2024-2025学年初中数学九年级上册沪科版（2024）教学设计合集

2024-2025学年初中数学九年级上册沪科版（2024）教学设计合集目录一、第21章二次函数与反比例函数 1.121.1二次函数 1.221.2二次函数的图象和性质 1.321.3二次函数与一元二次方程 1.421.4二次函数的应用 1.521.5反比例函数 1.621.6综合与实践获得最大利润 1.7本章复习与测试二、第22章相似形 2.122.1比例线段 2.222.2相似三角形的判定 2.322.3相似三角形的性质 2.422.4图形的位似变换 2.522.5综合与实践测量与误差 2.6本章复习与测试三、第23章解直角三角形 3.123.1锐角的三角函数 3.223.2解直角三角形及其应用 3.3本章复习与测试第21章二次函数与反比例函数21.1二次函数一、设计意图

结合九年级学生的认知水平和沪科版数学教材的特点，本节课旨在让学生掌握二次函数的定义、图像和性质，理解二次函数在实际生活中的应用，培养学生运用数学知识解决问题的能力。通过引导学生观察、分析、探究，激发学生的学习兴趣，提高学生的数学素养。二、核心素养目标

1.数感与符号意识：通过二次函数的学习，学生能够理解函数概念，培养对数学符号的敏感性和运用符号进行数学表达的能力。

2.空间观念与几何直观：学生能够通过二次函数图像，培养空间想象力和几何直观，理解函数图像与性质之间的关系。

3.逻辑推理与分析能力：培养学生运用逻辑推理分析二次函数的性质，能够根据函数表达式预测图像特征，发展数学推理能力。

4.数学建模与应用意识：鼓励学生将二次函数应用于实际问题，建立数学模型，提高解决实际问题的能力和应用意识。三、重点难点及解决办法

重点：

1.掌握二次函数的定义和标准形式。

2.理解二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标。

3.学会通过二次函数解决实际问题。

难点：

1.二次函数图像与系数的关系。

2.利用二次函数性质解决最值问题。

解决办法：

1.通过具体例题，引导学生观察不同系数对图像的影响，强化直观感知。

2.使用多媒体工具展示二次函数图像变化，帮助学生形成直观认识。

3.通过实际问题引入，让学生在实践中理解二次函数的应用。

4.采用小组讨论和问题驱动的方式，鼓励学生主动探索二次函数的性质，教师适时提供引导和反馈，帮助学生攻克难点。四、教学资源

1.软硬件资源：计算机、投影仪、智能交互黑板。

2.课程平台：校园教学管理系统。

3.信息化资源：数学教学软件、二次函数图像演示动画。

4.教学手段：PPT课件、实物模型、数学练习册。五、教学实施过程

1.课前自主探索

教师活动：

发布预习任务：通过在线平台发布预习资料，包括二次函数的定义、图像和性质的PPT和视频，要求学生预习并理解基本概念。

设计预习问题：设计问题如“二次函数的图像有何特点？”，引导学生思考二次函数的基本性质。

监控预习进度：通过在线平台跟踪学生的预习进度，确保每个学生都能完成预习任务。

学生活动：

自主阅读预习资料：学生根据预习要求，观看视频和阅读PPT，理解二次函数的基本知识。

思考预习问题：学生针对预习问题进行思考，尝试用自己的语言总结二次函数的性质。

提交预习成果：学生将预习笔记和问题提交至在线平台，为课堂讨论做准备。

教学方法/手段/资源：

自主学习法：鼓励学生自主探索，培养独立学习能力。

信息技术手段：利用在线平台，实现资源的共享和预习进度的监控。

2.课中强化技能

教师活动：

导入新课：通过现实生活中的抛物线现象，如投篮轨迹，引出二次函数课题。

讲解知识点：详细讲解二次函数的定义、图像特征和性质，如顶点坐标的确定方法。

组织课堂活动：设计小组讨论，让学生探讨不同二次函数图像的特点。

解答疑问：针对学生在讨论中提出的疑问，提供解答和指导。

学生活动：

听讲并思考：学生认真听讲，思考二次函数在实际中的应用。

参与课堂活动：学生参与小组讨论，通过对比分析，加深对二次函数性质的理解。

提问与讨论：学生在讨论中提出问题，与同学和老师进行交流。

教学方法/手段/资源：

讲授法：通过讲解，帮助学生掌握二次函数的基本知识。

实践活动法：通过小组讨论，让学生在实践中探索二次函数的性质。

