人教版2024-2025学年九年级数学上册22.10特殊三角形-二次函数的综合(压轴题专项讲练)(学生版+解析)

专题22.10特殊三角形——二次函数的综合典例分析典例分析【典例1】如图，直线y=x−3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=−x2+mx+n与x轴的另一个交点为A（1）求3m+n的值；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】本题考查的是二次函数综合运用，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的性质．（1）求出B、C的坐标，将点B、C的坐标分别代入抛物线表达式，即可求解；（2）分CP=PQ、CP=CQ、CQ=PQ三种情况，分别求解即可．【解题过程】（1）直线y=x−3，令y=0，则x=3，令x=0，则y=故点B、C的坐标分别为(3,0)、(0,−3)，将点B、C的坐标分别代入抛物线表达式得：n=−30=−9+3m+n解得：m=4n=−3则抛物线的表达式为：y=则点A坐标为(1,0)，顶点P的坐标为(2,1)，∴3m+n=12−3=9；（2）设Q2,t①当CP=CQ时，如图，则C点纵坐标与PQ中点的纵坐标相同，∵P2,1∴1+t2解得：t=−7，故此时Q点坐标为(2,−7)；②当CP=PQ时，如图，∵P2,1∴PQ=PC=2−0故此时点Q的坐标为(2,1−25)或③当CQ=PQ时，如图，∴QC∴2解得：t=−3故此时点Q的坐标为(2,−3综上所述，点Q的坐标为(2,1−25)或(2,1+25)或学霸必刷学霸必刷1．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，抛物线y=−12x2+2x+c与x轴交于A(−1,0)，B（1）求抛物线的解析式；（2）P是抛物线上x轴上方的一个动点，当△PAB的面积为272时，求点P（3）在y轴上是否存在点D，使△BCD为等腰三角形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，经过点(9,13)的抛物线C1:y=ax2+bx+1（a、b为常数，且a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（1）求抛物线C1的函数表达式和点D（2）将抛物线C1向左平移m(m>0)个单位长度后得到抛物线C2，抛物线C2的顶点为E，连接CE、DE，请问在平移过程中，是否存在m的值，使得△CDE3．（24-25九年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2−4x+ca≠0与x轴分别交于点A1,0、点B3,0，与y轴交于点C，连接BC，点P在线段（1）求直线BC的解析式；（2）如果以P为顶点的新抛物线经过原点，且与x轴的另一个交点为D，若△PAB是以PA为腰的等腰三角形，求新抛物线的解析式．4．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知抛物线y=ax2+bx+ca≠0的对称轴为直线x=−1，且抛物线经过A1,0，C0,3（1）若直线y=mx+n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x=−1上找一点M，使MA+MC的值最小，求点M的坐标；（3）设P为抛物线的对称轴x=−1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．5．（2023九年级·辽宁铁岭·学业考试）如图，一次函数y=−12x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数y=12x2+bx+c的图象与一次函数y=−12x+1的图象交于B、C（1）求二次函数的解析式；（2）求四边形BDEC的面积S；（3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．6．（23-24九年级上·广东东莞·期中）如图，已知抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A−1,0，B5,0两点（点A在点B（1）求抛物线的解析式；（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），连接CD、BD，求△BDC面积的最大值；（3）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标．7．（23-24九年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图1，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A−2,0、B4,0（A点在B点左侧），与y（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图2所示，当点P在直线BC上方运动时，连接AC，求四边形ABPC面积的最大值，并写出此时P点坐标；（3）若点M是x轴上的一个动点，点P的横坐标为3．