人教版2024-2025学年八年级数学专题13.3等边三角形中的几何综合(压轴题专项讲练)专题特训(学生版+解析)

专题13.3等边三角形中的几何综合思维方法思维方法正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。知识点总结知识点总结一、等边三角形1．定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形．2．等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°．3．等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．典例分析典例分析【典例1】△ABC为等边三角形，在△ABC外作射线AP，D为射线AP上一点，连接CD，在平面内有一点E，满足（1）如图1，连接BD，若点E恰好在BD上，且∠DCE=60∘，求（2）如图2，连接ED，若∠DCE=120∘，且DE恰好过BC边的中点M，求证：（3）如图3，若∠CAP=40∘，∠DCE=120∘，连接BE，当线段BE的长度最小时，在射线BE上取一点F，在边BC上截取CG=BF，连接【思路点拨】（1）本题考查了三角形全等和等边三角形的性质，找到全等的条件是解题的关键．根据CE=CD，∠DCE=60∘，可知△DCE为等边三角形，利用公共角，证得∠1=∠3，再证△ADC≌△BEC，得到∠ADC=∠BEC，∠BEC=180°−∠DEC=120°，由此可得∠ADC度数，（2）本题考查了三角形全等和等边三角形的性质，通过“截长补短法”构造三角形全等是解题的关键．要证DM=EM+AD，由于三边不在一条直线上，因此考虑“截长补短法”把线段进行转化．在ED上取点N，使得MN=EM，连接NC、BN、AN，证明△BMN≌△CME，再证△ABN≌△ACD，最后证明△AND为等边三角形，即得证；（3）本题考查了动点问题，解题的关键是首先证明点E的运动轨迹，找到何时线段BE最短，然后构造三角形，确定何时AF+AG的值最小．以BC为边向下作等边三角形△BCM，连接ME，证明△ACD≌△MCE，得到∠CME=40°，即得当点D在射线AP上运动时，点E的运动轨迹是在直线ME上，且满足∠CME=40°，由此得到当BE⊥EM时，线段BE最短．要证明两条线段AF+AG的最小值，通常利用两点之间线段最短，因此需要将其中一条线段进行转化．以点C为顶点，作∠BCN=∠ABF，且CN=AB，连接NG，证明△ABF≌△NCG，得到AF=NG，由此，只需求AF+AG=AF+NG的值最小，由图可知当A,G,N三点共线时，取得最小值，最后根据三角形内角和180°，求角即可．【解题过程】（1）解：如图，∵CE=CD，∠DCE=60∴△DCE为等边三角形，∵△ABC为等边三角形，∴∠2+∠3=∠ACB=60∵∠1+∠2=∠DCE=60∴∠1=∠3，∵∠1=∠3CD=CE∴△ADC≌△BEC，∴∠ADC=∠BEC，∵∠DEC=60∴∠BEC=120∴∠ADC=∠BEC=120∴∠ADB=∠ADC−∠EDC=120故∠ADB=60（2）解：在ED上取点N，使得MN=EM，连接NC、BN、AN，如图所示，∵M为BC边的中点∴BM=MC，∵BM=MC∴△BMN≌△CME，∴BN=CE=CD，∠NBM=∠ECM，∵∠DCE=120°，∠ABC=∠ACB=60°，∴∠ABN=∠ABC−∠NBM=60°−∠NBM，∠ACD=∠DCE−∠ACB−∠ECM=120°−60°−∠ECM=60°−∠ECM，∴∠ABN=∠ACD∵AB=AC∠ABN=∠ACD∴△ABN≌△ACD，∴AN=AD，∠BAN=∠CAD，∵∠BAN+∠NAC=∠BAC=60°，∴∠CAD+∠NAC=∠NAD=60°，∴△AND为等边三角形，∴AD=AN=ND，∴DM=DN+MN=AD+EM故DM=EM+AD，（3）解：以BC为边向下作等边三角形△BCM，连接ME，如图所示，∵△ABC和△BCM都是等边三角形，∴AC=BC=MC，∵∠DCE=120°，∠ACE=∠ACB−∠BCE=60°−∠BCE，∴∠ACD=∠DCE−∠ACE=120°−(60°−∠BCE)=60°+∠BCE，∵∠MCE=∠MCB+∠BCE=60°+∠BCE，∴∠ACD=∠MCE，∵AC=MC∠ACD=∠MCE∴△ACD≌△MCE，∴∠CME=∠CAD=∠CAP=40°，∴当点D在射线AP上运动时，点E的运动轨迹是在直线ME上，且满足∠CME=40°，∴当线段BE的长度最小时，即过点B向直线ME作垂线，E为垂足，即BE⊥EM，∠BEM=90°，∵∠CME=40°，∠BMC=60°，∴∠EMB=∠BMC−∠CME=60°−40°=20°，∴在Rt△BEM中，∠MBE=90°−∠EMB=90°−20°=70°又∵∠MBC=60°，∴∠EBC=∠MBE−∠MBC=70°−60°=10°，∴∠ABF=∠ABC−∠EBC=60°−10°=50°，以点C为顶点，作∠BCN=∠ABF=50°，且CN=AB，连接NG，如图所示，∵CN=AB∠BCN=∠ABF∴△ABF≌△NCG，∴AF=NG，∴AF+AG=AF+NG，连接AN交射线BE于点O，在△AGN中，∵AF+NG≥AN，∴当A,G,N三点共线时，AF+AG=AF+NG的值最小，如图所示，此时，∵CN=AB=AC，∴△ACN为等腰三角形，又∠ACN=∠ACB+∠BCN=60°+50°=110°，∴∠CAN=∠CNA=35°，在△NCG中，∠NGC=180°−∠ANC−∠BCN=180°−35°−50°=95°，∴∠BGO=∠NGC=95°，在△BOG中，∠BOG=180°−∠EBC−∠BGO=180°−10°−95°=75°，∴∠AOF=∠BOG=75°，又∵△ABF≌△NCG（前面已证），∴∠BAF=∠CNG=35°，在△ABF中，∠AFB=180°−∠BAF−∠ABF=180°−35°−50°=95°，∴在△AOF中，∠OAF=180°−∠AOF−∠AFB=180°−75°−95°=10°，∴∠FAC=∠NAC−∠OAF=35°−10°=25°，故当AF+AG的值最小，∠FAC=25°．学霸必刷学霸必刷1．（23-24七年级下·山东淄博·期末）如图，△ABC是等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠BAD=90°，AE⊥BD于点E，连接CD分别交AE，AB于点F，G，过点A作AH⊥CD分别交CD，BD于点P，H，则下列结论正确的是（

）①∠BAC=4∠ADC；②DF=AH；③BH=PF；④∠DAP=∠CGB；⑤BC=CG．A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④⑤2．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图、已知△ABC是等边三角形，在△ABC外有一点D，AD=CD，且∠DAC=30°，点E为AD上一点，点F为CD上一点，且∠EBF=30°．下列结论：①BE=BF；②EF=AE+CF；③∠AEF=2∠ANB；④EF∥AC．其中正确结论的个数是（

）A．4 B．3 C．2 D．13．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，点C是线段BD上一点，分别以BC,CD为边在BD同侧作等边△ABC和等边△CDE，连BE,AD交于点F，若BC=3,CD=6，则AF+FCFE+FC的值为（