合作学习法：通过小组合作，培养学生的团队协作能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

布置作业：布置与二次函数相关的练习题，巩固学生对顶点坐标和图像的理解。

提供拓展资源：提供在线资源链接，引导学生了解二次函数在实际问题中的应用。

反馈作业情况：批改作业，针对学生的错误进行个别指导。

学生活动：

完成作业：学生完成练习题，巩固二次函数的知识。

拓展学习：学生利用在线资源，探索二次函数在实际问题中的应用。

反思总结：学生总结学习过程中的收获和不足，提出改进措施。

教学方法/手段/资源：

自主学习法：鼓励学生自主完成作业和拓展学习。

反思总结法：引导学生进行自我反思，提升学习效果。

本节课的重难点，如二次函数图像与系数的关系，通过课前预习、课堂讨论和课后拓展，逐步引导学生掌握。六、学生学习效果

学生学习效果显著，以下为学生在学习“二次函数”章节后取得的具体效果：

1.知识掌握方面：

学生能够准确描述二次函数的定义，理解其标准形式y=ax^2+bx+c（a≠0）以及图像特点。他们能够识别二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标，并理解这些特征与函数系数的关系。例如，在学习后，学生能够通过观察二次函数的系数来判断图像的开口大小和方向，以及确定对称轴的位置。

2.技能提升方面：

学生掌握了利用二次函数性质解决实际问题的方法。例如，在解决最优化问题时，学生能够建立二次函数模型，并运用顶点坐标来找到最大值或最小值。在实际案例中，学生能够应用二次函数知识来分析物体抛掷的轨迹，预测其落点。

3.思维发展方面：

学生在学习过程中培养了逻辑推理和抽象思维能力。通过对二次函数图像和性质的研究，学生能够进行推理分析，预测函数图像的变化趋势。此外，学生在解决二次函数相关问题时，能够运用数学建模思想，将实际问题转化为数学问题，这有助于提高他们的创新意识和解决复杂问题的能力。

4.学习策略方面：

学生学会了有效的学习策略，如通过预习来初步构建知识框架，通过课堂讨论和小组合作来深化理解，通过课后练习来巩固知识点。这些策略有助于学生形成系统性的学习方法和自我监控能力。

5.应用能力方面：

学生能够将二次函数知识应用于实际问题中，如物理学中的运动轨迹分析、经济学中的成本收益计算等。这种跨学科的应用能力不仅加深了学生对二次函数的理解，也提高了他们解决实际问题的能力。

6.情感态度方面：

学生在学习二次函数的过程中，体验到了数学学习的乐趣和挑战。他们对于解决数学问题表现出积极的态度，对于遇到的困难也能够坚持不懈，逐渐培养了对于数学学科的兴趣和自信心。

总体而言，学生在学习“二次函数”章节后，不仅在知识掌握和技能提升上取得了显著成效，而且在思维发展、学习策略、应用能力和情感态度等方面都有了全面的提高。这些成效为学生的后续学习和未来的发展奠定了坚实的基础。七、板书设计

①二次函数的定义与标准形式

-定义：形如y=ax^2+bx+c（a≠0）的函数称为二次函数。

-标准形式：y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为顶点坐标。

②二次函数图像的性质

-开口方向：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。

-对称轴：x=h，即顶点的横坐标。

-顶点：二次函数的极大值或极小值点，坐标为(h,k)。

③二次函数的应用

-最值问题：利用二次函数的顶点坐标求解最大值或最小值问题。

-实际应用：抛物线运动、成本收益分析等实际问题的数学建模。八、教学反思与改进

今天的课上，我教授了二次函数的基本概念和性质，总体来看，学生们对二次函数的定义和图像特点有了基本的理解。但是，在教学过程中，我也发现了一些需要反思和改进的地方。

首先，我发现有些学生在理解二次函数图像的开口方向和对称轴时存在一定的困难。尽管我在课堂上通过PPT和板书详细解释了这些概念，但显然对于一部分学生来说，这些理论知识还是比较抽象。我应该在课堂上设计一些更直观的教学活动，比如使用动态软件展示二次函数图像的变化，让学生更直观地感受开口方向和对称轴的变化。

