况第一种如图所示：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=60°，∴∠A+∠B=180°−60°=120°，∵∠3+∠2+∠α=180°，∴∠3=∠4=180°−∠2−∠α，∵∠A+∠B+∠1+∠4=360°，∴120°+∠1+180°−∠2−∠α=360°，∴∠1−∠2=60°+∠α，第二种如图所示：∵∠COD=∠POE，∴180°−60°−∴∠1−∠2=60°−∠α．③当点P在AC延长线上时，如图：∠PDA=∠1=180°,∠PEB=∠2,∠DPE=∠α，∵∠PCE+∠PEC+∠P=180°，∴180°−60°∴300°−∠2+∠α=∠1，∴∠1+∠2=300°+∠α；∴若点P运动到△ABC的外部，且满足与点A分别居于直线BC的两侧时，∠1，∠2，∠α之间的数量关系为：∠1−∠2=60°+∠α；∠1−∠2=60°−α；∠1+∠2=300°+∠α．学霸必刷学霸必刷1．（2023上·天津东丽·八年级校联考期中）如图，已知∠ABC=110°，AE平分∠BAD，CE平分∠DCB，CE的延长线交AB于点F，设∠AEF=α，∠ADC=β，则下列关系正确的是（）

A．β=110°+2a B．β=220°−2aC．β=110°+a D．β=250°−2a2．（2023上·江西南昌·八年级校考阶段练习）如图，∠ABC=∠ACB，BD，CD，AD分别平分△ABC的内角∠ABC，外角∠ACF，外角∠EAC．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③∠BDC=12∠BAC；④∠ADC=90°−∠ABD

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个3．（2023下·福建福州·七年级校考期末）如图，在ΔABC，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE=∠F；②2∠BEF=∠BAF+∠C；③∠F=12

A．1 B．2 C．3 D．44．（2023下·河北保定·七年级统考期末）如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线，CA2是∠A1CD

5．（2024上·福建三明·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的角平分线和高线，点F在BC延长线上，FH⊥AD，交AE于点G，交AB于点H．给出下列结论：①∠DAE=∠F；②∠ACF=2∠F+∠ADF；③∠AGF=∠ADB；④∠ACB=2∠F+∠B．其中结论正确的为．（填序号）．6．（2023上·吉林·八年级阶段练习）【题目】如图①：根据图形填空：（1）∠1=∠C+，∠2=∠B+；（2）∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=______+∠1+∠2=；【应用】（3）如图②．求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；【拓展】（4）如图③，若∠BGF=110°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的大小为______度．7．（2023上·山西大同·八年级统考阶段练习）综合与探究

（1）如图1，将△ABC沿着DE第一次折叠，顶点B落在△ABC的内部点O处，试探究∠1+∠2与∠B之间的数量关系，并说明理由．（2）如图2，将△ABC沿着FG第二次折叠，顶点C恰好与点O重合，若∠A=85°，∠5=62°，求∠1+∠3的度数．（3）如图3，将△ABC沿着GH第三次折叠，顶点A恰好与点O重合，若∠A=α，∠5=β，用含α，β的代数式表示∠6−∠1+∠AGO8．（2023上·全国·八年级期末）（1）如图，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点A1处，试探究∠1、∠2与∠A（2）如图2，若∠1=140°,∠2=80°，作∠ABC的平分线BN，与∠ACB的外角平分线CN交于点N，求∠BNC的度数；（3）如图3，若点A1落在△ABC内部，作∠ABC，∠ACB的平分线交于点A1，此时∠1,∠2,

9．（2024上·辽宁阜新·八年级统考期末）我们把有一组对顶角的两个三角形组成的图形叫做“8”字图形，如图1，AD，BC相交于点O，连接AB，CD得到“8”字图形ABDC．（1）如图1，试说明∠A+∠B=∠C+∠D的理由；（2）如图2，∠ABC和∠ADC的平分线相交于点E，利用（1）中的结论探索∠E与∠A、∠C间的关系；（3）如图3，点E为CD延长线上一点，BQ、DP分别是∠ABC、∠ADE的四等分线，且∠CBQ=14∠ABC，∠EDP=14∠ADE，QB的延长线与DP交于点P，请探索10．（2023下·湖北·七年级统考期末）在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是线段AC上的动点（不与点D重合），过点E作EF∥BC交射线BD于点F，∠CEF的平分线所在直线与射线BD交于点G．（1）如图，点E在线段AD上运动．①若∠ABC=40°，∠C=60°，则∠A的度数是；∠EFB的度数是②探究∠BGE与∠A之间的数量关系，并说明理由；（2）若点E在线段DC上运动时，请直接写出∠BGE与∠A之间的数量关系．11．（2023上·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中∠A=60°．

（1）∠ABC，∠ACB的角平分线相交于点P，求（2）∠ABC，∠ACB的三等分线分别相交于点P1（3）∠ABC，∠ACB的n等分线分别相交于点P1,P2,…Pn−1，则∠BP1C=________（结果用含n的式子表示），12．（2024上·山东潍坊·八年级统考期末）已知ABCD为四边形，点E为边AB延长线上一点．【探究】（1）如图1，∠ADC=110°,∠BCD=120°,∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB=______°；（2）如图2，∠ADC=α,∠BCD=β，且α+β>180°,∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB=______；（用α,β表示）（3）如图3，∠ADC=α,∠BCD=β，当∠DAB和∠CBE的平分线AG,BH平行时，α,β应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论．【挑战】如果将（2）中的条件α+β>180°改为α+β<180°，再分别作∠DAB和∠CBE的平分线，若两平分线所在的直线交于点F，则∠AFB与α,β有怎样的数量关系？请画出图形并直接写出结论．13．（2024上·广东肇庆·八年级校考期末）【问题】如图①，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，若∠A=82°，则∠BEC=____________；若∠A=a°，则∠BEC=____________．

【探究】（1）如图②，在△ABC中，BD、BE三等分∠ABC，CD、CE三等分∠ACB，若∠A=a°，则∠BEC=____________；（2）如图③，O是∠ABC与外角的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC和∠A有怎样的关系？请说明理由；（3）如图④，O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．14．（2023下·福建泉州·七年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P，△ABC的外角∠MBC与∠NCB的平分线交于点Q，延长线段BP，QC交于点E．（1）若∠A=30°，求∠BPC的度数；（2）探究∠BPC与∠Q之间的数量关系，并证明；（3）在△BQE中，若存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A的度数．15．（2023上·全国·八年级专题练习）在△ABC中，AD是角平分线．∠B<∠C．

