2024-2025学年江苏省常州市联盟校高二上学期学情调研（10月）数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江苏省常州市联盟校高二上学期学情调研数学试题（10月）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知直线过A(2,3)，B1,m两点，且倾斜角为45∘，则m=(

)A.0 B.3 C.2 D.52.若圆x2+y2+ax−3=0的圆心是A.4 B.3 C.2 D.13.过点A4,−1与B0,7的直线的斜截式方程是(

)A.y=−2x+7 B.y=−2x−1 C.y=2x+7 D.y=−2x+44.直线l1:ax+2y−2=0，直线l2:x+A.若l1//l2，则a=1或a=−2

B.若l1⊥l2，则a=23

C.5.方程x2+y2A.4π B.9π C.8π D.16π6.已知点A−1,0，B0,1，点P是圆x−22+y2A.2 B.1 C.12 D.7.以下四个命题表述正确的是(

)A.斜率为−2，在y轴上的截距为3的直线方程为y=−2x±3

B.经过点1,1且在x轴和y轴上截距相等的直线方程为x+y−2=0

C.设点Mx,y是直线x+y−2=0上的动点，O为原点，则OM的最小值是2

D.已知直线kx−y−1=0和以M−3,1，N3,28.若圆C:x−32+y−42=4上总存在两点关于直线4ax+3by+12=0对称，则过圆C外一点a,bA.4 B.42 C.2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在平面直角坐标系中，已知点A(2,0)，B(0,4)，C(2,4)，O(0,0)，则(

)A.直线AC的倾斜角不存在 B.直线OC与直线AB的倾斜角相等

C.直线OC与直线AB的斜率之和为0 D.点C到直线AB的距离为410.下列说法正确的有(

)A.若方程x2+y2+2x+m=0表示一个圆，则实数m的取值范围−∞,1

B.已知O为坐标原点，点Pa,b是圆x2+y2=r2r>0上的一点，则直线ax+by=r2与圆相切

C.若圆M:x−4211.已知曲线C的方程为：x2+y2A.曲线C关于原点对称

B.曲线C围成的图形的面积大于16

C.曲线C上任意两点间的距离不超过2+22

D.直线y=2x−三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.直线l经过点P(1,2)，且与x轴、y轴分别交于A，B两点，若P是线段AB的中点，则直线l的一般式方程为

．13.已知点P0,−1关于直线x−y+1=0对称的点Q在圆C:x2+y2+mx+4=014.已知在平面直角坐标系xOy中，直线l:2kx−y+3k=0上存在动点P满足条件A−3,0，B1,0，且PA=3PB时，则实数k的取值范围为四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知▵ABC的三个顶点是A4,1，B6,7，(1)求BC边上的高的直线方程；(2)求平分▵ABC的面积且过点C的直线的方程．16.(本小题12分)已知直线l过直线x+2y−3=0和2x−y+4=0的交点P．(1)若直线l过点P，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；(2)若圆C过点P及Q3,−4，圆C面积存在最小值吗？如果存在，求出面积的最小值和此时圆的方程，若不存在，请说明理由．17.(本小题12分)已知圆C:x2+y2−2x−2y+m=0与y轴交于A，B两点，且∠ACB=90∘(C为圆心)，过点P0,−2且斜率为(1)求实数m的值及圆C的一般方程；(2)求k的取值范围；(3)若OM⋅ON=0，O为坐标原点，求直线l

的18.(本小题12分)已知圆C过两点A−1,1、B1,3，且圆心C在直线x−2y+1=0(1)求圆C的标准方程；(2)求过点P3,4的圆C(3)若直线l的横截距为aa>1，纵截距为bb>1，直线l被圆C截得的弦长为2319.(本小题12分)在直角▵ABC中，∠C为直角，顶点A，B的坐标分别为−4,0，6,0，圆D是▵ABC的外接圆，D为圆心，已知点P4,4，过点P作两条相异直线分别与圆D相交于M，N(1)求圆D的方程并判断点P4,4与圆D(2)若直线PM和直线PN与x轴分别交于点G、H，且∠PGH=∠PHG，试判断直线MN的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

参考答案1.C

2.C

3.A

4.D

5.B

6.C

7.C

8.D

9.CD

10.ABC

11.AB

12.2x+y−4=0

13.9214.−15.解：(1)由题意可得：直线BC的斜率kBC则BC边上的高所在直线的斜率k=−32，又这条直线过点所以直线方程为y−1=−32x−4(2)由题意可知：所求直线即为边AB的中线所在的直线，则线段AB的中点为D5,4，可得直线CD的斜率k所以直线CD的方程为y=15x+3

16.解：(1)由题意可知：联立方程组x+2y−3=02x−y+4=0，解得x=−1y=2，即交点由直线方程l在两坐标轴上的截距相等，当直线l过原点时，则直线l的方程为y=−2x在两坐标轴上的截距相等；当直线l不过原点时，设直线l的方程为xa+ya=1，将点P所以直线l的方程为x+y=1，综上所述直线l的方程为2x+y=0或x+y−1=0；(2)设圆心的坐标为Ca,b，C在PQ∵kPQ=−32，P∴PQ的中垂线的方程为y+1=23x−1∴2a−3b−5=0，即a=3b+5半径r=PC当b=−1时，r取得最小值13，圆的面积的最小值为13π取最小值时圆心为1,−1，r=13，则圆的方程为

17.解：(1)化圆的一般方程为标准方程：x−12则圆心为

C1,1，半径为r=2−m又∠ACB=90∘，则所以C到AB的距离为2则22×所以圆C:x(2)设直线l:y=kx−2，其与圆x−12+y−12=2则圆心到直线l的距离d=k−1−2解得：k>1或k<−7；(3)若OM⋅ON=0，O因为O在圆上，所以MN

为

直径，即直线l过圆心C，则1=k−2，整理得：3x−y−2=0．

18.解：(1)解：因为圆心C在直线x−2y+1=0上，设圆心为C2t−1,t因为点A−1,1、B1,3在圆C上，所以即4t2所以圆心C1,1，半径r=OA=2(2)解：由(1)可得圆C:x−12+y−12因为3−12+4−12>4当过点P3,4的直线斜率不存在，则直线方程为x=3圆心C到直线x=3的距离为2，故直线x=3为圆C的切线；当过点P3,4可设直线方程y−4=kx−3，即kx−y−3k+4=0圆心C到该直线的距离d=3−2k由直线kx−y−3k+4=0与圆C相切，则d=r，即3−2k可得4k2−12k+9=4此时，直线方程为y−4=512x−3综上，切线的方程为x=3或5x−12y+33=0．(3)解：∵直线l被圆C截的弦长为2所以，圆心C到直线l的距离为d=又直线l的横截距为aa>1，纵截距为b则直线l的方程为xa+y圆心C1,1到直线l

的

距离为d=a+b−ab由a+b≥2ab，得ab+2=2a+b解得ab≤2−因为a>1，b>1，则ab>1，则ab≥2+当且仅当a=bab=2+所以，ab的最小值为6+4

19.解：(1)∵在直角▵ABC中，∠C是直角，顶点A，B的坐标分别为−4,0，6,0，∴AB是直径，则AB的中点(1,0)，即圆心D1,0半径R=5，则圆D的方程为x−