山东省“名校考试联盟”2025届高三上学期10月阶段性检测数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页山东省“名校考试联盟”2025届高三上学期10月阶段性检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知A={x∈Q|(x−2)(x2−3)=0}，B={x∈R|x+3x−2A.{−3,3,2} B.{−2.幂函数y=x23的图象大致为A.B.C.D.3.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，那么tmin后物体的温度θ(单位：℃)可由公式θ=θ0+(θ1−θ0)⋅10−kt求得，其中k是一个随物体与空气的接触情况而定的正常数.A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.54.如图所示，一个组合体的上面部分是一个高为0.5m长方体，下面部分是一个正四棱锥，公共面是边长为1m的正方形，已知该组合体的体积为23m3，则其表面积为(

)

A.(2+2)m2 B.(3+5.若x1，x2是一元二次方程x2−(m+2)x+m=0(m∈R)的两个正实数根，则xA.2 B.4 C.6 D.86.已知等差数列{an}和等比数列{bn}的前n项和分别为Sn和TA.9 B.10 C.11 D.127.若x=2是函数f(x)=ax2+2x−2exA.(−∞,−1) B.(−∞,1) C.(−1,+∞) D.(1,+∞)8.已知函数f(x)=sin6ωx+cos6ωx−1(ω>0)在[0,π3A.[32,3) B.(32,3]二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知Sn为数列{an}的前n项和，若SA.a1=12 B.数列{an−1}10.已知幂函数f(x)=(9m2−3)xm的图象过点A.m=−23

B.f(x)为偶函数

C.n=36411.已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)=f′(x)，若g(x+2)的图象关于直线x=−2对称，且f(x−1)+f(x+1)=1+f(−x)，则(

)A.g(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数

C.3为y=f(x)的一个周期 D.i=1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f(x)=xlnx，曲线f(x)在x=1处的切线方程为

．13.已知a>0且a≠1，函数f(x)=2x,x≥1ax,x<1，若关于x的方程f2(x)−5f(x)+6=0恰有14.已知三棱锥A−BCD的四个顶点都在球O的球面上，若AB=26，CD=23，球O的半径为7，则三棱锥A−BCD四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知函数f(x)=2sin(1)求f(x)在[0,π2(2)已知△ABC的内角A，B，C的对边长分别是a，b，c，若f(C2−π12)=1−16.(本小题12分)已知函数f(x)=ln(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a=1时，证明：当x≥1时，xf(x)−e17.(本小题12分)已知函数f(x)=3(1)若f(x)为奇函数，求a的值;(2)当a<0时，函数f(x)在[m,n]上的值域为[−13m,−18.(本小题12分)已知函数f(x)=8ln(1)若f′(x)在R上单调递减，求a的最大值;(2)证明：曲线y=f′(x)是中心对称图形;(3)若f(x)≤8ln2，求a19.(本小题12分)若存在1，1，2，2，⋯，n，n的一个排列An，满足每两个相同的正整数k(k=1,2,⋯,n)之间恰有k个正整数，则称数列An为“有趣数列”，称这样的n为“有趣数”.例如，数列A7:4，6，1，7，1，4，3，5，6，2，3，7，2，(1)判断下列数列是否为“有趣数列”，不需要说明理由; ①A2:1，2，1，2; ②A3:3，1，2，(2)请写出“有趣数列”A4的所有可能情形(3)从1，2，⋯，4n中任取两个数i和j(i<j)，记i和j均为“有趣数”的概率为Pn，证明：Pn<参考答案1.D

2.B

3.C

4.B

5.C

6.C

7.A

8.D

9.BCD

10.AB

11.ACD

12.x−y−1=0

13.2<a≤3

14.615.解：(1)f(x)=1−cos2(x+π4)−3cos2x

=1+sin2x−3cos2x

=1+2sin(2x−π3)，

函数的单调递增区间满足：−π2+2kπ≤2x−π3≤π2+2kπ(k∈Z)，

解得kπ−π12≤x≤5π12+kπ(k∈Z)，

因为x∈[0,π2]，令k=0，得−π12≤x≤5π12，

令k=1，得11π1216.(1)解：由题意知f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=1x−ax2=x−ax2，