（1）如图（1），AE是高，∠B=35°，∠C=65°，求∠DAE的度数；（2）如图（2），点E在AD上，EF⊥BC于F，试探究∠DEF与∠B、∠C的大小关系，并证明你的结论（提示：过点A作AG⊥BC于G）；（3）如图（3），点E在AD的延长线上．EF⊥BC于F，试探究∠DEF与∠B、∠C的大小关系是______．（直接写出结论，不需证明）16．（2023下·福建莆田·七年级校联考期中）李强将一个含有30°角的三角板ABC（∠A=30°，∠C=90°，∠B=60°）放置在互相平行的直线MN和（1）将三角板ABC如图1放置，BC交MN于点E，AC交PQ于点F，AB分别交MN、PQ于点D、G.①写出∠NEC与∠QFC的数量关系；

②写出∠NEB与∠QGB的数量关系；（2）如图2，K为AC上一点，连点EK，若∠NEC=∠KEC，试探究∠MEK与∠PFA之间的关系，并说明理由.（3）旋转三角板ABC至如图3所示位置，K为AC上一点，连DK，若∠ADM=15∠ADK，则∠NDK∠QFC=

17．（2023上·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考阶段练习）定义：如果三角形的两个内角α与β满足α+2β=100°，那么称这样的三角形为“微妙三角形”，从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中有一个是“微妙三角形”，我们就把这条线段叫做这个三角形的“微妙分割线”．理解概念：（1）如图①，在△ABC中，∠C=80°，BD平分∠ABC．求证：△ABD为“微妙三角形”；概念应用：（2）若△ABC为“微妙三角形”，且∠C=80°．试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如图②，在△ABC中，若∠A=40°，BD平分∠ABC，且BD是△ABC的“微妙分割线”，请直接写出∠ABC的度数．18．（2023下·江苏泰州·七年级校考期中）我们曾经研究过内外角平分线夹角问题．小聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：

（1）【问题再现】如图（1），若∠MON=90°，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合），BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线交∠BAO的平分线于点D．则∠D=（2）【问题推广】①如图（2），若∠MON=α(0°<α<180°)，（1）中的其余条件不变，则∠D=°（用含α的代数式表示）②如图（2），∠MON=α(0°<α<180°)，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合），点E是OB上一动点，BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与射线AE交于点D，若∠D=12α（3）【拓展提升】如图（3），若∠NBC=1m∠ABN，∠DAO=1m∠BAO，试探索19．（2023上·全国·八年级专题练习）阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角α的度数是另一个内角度数的2倍，那么这样的三角形我们称为“优雅三角形”，其中α称为“优雅角”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是50°、100°、30°，这个三角形就是“优雅三角形”，其中“优雅角”为100°．反之，若一个三角形是“优雅三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角α的度数是另一个内角度数的2倍．

（1）一个“优雅三角形”的一个内角为120°，若“优雅角”为锐角，则这个“优雅角”的度数为．（2）如图1，已知∠MON=60°，在射线OM上取一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点画射线交线段OB于点C（点C不与点O、点B重合）．若△AOC是“优雅三角形”，求∠ACB的度数．（3）如图2，△ABC中，点D在边BC上，DE平分∠ADB交AB于点E，F为线段AD上一点，且∠AFE+∠ADC=180°，∠FED=∠C．若△ADC是“优雅三角形”，求∠C的度数．20．（2023上·江西南昌·八年级校考阶段练习）【概念认识】如图①，在∠ABC中，若∠ABD=∠DBE=∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”，其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．

（1）【问题解决】如图②，在△ABC中，∠A=70°，∠B=50°，若∠C的三分线CD交AB于点D，则∠BDC=________．（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，且BP⊥CP，求∠A的度数．（3）【延伸推广】在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A=m，∠B=n，并且m>n．直接写出∠BPC的度数．（用含m、n的代数式表示）专题11.2与三角形有关角的综合思维方法思维方法正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则：1.不重（互斥性）不漏（完备性）；2.按同一标准划分（同一性）；3.逐级分类（逐级性）。知识点总结知识点总结一、三角形的内角及内角和定理1.三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．2.三角形内角和定理：三角形内角和是180°．二、三角形的外角性质1.三角形的外角和为360°；2.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；3.三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．典例分析典例分析【典例1】在△ABC中，∠C=60°，点D，E分别是△ABC边AC，BC上的点，点P是一动点，令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．【问题初探】（1）如图1，若点P在线段AB上，且∠α=60°，则∠1+∠2=______°；（2）如图2，若点P在线段AB上运动，则∠1，∠2，∠α之间的数量关系为______；【问题再探】（3）如图3，若点P在线段AB的延长线上运动，求∠1，∠2，∠α之间的数量关系；（4）如图4，若点P运动到△ABC的内部，求∠1，∠2，∠α之间的数量关系．【问题解决】（5）若点P运动到△ABC的外部，且满足与点A分别居于直线BC的两侧时，请直接写出此时∠1，∠2，∠α之间的数量关系．【思路点拨】本题主要考查了三角形内角和定理，解题关键是正确识别图形，找出相关角与角之间的关系．（1）（2）均先根据三角形内角和定理求出∠A+∠B和∠APD+∠BPE，再根据∠A+∠1+∠APD=∠B+∠2+∠BPE=180°求出∠A+∠1+∠APD+∠B+∠2+∠BPE=360°，从而求出答案即可；（3）先根据三角形内角和定理求出∠A+∠ABC和∠3，∠4，再根据∠A+∠ABC+∠1+∠4=360°，从而求出答案即可；（4）先根据三角形内角和定理求出∠A+∠ABC，再根据五边形内角和公式求出∠A+∠B+∠1+∠2+∠α=540°，从而得到答案即可；（5）分三种情况讨论：①在线段AB的延长线上，②不在线段AB的延长线上，③当点P在AC延长线上，分别画出图形进行解答即可．【解题过程】解：（1）∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=60°，∴∠A+∠B=180°−60°=120°，∵∠APD+∠α+∠BPE=180°，∠α=60°，∴∠APD+∠BPE=120°，∵∠A+∠1+∠APD=∠B+∠2+∠BPE=180°，∴∠A+∠1+∠APD+∠B+∠2+∠BPE=360°，∠A+∠B+∠APD+∠BPE+∠1+∠2=360°，∴∠1+∠2=360°−120°−120°=120°，故答案为：120；（2）∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=60°，∴∠A+∠B=180°−60°=120°，∵∠APD+∠α+∠BPE=180°，∴∠APD+∠BPE=180°−∠α，∵∠A+∠1+∠APD=∠B+∠2+∠BPE=180°，∴∠A+∠1+∠APD+∠B+∠2+∠BPE=360°，∠A+∠B+∠APD+∠BPE+∠1+∠2=360°，∴∠1+∠2=360°−120°−180°+∠α=60°+∠α，故答案为：∠1+∠2=60°+∠α；（3）如图所示：∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∠C=60°，∴∠A+∠ABC=180°−60°=120°，∵∠3+∠2+∠α=180°，∴∠3=∠4=180°−∠2−∠α，∵∠A+∠ABC+∠1+∠4=360°，∴120°+∠1+180°−∠2−∠α=360°，∴∠1−∠2=60°+∠α；（4）∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=60°，∴∠A+∠B=180°−60°=120°，∵五边形ABEPF的内角和为5−2×180°=540°∴∠A+∠B+∠1+∠2+∠α=540°，∴∠1+∠2=540°−120°−∠α，即∠1+∠2=420°−∠α；（5）由题意可知点P的位置可能两种情况，①在线段AB的延长线上，如（3）∠1，∠2，∠α之间的数量关系为：∠1−∠2=60°+∠α；②不在线段AB的延长线上，有两种情况第一种如图所示：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=60°，∴∠A+∠B=180°−60°=120°，∵∠3+∠2+∠α=180°，∴∠3=∠4=180°−∠2−∠α，∵∠A+∠B+∠1+∠4=360°，∴120°+∠1+180°−∠2−∠α=360°，∴∠1−∠2=60°+∠α，第二种如图所示：∵∠COD=∠POE，∴180°−60°−∴∠1−∠2=60°−∠α．③当点P在AC延长线上时，如图：∠PDA=∠1=180°,∠PEB=∠2,∠DPE=∠α，∵∠PCE+∠PEC+∠P=180°，∴180°−60°∴300°−∠2+∠α=∠1，∴∠1+∠2=300°+∠α；∴若点P运动到△ABC的外部，且满足与点A分别居于直线BC的两侧时，∠1，∠2，∠α之间的数量关系为：∠1−∠2=60°+∠α；∠1−∠2=60°−α；∠1+∠2=300°+∠α．学霸必刷学霸必刷1．（2023上·天津东丽·八年级校联考期中）如图，已知∠ABC=110°，AE平分∠BAD，CE平分∠DCB，CE的延长线交AB于点F，设∠AEF=α，∠ADC=β，则下列关系正确的是（）

