数学教材梳理互斥事件

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精庖丁巧解牛知识·巧学一、和（并）事件若某事件发生当且仅当事件A或事件B至少有一个发生,则称此事件为事件A与事件B的和事件（或和并事件），记作A+B(或A∪B）知识拓展事件的和运算满足交换率,事件A与事件B的和事件等于事件B与A的和事件，即A+B=B+A.深化升华与集合的并集运算定义类似，并集事件可用图3—4—2中的阴影部分表示，即事件A+B所包含的结果所组成的集合等于事件A和B所包含的结果所组成的集合的并集.图3-4—2二、互斥事件1.互斥事件的概念在一次试验中，不能同时发生的两个事件称为互斥事件。推广:如果事件C1,C2,…，Cn中的任何两个事件都互斥，就称事件C1,C2，…，Cn彼此互斥。要点提示对于互斥事件要抓住如下的特征进行分析：第一，互斥事件研究的是两个事件之间的关系;第二，所研究的两个事件是在一次试验中涉及的;第三，两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的。深化升华从集合角度来看，A、B两个事件互斥，则表示A、B这两个事件所含结果组成的集合的交集是空集。2。互斥事件的概率加法公式如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生的概率，等于事件A、B分别发生的概率的和，即P（A+B）=P（A）+P(B）推广：如果事件A1,A2,…，An两两互斥，那么事件“A1+A2+…+An”发生（是指事件A1，A2，…，An中至少有一个发生）的概率，等于这n个事件分别发生的概率之和,即P（A1+A2+…+An)=P（A1）+P（A2)+…+P（An）.方法点拨利用互斥事件的概率加法公式来求概率，首先要确定事件是否彼此互斥.分类讨论思想是解决互斥事件有一个发生的概率的一个重要的指导思想.三、对立事件1。对立事件的概念两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件.集合A的对立事件记作A.要点提示第一，事件A与B对立是指事件A与事件B在一次试验中有且仅有一个发生.第二，对立事件是一种特殊的互斥事件，两个事件对立，则两个事件必是互斥事件；反之，两事件是互斥事件，但未必是对立事件；第三，对立事件是针对两个事件来说的，且A∪B（或A+B）为必然事件.深化升华事件A、B互为对立事件，从集合的角度看，由事件B所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集。即A∪=U，A∩=。图3—4—3阴影部分为事件B的结果组成的集合。显然有A=B.图3—4-32。对立事件的概率公式对立事件概率公式P（)=1—P（A)。方法点拨这个公式为我们求出P（A）提供了一种方法，当计算事件A的概率P（A）比较困难时，常可以转化为求其对立事件的概率.四、互斥事件与对立事件的区别与联系互斥事件与对立事件都是研究两个事件的关系,它们既有区别又有联系。在一次试验中,两个互斥的事件有可能都不发生,也可能有一个发生，也就是不可能同时发生；而对立事件除要求这两个事件不同时发生外,还要求二者之一必须有一个发生。因此，对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况,但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要而非充分条件。从集合的角度看，几个事件彼此互斥,是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此互不相交，而事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A含的结果组成的集合的补集，不仅不相交，而且它们的并集必须是全集。典题·热题知识点一判断事件的类型例1某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛.判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是,再判断它们是不是对立事件。（1)恰有1名男生与恰有2名男生；(2）至少1名男生与全是男生；（3）至少1名男生与全是女生；(4）至少1名男生与至少1名女生。思路分析：判别两个事件是否互斥,就要考察它们是否不能同时发生，判别两个互斥事件是否对立，就要考察它们是否必有一个发生。解:(1)因为“恰有1名男生"与“恰有2名男生"不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当“恰有2名女生”时，它们都不发生，所以它们不是对立事件.（2）因为“恰有2名男生”时，“至少1名男生”与“全是男生”同时发生，所以它们不是互斥事件。