2024-2025学年天津五十一中高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年天津五十一中高二（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共9小题，每小题4分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知过点P(3,2m)和Q(m,2)的直线与过点M(2,−1)和N(−3,4)的直线斜率相等，则m的值是(

)A.1 B.−1 C.2 D.−22.在直角坐标平面内有两点A(4,2)，B(1,−2)，在x轴上有点C，使∠ACB=90°，则点C的坐标是(

)A.(3,0) B.(0,0) C.(5,0) D.(0,0)或(5,0)3.在空间直角坐标系中，点A(2,−1,3)关于平面xOz的对称点为B，则OA⋅OB=A.−10 B.10 C.−12 D.124.已知a+b=(2,2,23)A.13 B.16 C.65.正方体ABCD−A1B1CA.A1C B.BD C.CD6.下列四组直线中，互相垂直的一组是(

)A.2x+y−1=0与2x−y−1=0 B.2x+y−1=0与x−2y+1=0

C.x+2y−1=0与x−y−1=0 D.x+y=0与x+y−3=07.若直线l：ax+y−2−a=0在x轴和y轴上的截距相等，则直线l的斜率为(

)A.1 B.−1 C.−2或1 D.−1或−28.已知点A(2,−1,2)在平面α内，n=(3,1,2)是平面α的一个法向量，则下列点P中，在平面α内的是(

)A.P(1,−1,1) B.P(1,3,32) C.P(1,−3,9.过点P(−1,1)的直线l与连接A(3,3)，B(−2,6)的线段总有公共点(不包含端点)，则直线l的斜率的取值范围是(

)A.(−5,12) B.(−∞,−5)∪(12,+∞)二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。10.已知A(0,3)，B(1,2)，C(3,m)三点共线，则实数m的值为______．11.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，设AA1=1

12.已知a=(1,1,0)，b=(−1,0,2)，且ka+b与2a−13.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，ED=2FC=2，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为______．

14.直线l的方向向量是s=(−1,x−1,x−1)，平面α的法向量n=(2,6,−4)，若直线l//平面α，则x=______．15.垂直于直线3x−4y−7=0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线l的方程为______．三、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题10分)

如图，棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点．

(1)17.(本小题10分)

求经过直线l1：3x+4y−5=0，l2：2x−3y+8=0的交点M，且满足下列条件的直线的方程．

(1)经过点P(1,3)；

(2)与直线2x+y+5=0平行；

(3)与直线2x+y+5=0垂直．18.(本小题10分)

如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AB=AP=1，AD=3，E为PD的中点．

(1)求直线PD与平面AEC所成角的余弦值．

(2)求二面角E−AC−D19.(本小题10分)

如图，在三棱台ABC−A1B1C1中，若A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC=AA1=2，A1C1=1，N为AB中点，M为棱BC上一动点(不包含端点)．

(1)若M为BC的中点，求证：A1N//平面

参考答案1.B

2.D

3.D

4.C

5.D

6.B

7.C

8.B

9.B

10.0

11.1312.7513.314.2

15.4x+3y±12=0

16.(1)证明：建立如图所示的空间直有坐标系D−xyz，(1分)

则D(0,0,0)，E(0,0,12)，C(0,1,0)，F(12,12,0)，G(1,1,12)

所以EF=(12,12,−12)，CF=(12,−12,0)，

CG=(1,0,12)17.解：(1)由3x+4y−5=02x−3y+8=0，求得x=−1y=2，可得直线l1：3x+4y−5=0，l2：2x−3y+8=0的交点M(−1,2)．

∵直线还经过点P(1,3)，故它的方程为y−23−2=x+11+1，即x−2y+5=0．

(2)根据所求直线与直线2x+y+5=0平行，可设它的方程为2x+y+m=0，

再把点M(−1,2)代入，可得−2+2+m=0，求得m=0，故所求的直线的方程为2x+y=0．

(3)根据所求直线与直线2x+y+5=0垂直，可设它的方程为x−2y+n=0，

再把点M(−1,2)18.解：由题意，以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图空间直角坐标系，

由于AB=AP=1，AD=3，所以B(1,0,0)，D(0,3,0)，C(1,3,0)，P(0,0,1)，

又因为E为PD的中点，故E(0,32,12)，

所以PD=(0,3,−1)，AE=(0,32,12)，AC=(1,3,0)，

设平面AEC的法向量为n=(x,y,z)，

所以n⋅AE=0n⋅AC=0，即32y+12z=0x+3y=0，

令x=3，则y=−1,z=3，

故平面AEC的法向量为n=(3,−1,19.解：(1)证明：分别取AB中点N，连接MN，

则MN为△ABC的中位线，

∴MN/​/AC，MN=12AC=1，

又A1C1=1，AC/​/A1C1，

∴MN/​/A1C1，MN=A1C1，

∴四边形MNA1C1为平行四边形，

∴A1N//C1M，又A1N⊄平面C1MA，