试判断是否存在这样的点M，使得以点B、M、P为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．8．（23-24九年级下·山东聊城·期中）如图，抛物线y=ax2+bx+c过x轴上点A−1,0、点B5,0，过y（1）求该二次函数的表达式；（2）求四边形OCPB面积的最大值；（3）当点P的横坐标m满足2<m<5时，过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，再过点P作PF∥x轴，交抛物线于点F，连接EF，求使△PEF为等腰直角三角形的点9．（2024·山西长治·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2−2x+c与x轴交于点A−3,0和点C，与y轴交于点B0,3，点P是抛物线上点A与点C（1）求抛物线的解析式；（2）动点P在抛物线上，且在直线AB上方，求△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将该抛物线向右平移2.5个单位，点F为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点E，Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点，若△QFE是以QE为腰的等腰三角形，求出所有符合条件的点Q的坐标．10．（23-24九年级上·云南昆明·期末）如图、已知直线y=43x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c经过A，C两点，且与（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线对称轴上的点P，使得以点B，C，P为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点P称为“圣和点”、此题中，是否存在“圣和点”、若存在，请求出“圣和点”P的坐标：若不存在，请说明理由．11．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，已知抛物线y=ax2−6x+c（a、c为常数，且a≠0）与x轴交于A，B(−1,0)两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，AB=4．抛物线的对称轴与x轴交于点D，与经过点B的直线y=x+1（1）求抛物线的函数表达式；（2）在抛物线上是否存在点P，使得△BPE是以BE为直角边的直角三角形?若存在，求出所有得合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．12．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A−1,0，B3,0两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接BC，直线l与抛物线交于B，D两点，与y轴交于点E（1）求抛物线的函数解析式；（2）求△BCD的面积；（3）若抛物线的对称轴与直线l的交点为N，则在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△BMN是以MN为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．13．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A3,0，B0,−3两点，点P是直线AB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M、交x轴于点N（1）分别求直线AB和这条抛物线的解析式；（2）若S△BPO=2S（3）是否存在这样的点M，使得以A、B、M为顶点组成直角三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．14．（23-24九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=−x2+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E

