2024-2025学年北京市朝阳区外国语学校高三上学期质量检测二数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市朝阳区外国语学校高三上学期质量检测二数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若全集U=0,1,2,3,4,A=0,1,4,B=1,3A.2,3 B.1,3,4 C.1,2,3 D.0,12.关于函数fx=log2A.在R上是增函数 B.在R上是减函数

C.在区间(14,+∞)上是增函数 D.3.已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点2,3，则sin3π+α=(

)A.31313 B.−3134.函数fx是定义在R上的奇函数，当x>0时，fx=log2A.12 B.2 C.−125.函数y=f(x)，其中f(x)=asinx+b，(x∈0,2π)，a,b∈R，它的图象如图所示，则y=f(x)的解析式为(

)．A.f(x)=12sinx+1，x∈0,2π B.f(x)=sinx+12，x∈0,2π6.若a，b，l是空间中三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中真命题是(

)A.若a//β，a⊂α，α∩β=l，则a//l

B.若α⊥β，α∩β=l，a⊥l，则a⊥β

C.若a⊂α，b⊂β，a//b，则α//β

D.若α⊥β，a⊂α，b⊂β，则a7.已知x3−y3A.lnyx>0 B.lny−x+1>0

8.设等比数列an的前n项和为Sn，则“a3>a2A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件9.光线通过一块玻璃，强度要损失10%.设光线原来的强度为k，通过x块这样的玻璃以后强度为y，则经过x块这样的玻璃后光线强度为：y=k⋅0.9x，那么至少通过(

)块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的14以下A.12 B.13 C.14 D.1510.已知无穷数列an的各项均为实数，Sn为其前n项和，若对任意正整数k>2024都有Sk>A.a1，a3，a5，…，a2n−1为等差数列，a2，a4，a6，…，a2n为等比数列

B.a1，a3，a5，…，a2n−1为等比数列，a2，a4，a6，…，a2n为等差数列

C.a1，a2，a3，…，a2024为等差数列，a2024，a2025，…，an，…二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.已知等比数列an的前n项和为Sn,a2=112.已知向量a=2,1，b=−2,4，则13.已知α∈−π2,π2，且2+3sin14.设正实数x,y满足xy=10,lgx⋅lgy=−34，则15.某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力(战斗单位数)随时间的变化遵循兰彻斯特模型：xt=X0cosℎabt−baY0sinℎabtyt=Y0cosℎ①若X0>Y0且②若X0>Y0且③若X0④若X0其中所有正确结论的序号是

．三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题12分)已知函数fx(Ⅰ)若α是第二象限角，且sinα=6(Ⅱ)求函数fx的定义域和值域．17.(本小题12分)在▵ABC中，已知a2(1)求角C的大小；(2)若c=22，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得▵ABC存在且唯一确定，求条件①：sinA=条件②：2acos条件③：▵ABC的周长是2注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18.(本小题12分)如图．在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．(1)求证：平面AEF⊥平面PBC；(2)若F为线段BC上靠近B的三等分点，求平面AFE与平面AFC夹角的余弦值．19.(本小题13分已知函数fx=a(1)当a=0时，求曲线y=fx在点0,f(2)当a>0时，求fx(3)在(2)的条件下，若对于任意x∈1,3，不等式12≤fx20.(本小题13分)已知函数fx=ex−12x2(1)求直线l在y轴上的截距的取值范围：(2)设直线y=a分别与曲线y=f(x)和射线y=x−1(x∈0,+∞)交于M，N两点，求|MN|的最小值及此时a21.(本小题13分已知An:a1,a2,⋯,ann≥3为有穷整数数列，若An满足：(1)若p=−1，q=2，那么是否存在具有性质T的A5？若存在，写出一个这样的A(2)若p=−1，q=2，且A10具有性质T，求证：a(3)若p+q=1，求证：存在正整数k，使得对任意具有性质T的Ak，都有a1,参考答案1.C

2.C

3.B

4.D

5.A

6.A

7.B

8.D

9.C

10.C

11.7412.5

13.−π2或14.±2

15.①②④

16.解：(1)因为α是第二象限角，且sinα=所以cosα=−所以tanα=所以fα(2)函数fx的定义域为x化简，得f==co==sin因为x∈R，且x≠kπ+π2，所以2x+π所以−1≤sin所以函数fx的值域为−(注：或许有人会认为“因为x≠kπ+π2，所以f