其次，课堂互动环节我觉得可以进一步加强。虽然我设置了小组讨论，但有些小组的合作并不深入，部分学生似乎没有积极参与讨论。我需要思考如何更好地激发学生的参与热情，或许可以通过设置更具挑战性的问题或者增加小组间的竞争元素来提高学生的参与度。

关于改进措施，我有以下几点计划：

1.引入更多的实际案例来帮助学生理解二次函数的应用。比如，可以通过分析投篮的抛物线轨迹来让学生理解二次函数在物理学中的应用，或者通过分析成本收益问题来让学生理解二次函数在经济学中的应用。

2.利用信息技术手段，比如在线模拟软件，让学生能够直观地观察二次函数图像的变化。这样不仅能够提高学生的学习兴趣，还能够帮助他们更好地理解二次函数的性质。

3.优化课堂互动环节，确保每个学生都能参与到讨论中来。我可以设计一些更具体的问题，让每个学生都有机会发表自己的看法，并且鼓励学生之间进行更多的交流和合作。

4.加强对学生的个别辅导，尤其是对于那些在理解二次函数概念上存在困难的学生。我可以在课后提供额外的辅导时间，或者通过在线平台提供个性化的学习资源。

5.定期进行教学反思，通过学生的反馈和作业表现来评估教学效果，并根据评估结果调整教学策略。第21章二次函数与反比例函数21.2二次函数的图象和性质一、设计意图二、核心素养目标三、学情分析

九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对一次函数的图象和性质有了初步的理解。他们在数学逻辑思维、抽象思维和空间想象能力上有所提升，但面对二次函数的复杂性和抽象性，可能会有一定的学习难度。学生在这个阶段开始形成独立思考的习惯，但仍然需要教师的引导和激励。他们在行为习惯上，可能存在对数学学习兴趣不高、耐心不足等问题，这可能会影响他们对二次函数图象和性质的学习。因此，在教学过程中，需要关注学生的个体差异，通过丰富的教学活动激发学生的学习兴趣，帮助他们建立空间观念，发展他们的几何直观和数学抽象能力，同时培养他们解决实际问题的能力。四、教学资源

-教科书《初中数学九年级上册沪科版（2024）》

-二次函数图象教学PPT

-数学软件或图形计算器

-教学黑板与粉笔

-投影仪或智能平板

-课堂练习题及答案

-二次函数教学视频片段

-互联网资源（二次函数动画演示、在线练习题库）五、教学过程设计

1.导入环节（5分钟）

-开场通过展示二次函数的实际应用案例（如抛物线运动轨迹），激发学生的兴趣。

-提出问题：“你们在生活中见过哪些现象是二次函数的图象？”，让学生思考并回答。

-通过学生的回答，自然过渡到二次函数的图象和性质的学习。

2.讲授新课（15分钟）

-利用PPT展示二次函数的标准形式y=ax^2+bx+c，并解释a、b、c的含义。

-通过动画演示，展示当a、b、c变化时，二次函数图象的变化情况。

-讲解二次函数的顶点、对称轴、开口方向等性质，并用图象进行直观展示。

-举例讲解如何通过二次函数的解析式确定其图象的特征。

3.师生互动环节（10分钟）

-提问：“如果给定一个二次函数的解析式，你们如何画出它的图象？”

-让学生尝试在黑板上画出给定解析式的二次函数图象，并引导其他学生进行评价。

-针对学生的作图，引导学生观察图象的特征，并与解析式对应起来。

-分组讨论，每组选择一个二次函数，探讨其性质，并准备向全班分享。

4.巩固练习（10分钟）

-发放练习题，让学生独立完成，题目涉及确定二次函数的顶点、对称轴和开口方向。

-学生完成后，相互交换答案，进行校对和讨论。

-随机抽取几名学生上台展示他们的答案，并对全班进行点评。

5.课堂总结（5分钟）

-回顾本节课学习的二次函数的图象和性质，强调重点和难点。

-提问学生：“你们认为二次函数的图象和性质在实际生活中有什么应用？”