当a≤0时，f′(x)>0恒成立，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增;

当a>0时，令f′(x)=0，得x=a，所以当x∈(0,a)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，

当x∈(a,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．

综上所述：当a≤0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增;

当a>0时，f(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增．

(2)证明：当a=1时，f(x)=lnx+1x，

令g(x)=xf(x)−ex−x+e=xlnx−ex−x+e+1，则g′(x)=lnx−ex，

令ℎ(x)=g′(x)=lnx−ex，则ℎ′(x)=1x−ex，因为x≥117.解：(1)当0在函数f(x)定义域中时，则f(0)=1+a1−a，又因为f(x)为奇函数，所以f(0)=1+a1−a=0，则a=−1，

经检验当a=−1时，f(−x)=3−x−13−x+1=1−3x1+3x=−f(x)，

所以f(x)为奇函数，a=−1符合；

当0不在函数f(x)定义域中时，则当x=0时，30−a=0，所以a=1，

经检验当a=1时，f(−x)=3−x+13−x−1=1+3x1−3x=−f(x)，所以f(x)为奇函数，a=1符合

综上：a=1或a=−1.

(2)当a<0时，f(x)=3x+a3x−a=1+2a3x−a，所以y=f(x)是单调增函数，

f(x)在[m,n](m<n)上的值域为[−13m,−13n]，18.解：(1)由于f′(x)=8ex1+ex+2ax+b，

令g(x)=8ex1+ex+2ax+b，

则g′(x)=2a+8ex(1+ex)2=2a+8ex+1ex+2，

因为f′(x)在R上单调递减，

则g′(x)⩽0在R上恒成立，即2a⩽−8ex+1ex+2在R上恒成立，

因为g′(x)=2a+8ex(1+ex)2=2a+8ex+1ex+2，

因为ex+1ex+2≥2ex⋅1ex+2=4，

则−8ex+1ex+2≥−2，

由题意2a⩽−8ex+1ex+2，

则2a≤−2，

故a≤−1，

所以a的最大值为−1;

(2)证明：因为f′(−x)+f′(x)=8e−x1+e−x+2a(−x)+b+8ex1+ex+2ax+b

=81+ex+8ex1+ex+2b=2b+8，

可知曲线y=f′(x)关于点(0,b+4)对称，是中心对称图形；

(3)若a>0，则当x→+∞时，f(x)→+∞，与f(x)≤8ln2矛盾，

故a≤0，19.解：(1) ①不是“有趣数列”，而 ②是“有趣数列”；

(2)(i)若两个1中间为2，不妨设1，2，1，右边两个2中间可能为1，3或1，4，

则A4可能为4，3，1，2，1，3，2，4或4，3，1，2，1，4，2，3，不符合题意;

(ii)若两个1中间为3，两个2中间可能为3，4或4，3，

则A4可能为4，1，3，1，2，4，3，2或2，3，4，2，1，3，1，4，符合题意；

(iii)若两个1中间为4，不妨设141右边两个2中间可能为3，4或4，3，

则A4可能为1，4，1，2，3，4，2，3或1，4，1，2，4，3，2，3，不符合题意．

故“有趣数列”A4可能为4，1，3，1，2，4，3，2或2，3，4，2，1，3，1，4；

(3)证明：将“有趣数列”An中数字k(k=1,2,⋯,n)第一次出现的项记作第ak项，

由题意可知数字k第二次出现的项为第ak+(k+1)项，

于是k=1nak+k=1nak[ak+(k+1)]=k=12nk，

于是2k=1nak+n(n+3)2=2n(2n+1)2，

即k=1nak=n(3n−1)4，

又k=1nak为整数，

故必有n(3n−1)4为整数，

当n=4m−3，4m−2(m∈N∗)时，n(3n−1)4不可能为整数，不符合题意;

当n=4m−1(m∈N∗)时，n(3n−1)4为整数，构造“有趣数列”A4m−1为：

4m−4，⋯，2m，4m−2，2m−3，⋯，1，4m−1，1，⋯，2m−3，2m，⋯，4m−4，2m−1，

4m−3，⋯，2m+1，4m−2，2m