A．2 B．12 C．32 4．（23-24七年级下·山东东营·期末）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③CP=CQ；④OC平分∠BCD；⑤∠AOB=60°．其中正确的结论有（A．①③⑤ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．①②③④⑤5．（23-24八年级上·河南信阳·期末）如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF=b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是．6．（22-23八年级上·山东济南·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=60°，点D在AB上，CD=14，∠BDC=60°，延长CB至点E，使CE=AC，过点E作EF⊥CD于点F，交AB于点G，若2DG=AD，则DF=．7．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°,AC=BC=8,D为AC边上一点，AD=2,E为BC边上一动点，连接DE，以DE为边并在DE的左侧作等边△DEF，连接AF，则AF的最小值为．（提示：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）8．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在△BCD中，∠BCD<120°，分别以BC、CD和BD为边在△BCD外部作等边三角形ABC、等边三角形CDE和等边三角形BDF，连接AD、BE和CF交于点P，则PA、PB、PC、PD中某三条线段存在等量关系是．9．（23-24八年级上·天津西青·期末）如图，点D是等边△ABC中BC边的中点，点E，F分别在AB，AC边上，且∠EDF=120∘，若BE=2，CF=3，则△ABC的周长为

10．（23-24八年级下·吉林·期中）如图，在△ABC中，AB=AC=BC=18cm，点D在AC上，CD=8cm．点M在线段CB上由点C向点B运动，点N在线段BA上由点B向点A运动，运动速度均为（1）当运动2秒时，∠DMN（2）开始运动几秒时，△BMN是直角三角形？（3）若点M和点N在到达终点后不停止运动，而是沿着△ABC的三边顺时针继续运动，直到回到出发点后停止，直接写出：线段MN与△ABC的某一边平行时的时间．11．（22-23八年级上·广东广州·期中）如图，在等边△ABC中，点E为边AB上任意一点，点D在边CB的延长线上，且ED=EC．（1）当点E为AB的中点时（如图1），则有AE__________DB（填“>”“<”或“=”）；（2）如图2，若点E为AB上任意一点，猜想AE与DB的数量关系，并证明你的猜想．（3）在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，若△ABC的边长为2，AE=4，直接写出CD的长．12．（23-24八年级上·广东广州·期末）如图1图2，点O是线段AC的中点，OB⊥AC，（1）如图1，若∠ABO=30°，求AB的长；（2）如图1，在（1）的条件下，若点D在射线AC上，点D在点C右侧，且△BDQ是等边三角形，QC的延长线交直线OB于点P，求PC的长度；（3）如图2，在（1）的条件下，若点M在线段BC上，△OMN是等边三角形，且点M沿着线段BC从点B运动到点C，点N随之运动，求点N的运动路径的长度．13．（23-24八年级上·重庆万州·阶段练习）（1）问题情境如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE，求证：△ABD≌△ACE．（2）迁移应用如图2，△ABC和△ADE都是等边三角形，A，B，E三点在同一条直线上，M是AD的中点，N是AC的中点，P在BE上，△MNP是等边三角形，求证：P是BE的中点．（3）拓展创新如图3，P是线段BE的中点，BE=9，在BE的下方作等边△PFH（P，F，H三点按逆时针顺序排列，△PFH的大小和位置可以变化），连接EF，BH．当EF+BH的值最小时，直接写出等边△PFH边长的最小值．14．（23-24八年级上·山东聊城·期中）已知在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，ED=EC．（1）如图（1），当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系；AE______DB（填“>”“<”或“=”）．（2）如图（2），当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．（3）如图（3）在等边三角形ABC中，点E在线段AB的延长线上，点D在线段CB的延长线上，且ED=EC，若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长．15．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在等边△ABC中，点D、E分别是边AC、BC上的点，且AD=CE，AE、BD交于点F．（1）如图1，求证：∠BFE=60°；（2）如图2，过点B作BG⊥AE于点G，过点C作CH∥BD交AE延长线于点H，若F为AG中点，求证：（3）如图3，在（2）的条件下K为AB延长线上一点，且∠K+∠ABD=60°，△ABC的面积为6，求△BEK的面积．16．（22-23九年级上·安徽·阶段练习）安安利用两张正三角形纸片，进行了如下探究：

【探究证明】（1）如图1，△ABC和△DCE均为等边三角形，连接AE交BD延长线于点F，求证：∠AFB=60°；【拓展延伸】（2）如图2，在正三角形纸片△ABC的BC边上取一点D，作∠ADE=60°交∠ACB外角平分线于点E，探究CE，DC和AC的数量关系，并证明；【思维提升】（3）如图3，△ABC和△DCE均为正三角形，当B，C，E三点共线时，连接PC，若BC=3CE，直接写出下列两式分别是否为定值，并任选其中一个进行证明：①AP−3PDPC②AP+PC+2PDBD−PC+PE17．（2023七年级下·全国·专题练习）已知：△ABC是等边三角形，△BDC是等腰三角形，其中∠BDC=120°，过点D作∠EDF=60°，分别交AB于E，交AC于F，连接EF．（1）若BE=CF，求证：①△DEF是等边三角形；②BE+CF=EF．（2）若BE≠CF，即E、F分别是线段AB、AC上任意一点，BE+CF=EF还会成立吗？请说明理由．18．（22-23八年级上·重庆·阶段练习）△ABC是等边三角形，点D、E分别在边AB，BC上，若（1）如图1，求证：∠AFD=60（2）如图2，FH为∠AFC的平分线，点H在FM的延长线上，连接HA、HC，∠AHC+∠AFC=180（3）如图3，在（2）的条件下，延长AF交CH的延长线于点K，点G在线段AH上，GH=CK，连接CG交FH于点M，FN=3，AK=8，求FH的长．19．（23-24八年级上·山东日照·期末）已知，如图1，在等边△ABC中，∠BAC与∠ABC的角平分线交于点O，点D、E分别在边AB,BC上，且∠DOE=60°，猜想AD、DE、BE三者之间的数量关系．（1）方法探索：小敏的思路是：如图3，在AB上取一点F，使AF=BE，连接OF．先证明△BOE≌△______，从而OE=______；继而证明△DOE≌△______，从而DE=______；因此可判断AD、（2）拓展运用：如图2，点D在边AB上，点E在CB的延长线上，其它条件不变，猜想AD、DE、BE三者之间的数量关系，并说明理由．20．（23-24七年级下·四川成都·期末）已知△ABC为等边三角形，过点A的射线AM在△ABC的外部，D为射线AM上的一点，E为平面内的一点，满足BE=BD．（1）如图1，连接CD，若点E恰好在CD上，且∠DBE=60°，求∠ADC的度数；（2）如图2，连接DE交BC于点F，若∠DBE=120°，且F恰为BC的中点，求证：DF=AD+EF；（3）如图3，若∠BAM=38°,∠DBE=120°，连接CE，当线段CE的长度最小时，在射线CE上截取一点H，在边BC上截取一点I，使CH=BI，连接AH,AI,则当AH+AI的值最小时，请直接写出∠HAB的度数．专题13.3等边三角形中的几何综合思维方法思维方法正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。知识点总结知识点总结一、等边三角形1．