-鼓励学生提出问题，教师解答，确保学生对新知识的理解。

6.作业布置（无时间限制，课堂最后）

-布置相关的课后作业，巩固学生对二次函数图象和性质的理解。

-提醒学生复习课堂内容，并鼓励他们探索二次函数在实际生活中的应用。六、学生学习效果

学生学习后，应取得以下效果：

1.理解并掌握了二次函数的标准形式y=ax^2+bx+c，以及a、b、c参数对函数图象的影响。

2.能够准确地确定二次函数的顶点坐标、对称轴位置以及开口方向，并能够通过这些性质画出二次函数的草图。

3.通过对二次函数图象的观察和分析，学生能够理解二次函数的增减性，即在顶点左侧和右侧函数值的变化趋势。

4.学生能够运用二次函数的性质解决实际问题，例如计算最大利润、最短路径等问题。

5.在师生互动环节中，学生能够积极参与讨论，提出自己的观点，并通过同伴互助，加深对二次函数图象和性质的理解。

6.通过巩固练习，学生能够独立完成相关的习题，正确率达到预期水平，表明他们能够将所学知识应用于新情境中。

7.学生能够将二次函数的知识与之前学过的一次函数知识进行联系和对比，形成更加完整的函数概念体系。

8.学生在学习过程中，逐渐培养了自己的逻辑思维能力、空间想象能力和解决问题的能力，这些核心素养得到了提升。

9.学生在学习后，能够意识到二次函数在现实生活中的应用价值，增强了学习数学的兴趣和动力。

10.学生能够通过作业和课后复习，进一步巩固所学知识，形成长期记忆，为后续学习打下坚实的基础。七、教学反思

今天在讲解“二次函数的图象和性质”这一节时，我感到学生们对于二次函数的基本概念有了较好的理解，但在具体的应用和图象绘制上还存在一些问题。我觉得有必要反思一下整个教学过程，看看哪些地方做得好，哪些地方还需要改进。

课堂上，我通过实际应用的案例来导入新课，这个方法很有效，能够迅速吸引学生的注意力。学生们对于抛物线运动轨迹的兴趣明显提高了，他们能够主动参与到课堂讨论中来。这一点让我感到欣慰，说明学生们对数学学习的兴趣是可以被激发的。

在讲授新课的过程中，我发现使用动画演示二次函数图象变化的效果很好，它能够直观地展示函数图象随参数变化的情况。不过，我也注意到有些学生在观看动画时可能会分散注意力，未来我需要在播放动画的同时，增加一些互动环节，让学生们更加积极参与进来。

师生互动环节是我觉得需要改进的地方。虽然学生们在讨论中表现出了积极参与的态度，但有些学生的回答还不够深入，可能是因为他们在讨论前的准备不够充分。我应该在课堂上给予更多的时间让学生们独立思考，然后再进行小组讨论，这样可能会更有助于学生们深入理解二次函数的性质。

巩固练习环节中，我发现学生们在完成练习题时，有些题目他们能够迅速解决，但有些题目则需要较多的思考和尝试。这说明学生们对于二次函数的理解还不够全面，我需要在未来的教学中，增加更多针对性的练习，帮助学生们更好地掌握知识点。

在课堂总结时，我注意到学生们对于二次函数在实际生活中应用的问题回答不够积极。这或许是因为他们还没有完全理解二次函数的应用价值。我应该在今后的教学中，更多地结合实际例子，让学生们认识到学习数学的实用性。八、内容逻辑关系

①二次函数的基本概念

-重点知识点：二次函数的定义、标准形式y=ax^2+bx+c、系数a、b、c的意义

-重点词汇：二次函数、标准形式、系数、顶点、对称轴、开口方向

-重点句子：“二次函数是形式为y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c是常数，且a≠0。”

②二次函数的图象特征

-重点知识点：二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴位置、单调区间

-重点词汇：开口方向、顶点、对称轴、单调区间

-重点句子：“二次函数的图象是一个开口向上或向下的抛物线，顶点是抛物线的最高点或最低点，对称轴是抛物线对称的中心线。”