(3）因为“至少1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件;由于它们必有一个发生,所以它们对立。（4)由于选出的是一名男生一名女生时“至少1名男生”与“至少1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件。拓展延伸两个互斥事件是否对立要依据试验条件.本题条件若改为“某小组有3名男生和1名女生，任取2人”,则“恰有1名男生"与“恰有2名男生"便是对立事件.知识点二互斥事件和对立事件的计算公式例2抛掷一均匀正方体玩具(各面分别标有数1，2，3,4，5，6）,若事件A为“朝上一面的数是奇数”，事件B为“朝上一面的数不超过3”,求P(A+B）,下面的解法是否正确？若不正确,指明原因。解：P（A+B）=P(A）+P(B)而P（A）==，P（B）==，∴P(A+B)=+=1.思路分析：本题利用互斥事件的定义、互斥事件的概率公式.此解法是否正确,主要取决于事件A、B是否互斥。解：事件A包含“朝上一面是1,3，5”三种情况,事件B包含“朝上一面是1，2，3"三种情况，显然两个事件不互斥，故解法错误，事件A+B包含“朝上一面是1,2,3,5”四种情况，由等可能性事件角度考虑:P（A+B)=.误区警示在选择概率公式求解之前，必须分清题目所涉及事件的关系以及各概率公式的使用条件.例3某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0。21，0。23，0。25,0.28,计算这个射手在一次射击中：（1）射中10环或7环的概率；（2）不够7环的概率.思路分析：由于射手在一次射击中,射中10环与射中7环不可能同时发生，故这两事件为互斥事件,且求的又是两事件和的概率，故可考虑用公式P（A+B）=P（A）+P(B）。不够7环从正面考虑有以下几种情况：射中6环、5环、4环、3环、2环、1环、0环.但由于这些概率都未知，故不能直接下手，可考虑从反面入手，不够7环的反面是大于等于7环,即7环、8环、9环、10环，由于这两事件必有一个发生，另一个不发生，故是对立事件,可用对立事件的方法处理.解：(1)记“射中10环”为事件A，记“射中7环”为事件B，由于在一次射击中，A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件.“射中10环或7环”的事件为A+B，故P（A+B)=P(A）+P(B）=0.21+0。28=0.49.所以射中10环或7环的概率为0。49.（2）记“不够7环"为事件E,∴P（）=0.21+0。23+0.25+0.28=0。97,从而P（E）=1-P（）=1-0。97=0。03。∴射不够7环的概率为0.03。方法归纳必须分析清楚事件A、B互斥的原因，且所求的事件必须是几个互斥事件的和.满足上述两点才可用概率的和公式.当直接求某一事件的概率较为复杂或根本无法求时,可先转化为求其对立事件的概率.例4袋中有红、黄、白3种颜色的球各1只,从中每次任取1只,有放回地抽取3次,求：(1）3只全是红球的概率；（2)3只颜色全相同的概率；(3)3只颜色不全相同的概率;（4）3只颜色全不相同的概率.思路分析：(1)(4)用等可能性事件的概率观点求解。(2）可分拆成三个互斥事件“三只红球"“三只黄球”“三只白球”利用互斥事件的概率和公式求解.(3)的情况较多,但其对立面却是（2）,故可用对立事件的概率公式求解.解：（1）记“3只全是红球”为事件A。从袋中有放回地抽取3次,每次取1只,共会出现3×3×3=27种等可能的结果，其中3只全是红球的结果只有一种，故事件A的概率为P(A)=。(2)“3只颜色全相同”只可能是这样三种情况：“3只全是红球”（设为事件A)；“3只全是黄球”（设为事件B）;“3只全是白球”（设为事件C)，且它们之间是或者关系,故“3只颜色全相同"这个事件可记为A+B+C,由于事件红、黄、白球个数一样，故不难得到P(B）=P（C）=P(A）=.故P（A+B+C）=P（A）+P(B）+P(C)=.(3)3只颜色不全相同情况较多,如有两只球同色而与另一只球不同色,可以两只同红色或同黄色或同白色等等;或三只球颜色全不相等.考虑起来比较麻烦，现在记“3只颜色不全相同”为事件D,则事件为“3只颜色全相同”，显然事件D与是对立事件.∴P（D）=1—P()=1—=.（4)要使3只颜色全不相同，只可能是红、黄、白各一只，要分三次抽取，故3次抽到红、黄、白各一只的可能结果有3×2×1=6种，故3只颜色全不相同的概率为.误区警示(1）有放回抽取跟无放回抽取其基本事件数是不一样的。（2）搞清“全相同”的对立面是“不全相同"，而不是“全不相同".问题·探究思想方法探究问题能否从频率的角度说明互斥事件概率加法公式？探究过程：假定A、B是互斥事件，在n次试