（1）求抛物线的解析式；（2）在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F的横坐标；（3）点P是对称轴上的一动点，是否存在某一点P使P、B、C为顶点的三角形是以BC为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的P点坐标；不存在，说明理由．15．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，已知抛物线y=ax2−2x+c与x轴交于点A，B1,0（A在B的左侧），与y轴交于点（1）求出抛物线的表达式；（2）若∠CAB的角平分线与在第一象限的抛物线交于点P，求点P的横坐标；（3）若点M是抛物线对称轴上的一点，是否存在点M．使得以点A，C，M为顶点的三角形是以AC为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．16．（2023·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，已知直线y=−12x+2与x轴，y轴交于B，A两点，抛物线y=−x2+bx+c经过点A，B，点P为线段OB上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交直线AB于点

（1）求抛物线解析式；（2）当MN=2MP，t的值为___________；（3）若点N到直线AB的距离为d，求d的最大值；（4）在y轴上是否存在点Q，使△QBN是以BN为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．专题22.10特殊三角形——二次函数的综合典例分析典例分析【典例1】如图，直线y=x−3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=−x2+mx+n与x轴的另一个交点为A（1）求3m+n的值；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】本题考查的是二次函数综合运用，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的性质．（1）求出B、C的坐标，将点B、C的坐标分别代入抛物线表达式，即可求解；（2）分CP=PQ、CP=CQ、CQ=PQ三种情况，分别求解即可．【解题过程】（1）直线y=x−3，令y=0，则x=3，令x=0，则y=故点B、C的坐标分别为(3,0)、(0,−3)，将点B、C的坐标分别代入抛物线表达式得：n=−30=−9+3m+n解得：m=4n=−3则抛物线的表达式为：y=则点A坐标为(1,0)，顶点P的坐标为(2,1)，∴3m+n=12−3=9；（2）设Q2,t①当CP=CQ时，如图，则C点纵坐标与PQ中点的纵坐标相同，∵P2,1∴1+t2解得：t=−7，故此时Q点坐标为(2,−7)；②当CP=PQ时，如图，∵P2,1∴PQ=PC=2−0故此时点Q的坐标为(2,1−25)或③当CQ=PQ时，如图，∴QC∴2解得：t=−3故此时点Q的坐标为(2,−3综上所述，点Q的坐标为(2,1−25)或(2,1+25)或学霸必刷学霸必刷1．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，抛物线y=−12x2+2x+c与x轴交于A(−1,0)，B（1）求抛物线的解析式；（2）P是抛物线上x轴上方的一个动点，当△PAB的面积为272时，求点P（3）在y轴上是否存在点D，使△BCD为等腰三角形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）把点A的坐标(−1,0)代入抛物线y=−12x（2）根据△PAB的面积为272列方程可得点P（3）由等腰三角形行政，分情况讨论：①当BC=BD时；②当CD=BC时；③当CD=BD时，从而可以解答．【解题过程】（1）解：把点A的坐标(−1,0)代入抛物线y=−12∴c=5∴抛物线的解析式为：y=−1（2）解：当y=0时，−12x2+2x+∴B(5,0)，∵A(−1,0)，∴AB=5−(−1)=6，∵S△PAB∴12∴y当y=92时，∴x∴P2,（3）解：当x=0时，y=5∴C0,∵B(5,0)，∴BC=5①当BC=BD时，D0,−②当CD=BC时，D0,③当CD=BD时，设BD=a，则OD=a−5在Rt△ODB中，OD2+OB∴OD=25∴D0,−综上，点D的坐标为0,−52或0,52．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，经过点(9,13)的抛物线C1:y=ax2+bx+1（a、b为常数，且a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（1）求抛物线C1的函数表达式和点D（2）将抛物线C1向左平移m(m>0)个单位长度后得到抛物线C2，抛物线C2的顶点为E，连接CE、DE，请问在平移过程中，是否存在m的值，使得△CDE【思路点拨】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键．