定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形．2．等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°．3．等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．典例分析典例分析【典例1】△ABC为等边三角形，在△ABC外作射线AP，D为射线AP上一点，连接CD，在平面内有一点E，满足（1）如图1，连接BD，若点E恰好在BD上，且∠DCE=60∘，求（2）如图2，连接ED，若∠DCE=120∘，且DE恰好过BC边的中点M，求证：（3）如图3，若∠CAP=40∘，∠DCE=120∘，连接BE，当线段BE的长度最小时，在射线BE上取一点F，在边BC上截取CG=BF，连接【思路点拨】（1）本题考查了三角形全等和等边三角形的性质，找到全等的条件是解题的关键．根据CE=CD，∠DCE=60∘，可知△DCE为等边三角形，利用公共角，证得∠1=∠3，再证△ADC≌△BEC，得到∠ADC=∠BEC，∠BEC=180°−∠DEC=120°，由此可得∠ADC度数，（2）本题考查了三角形全等和等边三角形的性质，通过“截长补短法”构造三角形全等是解题的关键．要证DM=EM+AD，由于三边不在一条直线上，因此考虑“截长补短法”把线段进行转化．在ED上取点N，使得MN=EM，连接NC、BN、AN，证明△BMN≌△CME，再证△ABN≌△ACD，最后证明△AND为等边三角形，即得证；（3）本题考查了动点问题，解题的关键是首先证明点E的运动轨迹，找到何时线段BE最短，然后构造三角形，确定何时AF+AG的值最小．以BC为边向下作等边三角形△BCM，连接ME，证明△ACD≌△MCE，得到∠CME=40°，即得当点D在射线AP上运动时，点E的运动轨迹是在直线ME上，且满足∠CME=40°，由此得到当BE⊥EM时，线段BE最短．要证明两条线段AF+AG的最小值，通常利用两点之间线段最短，因此需要将其中一条线段进行转化．以点C为顶点，作∠BCN=∠ABF，且CN=AB，连接NG，证明△ABF≌△NCG，得到AF=NG，由此，只需求AF+AG=AF+NG的值最小，由图可知当A,G,N三点共线时，取得最小值，最后根据三角形内角和180°，求角即可．【解题过程】（1）解：如图，∵CE=CD，∠DCE=60∴△DCE为等边三角形，∵△ABC为等边三角形，∴∠2+∠3=∠ACB=60∵∠1+∠2=∠DCE=60∴∠1=∠3，∵∠1=∠3CD=CE∴△ADC≌△BEC，∴∠ADC=∠BEC，∵∠DEC=60∴∠BEC=120∴∠ADC=∠BEC=120∴∠ADB=∠ADC−∠EDC=120故∠ADB=60（2）解：在ED上取点N，使得MN=EM，连接NC、BN、AN，如图所示，∵M为BC边的中点∴BM=MC，∵BM=MC∴△BMN≌△CME，∴BN=CE=CD，∠NBM=∠ECM，∵∠DCE=120°，∠ABC=∠ACB=60°，∴∠ABN=∠ABC−∠NBM=60°−∠NBM，∠ACD=∠DCE−∠ACB−∠ECM=120°−60°−∠ECM=60°−∠ECM，∴∠ABN=∠ACD∵AB=AC∠ABN=∠ACD∴△ABN≌△ACD，∴AN=AD，∠BAN=∠CAD，∵∠BAN+∠NAC=∠BAC=60°，∴∠CAD+∠NAC=∠NAD=60°，∴△AND为等边三角形，∴AD=AN=ND，∴DM=DN+MN=AD+EM故DM=EM+AD，（3）解：以BC为边向下作等边三角形△BCM，连接ME，如图所示，∵△ABC和△BCM都是等边三角形，∴AC=BC=MC，∵∠DCE=120°，∠ACE=∠ACB−∠BCE=60°−∠BCE，∴∠ACD=∠DCE−∠ACE=120°−(60°−∠BCE)=60°+∠BCE，∵∠MCE=∠MCB+∠BCE=60°+∠BCE，∴∠ACD=∠MCE，∵AC=MC∠ACD=∠MCE∴△ACD≌△MCE，∴∠CME=∠CAD=∠CAP=40°，∴当点D在射线AP上运动时，点E的运动轨迹是在直线ME上，且满足∠CME=40°，∴当线段BE的长度最小时，即过点B向直线ME作垂线，E为垂足，即BE⊥EM，∠BEM=90°，∵∠CME=40°，∠BMC=60°，∴∠EMB=∠BMC−∠CME=60°−40°=20°，∴在Rt△BEM中，∠MBE=90°−∠EMB=90°−20°=70°又∵∠MBC=60°，∴∠EBC=∠MBE−∠MBC=70°−60°=10°，∴∠ABF=∠ABC−∠EBC=60°−10°=50°，以点C为顶点，作∠BCN=∠ABF=50°，且CN=AB，连接NG，如图所示，∵CN=AB∠BCN=∠ABF∴△ABF≌△NCG，∴AF=NG，∴AF+AG=AF+NG，连接AN交射线BE于点O，在△AGN中，∵AF+NG≥AN，∴当A,G,N三点共线时，AF+AG=AF+NG的值最小，如图所示，此时，∵CN=AB=AC，∴△ACN为等腰三角形，又∠ACN=∠ACB+∠BCN=60°+50°=110°，∴∠CAN=∠CNA=35°，在△NCG中，∠NGC=180°−∠ANC−∠BCN=180°−35°−50°=95°，∴∠BGO=∠NGC=95°，在△BOG中，∠BOG=180°−∠EBC−∠BGO=180°−10°−95°=75°，∴∠AOF=∠BOG=75°，又∵△ABF≌△NCG（前面已证），∴∠BAF=∠CNG=35°，在△ABF中，∠AFB=180°−∠BAF−∠ABF=180°−35°−50°=95°，∴在△AOF中，∠OAF=180°−∠AOF−∠AFB=180°−75°−95°=10°，∴∠FAC=∠NAC−∠OAF=35°−10°=25°，故当AF+AG的值最小，∠FAC=25°．学霸必刷学霸必刷1．（23-24七年级下·山东淄博·期末）如图，△ABC是等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠BAD=90°，AE⊥BD于点E，连接CD分别交AE，AB于点F，G，过点A作AH⊥CD分别交CD，BD于点P，H，则下列结论正确的是（

）①∠BAC=4∠ADC；②DF=AH；③BH=PF；④∠DAP=∠CGB；⑤BC=CG．A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④⑤【思路点拨】由等边三角形和等腰三角形的性质可得△CAD是等腰三角形且顶角∠CAD=150°，根据三角形内角和定理先求得∠AFP、∠FAP的度数，再证明△BAH≌△ADF，根据全等三角形的性质和直角三角形的性质逐一进行判断即可．【解题过程】解：∵△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形，∴∠BAC=60°,∠BAD=90°,AC=AB=AD,∠ADB=∠ABD=45°，∴△CAD是等腰三角形，∠CAD=150°，∴∠ADC=15°，∴∠BAC=4∠ADC，故①正确；∵∠ADB=∠ABD=45°,∠ADC=15°，∴∠EDF=30°，又∵AH⊥CD,AE⊥BD,∠AFG=60°，∴∠FAP=30°,∠DAE=45°，∴∠BAH=∠ADC=15°，在△ADF和△BAH中，∠ADF=∠BAH∴△ADF≌△BAH(ASA∴DF=AH,AF=BH，故②正确；∵∠FAP=30°,AH⊥CD，∴AF=2PF，∴BH=2PF，故③错误；∵∠DAP=1∴∠DAP=∠CGB，故④正确；∵∠CBG=60°,∠CGB=75°，∴∠CBG≠∠CGB，∴BC≠CG，故⑤不正确，综上所述：结论正确的是①②④，故选：C．2．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图、已知△ABC是等边三角形，在△ABC外有一点D，AD=CD，且∠DAC=30°，点E为AD上一点，点F为CD上一点，且∠EBF=30°．下列结论：①BE=BF；②EF=AE+CF；③∠AEF=2∠ANB；④EF∥AC．