A．β=110°+2a B．β=220°−2aC．β=110°+a D．β=250°−2a【思路点拨】延长AD交BC于点G，设∠BAD的度数为2x，∠DCB的度数为2y，通过角平分线的定义和三角形外角的性质得到x+y=β−110°2之间的关系，在根据三角形内角和得到∠B+∠BFC+∠BCF=180°，将【解题过程】解：如图，延长AD交BC于点G，

设∠BAD的度数为2x，∠DCB的度数为2y，∵AE平分∠BAD，CE平分∠DCB，∴∠EAF=1∵∠ADC=β，∴∠DGC=∠ADC−∠DCG=β−2y，∴∠BGD=180°−∠DGC=180°−β+2y，在△BAG中，∠B+∠BAG+∠BGA=110°+2x+180°−β+2y=180°，∴x+y=β−110°∵∠AEF=α，∴∠CFB=∠FAE+∠AEF=x+α，在△BFC中，∠BFC+∠FBC+∠B=x+α+y+110°=180°，将x+y=β−110°2代入可得整理得β=250°−2a，故选：D．2．（2023上·江西南昌·八年级校考阶段练习）如图，∠ABC=∠ACB，BD，CD，AD分别平分△ABC的内角∠ABC，外角∠ACF，外角∠EAC．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③∠BDC=12∠BAC；④∠ADC=90°−∠ABD

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【思路点拨】根据角平分线的定义，三角形内角和定理以及三角形外角的性质对选项逐个判断即可．【解题过程】解：∵AD平分∠EAC∴∠EAC=2∠EAD∵∠EAC=∠ABC+∠ACB，∠ABC=∠ACB∴∠EAC=2∠ABC∴∠EAD=∠ABC∴AD∥∵AD∴∠ADB=∠DBC，∵BD平分∠ABC，∠ABC=∠ACB∴∠ABC=∠ACB=2∠DBC=2∠ADB，②正确；∵∠DCF+∠ACD+∠ACB=180°∴2∠DCF+∠ACB=180∵∠BDC+∠DBC=∠DCF∴2∠BDC+2∠DBC+∠ACB=∴∴∠ABC+2∠BDC+∠ACB=∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=∴∠BAC=2∠BDC∴∠BDC=1∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC∵AD∴∠ADB=∠DBC∴∠ABD=∠ADB∵CD平分∠ACF∴∠ACF=2∠DCF∵∠ADB+∠CDB=∠DCF，2∠DCF+∠ACB=∴2∠DCF+∠ABC=2∠DCF+2∠ABD=∴∠DCF+∠ABD=∴∠ADB+∠CDB+∠ADB=∴∠ABD=45∵AD∴∠DCF=∠ADC∵∠DCF+∠ABD=90∴∠ADC+∠ABD=90°即∠ADC=90°−∠ABD，④正确；正确的个数为5故选：D3．（2023下·福建福州·七年级校考期末）如图，在ΔABC，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE=∠F；②2∠BEF=∠BAF+∠C；③∠F=12

A．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】①根据BD⊥AC，FH⊥BE，以及∠FGD=∠BGH即可推出∠DBE=∠F；②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明即可；③证明∠ABD=90°−∠BAC，由①知：∠DBE=∠F即可证明∠F=12(∠BAC−∠C)；④由同角的余角相等证明∠BGH=∠BED【解题过程】解：∵BD⊥AC，∴∠F+∠FGD=90°．∵FH⊥BE，∴∠DBE+∠BGH=90°．∵∠FGD=∠BGH，∴∠DBE=∠F．故①正确；∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE=1∵∠BEF=∠CBE+∠C，∴2∠BEF=2∠CBE+∠C∵∠BAF=∠ABC+∠C，∴2∠BEF=∠BAF+∠C．故②正确；∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=1∵BD⊥AC，∴∠ABD=90°−∠BAC．∴∠DBE=∠ABE−∠ABD=90°−由①知：∠DBE=∠F，∴∠F=1故③正确；∵BD⊥AC，FH⊥BE，∴∠BGH+∠DBE=90°，∠BED+∠DBE=90°．∴∠BGH=∠BED=∠CBE+∠C．∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠BGH=∠ABE+∠C．故④正确；综上可知，正确的有①②③④，共4个，故选D．4．（2023下·河北保定·七年级统考期末）如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线，CA2是∠A1CD