（1）利用待定系数法可求得抛物线C1的函数表达式，配方成顶点式即可求得顶点D（2）根据平移的性质得到C2:y=49x−3+m2−3，则顶点E的坐标为3−m,−3，利用两点之间的距离公式求得CD=5，CE=m2【解题过程】（1）解：∵经过点(9,13)的抛物线C1:y=ax∴81a+9b+1=13−解得a=4∴抛物线C1的函数表达式为y=y=4∴顶点D的坐标为3,−3；（2）解：由题意将y=49x−32−3∴C2∴C2的顶点E的坐标为3−m,−3对于C1，令x=0，则y=1∴C2与y轴交于点C的坐标为0,1即C0,1，D3,−3，E3−m,−3∴CD=3−0CE=3−mDE=3−m−3当CD=CE时，则m2解得m=0（舍去）或m=6，此时CD=CE=5，DE=6，符合题意；当CD=DE时，则m=5，此时CD=DE=5，CE=5当DE=CE时，则m2−6m+25=m，解得m=256综上，m的值为6或5或2563．（24-25九年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2−4x+ca≠0与x轴分别交于点A1,0、点B3,0，与y轴交于点C，连接BC，点P在线段（1）求直线BC的解析式；（2）如果以P为顶点的新抛物线经过原点，且与x轴的另一个交点为D，若△PAB是以PA为腰的等腰三角形，求新抛物线的解析式．【思路点拨】（1）先确定点C的坐标，再利用待定系数法求直线BC的解析式即可；（2）利用等腰三角形定义分类求解即可．本题考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的分类求解，熟练掌握待定系数法是解题的关键．【解题过程】（1）解：设抛物线的解析式为：y=ax−1∴−4a=−4，解得：a=1，∴抛物线的解析式为：y=x令x=0得y=3，∴C0,3设直线BC的解析式为：y=kx+3，将点B3,0代入得：0=3k+3解得：k=−1，∴直线BC的解析式为：y=−x+3.（2）解：∵点P的横坐标为m，点P在线段BC上，∴Pm,−m+3，0≤m≤3∴设新抛物线的解析式为y=sx−m∵点A1,0、点B∴PA2=m−12分情况讨论：（1）当PA=PB时，则m−12解得m=2，此时，P2,1∴新抛物线的解析式为y=sx−2∵新抛物线经过原点，∴0=4s+1，解得s=−1∴新抛物线的解析式为y=−1（2）当PA=AB时，m−12解得m1=1，m2=3（此时∴P1,2∴新抛物线的解析式为y=sx−1∵新抛物线经过原点，∴0=s+2，解得s=−2，∴新抛物线的解析式为y=−2x−1综上所述，新抛物线的解析式为y=−14x−24．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知抛物线y=ax2+bx+ca≠0的对称轴为直线x=−1，且抛物线经过A1,0，C0,3（1）若直线y=mx+n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x=−1上找一点M，使MA+MC的值最小，求点M的坐标；（3）设P为抛物线的对称轴x=−1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．【思路点拨】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、直角三角形的性质、点的对称性等；（1）用待定系数法即可求解；（2）设直线BC与对称轴x=−1的交点为M，则此时MA+MC的值最小，进而求解；（3）分点B为直角顶点、点C为直角顶点、P为直角顶点三种情况，分别求解即可．【解题过程】（1）抛物线的对称轴为直线x=−1，且抛物线经过A1∴B−3设抛物线的表达式为y=ax−1将C0,3代入上式得：3=a0−10+3∴抛物线的解析式为：y=−x−1把B−3，0，C0,3，解得n=3m=1∴直线的解析式为y=x+3；（2）设直线BC与对称轴x=−1的交点为M，则此时MA+MC的值最小，把x=−1代入直线y=x+3得y=2，故M−1,2即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为−1,2；（3）设P−1,t∵B−3，0∴BC若点B为直角顶点时，则BC即18+4+t解得t=−2；若点C为直角顶点时，则BC即18+解得t=4，若P为直角顶点时，则PB∴4+t解得t=3±综上，点P的坐标为−1,−2或−1,4或−1,3+1725．（2023九年级·辽宁铁岭·学业考试）如图，一次函数y=−12x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数y=12x2+bx+c的图象与一次函数y=−12x+1的图象交于B、C（1）求二次函数的解析式；（2）求四边形BDEC的面积S；（3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．【思路点拨】题目主要考查二次函数与一次函数综合问题，勾股定理解三角形，面积问题等，理解题意，进行分类讨论是解题关键．