其中正确结论的个数是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【思路点拨】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，余角的性质，平行线的判定，线段的垂直平分线的判定和性质，延长DA到T，使得CF=AT，连接BT，构造半角模型，证明②；利用线段垂直平分线的判定和性质，可证③；无法证明CF=AE，也就无法证明DE=DF，从判断①④错误，解答即可．【解题过程】解：延长DA到T，使得CF=AT，连接BT∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°，AB=BC=CA，∵AD=CD，∠DAC=30°,∴∠DAC=∠DCA=30°，∴∠BAE=∠BCF=∠BAT=60°+30°=90°，∵AT=CF∠BAT=∠BCF∴△BAT≌△BCFSAS∴BF=BT，∠ABT=∠CBF，∵∠EBF=30°，∴∠ABE+∠CBF=30°，∴∠ABE+∠ABT=30°，∴∠EBT=30°，∴∠EBT=∠EBF，∵BF=BT∠EBF=∠EBT∴△EBF≌△EBTSAS∴EF=ET，∠BET=∠BEF，∴∠AEF=2∠BET=2∠BEF，∵ET=AT+AE，AT=CF，∴ET=AE+CF．∴EF=AE+CF．故②正确．连接BD，交AC于点Q，∵BA=BC,DA=DC，∴直线BD是线段AC的垂直平分线，∴∠BQA=∠BQC=90°，∠ABQ=∠CBQ=1∴∠ANB=90°−∠QBN，∠ABE+∠QBE=30°，∵∠EBF=30°，∴∠QBN+∠QBE=30°，∴∠QBN=∠ABE，∴90°−∠QBN=90°−∠ABE，∴∠ANB=∠AEB=∠AEF，∴∠AEF=2∠ANB，故③正确；无法证明CF=AE，也就无法证明DE=DF，从判断①④错误，故选C．3．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，点C是线段BD上一点，分别以BC,CD为边在BD同侧作等边△ABC和等边△CDE，连BE,AD交于点F，若BC=3,CD=6，则AF+FCFE+FC的值为（

A．2 B．12 C．32 【思路点拨】本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，先证明△BCE≌△ACD，得到AD=BE，S△BCE=S△ACD，然后过点C作CM⊥BE，CN⊥AD于点M，N，则有CM=CN，然后在FB上截取FG=FC，连接CG，即可得到△FGC是等边三角形和△BCG≌△ACF，进而求出【解题过程】解：∵△ABC和△CDE是等边三角形，∴AB=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°，∴∠BCE=∠ACD，∴△BCE≌△ACDSAS∴AD=BE，S△BCE过点C作CM⊥BE，CN⊥AD于点M，N，∴CM=CN，∴∠BFC=∠DFC，∵S△BCF∴S△BCF在FB上截取FG=FC，连接CG，∵△BCE≌△ACD，∴∠CBE=∠CAD，∴∠AFB=∠FBD+∠BDA=∠CAD+∠ADB=60°，∴∠BFC=∠DFC=60°，∴△FGC是等边三角形，∴FG=FC=CG，∠GCF=∠BCA=60°，∴∠BCG=∠ACF，又∵∠CBE=∠CAD，∴△BCG≌△ACFSAS∴BG=AF，∴BF=AF+FC，同理可得DE=CF+EF，∴AF+FCFE+FC故选：B．4．（23-24七年级下·山东东营·期末）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③CP=CQ；④OC平分∠BCD；⑤∠AOB=60°．其中正确的结论有（A．①③⑤ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．①②③④⑤【思路点拨】此题考查了全等三角形的判定和性质的应用、等边三角形的性质和应用、平行线的判定；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．由等边三角形的性质可得AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°，从而可根据SAS得到△ACD≌△BCE，结合全等三角形的性质可判断①的正误；由△ACD≌△BCE可得∠CBE=∠DAC，结合∠ACB=∠DCE=60°,AC=BC可得到△ACP≌△BCQ，结合全等三角形的性质可判断③的正误；由全等三角形的性质可得到PC=QC，结合∠PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形，因此∠CPQ=60°，结合平行线的判定可判断②的正误；根据全等三角形的性质、三角形面积公式求出CH=CG，根据角平分线的判定定理可判断④其正误；根据△ACD≌△BCE结合三角形外角的性质，据此可判断⑤的正误．【解题过程】解：∵△ABC和△DCE是等边三角形，∴BC=AC=AB,DE=DC=CE,∠BCA=∠DCE=60°，∴∠BCA+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE．在△DCA和△ECB中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△DCA≌△ECB(SAS∴AD=BE，故①正确，符合题意；∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，∵∠ACB=∠ECD=60°，∴∠BCD=60°，∴∠ACB=∠BCQ=60°，在△ACP和△BCQ中∠CAP=∠CBQAC=BC∴△ACP≌△BCQ(ASA∴CP=CQ，故③正确，符合题意；∵CP=CQ,∠PCQ=60°，∴△PCQ是等边三角形，∴∠CPQ=60°，∴∠ACB=∠CPQ，∴PQ∥过点C作CH⊥EQ于H,CG⊥DP于G，∵△DCA≌△ECB，∴S∴1∴CH=CG，∴OC平分∠AOE，而不是平分∠BCD，故④错误，不符合题意；∵△DCA≌△ECB，∴∠ADC=∠AEO，∴∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°，∴故结论⑤正确．综上所述，正确的结论有①②③⑤，故选：B．5．（23-24八年级上·河南信阳·期末）如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF=b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是．【思路点拨】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明点E的运动轨迹，本题难度比较大，属于中考填空题中的压轴题．通过分析点E的运动轨迹，点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE于点E'，此时A【解题过程】解：连接CE∵△ABC，∴AB=AC=a，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS）∴∠ABD=∠ACE，∵AF=CF=1∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°，∴点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE于点E'，此时A∵CA=CM∴△ACM是等边三角形且与△ABC全等，∴AM=AC，FM⊥AC，∵BF⊥AC，∴FM=BF=b，∴△AEF周长的最小值是AF+F故答案为：16．（22-23八年级上·山东济南·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=60°，点D在AB上，CD=14，∠BDC=60°，延长CB至点E，使CE=AC，过点E作EF⊥CD于点F，交AB于点G，若2DG=AD，则DF=．