数学教案：组合第二课时

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第二课时教学目标知识与技能了解组合数的性质，会利用组合数的性质简化组合数的运算；能把一些计数问题抽象为组合问题解决，会利用组合数公式及其性质求解计数问题．过程与方法通过具体实例，经历把具体事例抽象为组合问题，利用组合数公式求解的过程．情感、态度与价值观能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力．重点难点教学重点：组合数的性质、利用组合数公式和性质求解相关计数问题．教学难点:利用组合数公式和性质求解相关计数问题．eq\o（\s\up7（）,\s\do5(教学过程))eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（引入新课）)提出问题1：判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题,并回顾排列和组合的区别和联系．（1)从A、B、C、D四个景点选出2个进行游览；(2)从甲、乙、丙、丁四个学生中选出2个人担任班长和团支部书记．活动设计：教师提问．活动成果：(1）是组合问题，（2）是排列问题．1．组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．2．组合与排列的区别和联系:(1)区别：①排列有顺序,组合无顺序．②相同的组合只需选出的元素相同，相同的排列则需选出的元素相同，并且选出元素的顺序相同．（2)联系：①都是从n个不同的元素中选出m(m≤n)个元素；②排列可以看成先组合再全排列．设计意图：复习组合的概念,检查学生的掌握情况．提出问题2：利用上节课所学组合数公式，完成下列两个练习：练习1：求证:Ceq\o\al(m，n)＝eq\f（n,m)Ceq\o\al(m－1，n－1)。(本式也可变形为：mCeq\o\al(m,n)＝nCeq\o\al(m－1,n－1））练习2：计算:①Ceq\o\al（3,10)和Ceq\o\al（7，10）；②Ceq\o\al(3,7）－Ceq\o\al（2,6）与Ceq\o\al(3，6）；③Ceq\o\al(4，11)＋Ceq\o\al(5，11）。活动设计：学生板演．活动成果：练习2答案：①120,120②20，20③792.1．组合数的概念:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号Ceq\o\al（m，n）表示．2．组合数的公式：Ceq\o\al（m,n）＝eq\f(A\o\al(m,n），A\o\al(m，m））＝eq\f（n（n－1)（n－2)…(n－m＋1),m！)或Ceq\o\al(m,n)＝eq\f（n！，m！（n－m)!）（n，m∈N，且m≤n）．设计意图：复习组合数公式，为得到组合数的性质打下基础．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（探索新知））提出问题1:由问题2练习中所求的几个组合数,你有没有发现一些规律,能不能总结并证明一下？活动设计：小组交流后请不同的同学总结补充．活动成果：1．性质：(1）Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m，n);（2）Ceq\o\al（m,n＋1）＝Ceq\o\al（m,n)＋Ceq\o\al（m－1，n）.2．证明:(1）∵Ceq\o\al（n－m,n）＝eq\f（n！,（n－m)！［n－（n－m）]！)＝eq\f(n！，m!（n－m）!),又Ceq\o\al（m，n)＝eq\f（n！,m！(n－m）！），∴Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n）。（2)Ceq\o\al（m,n)＋Ceq\o\al(m－1，n)＝eq\f(n！，m！（n－m)!)＋eq\f（n！，（m－1)！[n－（m－1）]！)＝eq\f（n！(n－m＋1）＋n！m,m！(n－m＋1)！）＝eq\f（(n－m＋1＋m)n!，m！（n－m＋1）!)＝eq\f（(n＋1)！，m!(n－m＋1）!）＝Ceq\o\al(m,n＋1）,∴Ceq\o\al(m,n＋1）＝Ceq\o\al(m,n）＋Ceq\o\al(m－1,n).设计意图:引导学生自己推导出组合数的两个性质．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(运用新知)）类型一：组合数的性质1(1)计算：Ceq\o\al(3,7)＋Ceq\o\al（4，7）＋Ceq\o\al（5，8)＋Ceq\o\al（6,9)；(2）求证:Ceq\o\al（n，m＋2）＝Ceq\o\al(n，m)＋2Ceq\o\al(n－1,m)＋Ceq\o\al(n－2,m）。（1）解：原式＝Ceq\o\al(4，8)＋Ceq\o\al(5,8)＋Ceq\o\al(6，9）＝Ceq\o\al(5,9）＋Ceq\o\al(6，9)＝Ceq\o\al（6，10）＝Ceq\o\al(4，10)＝210；（2）证明：右边＝(Ceq\o\al（n,m）＋Ceq\o\al（n－1,m））＋（Ceq\o\al(n－1，m)＋Ceq\o\al（n－2,m）)＝Ceq\o\al（n，m＋1)＋Ceq\o\al（n－1,m＋1）＝Ceq\o\al（n,m＋2)＝左边．【巩固练习】求证：Ceq\o\al（1,n）＋2Ceq\o\al(2，n）＋3Ceq\o\al(3,n）＋…＋nCeq\o\al(n,n)＝n2n－1。