（1）根据题意得出B(0,1（2）根据两个函数得出C(−4,3)，结合图象得出（3）设点P(m,0)，根据题意得出BC2=20,PB2=m2【解题过程】（1）解：根据题意得，当x=0时，y=−1∴B(0,1将B(0,1)，D(−1,0)代入c=112−b+c=0得解析式y=1（2）根据题意得：联立两个函数y=−1解得：x=0y=1或x=−4∴C(−4,3∴SΔACE=1∴四边形BDEC的面积为：S=S（3）设点P(m,0)，∵B0,1∴BC2当P为直角顶点时，PB2∴m2解得：m=−1或m=−3，∴P(−1,0)或当B为直角顶点时，PB2∴m2解得：m=−1∴P(−1当C为直角顶点时，PC2∴(m+4)2解得：m=−11∴P(−11综上可得：P的坐标为(−112,0)或(−126．（23-24九年级上·广东东莞·期中）如图，已知抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A−1,0，B5,0两点（点A在点B（1）求抛物线的解析式；（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），连接CD、BD，求△BDC面积的最大值；（3）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标．【思路点拨】（1）由待定系数法即可求解；（2）由点D横坐标为m得出点D、点E的坐标，结合两点间的距离公式以及三角形的面积公式，即可求解；（3）先确定抛物线的对称轴，如图，设M2,t，利用两点间的距离公式得到BC2=50，MC2=t2−10t+29，MB2=t2+9，利用勾股定理的逆定理分类讨论：当BC2+MC2【解题过程】（1）解：在y=ax2+bx+5中，令x=0，则y=5设y=ax+1∴5=a0+1解得a=−1，∴抛物线的函数关系式为y=−x+1x−5，即（2）解：设直线BC的解析式为y=kx+b，将B5,0，C0,5代入直线解析式得解得：k=−1b=5∴直线BC的解析式为y=−x+5，设Dm,−m2∴DE=−m∴△BDC面积=1∴△BDC面积的最大值为：1258（3）解：∵y=−x∴抛物线的对称轴为直线x=2，故设M2,t∵B5,0，C∴BC2=52当BC2+MC2=MB解得t=7，此时M点的坐标为2,7；当BC2+MB2=MC解得t=−3，此时M点的坐标为2,−3；当MC2+BM2=BC解得t1=6，此时M点的坐标为2,6或2,−1，综上所述，满足条件的M点的坐标为2,7，2,−3，2,6，2,−1．7．（23-24九年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图1，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A−2,0、B4,0（A点在B点左侧），与y（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图2所示，当点P在直线BC上方运动时，连接AC，求四边形ABPC面积的最大值，并写出此时P点坐标；（3）若点M是x轴上的一个动点，点P的横坐标为3．试判断是否存在这样的点M，使得以点B、M、P为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】本题考查二次函数的几何综合，二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）过点P作PQ∥y轴交BC于点Q，设Pt,-t2+2t+8，则Qt,−2t+8，所以四边形ABPC面积（3）先求出P3,5，设Mx,0，分别求出MP【解题过程】（1）解：将点A−2,0、B4,0、C∴4a−2b+c=0解得a=−1b=2∴抛物线的解析式为y=−x（2）设直线BC的解析式为y=kx+8，把B4,0∴4k+8=0，解得k=−2，∴直线BC的解析式为y=−2x+8，过点P作PQ∥y轴交BC于点设Pt,−t2∴PQ=−t∵AO=2，∴SS∴四边形ABPC面积=S∵点P在直线BC上方，∴0<t<4，∴当t=2时，四边形ABPC面积有最大值32，此时P2,8（3）存在点M，使得以点B、M、P为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：当x=3时，y=5，∴P3,5设Mx,0∴MP①当MP为斜边时，x−32解得x=4，∴M4,0②当MB为斜边时，x−42解得x=−22，∴M−22,0③当BP为斜边时，x−42解得x=3或x=4，∴M3,0或4,0综上所述：M点坐标为−22,0或3,0．8．