【思路点拨】过点C作CH⊥AB于点H，设DF=x，则CF=CD−DF=14−x，求出∠DGF=30°，利用直角三角形的性质得DG=2DF=2x，则AD=2DG=4x，同理得∠DCH=30°，则DH=12CD=7，AH=AD+DH=4x+7，再证∠A=∠FCE，进而可依据“AAS”判定△ACH和△CFE全等，从而得AH=CF，则4x+7=14−x，由此解出x【解题过程】解：过点C作CH⊥AB于点H，如图所示：设DF=x，∵CD=14，∴CF=CD−DF=14−x，∵EF⊥CD，在Rt△DFG中，∠BDC=60°，则∠DGF=30°∴DG=2DF=2x，∵2DG=AD，∴AD=2DG=4x，∵CH⊥AB，在Rt△CHD中，∠BDC=60°，则∠DCH=30°∴DH=1∴AH=AD+DH=4x+7，∵∠BDC=∠A+∠ACD=60°，∠ACB=∠ACD+∠FCE=60°，∴∠A=∠FCE，又∵CH⊥AB，EF⊥CD，∴∠AHC=∠CFE=90°，在△ACH和△CFE中，∠A=∠FCE∠AHC=∠CFE=90°∴△ACH≌△CFE(AAS)∴AH=CF，∴4x+7=14−x，解得x=7故答案为：757．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°,AC=BC=8,D为AC边上一点，AD=2,E为BC边上一动点，连接DE，以DE为边并在DE的左侧作等边△DEF，连接AF，则AF的最小值为．（提示：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）【思路点拨】以AD为边在AD左侧作等边三角形AGD，连接FG,EG，延长AF,CB交于点P，先证明△AFD≌△GED，得到AF=EG，当点A,G,F三点共线时，AF有最小值，此时AC∥EG，即EG⊥BC，则∠APC=30°，由30°角所对的直角边等于斜边的一半，得到AP=2AC=16，进而得到PG=14，再根据【解题过程】解：如图，以AD为边在AD左侧作等边三角形AGD，连接FG,EG，延长AF,CB交于点P，∵△AGD和△DEF是等边三角形，∴DE=DF,DG=AD,∠ADG=∠FDE=60°，∴∠ADG+∠GDF=∠FDE+∠GDF，即∠ADF=∠GDE，∴△AFD≌∴AF=EG，如图，当点A,G,F三点共线时，AF有最小值，此时，∠EGD=∠GAC=60°，∴∠AGE+∠GAC=∠AGD+∠EGD+∠GAC=180°，∴AC∥EG，即∴∠APC=30°，∵AC=BC=8，AD=2∴AP=2AC=16，AG=AD=2，∴PG=AP−AG=14，∴EG=1∴AF=EG=7，故答案为：7．8．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在△BCD中，∠BCD<120°，分别以BC、CD和BD为边在△BCD外部作等边三角形ABC、等边三角形CDE和等边三角形BDF，连接AD、BE和CF交于点P，则PA、PB、PC、PD中某三条线段存在等量关系是．【思路点拨】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质；证明△ABD≌△CBFSAS，△ACD≌△BCESAS，可得∠BAD=∠BCF，∠CAD=∠CBE，求出∠BPC=120°，在PA上截取PG=PB，连接BG，证明∠BGA=∠BPC=120°，再证【解题过程】解：∵△ABC，△BDF是等边三角形，∴BA=BC，BD=BF，∠ABC=∠DBF=60°，∴∠ABD=∠CBF，∴△ABD≌∴∠BAD=∠BCF，同理可得△ACD≌∴∠CAD=∠CBE，∵∠BAD+∠CAD=60°，∴∠BAD+∠CBE=60°，∵∠ABC=60°，∴∠BAD+∠ABC+∠CBE=∠BAD+∠ABE=120°，∴∠BPA=60°，同理可得∠APC=60°，∴∠BPC=120°，如图，在PA上截取PG=PB，连接BG，∴△BPG是等边三角形，∴∠BGP=60°，∴∠BGA=120°，∴∠BGA=∠BPC，又∵∠BAG=∠BCP，AB=CB，∴△BAG≌∴PC=GA，∴PA=PG+GA=PB+PC，故答案为：PA=PB+PC．9．（23-24八年级上·天津西青·期末）如图，点D是等边△ABC中BC边的中点，点E，F分别在AB，AC边上，且∠EDF=120∘，若BE=2，CF=3，则△ABC的周长为

【思路点拨】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，全等三角形的判定与性质等知识，综合性较强．作DM⊥AB,DN⊥AC,垂足分别为M、N，先证明△BDM≌△CDN，得到BM=CN，DM=DN，再证明△EDM≌△FDN，EM=FN，设EM=FN=x，得到2+x=3−x，解得x=0.5，即可得到BM=2.5，BD=5，BC=10，即可得到△ABC的周长为30．【解题过程】解：如图，作DM⊥AB,DN⊥AC,垂足分别为M、N．

∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∵D是BC的中点，∴BD=CD，∵DM⊥AB,DN⊥AC，∴∠BMD=∠CND=90°，∴∠BDM=∠CDN=30°，∴∠MDN=180°−∠BDM−∠CDN=120°，在△BDM和△CDN中，∠BMD=∠CND∠B=∠C∴△BDM≌△CDN，∴BM=CN，DM=DN∵∠MDN=120°，∠EDF=120∴∠MDN−∠MDF=∠EDF−∠MDF，即∠EDM=∠FDN，在△EDM和△FDN中，∠EMD=∠FNDDM=DN∴△EDM≌△FDN，∴EM=FN，设EM=FN=x，∵BE=2，CF=3，BM=CN，∴2+x=3−x，解得x=0.5，∴BM=BE+EM=2.5，∵∠BMD=90°,∠BDM=30°，∴BD=2BM=5，∴BC=2BD=10，∴△ABC的周长为30．故答案为：30．10．（23-24八年级下·吉林·期中）如图，在△ABC中，AB=AC=BC=18cm，点D在AC上，CD=8cm．点M在线段CB上由点C向点B运动，点N在线段BA上由点B向点A运动，运动速度均为（1）当运动2秒时，∠DMN（2）开始运动几秒时，△BMN是直角三角形？（3）若点M和点N在到达终点后不停止运动，而是沿着△ABC的三边顺时针继续运动，直到回到出发点后停止，直接写出：线段MN与△ABC的某一边平行时的时间．【思路点拨】（1）计算出运动2秒时CM、MN、BN的长，再证明△MBN≌△DCM，得∠BMN=∠CDM，则∠（2）设运动的时间为秒，分两种情况，一是∠BNM=90°，则BM=2BN，可列方程18−5t=5t；二是∠BMN=90°，则BN=2BM，可列方程5t=2(18−5t)，解方程求出相应的（3）分三种情况，一是点M在BC边上，则BM=BN，可列方程18−5t=5t；二是点M在AB边上，则AM=AN，可列方程18×2−5t=5t−18；三是点M在AC边上，则CM=CN，可列方程18×3−5t=5t−18×2，解方程求出相应的t值即可．【解题过程】（1）解：如图1，∵AB=AC=BC=18cm∴△ABC是等边三角形，∴∠运动2秒时，CM=5×2=10(cm)，MB=18−10=8(cm)，∴MB=DC，BN=CM，在△MBN和△DCM中，MB=DC∠B=∠C∴△MBN≌△DCM(SAS∴∠BMN=∴∠∴∠DMN=180°−(（2）解：设运动的时间为t秒，如图2，当∠BNM=90°时，则∴BM=2BN，18−5t=2×5t，解得t=6如图3，当∠BMN=90°时，则BN=2BM，5t=2(18−5t)，解得t=综上所述，运动65秒或125秒，（3）解：如图1，当MN∥AC时，∴∠BMN=∴△BMN是等边三角形，∴BM=BN，∴18−5t=5t，解得t=9如图4，当MN∥BC时，则∠AMN=∠B=∴△AMN是等边三角形，∴AM=AN，∴18×2−5t=5t−18，解得t=27如图5，当MN∥AB时，则∠CMN=∴△CMN是等边三角形，∴CM=CN，∴18×3−5t=5t−18×2，解得t=9综_上所述，t的值是95秒或275秒或9秒时，线段MN与11．（22-23八年级上·广东广州·期中）如图，在等边△ABC中，点E为边AB上任意一点，点D在边CB的延长线上，且ED=EC．