③二次函数的实际应用

-重点知识点：二次函数在实际问题中的应用，如最大值最小值问题、路径问题

-重点词汇：最大值、最小值、应用问题、优化

-重点句子：“通过分析二次函数的图象和性质，我们可以解决现实生活中的最优化问题，如找到最大利润或最短路径。”第21章二次函数与反比例函数21.3二次函数与一元二次方程科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）第21章二次函数与反比例函数21.3二次函数与一元二次方程课程基本信息1.课程名称：初中数学九年级上册沪科版（2024）第21章21.3二次函数与一元二次方程

2.教学年级和班级：九年级（1）班

3.授课时间：2024年11月15日

4.教学时数：1课时核心素养目标学习者分析1.学生已经掌握了二次函数的基本概念、图像特征以及一元二次方程的解法等相关知识，具备了解决简单二次函数问题的能力。

2.学习兴趣方面，学生对探索二次函数图像与一元二次方程之间的联系表现出一定的兴趣。在能力上，学生能够通过观察、分析和归纳，发现数学规律。在学习风格上，学生更倾向于通过实际操作和小组讨论来加深对知识点的理解。

3.学生可能遇到的困难和挑战包括：对于二次函数与一元二次方程关系的深入理解，以及在解决实际问题时，如何灵活运用二次函数和一元二次方程的知识。此外，部分学生在数学逻辑推理和数学表达上可能存在一定的障碍。教学资源-教科书《初中数学九年级上册沪科版（2024）》

-白板和粉笔

-投影仪和电脑

-二次函数图像绘制软件或工具

-课堂练习题和测试题

-小组讨论指导材料

-课堂反馈问卷教学过程设计1.导入新课（5分钟）

-目标：引起学生对二次函数与一元二次方程的兴趣，激发其探索欲望。

-过程：

-开场提问：“你们在生活中遇到过二次函数的问题吗？它与我们生活中的哪些现象有关？”

-展示一些与二次函数相关的实际问题，如投篮轨迹、抛物线形状的桥梁等，让学生初步感受二次函数的实际应用。

-简短介绍二次函数的基本概念、图像特点以及它与一元二次方程的联系，为接下来的学习打下基础。

2.二次函数与一元二次方程基础知识讲解（10分钟）

-目标：让学生了解二次函数与一元二次方程的基本概念、组成部分和原理。

-过程：

-讲解二次函数的定义，包括其表达式、图像特征和性质。

-介绍一元二次方程的解法，包括配方法、公式法等，并解释其与二次函数的关系。

-使用图表或示意图帮助学生理解二次函数的图像和一元二次方程的根的关系。

3.二次函数与一元二次方程案例分析（20分钟）

-目标：通过具体案例，让学生深入了解二次函数与一元二次方程的特性和重要性。

-过程：

-选择几个典型的二次函数与一元二次方程案例进行分析，如物体自由落体运动、最大利润问题等。

-详细介绍每个案例的背景、解题步骤和意义，让学生全面了解二次函数与一元二次方程在实际问题中的应用。

-引导学生思考这些案例对实际生活或学习的影响，以及如何应用二次函数与一元二次方程解决实际问题。

-小组讨论：让学生分组讨论二次函数与一元二次方程在生活中的应用，并提出可能的解决方案。

4.学生小组讨论（10分钟）

-目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。

-过程：

-将学生分成若干小组，每组选择一个与二次函数或一元二次方程相关的实际问题进行深入讨论。

-小组内讨论该问题的现状、挑战以及可能的解决方案，鼓励学生运用课堂所学知识。

-每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。

5.课堂展示与点评（15分钟）

-目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对二次函数与一元二次方程的认识和理解。

-过程：

-各组代表依次上台展示讨论成果，包括问题的分析、解题过程和结论。

-其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。

-教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。

6.课堂小结（5分钟）

-目标：回顾本节课的主要内容，强调二次函数与一元二次方程的重要性和意义。

-过程：

-简要回顾本节课的学习内容，包括二次函数的基本概念、图像特点、一元二次方程的解法以及案例分析等。

-强调二次函数与一元二次方程在现实生活和学习中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用这些知识。