（23-24九年级下·山东聊城·期中）如图，抛物线y=ax2+bx+c过x轴上点A−1,0、点B5,0，过y（1）求该二次函数的表达式；（2）求四边形OCPB面积的最大值；（3）当点P的横坐标m满足2<m<5时，过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，再过点P作PF∥x轴，交抛物线于点F，连接EF，求使△PEF为等腰直角三角形的点【思路点拨】（1）用待定系数法可得二次函数的表达式为y=x（2）求出直线BC的表达式为y=x−5，过点P作PQ⊥x轴，交BC于点E，交x轴于点Q，可知Pm,m2−4m−5，（3）求出抛物线对称轴为直线x=2，故当点P的横坐标m满足2<m<5时，点P在对称轴右侧，可得PF=2m−2=2m−4，即可得【解题过程】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c∴y=ax将A−1,0，B5,0代入得a−b−5=025a+5b−5=0，解得a=1∴二次函数的表达式为y=x（2）设直线BC的表达式为y=kx+t，将B5,0，C0,−5代入可得5k+t=0t=−5，解得k=1∴直线BC的表达式为y=x−5．如图，过点P作PQ⊥x轴，交BC于点E，交x轴于点Q．∵Pm,m0<m<5，则∴点E的横坐标也为m，则纵坐标为yE∴PE=y四边形OCPB的面积===5∵−5∴当m=52时，四边形OCPB的面积最大，为（3）当点P的横坐标m满足2<m<5时，此时点P在对称轴右侧，如图，∵y=x∴抛物线对称轴为直线x=2，当点P的横坐标m满足2<m<5时，点P在对称轴右侧，∴PF=m−x同（2）知PE=−m当PE=PF时，△PEF为等腰直角三角形，即−m整理，得m2−3m−4=0，解得m=4或此时，n=42−4×4−5=−5所以当点P的坐标为4,−5时，△PEF为等腰直角三角形．9．（2024·山西长治·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2−2x+c与x轴交于点A−3,0和点C，与y轴交于点B0,3，点P是抛物线上点A与点C（1）求抛物线的解析式；（2）动点P在抛物线上，且在直线AB上方，求△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将该抛物线向右平移2.5个单位，点F为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点E，Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点，若△QFE是以QE为腰的等腰三角形，求出所有符合条件的点Q的坐标．【思路点拨】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，等腰三角形的性质，即可．（1）把点A，B的坐标代入函数解析式，即可；（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，根据点A，B的坐标求出解析式，过点P作x轴的垂线交AB于点H，求出PH，根据S△APB（3）根据函数平移的性质，则平移的函数解析式：y=−x−1.52+4，根据点F为点P的对应点，求出点F的坐标，平移后的抛物线与y轴交于点E，求出点E的坐标，根据两点间的距离公式，求出QE2【解题过程】（1）∵抛物线经过A−3,0，B∴9a+6+c=0c=3解得：a=−1c=3∴抛物线的解析式为：y=−x（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，∵直线AB经过−3,0，0,3∴−3k+b=0b=3解得：k=1b=3∴直线AB的解析式为y=x+3，过点P作x轴的垂线交AB于点H，设Px,−∴Hx,x+3∴PH=−x∵△ABP面积=1∴S△ABP∴当x=−32时，△ABP面积最大值为此时P−（3）抛物线整理得：y=−x∴平移后的抛物线表达式为：y=−x−1.5∵点F为点P的对应点，P−∴点F1,∵平移后的抛物线与y轴交于点E，∴当x=0时，y=−x−1.5∴点E0,设点Q1.5,m∴QE2=94当QE=QF时，则94+m−∴点Q的坐标为：1.5,9当QE=EF时，则5=94+∴点Q的坐标为：1.5,7±2检验得点Q，点E，点F三点不共线．综上所述，点Q的坐标为：32,7+211410．（23-24九年级上·云南昆明·期末）如图、已知直线y=43x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c经过A，C两点，且与（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线对称轴上的点P，使得以点B，C，P为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点P称为“圣和点”、此题中，是否存在“圣和点”、若存在，请求出“圣和点”P的坐标：若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）根据二次函数对称轴，设其函数表达式为：y=ax+12+k，根据一次函数的表达式求出点A和点C的坐标，再根据二次函数的对称性，求出点B的坐标，最后将点A（2）分情况进行讨论，①当BC=PC时，②当BC=BP时，③当BP=CP时，分别求解即可．