【思路点拨】根据角平分线的定义可得∠A1BD=12∠ABC，∠A【解题过程】解：∵BA1和CA∴∠A1BD=又∵∠ACD=∠ABC+∠A，∠A∴1∴∠A同理可得：∠A∠A3=则A2023∵∠A=α∴∠A故答案为：125．（2024上·福建三明·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的角平分线和高线，点F在BC延长线上，FH⊥AD，交AE于点G，交AB于点H．给出下列结论：①∠DAE=∠F；②∠ACF=2∠F+∠ADF；③∠AGF=∠ADB；④∠ACB=2∠F+∠B．其中结论正确的为．（填序号）．【思路点拨】对于①，根据直角三角形的性质及同角的余角相等，即可判断结果；对于②，通过举反例“当∠B=40°，∠ACB=60°时，∠ACF≠2∠F+∠ADF．”计算可得②的结论不成立；对于③，根据三角形的外角性质，即可判断结果；对于④，根据AD是△ABC的角平分线，FH⊥AD，可得∠AHN=∠AMN，再利用三角形的外角性质，可逐步推得结论成立．【解题过程】解：对于①，∵AE是△ABC的高线，∴∠AED=90°，∴∠DAE+∠ADE=90°，∵FH⊥AD，∴∠F+∠ADE=90°，∴∠DAE=∠F，∴①正确；对于②，举反例，当∠B=40°，∠ACB=60°时，∠ACF≠2∠F+∠ADF．理由如下：当∠B=40°，∠ACB=60°时，∠BAC=180°−40°−60°=80°，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠DAC=1∵∠AED=90°，∴∠CAE=90°−∠ACB=30°，∴∠DAE=∠DAC−∠CAE=50°−30°=20°，∵∠AED=90°，∵∠ADF=180°−∠CAD−∠ACB=70°，∠F+∠ADF=90°，∴∠F=90°−∠ADF=20°，∴2∠F+∠ADF=110°，而∠ACF=180°−∠ACB=120°，∴∠ACF≠2∠F+∠ADF，∴②错误；对于③，∵∠AGF是△GEF的外角，∴∠AGF=∠GEF+∠F=90°+∠F，∵∠ADB是△ADE的外角，∴∠ADB=∠DAE+∠AED=90°+∠DAE，而由①知∠DAE=∠F，∴∠ADB=90°+∠F，∴∠AGF=∠ADB，∴③正确；对于④，设FH与AC交于点M，与AD交于点N，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠HAN=∠MAN，∵∠ANH=∠ANM=90°，∴∠AHN=∠AMN，又∵∠AHN=∠B+∠F，∠ACB=∠CMF+∠F=∠AMN+∠F，∴∠ACB=∠B+∠F+∠F=2∠F+∠B，∴④正确．故答案为：①③④．6．（2023上·吉林·八年级阶段练习）【题目】如图①：根据图形填空：（1）∠1=∠C+，∠2=∠B+；（2）∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=______+∠1+∠2=；【应用】（3）如图②．求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；【拓展】（4）如图③，若∠BGF=110°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的大小为______度．【思路点拨】本题考查了多边形的外角和以及外角和的求法，熟练掌握三角形外角性质是解答本题的关键．（1）利用三角形外角性质即可求出；（2）根据外角性质，将∠A+∠B+∠C+∠D+∠E转化到一个三角形内计算即可；（3）利用三角形外角性质将∠A+∠B+∠C+∠D+∠E转化到一个三角形中，再根据三角形内角和180°即可得到结果；（4）利用外角套外角可得∠BGF=∠B+∠BDF+∠F，∠CGE=∠A+∠C+∠E，根据对顶角相等，即可计算出结果．【解题过程】解：（1）∵∠1是三角形的外角，∴∠1=∠C+∠E，∵∠2是三角形的外角，∴∠2=∠B+∠D．故答案为：∠E，∠D．（2）∵∠1=∠C+∠E，∠2=∠B+∠D，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠1+∠2=180°，故答案为：∠A；180°．（3）∵∠AFG=∠C+∠E，∠AGF=∠B+∠D，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠AFG+∠AGF=180°；（4）如图，连接DG并延长，

根据三角形外角性质可得：∠BGF=∠BGK+∠FGK=∠B+∠BDK+∠FDK+∠F=∠B+∠BDF+∠F，同理可得：∠CGE=∠C+∠A+∠E，∵∠BGF=∠CGE=110°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BGF+∠CGE=220°，故答案为：220°．7．（2023上·山西大同·八年级统考阶段练习）综合与探究

（1）如图1，将△ABC沿着DE第一次折叠，顶点B落在△ABC的内部点O处，试探究∠1+∠2与∠B之间的数量关系，并说明理由．（2）如图2，将△ABC沿着FG第二次折叠，顶点C恰好与点O重合，若∠A=85°，∠5=62°，求∠1+∠3的度数．（3）如图3，将△ABC沿着GH第三次折叠，顶点A恰好与点O重合，若∠A=α，∠5=β，用含α，β的代数式表示∠6−∠1+∠AGO【思路点拨】（1）由折叠的性质得出∠BDE=∠ODE，∠BED=∠OED，由平角的定义及三角形内角和定理可得出答案；（2）由（1）可知∠1+∠2=2∠B，∠3+∠4=2∠C，求出∠2+∠4=180°−∠5°=180°−62°=118°，则可得出答案；（3）由（2）可知∠1+∠2=2∠B，∠AGO+∠4=2∠C，求出∠1+∠AGO=180°−2α+β，由周角的定义求出∠6=180°−β，则可得出答案．【解题过程】（1）∠1+∠2=2∠B．理由：由折叠得：∠BDE=∠ODE，∠BED=∠OED，∵∠ADB+∠BEC=360°，∴∠1+∠2=360°−∠BDE−∠ODE−∠BED−∠OED=360°−2∠BDE−2∠BED，∴∠1+∠2=2(180°−∠BDE−∠BED)=2∠B；（2）由（1）可知∠1+∠2=2∠B，∠3+∠4=2∠C，∴∠1+∠2+∠3+∠4=2∠B+2∠C，∵∠A=85°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=2(180°−85°)=190°，∵∠5=62°，∴∠2+∠4=180°−∠5°=180°−62°=118°，∴∠1+∠3=190°−118°=72°；（3）由（2）可知∠1+∠2=2∠B，∠AGO+∠4=2∠C，∴∠1+∠AGO=2∠B+2∠C−(∠2+∠4)，∵∠A=α，∠5=β，∴∠1+∠AGO=2(180°−α)−(180°−β)=180°−2α+β，又∵∠6=360°−∠DOE−∠5−∠GOF−∠GOH=360°−∠B−∠C−∠5−α=360°−(180°−α)−β−α=180°+α−β−α=180°−β，∴∠6−(∠1+∠AGO)=180°−β−(180°−2α+β)=2α−2β．8．（2023上·全国·八年级期末）（1）如图，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点A1处，试探究∠1、∠2与∠A（2）如图2，若∠1=140°,∠2=80°，作∠ABC的平分线BN，与∠ACB的外角平分线CN交于点N，求∠BNC的度数；（3）如图3，若点A1落在△ABC内部，作∠ABC，∠ACB的平分线交于点A1，此时∠1,∠2,