（1）当点E为AB的中点时（如图1），则有AE__________DB（填“>”“<”或“=”）；（2）如图2，若点E为AB上任意一点，猜想AE与DB的数量关系，并证明你的猜想．（3）在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，若△ABC的边长为2，AE=4，直接写出CD的长．【思路点拨】（1）根据三线合一定理和三角形外角的性质证明BD=BE即可得到答案；（2）过E作EF∥BC交AC于F，先证明△AEF是等边三角形，再证明（3）分E在AB的延长线和E在BA的延长线上两种情况讨论求解即可．【解题过程】（1）解：∵三角形ABC是等边三角形，点E是AB的中点，∴CE平分∠ACB,CE⊥AB,∠ACB=∠ABC=60°，AE=BE，∴∠BEC=90°，又∵ED=EC，∴∠D=∠ECD=30°，∵∠ABC=∠D+∠DEB=60°，∴∠DEB=∠D=30°，∴BD=BE，∴AE=BD；（2）解：AE=BD，理由如下：如图，过E作EF∥BC交AC于∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°,AB=AC=BC，∴∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠ACB=60°，即∠AEF=∠AFE=∠A=60°．∴△AEF是等边三角形．∴AE=EF=AF，∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，∴∠DBE=∠EFC=120°,∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°，∵DE=EC，∴∠D=∠ECD，∴∠BED=∠ECF，在△DEB和△ECF中，∠DEB=∠ECF∠DBE=∠EFC∴△DEB≌△ECF(AAS∴BD=EF，∴AE=BD；（3）解：∵三角形ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC=2,∠ABC=60°，如图所示：当E在AB的延长线上时，过点E作FE⊥BC交直线BC于F，∴∠EBF=∠ABC=60°,∠EFB=90°，∴∠BEF=30°，∵AE=4,AB=2，∴BE=2，∴BF=1∴CF=3，∵ED=EC,FE⊥BC，∴FD=FC=3，∴CD=6，当E在BA的延长线上时，如图，过点E作FE⊥BC交BC延长线于F，同理可以求得BF=1∴FD=FC=BF−BC=1，∴CD=2CF=2，故CD的长为2或6．12．（23-24八年级上·广东广州·期末）如图1图2，点O是线段AC的中点，OB⊥AC，（1）如图1，若∠ABO=30°，求AB的长；（2）如图1，在（1）的条件下，若点D在射线AC上，点D在点C右侧，且△BDQ是等边三角形，QC的延长线交直线OB于点P，求PC的长度；（3）如图2，在（1）的条件下，若点M在线段BC上，△OMN是等边三角形，且点M沿着线段BC从点B运动到点C，点N随之运动，求点N的运动路径的长度．【思路点拨】（1）利用垂直平分线的性质可得BA=BC，再得∠BAO=60°，即可证明△ABC是等边三角形；（2）证明△BAD≌△BCQ，得出∠BCQ=60°，继而得到∠OPC=30°，即可求得PC的长度；（3）取BC的中点H，分两种情况证明△OMH≌△ONC，得出∠OCN=120°或60°，可知点N的运动路径是一条线段，据此求解即可．【解题过程】（1）解：∵∠ABO=30°，OB⊥AC，∴∠BAO=60°，∵O是线段AC中点，OB⊥AC，∴BA=BC，∴△ABC是等边三角形；∴AB=AC=2OA=18；（2）∵△ABC、△BDQ是等边三角形，∴∠ABC=∠DBQ=60°，AB=BC,BD=BQ，∠BAC=60°，∴∠ABD=∠CBQ，∴△BAD≌△BCQ，∴∠BCQ=∠BAD=60°，∵∠BCA=60°，∴∠OCP=60°，∵∠POC=90°，∴∠OPC=30°，∴PC=2OC=2OA=18；（3）取BC的中点H，连接OH，连接CN，分两种情况讨论：当M在线段BH上时，如图2，∵H是BC的中点，OB⊥AC，∴OH=1∴△OCH是等边三角形，∵△OMN是等边三角形，∴∠MON=∠HOC=60°，OM=ON，∠OHC=60°，∴∠MOH=∠CON，∠OHM=120°∴△OMH≌△ONC，∴∠OCN=∠OHM=120°∴点N从起点到C做直线运动，∵当点M在点B时，CN=BH=9，∴点M从B运动到H时，点N运动路径的长度等于9；当点M在线段HC上时，如图3，∵H是BC的中点，OB⊥AC，∴OH=1∴△OCH是等边三角形，∵△OMN是等边三角形，∴∠MON=∠HOC=60°，OM=ON，∠OHC=60°，∴∠MOH=∠CON，∴△OMH≌△ONC，∴∠OCN=∠OHM=60°∴点N从C到终点做直线运动，∵当点M在点C时，CN=CH=9，∴点M从H运动到C时，点N运动路径的长度等于9；综上所述，N的路径长度为：9+9=18．13．（23-24八年级上·重庆万州·阶段练习）（1）问题情境如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE，求证：△ABD≌△ACE．（2）迁移应用如图2，△ABC和△ADE都是等边三角形，A，B，E三点在同一条直线上，M是AD的中点，N是AC的中点，P在BE上，△MNP是等边三角形，求证：P是BE的中点．（3）拓展创新如图3，P是线段BE的中点，BE=9，在BE的下方作等边△PFH（P，F，H三点按逆时针顺序排列，△PFH的大小和位置可以变化），连接EF，BH．当EF+BH的值最小时，直接写出等边△PFH边长的最小值．【思路点拨】（1）证出∠BAD=∠CAE，根据SAS证明△ABD≌△ACE；（2）在AE上取点K，使得AK=AM，连接KM，证明△AMN≌△KMP(SAS)，由全等三角形的性质得出AN=KP，证出（3）作∠EPQ=60°，使PQ=PE，连接QE,QB，证明△EPF≌△QPH(SAS)，由全等三角形的性质得出EF=QH，则EF+BH=QH+BH，当点H在线段QB上时，【解题过程】（1）证明:∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=AC,AD=AE，∴∠BAC−∠ACD=∠DAE−∠ACD，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAE(SAS（2）证明:在AE上取点K，使得AK=AM，连接KM，∵△ABC和△ADE都是等边三角形.∴∠DAE=60°，AD=AE，AC=AB，∴△AMK是等边三角形,∴AM=MK=AK，∠AMK=60°，∵△MPN是等边三角形,∴MN=MP，∠PMN=60°，∴∠PMN=∠KMA，∴∠PMN−∠AMP=∠KMA−∠AMP，即∠AMN=∠KMP，在△AMN和△KMP中AM=KM∠AMN=∠KMP∴△AMN≌△KMP(SAS∴AN=KP，∴AM=AK=AP+AN，∵M为AD的中点,点N为AC的中点,∴AE=AD=2AM，AB=AC=2AN，设AP=x，AN=y，则AK=x+y，AB=2y，∴AE=2AK=2x+2y，BP=AB+AP=x+2y，∴EP=AE−AP=x+2y，∴EP=BP，∴点P为BE的中点；（3）作∠EPQ=60°，使PQ=PE，连接EQ,QB，∵△PFH是等边三角形,∴PF=PH，∠FPH=60°，∴∠EPF=∠QPH，∴△EPF≌△QPHSAS∴EF=QH，∴EF+BH=QH+BH，当点H在线段QB上时，EF+BH的值最小，此时PH⊥BQ，PH的值最小，∵PQ=PB=PE，∴∠PBQ=∠PQB=30°，在Rt△PBH中，PH=即当EF+BH的值最小时，△PFH边长的最小值为914．（23-24八年级上·山东聊城·期中）已知在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，ED=EC．（1）如图（1），当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系；AE______DB（填“>”“<”或“=”）．