【解题过程】（1）解：∵一次函数的表达式为：y=4∴当y=0时，0=43x+4，解得：x=−3，当x=0∴A−3,0，C∵二次函数称轴为直线x=∴B1,0设二次函数表达式为：y=ax+3把C0,4代入得：4=a0+30−1∴二次函数表达式为：y=−4整理得：y=−4（2）存在①当BC=PC时，如图：此时P1②当BC=BP时，如图：有两种情况，∵B1,0，C∴BC=BP=1令对称轴与x轴交于点Q，∵对称轴为直线x=−1∴BQ=1−−1∴PQ=17−∴P2③当BP=CP时，过点C作CM垂直于对称轴，垂足为点M，∵对称轴为直线x=−1∴点P横坐标为−1，CM=1,BQ=2设点P−1,∴PM=4−a,PQ=a，∴CP2=C∵BP=CP，∴1+4−a2=4+∴P4综上存在“圣和点”，点P坐标为：−1,0或−1,13或−1,−13或11．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，已知抛物线y=ax2−6x+c（a、c为常数，且a≠0）与x轴交于A，B(−1,0)两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，AB=4．抛物线的对称轴与x轴交于点D，与经过点B的直线y=x+1（1）求抛物线的函数表达式；（2）在抛物线上是否存在点P，使得△BPE是以BE为直角边的直角三角形?若存在，求出所有得合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】本题考查待定系数法求函数表达式、坐标与图形、等腰三角形的判定与性质、一次函数图象的平移、直角三角形的性质等知识，正确求得抛物线的函数表达式是解答的关键．（1）先求点A坐标，再利用待定系数法求函数表达式即可；（2）先根据二次函数的性质求得D−3,0，点E的坐标为E−3,−2，进而可得∠ABE=∠BED=45°；当∠EBP=90°时，则∠ABP=45°，可得PQ=BQ，设点P的坐标为t,−t2−6t−5，然后解方程求得t值即可；求直线BP的函数表达式，然后平移至经过点E，此时直线与抛物线的交点分别为P1，【解题过程】（1）解：∵点B的坐标为(−1,0)，AB=4，点A在点B左侧，∴点A的坐标为(−5,0)，将A(−5,0)，B(−1,0)代入y=ax25a+30+c=0a+6+c=0，解得：a=−1∴抛物线的函数表达式为y=−x（2）解：在抛物线上存在点P，使得△BPE是以BE为直角边的直角三角形．理由如下：由y=−x2−6x−5=−∴D−3,0∵抛物线的对称轴与经过点B的直线y=x+1交于点E，∴当x=−3时，y=−2，∴点E的坐标为(−3,−2)，则DE=BD=2，∴∠ABE=∠BED=45°.当∠EBP=90°时，则∠ABP=45°，过点P作PQ⊥OA于点Q，如图．则Rt△PQO∴PQ=BQ，设点P的坐标为t,−t∴−t解得：t1=−4，当t=−4时，−t点P的坐标为(−4,3)；设直线BP的函数表达式为y=kx+n，将点B(−1,0)，P(−4,3)代入，得−k+n=0−4k+n=3，解得k=−1∴直线BP的函数表达式为y=将直线BP平移至经过点E，此时直线与抛物线的交点分别为P1，P则∠BEP1=∠BEP2将E(−3,−2)代入，得−2=3+m，解得m=−5，∴直线P1P2∴−x−5=−x2−6x−5，解得：x=0∴点P的坐标为(0,−5)或(−5,0)．综上可得，在抛物线上存在点P，使得△BPE是以BE为直角边的直角三角形，点P的坐标为(−4,3)或(0,−5)或(−5,0)．12．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A−1,0，B3,0两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接BC，直线l与抛物线交于B，D两点，与y轴交于点E（1）求抛物线的函数解析式；（2）求△BCD的面积；（3）若抛物线的对称轴与直线l的交点为N，则在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△BMN是以MN为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出D−12,74，设直线l的解析式为：y=px+q，利用待定系数法求出直线l的解析式为y=−12x+（3）设抛物线的对称轴与x轴的交点为P，抛物线y=−x2+2x+3的对称轴为直线x=1，得到P1,0，N1,1，设M【解题过程】（1）解：将点A−1,0，B3,0代入−1−b+c=0−9+3b+c=0解得：b=2c=3∴抛物线的函数解析式为y=−x（2）将x=−12代入y=−x∴D−设直线l的解析式为：y=px+q，将点D−123p+q=0−解得：p=−1∴直线l的解析式为：y=−1在y=−12x+32∴E0,在y=−x2+2x+3中，令x=0∴C0,3∴CE=3−3∵D−12∴S△BCD（3）存在，点M的坐标为(1,5+1)或(1,−5设抛物线的对称轴与x轴的交点为P，∵抛物线y=−x2+2x+3∴P1,0把x=1代入直线y=−12x+∴N1,1∴PN=1，BP=3−1=2，∴BN=P设M1,a当BN=MN时，a−1=解得：a=5+1或∴M1(1,5当BM=MN时，在Rt△PBM3中，由勾股定理可得：B解得：a=−3∴M3综上所述，存在，点M的坐标为(1,5+1)或(1,−5+1)或(1,−313．