-布置课后作业：让学生撰写一篇关于二次函数或一元二次方程在实际生活中应用的小论文，以巩固学习效果。知识点梳理1.二次函数的基本概念

-二次函数的定义：形式为y=ax^2+bx+c（a≠0）的函数称为二次函数。

-二次函数的图像：二次函数的图像是抛物线，开口方向由系数a的正负决定，顶点坐标为（-b/2a，4ac-b^2/4a）。

2.二次函数的性质

-单调性：当a>0时，函数在顶点左侧单调递减，在顶点右侧单调递增；当a<0时，函数在顶点左侧单调递增，在顶点右侧单调递减。

-对称性：二次函数的图像关于直线x=-b/2a对称。

3.二次函数的图像变换

-平移变换：y=a(x-h)^2+k，图像沿x轴向左（右）平移h个单位，沿y轴向上（下）平移k个单位。

-缩放变换：y=a(kx)^2，图像在x轴方向缩放k倍，y轴方向缩放a倍。

4.一元二次方程

-一元二次方程的定义：形式为ax^2+bx+c=0（a≠0）的方程称为一元二次方程。

-一元二次方程的解法：因式分解法、配方法、公式法。

5.一元二次方程的根与二次函数图像的关系

-一元二次方程ax^2+bx+c=0的根是抛物线y=ax^2+bx+c与x轴交点的横坐标。

-判别式：Δ=b^2-4ac，当Δ>0时，方程有两个不等实根；当Δ=0时，方程有两个相等实根；当Δ<0时，方程无实根。

6.二次函数的应用

-最大值和最小值问题：利用二次函数的开口方向和顶点坐标，可以解决实际生活中的最大值和最小值问题。

-实际问题建模：如物理中的抛物线运动、经济中的成本利润分析等，都可以用二次函数建模。

7.二次函数与一元二次方程的综合应用

-联立方程：通过联立二次函数与一元二次方程，解决一些实际问题，如求抛物线与直线交点的问题。

-函数性质的应用：利用二次函数的性质，解决方程的解的性质问题，如解的范围、解的存在性等。

8.二次函数与一元二次方程的数学思想

-分类讨论：在解决一元二次方程时，需要根据判别式的值进行分类讨论。

-数形结合：在研究二次函数时，通过图像直观地理解函数的性质和解方程的几何意义。

9.二次函数与一元二次方程的解题策略

-分析题目条件，确定解题思路。

-建立数学模型，运用数学工具。

-检验解题结果，确保解答正确。反思改进措施（一）教学特色创新

1.在导入新课时，我尝试使用生活中的实际案例来引起学生的兴趣，比如通过投篮的抛物线轨迹来引入二次函数的概念，这样既能激发学生的学习兴趣，又能让学生感受到数学与生活的紧密联系。

2.在案例分析环节，我引导学生进行小组讨论，鼓励他们自主探究和解决问题，这种方法有助于培养学生的合作精神和批判性思维。

3.在课堂小结时，我设计了一个简短的写作任务，让学生总结本节课的学习内容，这样的活动有助于巩固知识，并提高学生的写作能力。

（二）存在主要问题

1.在教学过程中，我发现部分学生对二次函数的图像理解不够深刻，可能是因为我在讲解时没有充分运用直观的教学工具。

2.在小组讨论环节，有学生参与度不高，可能是因为分组讨论的主题不够吸引他们，或者是讨论引导不够有效。

3.在教学评价方面，我发现传统的笔试评价方式不能完全反映学生的实际水平和学习过程，需要探索更加全面的评价方法。

（三）改进措施

1.为了帮助学生更好地理解二次函数的图像，我计划在课堂上使用动态的几何软件来展示二次函数图像的变化，让学生直观地看到二次函数图像随参数变化的情况。

2.针对小组讨论参与度不高的问题，我会提前准备更多有趣的案例，并且在讨论过程中更加积极地引导，确保每个学生都能参与到讨论中来。

3.在教学评价方面，我打算引入过程性评价，比如课堂表现、小组讨论的参与度、作业完成情况等，这样可以更全面地了解学生的学习过程和进步。同时，我也会考虑设计一些开放性的评价任务，让学生有机会展示他们的创造力和应用能力。教学评价与反馈1.课堂表现：