【思路点拨】（1）由折叠的性质可知∠A=∠A1，根据外角定理得到∠1=∠A+∠AMD，∠AMD=∠A（2）先根据（1）的结论求出得到∠A=30°，再由角平分线的定义得到∠NBC=12∠ABC（3）由折叠的性质可知∠AED=∠A1ED,∠ADE=∠A1DE，根据三角形内角和定理证明∠1+∠2=2∠A，根据角平分线的性质得到∠ABC=2∠A【解题过程】解：（1）∠1=2∠A+∠2，理由如下：如图1，AC与DA1交于点

由折叠的性质可知∠A=∠A∵∠1为△ADM外角，∴∠1=∠A+∠AMD，∵∠AMD为△EMA∴∠AMD=∠A∴∠1=∠A+∠A（2）由（1）得∠1=2∠A+∠2，∵∠1=140°,∠2=80°，∴2∠A+80°=140°，∴∠A=30°,∵∠ABC的平分线BN，与∠ACB的外角平分线CN交于点N，∴∠NBC=1∵∠NCH为△NBC的外角，∠ACH为△ABC的外角，∴∠N=∠NCH−∠NBC=1（3）解：∠1+∠2=4∠BA由折叠的性质可知∠AED=∠A∴∠1=180°−∠ADA1=180°−2∠ADE∴∠1+∠2=360°−2∠ADE−2∠AED=360°−2∠ADE+∠AED∵∠ADE+∠AED=180°−∠A，∴∠1+∠2=360°−2180°−∠A∵∠ABC,∠ACB的平分线交于点A1∴∠ABC=2∠A1BC∵∠ABC+∠ACB=2∠∴∠A=180°−∠ABC+∠ACB∴∠1+∠2=2∠A=22∠B9．（2024上·辽宁阜新·八年级统考期末）我们把有一组对顶角的两个三角形组成的图形叫做“8”字图形，如图1，AD，BC相交于点O，连接AB，CD得到“8”字图形ABDC．（1）如图1，试说明∠A+∠B=∠C+∠D的理由；（2）如图2，∠ABC和∠ADC的平分线相交于点E，利用（1）中的结论探索∠E与∠A、∠C间的关系；（3）如图3，点E为CD延长线上一点，BQ、DP分别是∠ABC、∠ADE的四等分线，且∠CBQ=14∠ABC，∠EDP=14∠ADE，QB的延长线与DP交于点P，请探索【思路点拨】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题关键；（1）根据三角形的内角和定理，结合对顶角的性质可求解；（2）根据角平分线的定义可得∠ABE=∠CBE，∠CDE=∠ADE，结合（1）的结论可得2∠E=∠A+∠C；（3）运用（1）和（2）的结论即可求得答案．【解题过程】（1）解：如图1，∵∠AOB+∠A+∠B=∠COD+∠C+∠D=180°，∠AOB=∠COD，∴∠A+∠B=∠C+∠D．（2）解：如图2，∵∠ABC和∠ADC的平分线相交于点E，∴∠ABE=∠CBE，∠CDE=∠ADE，由（1）可得：∠A+∠ABE=∠E+∠ADE，∠C+∠CDE=∠E+∠CBE，∴∠A+∠ABE+∠C+∠CDE=∠E+∠ADE+∠E+∠CBE，∴2∠E=∠A+∠C．（3）由（1）得：∠A+∠ABC=∠C+∠CDA，∴14∴14设AD与PQ的交点为点O，则∠CBQ+∠BOD=∠C+∠ADC，两式相减可得：∠BOD−1∴∠BOD−1∴45°−1∵∠P=180°−∠BOD−∠ADP，∴45°−1即∠A+3∠C+4∠P=180°．10．（2023下·湖北·七年级统考期末）在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是线段AC上的动点（不与点D重合），过点E作EF∥BC交射线BD于点F，∠CEF的平分线所在直线与射线BD交于点G．（1）如图，点E在线段AD上运动．①若∠ABC=40°，∠C=60°，则∠A的度数是；∠EFB的度数是②探究∠BGE与∠A之间的数量关系，并说明理由；（2）若点E在线段DC上运动时，请直接写出∠BGE与∠A之间的数量关系．【思路点拨】（1）①根据三角形的内角和及平行线的性质可知∠EFB=∠FBC，再利用角平分线的定义即可解答；②根据三角形外角的性质及平行线的性质得到∠C=∠DEF，再根据三角形内角和定理及角平分线的定义即可解答；（2）根据平行线的性质及角平分线的定义得到∠EHG=180°−∠C【解题过程】（1）解：①∵∠ABC=40°，∴在△ABC中，∠A=180°−∠ABC−∠C=180°−40°−60°=80°，∵EF∥BC，∴∠EFB=∠FBC，∵BD平分∠ABC，∴∠FBC=1∴∠EFB=∠FBC=20°，故答案为：80°、20°；②∵∠BGE是△EGF是一个外角，∴∠BGE=∠EFG+∠FEG，∵EF∥BC，∴∠C=∠DEF，∵∠ABC+∠C=180°−∠A，∴∠ABC+∠DEF=180°−∠A，∵BD平分∠ABC，EG平分∴∠CBD=12∠ABC∴∠CBD+∠FEG=1∵EF∥BC，∴∠EFG=∠CBD，∴∠EFG+∠FEG=90°−1∴∠BGE=90°−1（2）解：∵EF∥BC，∴∠FEH=∠EHC，∵GH是∠FEG的平分线，∴∠FEH=∠HEG，∴∠HEG=∠EHC，∴∠EHG=180°−∠C∵BG平分∠ABC，∴∠GBC=12∴∠BGE=∠EHG−∠GBC=180°−∠C11．（2023上·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中∠A=60°．