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A3,0，B0,−3两点，点P是直线AB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M、交x轴于点N（1）分别求直线AB和这条抛物线的解析式；（2）若S△BPO=2S（3）是否存在这样的点M，使得以A、B、M为顶点组成直角三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）设lAB=kx+b，将A(3,0)，（2）设P(t,t−3)，M(t,t2−2t−3)，根据N(t,0)（3）设M(m,m2−2m−3)，分当AB2【解题过程】（1）解：设lAB=kx+b，将A(3,0)，得0=3k+b−3=b解得k=1b=−3∴直线AB的解析式为y=x−3，抛物线y=x2+mx+n经过点A(3,0)，B(0,−3)两点，将A(3,0)∴0=3解得n=−3m=−2∴y=x（2）设P(t,t−3)，M(t,t2−2t−3)，N(t,0)，则当0<t<3时∵S∴1整理得2t∴t1=∴P(3当t>3时∵S∴1整理得2t∴x=32（舍去）或∴P当t<0时S∴不存在综上所述：P(32（3）设M(m,mAB2=32①当AB2+A∴3∴36−6m−6(m∴6−m−(m∴m∴(m+2)(m−3)=0，解得m=−2或m=3（舍去），∴M(−2,5)②AB2+B∴3∴6m+6(m∴m而m≠0，∴m=1，∴M(1,−4)，③AM2+B∴m∴m−3∴m=3（舍去）或m=1+52∴m=1+52∴M(1+52综上所述：M(−2,5)，M(1,−4)，M(1+5214．（23-24九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=−x2+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E

（1）求抛物线的解析式；（2）在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F的横坐标；（3）点P是对称轴上的一动点，是否存在某一点P使P、B、C为顶点的三角形是以BC为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的P点坐标；不存在，说明理由．【思路点拨】（1）先由直线AB的解析式为y=x+3，求出它与x轴的交点A，与y轴的交点B的坐标，再将A，B两点坐标代入y=−x（2）设第三象限内的点F的坐标为m,−m2+2m+3，运用配方法求出抛物线的对称轴和顶点D的坐标，再设抛物线的对称轴与x轴交于点G，连接FG，再根据S△AEF=S△AEG（3）设点P坐标为−1,n，先由B，C两点坐标运用勾股定理求出BC，再分两种情况讨论：①若∠PBC=90°，根据勾股定理列出关于n的方程，求出n值，得出P点坐标；②若∠BCP=90°，同①可求出对应的P点坐标，进而得出结果．【解题过程】（1）∵y=x+3与x轴的交点A，与y轴的交点B的坐标，∴当y=0时，x=−3，即点A的坐标为−3,0，当x=0时，y=3，即点B的坐标为0,3，将A−3,0，B0,3代入得−9−3b+c=0c=3∴b=−2∴抛物线的解析式为y=−（2）如图1，设第三象限内的点F的坐标为m,−m

则m<0，−m∵y=−x∴对称轴为直线x=−1，顶点D设抛物线的对称轴与轴交于点G，连接FG，则G−1,0，AG=2∵直线AB的解析式为y=x+3，∴当x=−1∴E点坐标为−1,2.∵S==∴以A、E、F为顶点的三角形面积为3时，m2解得：m1=−3−当m=−3−−=−=−3+m+3=m=∴点F的坐标为−3−21（3）设点P坐标为−1,n，∵B0,3，∴B分两种情况①如图2，

若∠PBC=90°，则PB2+B∴n=8∴点P的坐标为−1,8②如图3，

若∠BCP=90°，则BC2∴n=−∴点P的坐标为−1,−2综上所述，P点坐标为−1,83或15．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，已知抛物线y=ax2−2x+c与x轴交于点A，B1,0（A在B的左侧），与y轴交于点（1）求出抛物线的表达式；（2）若∠CAB的角平分线与在第一象限的抛物线交于点P，求点P的横坐标；（3）若点M是抛物线对称轴上的一点，是否存在点M．使得以点A，C，M为顶点的三角形是以AC为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】本题考查了二次函数的图像与性质，勾股定理，等腰三角形的定义，分类讨论是解本题的关键．（1）直接利用待定系数法求解解析式即可；（2）作∠CAB的角平分线交y轴于点E，交抛物线