（2）如图（2），当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．（3）如图（3）在等边三角形ABC中，点E在线段AB的延长线上，点D在线段CB的延长线上，且ED=EC，若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长．【思路点拨】（1）由等腰三角形的性质得∠D=∠ECD，再由等边三角形的性质得∠ECD=12（2）过点E作EF∥BC，交AC于点F，证△AEF为等边三角形，得AE=EF，再证△DBE≌△EFC（AAS），得DB=EF，即可得出结论；（3）过点E作EF∥BC，交AC的延长线于点F，可证得△AEF是等边三角形，△DEB≌△ECF(AAS)，由DB=EF=2，【解题过程】（1）解：如图1，∵△ABC是等边三角形，点E是AB的中点，∴CE平分∠ACB，CE⊥AB，∠ACB=60°，∴∠BEC=90°，∠又∵ED=EC，∴∠D=∴∠DEC=120°∴∠DEB=120°−90°=30°∴∠D=∴BD=BE=AE，即AE=DB，故答案为：=．（2）解：当点E为AB上任意一点时，如图2，AE=DB．理由如下：如图2，过E作EF∥BC交AC于F，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC=60°，∠∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF=AF，∵∠ABC=∴∠DBE=∠EFC=120°∵DE=EC，∴∠D=∴∠BED=在△DEB和△ECF中，∠DEB=∠ECF∠DBE=∠EFC∴△DEB≌△ECF(AAS∴BD=EF=AE，即AE=BD，（3）解：过点E作EF∥BC，交AC的延长线于点F，如图3所示：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=∴∠AEF=∠ABC=60°即∠AEF=∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF=AF=2，∵∠ABC=∴∠DBE=∵DE=EC，∴∠D=∵EF∥BC，∴∠ECD=∴∠D=在△DEB和△ECF中，∠D=∠CEF∠DBE=∠EFC∴△DEB≌△ECF(AAS∴DB=EF=2，∵BC=1，∴CD=BC+DB=3．15．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在等边△ABC中，点D、E分别是边AC、BC上的点，且AD=CE，AE、BD交于点F．（1）如图1，求证：∠BFE=60°；（2）如图2，过点B作BG⊥AE于点G，过点C作CH∥BD交AE延长线于点H，若F为AG中点，求证：（3）如图3，在（2）的条件下K为AB延长线上一点，且∠K+∠ABD=60°，△ABC的面积为6，求△BEK的面积．【思路点拨】（1）利用等边三角形的性质，证明△BAD≌△ACESAS，得到∠DBA=∠EAC，进而得到∠BFE=∠EAC+∠BAE=∠BAC=60°（2）含30度的直角三角形的性质，得到BF=2FG=AG，证明△ABF≌△CAGSAS，得到CG=AF，∠CGA=∠AFB=120°，推出△CGH是等边三角形，得到GH=CG=AF=FG（3）等角对等边证明AK=EK，BG垂直平分FH，得到BF=BH，证明△BFH为等边三角形，作EM⊥BH于M，EN⊥HC于N，HP⊥BC于P，角平分线的性质，推出S△AEC=13S△ABC=2，作KR【解题过程】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°，在△BAD和△ACE中AD=CE∠BAD=∠C∴△BAD≌△ACESAS∴∠DBA=∠EAC，∵∠BFE=∠DBA+∠BAE，∴∠BFE=∠EAC+∠BAE=∠BAC=60°．（2）∵∠BFE=60°，∴在Rt△BFG中，∠FBG=30°∴BF=2FG=AG，连接CG，在△ABF和△CAG中，BF=AG∠ABF=∠CAG∴△ABF≌△CAGSAS∴CG=AF，∠CGA=∠AFB=120°，∴∠BFE=∠CGH=60°，又∵CH∥∴∠BFE=∠H，∴∠GCH=60°，∴∠CGH=∠H=∠GCH=60°，∴△CGH是等边三角形，∴GH=CG=AF=FG，∴BF=2FG=FH．（3）∵∠AKE+∠ABD=60°，∠AKE+∠BEK=∠ABC=60°，∴∠ABD=∠BEK，∵∠BAE+∠ABD=60°，∴∠AKE=∠BAE，∴AE=EK，连接BH，∵BG⊥AE，FG=GH，∴BG垂直平分FH，∴BF=BH，∵∠BFE=60°，∴△BFH为等边三角形，∴BF=BH，∠FHB=∠FHC=60°，∴HE平分∠BHC，作EM⊥BH于M，EN⊥HC于N，HP⊥BC于P，∴PM=PN，∵S△BEH=1∴S△BEH∴S△AEC过K作AC的平行线交CB的延长线于R，∴∠RBK=∠RKB=60°，∴∠BRK=60°，∴∠RBK=∠RKB=∠BRK=60°，∴△KRB为等边三角形，∴RB=KR，∵∠ABD=∠CAE，∠ABD=∠BEK，∴∠CAE=∠KER，在△EKR和△AEC中，∠ERK=∠ACE∠KER=∠EAC∴△EKR≌△AECAAS∴RB=KR=EC=1∴S△BEK16．（22-23九年级上·安徽·阶段练习）安安利用两张正三角形纸片，进行了如下探究：

【探究证明】（1）如图1，△ABC和△DCE均为等边三角形，连接AE交BD延长线于点F，求证：∠AFB=60°；【拓展延伸】（2）如图2，在正三角形纸片△ABC的BC边上取一点D，作∠ADE=60°交∠ACB外角平分线于点E，探究CE，DC和AC的数量关系，并证明；【思维提升】（3）如图3，△ABC和△DCE均为正三角形，当B，C，E三点共线时，连接PC，若BC=3CE，直接写出下列两式分别是否为定值，并任选其中一个进行证明：①AP−3PDPC②AP+PC+2PDBD−PC+PE【思路点拨】（1）证明△ACE≅△BCD(SAS)，推出（2）如图2，在AB上取一点G，使得BG=BD，证明△BDG是等边三角形，然后证明△ADG≅△DEC(ASA)，可得（3）如图3，在AE上取一点F，使得BF=PD，证明△CEF≅△CDP(SAS)，CF=CP，∠ECF=∠DCP，证明ΔPCF是等边三角形，所以PC=PF=CF，过点C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分别为M，N，根据△ACE≅△BCD，可得△ACE的面积=△BCD的面积，根据AE=BD，可得CM=CN，根据BC=3CE，可得BP=3PE=3PC+3PD，所以AE=BD=BP+PD=3PC+4PD【解题过程】（1）证明：如图1，设AC与BF交于点G，

∵△ABC，△DCE都是等边三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°−∠ACD=∠ACE，在△ACE和△BCD中，AC=BC∠ACE=∠BCD∴△ACE≅△BCD(SAS∴∠CAE=∠CBD，∵∠AGF=∠BGC，∴∠AFB=∠BCG=60°；（2）解：AC=CE+DC，理由如下：如图2，在AB上取一点G，使得BG=BD，

∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠ACB=60°，AB=BC，∴△BDG是等边三角形，∴∠BGD=60°，∴∠AGD=120°，AG=DC，∵CE是∠ACB外角平分线，∴∠ACE=60°，∴∠DCE=60°+60°=120°，∴∠AGD=∠DCE，∵∠ADE=60°，∠BDG=60°，∴∠ADG+∠CDE=180°−60°−60°=60°，∵∠ADG+∠DAG=60°，∴∠DAG=∠EDC，∴△ADG≅△DEC(ASA∴DG=CE，∴AC=BC=BD+CD=DG+CD=CE+CD，∴AC=CE+CD；（3）解：①AP−3PDPC=2，②如图3，在AE上取一点F，使得EF=PD，