（1）∠ABC，∠ACB的角平分线相交于点P，求（2）∠ABC，∠ACB的三等分线分别相交于点P1（3）∠ABC，∠ACB的n等分线分别相交于点P1,P2,…Pn−1，则∠BP1C=________（结果用含n的式子表示），【思路点拨】（1）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC+∠ABC，然后根据角平分线的定义即可求出∠PBC+∠PCB，再根据三角形的内角和定理即可求出结论；（2）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC+∠ABC，然后根据三等分线的定义即可求出∠P（3）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC+∠ABC，然后根据n等分线的定义即可求出∠P【解题过程】（1）解：∵在△ABC中，∠A=60°，∴∠ABC+∠ABC=180°−∠A=120°，∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点P，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∴∠PBC+∠PCB=12∠ABC+12=12=60°，∴∠BPC=180°−(∠PBC+∠PCB)=120°，故答案为：120°．（2）∵在△ABC中，∠A=60°，∴∠ABC+∠ABC=180°−∠A=120°，∵∠ABC和∠ACB的三等分线分别对应交于点P1，P∴∠P1∴∠==40°，∴∠BP1∵∠ABC和∠ACB的三等分线分别对应交于点P1，P∴∠P2BC=23∠ABC，∠∴∠P2BC+∠P2CB=2=23=80°，∴∠BP2（3）∵在△ABC中，∠A=60°，∴∠ABC+∠ABC=180°−∠A=120°∵∠ABC和∠ACB的n等分线分别对应交于点P1，P2，……∴∠∴∠B∴∠Pn−1BC=n−1n∠ABC，∠∴∠Pn−1BC+∠Pn−1CB=n−1=n−1n=∴∠∴∠BPk故答案为：180°−120°n，12．（2024上·山东潍坊·八年级统考期末）已知ABCD为四边形，点E为边AB延长线上一点．【探究】（1）如图1，∠ADC=110°,∠BCD=120°,∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB=______°；（2）如图2，∠ADC=α,∠BCD=β，且α+β>180°,∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB=______；（用α,β表示）（3）如图3，∠ADC=α,∠BCD=β，当∠DAB和∠CBE的平分线AG,BH平行时，α,β应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论．【挑战】如果将（2）中的条件α+β>180°改为α+β<180°，再分别作∠DAB和∠CBE的平分线，若两平分线所在的直线交于点F，则∠AFB与α,β有怎样的数量关系？请画出图形并直接写出结论．【思路点拨】探究：（1）由四边形内角和定理求出∠DAB+∠ABC，由角平分线的定义得出∠FAB=12∠DAB,∠FBE=（2）同（1）可得∠DAB+∠ABC=360°−∠ADC−∠BCD，∠F=1（3）根据AG∥BH，可得∠GAB=∠HBE，结合角平分线的定义可得∠DAB=∠CBE，进而证明AD∥挑战：画出图形，参照“探究”中的方法，即可求解．【解题过程】解：（1）∵∠ADC=110°,∠BCD=120°，∴∠DAB+∠ABC=360°−∠ADC−∠BCD=360°−110°−120°=130°，∵∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，∴∠FAB=1∵∠F+∠FAB=∠FBE，∴∠F=∠FBE−∠FAB=1故答案为：25；（2）由（1）得∠DAB+∠ABC=360°−∠ADC−∠BCD，∠F=1∴∠F=1故答案为：12（3）若AG∥BH，则∵AG∥∴∠GAB=∠HBE，∵AG平分∠DAB，BH平分∠CBE，∴∠DAB=2∠GAB,∠CBE=2∠HBE，∴∠DAB=∠CBE，∴AD∥∴∠ADC+∠BCD=α+β=180°；挑战：如图4，∠AFB=90°−1∵AM平分∠DAB，BN平分∠CBE，∴∠MAB=1∵∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360°，∠ADC=α,∠BCD=β，∴∠DAB+∠ABC=360°−α−β，∴∠DAB+180°−∠CBE=360°−α−β，∴∠DAB−∠CBE=180°−α−β，∵∠ABF=∠NBE，∠MAB=∠F+∠ABF，∴∠MAB=∠AFB+∠NBE，∴∠AFB=∠MAB−∠NBE====90°−113．（2024上·广东肇庆·八年级校考期末）【问题】如图①，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，若∠A=82°，则∠BEC=____________；若∠A=a°，则∠BEC=____________．