证明：左边＝Ceq\o\al（1，n)＋2Ceq\o\al(2，n）＋3Ceq\o\al(3，n）＋…＋nCeq\o\al（n，n）＝Ceq\o\al（1,1)Ceq\o\al（1,n）＋Ceq\o\al（1,2）Ceq\o\al(2，n）＋Ceq\o\al(1,3）Ceq\o\al（3,n）＋…＋Ceq\o\al(1,n）Ceq\o\al(n，n)，其中Ceq\o\al(1,i)Ceq\o\al(i,n）可表示先在n个元素里选i个，再从i个元素里选一个的组合数．设某班有n个同学，选出若干人(至少1人)组成兴趣小组，并指定一人为组长．把这种选法按取到的人数i分类(i＝1，2，…,n），则选法总数即为原式左边．现换一种选法，先选组长,有n种选法，再决定剩下的n－1人是否参加，每人都有两种可能，所以组员的选法有2n－1种，所以选法总数为n2n－1种．显然，两种选法是一致的,故左边＝右边，等式成立．【变练演编】求证：Ceq\o\al（1，n)＋22Ceq\o\al（2，n)＋32Ceq\o\al(3,n）＋…＋n2Ceq\o\al(n,n)＝n(n＋1）2n－2。证明:由于i2Ceq\o\al（i，n)＝Ceq\o\al（1，i)Ceq\o\al（1,i）Ceq\o\al（i，n)可表示先在n个元素里选i个，再从i个元素里选两个（可重复)的组合数，所以原式左端可看成在上题中指定一人为组长的基础上，再指定一人为副组长(可兼职）的组合数．对原式右端我们可分为组长和副组长是否是同一个人两种情况．若组长和副组长是同一个人，则有n2n－1种选法；若组长和副组长不是同一个人，则有n（n－1）2n－2种选法．∴共有n2n－1＋n（n－1)2n－2＝n（n＋1）2n－2种选法．显然，两种选法是一致的,故左边＝右边,等式成立．类型二:有约束条件的组合问题2在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100件产品中任意抽出3件．(1）有多少种不同的抽法？（2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？解：(1）所求的不同抽法的种数,就是从100件产品中取出3件的组合数,所以共有Ceq\o\al（3，100)＝eq\f(100×99×98,1×2×3）＝161700种．(2)从2件次品中抽出1件次品的抽法有Ceq\o\al(1，2）种，从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有Ceq\o\al（2，98）种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有Ceq\o\al（1，2)×Ceq\o\al(2,98）＝9506种．(3)解法1从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品,包括有1件次品和有2件次品两种情况．在第（2)小题中已求得其中1件是次品的抽法有Ceq\o\al(1，2)×Ceq\o\al（2，98)种,因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al（2，98)＋Ceq\o\al（2，2）×Ceq\o\al（1，98)＝9604种．解法2抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3件的抽法种数减去3件中都是合格品的抽法的种数，即Ceq\o\al（3，100）－Ceq\o\al(3，98)＝161700－152096＝9604种．点评：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解．【巩固练习】1．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种?解法一:(直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女,1男2女，分别有Ceq\o\al(3,4），Ceq\o\al（2,4)×Ceq\o\al（1,6），Ceq\o\al(1，4)×Ceq\o\al(2，6）种方法,所以，一共有Ceq\o\al（3,4)＋Ceq\o\al（2,4)×Ceq\o\al(1，6）＋Ceq\o\al（1，4）×Ceq\o\al(2，6)＝100种方法．解法二:(间接法）Ceq\o\al(3，10）－Ceq\o\al（3，6)＝100.2．按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？(1)甲、乙、丙三人必须当选;（2）甲、乙、丙三人不能当选;（3）甲必须当选，乙、丙不能当选;（4）甲、乙、丙三人只有一人当选；（5）甲、乙、丙三人至多2人当选；（6）甲、乙、丙三人至少1人当选；解：（1）Ceq\o\al(3，3)Ceq\o\al(2，9）＝36；(2）Ceq\o\al(0,3）Ceq\o\al(5,9)＝126；（3）Ceq\o\al（1,1)Ceq\o\al(4，9)＝126；（4)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al（4,9）＝378；(5）方法一:（直接法）Ceq\o\al（0，3）Ceq\o\al（5,9）＋Ceq\o\al（1,3）Ceq\o\al（4,9)＋Ceq\o\al（2，3)Ceq\o\al(3,9）＝756，方法二：（间接法)Ceq\o\al（5，12)－Ceq\o\al(3，3)Ceq\o\al(2，9)＝756;(6）方法一:(直接法)Ceq\o\al(1，3）Ceq\o\al（4,9)＋Ceq\o\al(2,3）Ceq\o\al（3,9）＋Ceq\o\al(3，3)Ceq\o\al（2，9)＝666，方法二:(间接法)Ceq\o\al(5，12)－Ceq\o\al（0,3)Ceq\o\al（5,9）＝666.