∵△ABC和△DCE均为正三角形，B，C，E三点共线，∴CE=CD，∠ECD=60°，由（1）知：△ACE≅△BCD(SAS∴∠CEA=∠CDB，∴△CEF≅△CDP(SAS∴CF=CP，∠ECF=∠DCP，∴∠PCF=∠DCP+∠DCF=∠ECF+∠DCF=∠DCE=60°，∴△PCF是等边三角形，∴PC=PF=CF，过点C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分别为M，N，∵△ACE≅△BCD，∴△ACE的面积=△BCD的面积，∵AE=BD，∴CM=CN，∵BC=3CE，∴BP=3PE=3(PF+EF)=3(PC+PD)=3PC+3PD，∴AE=BD=BP+PD=3PC+4PD，∴AP=AE−PE=3PC+4PD−(PC+PD)=2PC+3PD，∴①AP−3PDPC②∵AP+PC+2PD=2PC+3PD+PC+2PD=3PC+5PD，BD−PC+PE=3PC+4PD−PC+PC+PD=3PC+5PD，∴AP+PC+2PD=BD−PC+PE，∴AP+PC+2PDBD−PC+PE综上所述：①AP−3PDPC=2，②17．（2023七年级下·全国·专题练习）已知：△ABC是等边三角形，△BDC是等腰三角形，其中∠BDC=120°，过点D作∠EDF=60°，分别交AB于E，交AC于F，连接EF．（1）若BE=CF，求证：①△DEF是等边三角形；②BE+CF=EF．（2）若BE≠CF，即E、F分别是线段AB、AC上任意一点，BE+CF=EF还会成立吗？请说明理由．【思路点拨】（1）延长AB到N，使BN=CF，连接DN，通过证明△EBD≌△FCD(SAS)，得到ED=DF，得出△EDF是等边三角形，通过证明△NBD≌△FCD(SAS)，得到DN=DF，∠NDB=∠FDC，求出∠EDF=∠EDN，通过证明△EDN≌△EDF(SAS)，得到EF=EN，即可得到答案；（2）延长AB到N，使BN=CF，连接DN，通过证明△NBD≌△FCD(SAS)，得到DN=DF，∠NDB=∠FDC，求出∠EDF=∠EDN，通过证明△EDN≌△EDF(SAS)，得到EF=EN，即可得到答案．【解题过程】（1）证明：延长AB到N，使BN=CF，连接DN，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵△DBC是等腰三角形，∠BDC=120°，∴∠DBC=∠DCB=30°，∴∠ACD=∠ABD=30°+60°=90°，在△EBD和△FCD中，BE=CF∠EBD=∠FCD∴△EBD≌△FCD(SAS)，∴ED=DF，∵∠EDF=60°，∴△EDF是等边三角形，∵△EBD≌△FCD，∴∠EDB=∠FDC，在△NBD和△FCD中，BD=DC∠NBD=∠FCD=90°∴△NBD≌△FCD(SAS)，∴DN=DF，∠NDB=∠FDC，∵∠EDB=∠FDC，∴∠EDB=∠BDN=∠FDC，∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠EDB+∠FDC=60°，∴∠EDB+∠BDN=60°，即∠EDF=∠EDN，在△EDN和△EDF中，DE=DE∠EDF=∠EDN∴△EDN≌△EDF(SAS)，∴EF=EN=BE+BN=BE+CF，即△EDF是等边三角形，BE+CF=EF；（2）解：BE+CF=EF还成立，理由是：延长AB到N，使BN=CF，连接DN，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵△DBC是等腰三角形，∠BDC=120°，∴∠DBC=∠DCB=30°，∴∠ACD=∠ABD=30°+60°=90°=∠NBD，在△NBD和△FCD中，BD=DC∠NBD=∠FCD=90°∴△NBD≌△FCD(SAS)，∴DN=DF，∠NDB=∠FDC，∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠EDB+∠FDC=60°，∴∠EDB+∠BDN=60°，即∠EDF=∠EDN，在△EDN和△EDF中DE=DE∠EDF=∠EDN∴△EDN≌△EDF(SAS)，∴EF=EN=BE+BN=BE+CF，即BE+CF=EF．18．（22-23八年级上·重庆·阶段练习）△ABC是等边三角形，点D、E分别在边AB，BC上，若（1）如图1，求证：∠AFD=60（2）如图2，FH为∠AFC的平分线，点H在FM的延长线上，连接HA、HC，∠AHC+∠AFC=180（3）如图3，在（2）的条件下，延长AF交CH的延长线于点K，点G在线段AH上，GH=CK，连接CG交FH于点M，FN=3，AK=8，求FH的长．【思路点拨】（1）通过证明△ACE≌△CBD，得到∠CAE=∠BCD，再根据三角形的外角定理，即可得到（2）过点H作HG⊥AE于点G，作HK⊥DC，交DC延长线于点K，证明△AHG≌△CHK和（3）作GJ⊥FH于点J，CT⊥FH于点T，CI⊥AK于点I，通过证明Rt△CFT≌Rt△CFI，△GNJ≌△CNT【解题过程】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠B=∠ACE=60°，在△ACE和△CBD中，AC=BC∠B=∠ACE=60°∴△ACE≌∴∠CAE=∠BCD，∵∠ACD+∠BCD=60°，∴∠ACD+∠CAE=60°，∴∠AFD=∠ACD+∠CAE=60°；（2）过点H作HG⊥AE于点G，作HK⊥DC，交DC延长线于点K，由（1）可得：∠AFD=60°，∴∠AFK=180°−60°=120°，∵FH为∠AFC的平分线，HG⊥AE，HK⊥DC，∴∠HFA=∠HFK=60°，HG=HK，在四边形HGFK中，∠GHK+∠AFC=180°，∵∠AHC+∠AFC=180∴∠AHC=∠GHK=60°，∴∠AHC−∠GHC=∠GHK−∠GHC，即∠AHG=∠CHK，在△AHG和△CHK中，∠AHG=∠CHKHG=HK∴△AHG≌∴AH=CH，AG=CK∴△ACH为等边三角形，在Rt△HGF和RtHF=HFHG=HK∴Rt△HGF∴GF=KF，∵AF+CF=AG+GF+CF=CK+GF+CF=GF+KF，∴AF+CF=2GF=2KF，∵∠HFK=60°，∠K=90°，∴∠FHK=30°，∴FH=2KF，∴AF+CF=FH．（3）作GJ⊥FH于点J，CT⊥FH于点T，CI⊥AK于点I，∵∠CFT=∠CFI=60°，CT⊥FH，CI⊥AK，∴CI=CT，在Rt△CFT和RtCF=CFCI=CT∴Rt△CFT∴FI=FT，∵△AHC为等边三角形，∴∠CAH=∠CFT=60°，∴∠GHJ=∠ACF，∵∠ACF+∠BCD=60°,∠CAE+∠BAE=60°,∠BCD=∠CAE，∴∠ACF=∠BAE，∵AB∥∴∠K=∠BAE，∴∠K=∠GHJ，在△HJG和△KIC中，∠K=∠GHJ∠HJG=∠CIK∴△HJG≌∴CI=GJ=CT,EK=HJ，在△GNJ和△CNT中，∠GNJ=∠CNT∠GJN=∠CTN=90°∴△GNJ≌∴JN=NT，在Rt△ACI和RtCI=CTCA=CH∴Rt△ACI∴AE=HT，设FI=FT=x,TN=NJ=y,HJ=EK=z，则FN=FT+TN=x+y=3，AK=AE+EK=HT+EK=HJ+TN+NJ+EK=2y+2z=8，∴y+z=4，∴FH=FN+NH=FN+y+z=3+4=7．19．（23-24八年级上·山东日照·期末）已知，如图1，在等边△ABC中，∠BAC与∠ABC的角平分线交于点O，点D、E分别在边AB,BC上，且∠DOE=60°，猜想AD、DE、BE三者之间的数量关系．（1）方法探索：小敏的思路是：如图3，在AB上取一点F，使AF=BE，连接OF．先证明△BOE≌△______，从而OE=______；继而证明△DOE≌△______，从而DE=______；因此可判断AD、（2）拓展运用：如图2，点D在边AB上，点E在CB的延长线上，其它条件不变，猜想AD、DE、BE三者之间的数量关系，并说明理由．【思路点拨】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等角对等边等知识点：（1）如图3，在AB上取一点F，使AF=BE，连接OF，先证明△BOE≌△AOF得到OE=OF，∠AOF=∠B