17.(1)因为a2+b可得cosC=且C∈0,π，所以C=(2)因为C=π4，c=2可得a=4sin若选条件①：因为C=π4，sinA=可得A∈π4,若选条件②：因为2acos由正弦定理可得2sin且A∈0,π，则sinA≠0，可得则A=π3，因为两角和两边均已确定，根据三角形全等可知三角形存在且唯一，又因为sinB=所以▵ABC的面积S▵ABC若选条件③：因为▵ABC的周长是2则a+b+c=a+b+22=2由余弦定理可得c2=a整理可得a2−2可知方程a2−26a+8且a1+a2=2即边a不唯一，不合题意．综上，只有选条件②符合题意．

18.(1)因PA=AB，E为PB中点，则AE⊥PB，又PA⊥底面ABCD，而BC⊂底面ABCD，则有PA⊥BC，又因BC⊥AB，AB∩PA=A，AB,PA⊂平面PAB，于是得BC⊥平面PAB，而AE⊂平面PAB，因此BC⊥AE，又BC∩PB=B，BC,PB⊂平面PBC，从而得AE⊥平面PBCAE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面PBC．(2)以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A−xyz，不妨设PA=AB=6，则A(0,0,0),E(3,0,3),F(6,2,0),P(0,0,6)，AE=(3,0,3),因PA⊥底面ABCD，则平面AFC的法向量为AP=(0,0,6)设平面AEF的法向量为n=(x,y,z)，则令x=−1，得n=(−1,3,1)设平面AFE与平面AFC夹角为θ，显然θ为锐角，则cosθ=|所以二平面AFE与平面AFC夹角的余弦值为11

19.解：(1)因为a=0，所以fx故f′x所以f0=−1，所以曲线y=fx在点0,f0处的切线方程为y+1=2x，

即(2)因为f(x)=a所以f′x因为a>0，令f′x=0，

即解得x1=−1a，x2当x变化时，f′x，fx−∞,−−−22,+∞f′−0+0−f单调递减极小值单调递增极大值单调递减所以fx的单调递减区间为−∞,−1a和2,+∞(3)在(2)的条件下，x∈1,3所以fx在区间1,2上单调递增，在区间2,3因为对于任意x∈1,3，不等式1所以f1≥12，所以f1=ae≥12，得f2=4a+1因为e2所以e2>e3−418．

20.(1)对fx求导数，得f′x=ex−x，所以切线l的斜率为即y=ex0−x0x+设gx=1−xex+12x列表得：x−1−1,000,11g′−0−g2单调递减1单调递减1所以函数gx在−1,1上单调递减，所以gxmax所以直线l在y轴上的截距的取值范围是12(2)过M作x轴的垂线，与射线y=x−1交于点Q，所以▵MNQ是等腰直角三角形．所以MN=设ℎx=ex−令kx=e所以kx=ℎ′x所以ℎ′x≥ℎ′0=0，从而所以ℎxmin=ℎ0=2所以MN的最小值为2，此时a=1．

21.(1)不存在具有性质T的A5设A5:a1,设a2−a1，a3−a2，a4−a则有a2所以−1×m+24−m=0，解得m=8所以不存在具有性质T的A5(2)设a1，a2，a3，⋯，a10中的最大值为M，则存在ak若存在ak，使ak=M，下证：ak，ak+1，⋯，a假设存在正整数mm<M使得ak，ak+1，⋯，a令集合B=i|ai>m，设则有ai这与ai+1所以ak，ak+1，⋯，a10可以取遍0若M=1，则a1，a2，a3，⋯，a9的取值只能为此时a1，a2，a3，⋯若M=2，则a1，a2，a3，⋯，a9的取值只能为0，此时a1，a2，a3，⋯若M≥3，则a1，a2，a3，⋯，ak中一定有异于再由ak，ak+1，⋯，a10可以取遍0所以a1，a2，a3，⋯当ak=−M，同理可证：a1，a2，⋯，ak从而a1，a2，a3，⋯(3)不妨设p<0<q，