【变练演编】有翻译人员11名，其中5名精通英语、4名精通法语,还有2名英、法语皆通．现欲从中选出8名，其中4名译英语，另外4名译法语，一共可列多少张不同的名单？解：分三类：第一类：2名英、法语皆通的均不选，有Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(4，4）＝5种；第二类:2名英、法语皆通的选一名,有Ceq\o\al(1,2）Ceq\o\al（3,5）Ceq\o\al(4，4）＋Ceq\o\al（1,2）Ceq\o\al（4,5)Ceq\o\al（3，4）＝60种;第三类：2名英、法语皆通的均选,有Aeq\o\al(2，2)Ceq\o\al（3,5)Ceq\o\al（3，4)＋Ceq\o\al(2，5)Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al（4，5)Ceq\o\al（2,4）＝120种．根据分类加法计数原理，共有5＋60＋120＝185种不同的名单．【达标检测】1．计算:(1)Ceq\o\al(3,99)＋Ceq\o\al(2，99）；(2)2Ceq\o\al（3，8）－Ceq\o\al(3，9)＋Ceq\o\al(2，8).2．从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中至多有一个人参加,则有不同的选法种数为________．3．从7人中选出3人参加活动,则甲、乙两人不都入选的不同选法共有______种．答案：1。(1）161700(2)562。93.30eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（课堂小结））1．知识收获:组合数的性质，用组合数公式解决简单的计数问题．2．方法收获：化归的思想方法．3．思维收获：化归的思想方法．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(补充练习))【基础练习】1．求证:（1）Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al（m－1，n）＋Ceq\o\al（m,n－1)＋Ceq\o\al（m－1，n－1）；(2）Ceq\o\al（m＋1，n)＋Ceq\o\al(m－1，n)＋2Ceq\o\al(m，n)＝Ceq\o\al(m＋1，n＋2）.2．某城新建的一条道路上有12只路灯,为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯,但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯,可以熄灭的方法共有______．3．100件产品中有合格品90件，次品10件，现从中抽取4件检查．（1)都不是次品的取法有多少种？(2）至少有1件次品的取法有多少种?(3）不都是次品的取法有多少种？4．从编号为1,2,3，…，10，11的共11个球中，取出5个球,使得这5个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法？答案或解答：2.Ceq\o\al(3，8)＝56；3．解：(1）Ceq\o\al(4,90)＝2555190;(2)Ceq\o\al(4,100）－Ceq\o\al(4,90)＝Ceq\o\al（1，10）Ceq\o\al(3，90）＋Ceq\o\al(2，10）Ceq\o\al（2,90)＋Ceq\o\al(3,10）Ceq\o\al(1，90)＋Ceq\o\al（4,10）＝1366035；(3)Ceq\o\al（4，100)－Ceq\o\al（4，10）＝Ceq\o\al(1,90)Ceq\o\al（3,10)＋Ceq\o\al（2，90）Ceq\o\al（2，10）＋Ceq\o\al（3,90)Ceq\o\al(1，10)＋Ceq\o\al（4,90)＝3921015。4．解:分为三类：1奇4偶有Ceq\o\al(1,6）Ceq\o\al（4，5)；3奇2偶有Ceq\o\al(3,6）Ceq\o\al（2,5）;5奇有Ceq\o\al（5，6)，所以一共有Ceq\o\al(1,6）Ceq\o\al（4,5）＋Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al（2，5)＋Ceq\o\al(5,6)＝236种不同的取法．【拓展练习】现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任),现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？解：我们可以分为三类：①让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2，3）；②让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有Ceq\o\al(3，4）Ceq\o\al（1,3）；③让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有Ceq\o\al(3，4)Ceq\o\al(2，3）.所以一共有Ceq\o\al（2，4)Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al（3，4）Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al（3,4)Ceq\o\al（2,3）＝42种方法．eq\o（\s\up7(）,\s\do5(设计说明))