【探究】（1）如图②，在△ABC中，BD、BE三等分∠ABC，CD、CE三等分∠ACB，若∠A=a°，则∠BEC=____________；（2）如图③，O是∠ABC与外角的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC和∠A有怎样的关系？请说明理由；（3）如图④，O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．【思路点拨】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的外角性质，掌握三角形内角和定理是解题的关键；问题：利用三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义求出∠EBC+∠ECB，即可求出∠BEC；探究：（1）利用三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，再根据三等分线的定义求出∠EBC+∠ECB，即可求出∠BEC；（2）由三角形外角性质可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠2=∠BOC+∠1，再根据角平分线的定义可得∠ABC=2∠1，∠ACD=2∠2，代入∠A+∠ABC=∠ACD即可求解；（3）根据角平分线的定义可得∠OBC=90°−12∠ABC，∠OCB=90°−【解题过程】解：问题：若∠A=82°，则∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−82°=98°，∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠EBC=12∠ABC∴∠EBC+∠ECB=1∴∠BEC=180°−∠EBC+∠ECB故答案为：131°；若∠A=α°，则∠ABC+∠ACB=180°−α°，∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠EBC=12∠ABC∴∠EBC+∠ECB=1∴∠BEC=180°−∠EBC+∠ECB故答案为：90°+1（1）如图2，∵∠A=α°，∴∠ABC+∠ACB=180°−α°，∵BD、BE三等分∠ABC，CD、CE三等分∠ACB，∴∠EBC=23∠ABC∴∠EBC+∠ECB=2∴∠BEC=180°−∠EBC+∠ECB故答案为：60°+2（2）∠BOC=1理由：由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠2=∠BOC+∠1，∵O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，∴∠ABC=2∠1，∠ACD=2∠2，∴∠A+∠ABC=∠ACD=2∠BOC+∠1∴∠A=2∠BOC；（3）∠BOC=90°−1理由：∵O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点，∴∠OBC=1∠OCB=1在△OBC∠BOC=180°−∠OBC−∠OCB=180°−90°−=1∵∠ABC+∠ACB=180°−∠A，∴∠BOC=114．（2023下·福建泉州·七年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P，△ABC的外角∠MBC与∠NCB的平分线交于点Q，延长线段BP，QC交于点E．（1）若∠A=30°，求∠BPC的度数；（2）探究∠BPC与∠Q之间的数量关系，并证明；（3）在△BQE中，若存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A的度数．【思路点拨】（1）根据∠A=30°，得出∠ABC+∠ACB=180°−30°=150°，根据角平分线定义得出∠CBP=12∠ABC，∠BCP=（2）根据角平分线定义得出∠CBP=12∠ABC，∠CBQ=12∠CBM，根据∠CBP+∠CBQ=1（3）先证明∠A=2∠E，根据∠EBQ=90°，得出∠E+∠Q=90°，分四种情况：当∠EBQ=3∠E=90°，∠EBQ=3∠Q=90°，∠Q=3∠E，∠E=3∠Q时，分别求出结果即可．【解题过程】（1）解：∵∠A=30°，∴∠ABC+∠ACB=180°−30°=150°，∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠CBP=12∠ABC∴∠CBP+∠BCP=1∴∠BPC=180°−∠CBP+∠BCP（2）解：∠BPC+∠Q=180°；理由如下：∵BP、BQ分别平分∠ABC、∠CBM，∴∠CBP=12∠ABC∴∠CBP+∠CBQ=1即∠PBQ=90°，同理得：∠PCQ=90°，∴∠BPC+∠Q=360°−∠PBQ−∠PCQ=180°；（3）解：如图，延长BC至F，∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF=2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠EBC，∵∠ECF=∠EBC+∠E，∴2∠ECF=2∠EBC+2∠E，即∠ACF=∠ABC+2∠E，又∵∠ACF=∠ABC+∠A，∴∠A=2∠E，根据解析（2）可知：∠EBQ=90°，∴∠E+∠Q=90°，如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况：若∠EBQ=3∠E=90°，则∠E=30°，∴∠A=2∠E=60°；若∠EBQ=3∠Q=90°，则∠Q=30°，∴∠E=60°，∴∠A=2∠E=120°；若∠Q=3∠E，则∠E=22.5°，∴∠A=45°；若∠E=3∠Q，则∠E=67.5°，∴∠A=135°；综上所述，∠A的度数是60°或120°或45°或135°．15．（2023上·全国·八年级专题练习）在△ABC中，AD是角平分线．∠B<∠C．

（1）如图（1），AE是高，∠B=35°，∠C=65°，求∠DAE的度数；（2）如图（2），点E在AD上，EF⊥BC于F，试探究∠DEF与∠B、∠C的大小关系，并证明你的结论（提示：过点A作AG⊥BC于G）；（3）如图（3），点E在AD的延长线上．EF⊥BC于F，试探究∠DEF与∠B、∠C的大小关系是______．（直接写出结论，不需证明）【思路点拨】（1）依据角平分线的定义以及垂线的定义，即可得到∠CAD=12∠BAC，∠CAE=90°−∠C（2）过A作AG⊥BC于G，依据平行线的性质可得∠DAG=∠DEF，依据（1）中结论即可得到∠DEF=1（3）过A作AG⊥BC于G，依据平行线的性质可得∠DAG=∠DEF，依据（1）中结论即可得到∠DEF=1【解题过程】（1）解：如图1所示：∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=1∵AE⊥BC，∴∠CAE=90°−∠C，∴∠DAE=∠CAD−∠CAE====1∵∠B=35°，∠C=65°，∴∠DAE=1（2）解：结论∠DEF=1理由如下：过A作AG⊥BC于G，如图2所示：∵EF⊥BC，∴AG∥EF，∴∠DAG=∠DEF，由（1）可得∠DAG=1∴∠DEF=1（3）解：结论仍成立．过A作AG⊥BC于G，如图3所示：∵EF⊥BC，∴AG∥EF，∴∠DAG=∠DEF，由（1）可得∠DAG=1∴∠DEF=1故答案为：∠DEF=116．（2023下·福建莆田·七年级校联考期中）李强将一个含有30°角的三角板ABC（∠A=30°，∠C=90°，∠B=60°）放置在互相平行的直线MN和（1）将三角板ABC如图1放置，BC交MN于点E，AC交PQ于点F，AB分别交MN、PQ于点D、G.①写出∠NEC与∠QFC的数量关系；

②写出∠NEB与∠QGB的数量关系；（2）如图2，K为AC上一点，连点EK，若∠NEC=∠KEC，试探究∠MEK与∠PFA之间的关系，并说明理由.（3）旋转三角板ABC至如图3所示位置，K为AC上一点，连DK，若∠ADM=15∠ADK，则∠NDK∠QFC=

【思路点拨】（1）根据三角形的外角的性质得出∠GDE=60°+∠NEC，60°+∠NEC+30°+∠QFC=180°进而即可求解；②根据∠NEB=60°+∠BDE；∠BDE=∠QGB，即可求解；（2）设∠MEK=∠1，∠PFA=∠2，∠NEC=∠3=∠CEK=∠4，得出∠1=2∠2（3）根据平行线的基本性质，角度的关系和已知条件即可求解．【解题过程】（1）①∵∠NEC=∠BED；∵∠GDE=60°+∠BED；∴∠GDE=60°+∠NEC；∵∠AGF=60°+∠NEC；∵∠AGF+30°+∠GFA=180°；∵∠GFA=∠QFC；∴60°+∠NEC+30°+∠QFC=180°；∴∠NEC+∠QFC=90°；②∵∠NEB=60°+∠BDE；∠BDE=∠QGB；∴∠NEB−∠QGB=60°；（2）设∠MEK=∠1，∠PFA=∠2，∠NEC=∠3=∠CEK=∠4；

∵∠1+∠4=60°+∠BDE；∵∠BDE=∠BGF=30°+∠2；∴∠1+∠4=∠2+90°；∴2∠1+2∠4=2∠2+180°；∵∠1+∠4+∠3=∠1+2∠4=180°；∴∠1=2∠2，∴∠MEK与∠PFA之间的关系为：∠MEK=2∠PFA；（3）设∠ADM=∠1，∠ADK=∠2，∠NDK=∠3，∠QFC=∠4；

∵∠BDE=∠1；∴∠1+60°=∠DEC；∵MN∥∴∠DEC=∠FGC，∴∠4+∠DEC=∠4+∠FGC=90°；∴∠1+∠4=30°；∵∠2=5∠1；∵∠1+∠2+∠3=180°；∴∠3+6∠1=180°；∴∠3=6∠4；∴∠NDK17．（2023上·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考阶段练习）定义：如果三角形的两个内角α与β满足α+2β=100°，那么称这样的三角形为“微妙三角形”，从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中有一个是“微妙三角形”，我们就把这条线段叫做这个三角形的“微妙分割线”．理解概念：（1）如图①，在△ABC中，∠C=80°，BD平分∠ABC．求证：△ABD为“微妙三角形”；概念应用：（2）若△ABC为“微妙三角形”，且∠C=80°．试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如图②，在△ABC中，若∠A=40°，BD平分∠ABC，且BD是△ABC的“微妙分割线”，请直接写出∠ABC的度数．【思路点拨】（1）由三角形内角和定理可得∠A+∠ABC=100°，由角平分线的定义可得∠ABC=2∠ABD，从而推出∠A+2∠ABD=100°，最后由“微妙三角形”的定义即可得出答案；（2）由三角形内角和定理可得∠A+∠B=100°，由微妙三角形”的定义可得∠C+2∠B=100°或∠C+2∠A=100°，从而推出∠B=10°或∠A=10°，分别进行计算即可得到答案；（3）分情况讨论：当△ABD为“微妙三角形”或当△ACD为“微妙三角形”，根据“微妙三角形”的定义进行计算即可得到答案．【解题过程】（1）解：在△ABC中，∵∠C=80°，∴∠A+∠ABC=100°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABC=2∠ABD，即∠A+2∠ABD=100°，∴△ABD为“微妙三角形”；（2）解：△ABC是直角三角形，理由：在△ABC中，∵∠C=80°，∴∠A+∠B=100°，∵△ABC为“微妙三角形”，∴∠C+2∠B=100°或∠C+2∠A=100°，∴∠B=10°或∠A=10°，当∠B=10°时，∠A=90°，△ABC是直角三角形，当∠A=10°时，∠B=90°，△ABC是直角三角形，综上所述，△ABC是直角三角形；（3）解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABC=2∠ABD=2∠CBD，∵BD是△ABC的“微妙分割线”，∴△ABD为“微妙三角形”或△ACD为“微妙三角形”，当△ABD为“微妙三角形”时，则∠A+2∠ABD=100°或2∠A+∠ABD=100°，当∠A+2∠ABD=100°时，40°+2∠ABD=100°，解得：∠ABD=30°，∴∠ABC=2∠ABD=60°；当2∠A+∠ABD=100°时，2×40°+∠ABD=100°，解得：∠ABD=20°，∴∠ABC=2∠ABD=40°；当△ACD为“微妙三角形”时，则2∠C+∠CBD=100°或2∠CBD+∠BDC=100°或∠CBD+2∠BDC=100°，当2∠C+∠CBD=100°①∵∠C+2∠CBD=180°−∠A=140°，∴∠C=140°−2∠CBD②∴由①②得：∠CBD=60°，∴∠ABC=2∠CBD=120°；当2∠CBD+∠BDC=100°时，∵∠BDC=∠ABD+∠A=∠CBD+40°，∴2∠CBD+∠CBD+40°=100°，∴∠CBD=20°，∴∠ABC=2∠CBD=40°；当∠CBD+2∠BDC=100°时，∵∠BDC=∠ABD+∠A=∠CBD+40°，∴∠CBD+2∠CBD+40°∴∠CBD=20∴∠ABC=2∠CBD=40综上所述：∠ABC的度数为40°或60°或403°或18．（2023下·江苏泰州·七年级校考期中）我们曾经研究过内外角平分线夹角问题．小聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：

（1）【问题再现】如图（1），若∠MON=90°，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合），BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线交∠BAO的平分线于点D．则∠D=（2）【问题推广】①如图（2），若∠MON=α(0°<α<180°)，（1）中的其余条件不变，则∠D=°（用含α的代数式表示）②如图（2），∠MON=α(0°<α<180°)，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合），点E是OB上一动点，BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与射线AE交于点D，若∠D=12α（3）【拓展提升】如图（3），若∠NBC=1m∠ABN，∠DAO=1m∠BAO，试探索【思路点拨】（1）利用三角形外角的性质可得∠ABN=90°+∠OAB，再根据角平分线的定义以及三角形内角和定理，求解即可；（2）①利用三角形外角的性质可得∠ABN=∠MON+∠OAB，在根据角平分线的定义以及三角形内角和定理，求解即可；②根据三角形内角和的性质以及角平分线的定义，得出∠BAD=1（3）利用三角形外角的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理，求解即可．【解题过程】（1）解：由三角形外角的性质可得∠ABN=90°+∠OAB，由题意可得：∠OAB+∠OBA=90°，∵AD平分∠OAB，BC是∠ABN的平分线，∴∠BAD=12∠OAB∴∠DBO=∠CBN=1∴∠DBA=∠DBO+∠ABO=1∴∠D=180°−∠DBA−∠BAD=180°−故答案为：45°（2）①由三角形外角的性质可得∠ABN=α+∠OAB，由题意可得：∠OAB+∠OBA=180°−α，∵AD平分∠OAB，BC是∠ABN的平分线，∴∠BAD=12∠OAB∴∠DBO=∠CBN=1∴∠DBA=∠DBO+∠ABO=1∴∠D=180°−∠DBA−∠BAD=180°−1故答案为：12②是，理由如下：由三角形外角的性质可得∠ABN=α+∠OAB，由题意可得：∠OAB+∠OBA=180°−α，∵BC是∠ABN的平分线，∴∠CBN=1∴∠DBO=∠CBN=1∴∠DBA=∠DBO+∠ABO=1∴∠BAD=180°−∠D−∠DBA=180°−1=∠OAB+∠OBA−=1∴AE是△OAB的角平分线；（3）∠D=1−由三角形外角的性质可得∠ABN=∠O+∠OAB，由题意可得：∠OAB+∠OBA=180°−∠O，∴∠DBO=∠NBC=1∴∠DBA=1∵∠DAO=1∴∠BAD=∠BAO−∠DAO=∠BAO−1由三角形内角和定理可得：∠D=180°−∠DBA−∠B