-学生在导入新课时表现出较高的兴趣和参与度，能够积极回答问题，与教师互动。

-在基础知识讲解环节，学生能够认真听讲，做好笔记，对二次函数与一元二次方程的概念有了一定的理解。

-在案例分析环节，部分学生能够积极参与小组讨论，提出自己的见解和解决方案，但也有部分学生参与度不高，需要更多引导。

2.小组讨论成果展示：

-各小组在展示环节能够清晰地表达自己的分析和解题过程，展示了良好的合作能力和问题解决能力。

-部分小组能够结合生活实际，提出创新性的解决方案，表现出较强的应用能力。

-有些小组在表达时逻辑不够清晰，需要教师在点评时给予指导。

3.随堂测试：

-测试题目覆盖了本节课的主要知识点，包括二次函数的基本概念、图像特征、一元二次方程的解法等。

-学生在测试中整体表现良好，能够正确回答大部分问题，但少数学生在理解二次函数图像与一元二次方程关系方面仍有困难。

4.课后作业反馈：

-作业题目要求学生撰写关于二次函数或一元二次方程在实际生活中应用的小论文，旨在巩固课堂所学知识。

-学生提交的作业质量参差不齐，部分学生能够结合实际例子进行深入分析，但也有学生作业内容较为表面，需要加强指导。

5.教师评价与反馈：

-针对学生的课堂表现，教师应及时给予肯定和鼓励，对参与度不高的学生进行个别辅导，以提高他们的学习积极性。

-对于小组讨论成果展示，教师应指出各小组的优点和不足，提供具体的改进建议，帮助学生提高表达和合作能力。

-在随堂测试和课后作业反馈中，教师应针对学生的答题情况，分析存在的问题，提供个性化的学习建议，帮助学生弥补知识漏洞。

-教师还应根据学生的整体表现，调整教学策略，如增加互动环节、引入更多实际案例等，以提高教学效果。第21章二次函数与反比例函数21.4二次函数的应用一、教学内容

初中数学九年级上册沪科版（2024）第21章二次函数与反比例函数21.4二次函数的应用，主要内容包括：

1.二次函数在实际生活中的应用背景和意义。

2.二次函数的图像和性质在解决问题中的应用。

3.利用二次函数解决最大值和最小值问题。

4.二次函数与几何图形的结合应用，如求解面积、距离等。

5.二次函数在实际生活中的应用案例，如物理学中的抛物线运动、经济学中的成本分析等。二、核心素养目标

1.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高数学建模素养。

2.通过分析二次函数的性质，发展学生的逻辑思维和数学抽象能力。

3.增强学生运用数学工具（如图像、代数表达式）进行问题表征和求解的能力。

4.培养学生在合作交流中发现问题、提出问题、解决问题的团队协作和沟通能力。

5.引导学生感悟数学在生活中的重要作用，提升学生的应用意识和创新意识。三、教学难点与重点

1.教学重点

①理解二次函数的图像和性质，并能应用于实际问题中。

②掌握二次函数最大值和最小值的求解方法。

③学会利用二次函数解决生活中的问题，如物理运动、经济分析等。

2.教学难点

①如何将现实问题抽象为二次函数模型，并确定其系数。

②对于复杂的二次函数问题，如何运用代数方法进行求解。

③在解决实际问题时，如何选择合适的数学工具（如配方法、公式法等）来简化问题。

④如何从二次函数的图像中准确读取信息，并将其与实际问题相结合。四、教学资源

1.软硬件资源

-教室内的黑板和粉笔

-投影仪或智能平板

-计算器

2.课程平台

-学校内部网络教学平台

-数学在线练习系统

3.信息化资源

-二次函数图像演示软件

-实际问题案例文档

-二次函数应用相关的教学视频

4.教学手段

-小组讨论

-实际问题情景模拟

-数学建模活动

-课堂提问与互动五、教学过程设计

1.导入环节（5分钟）

-开始上课时，利用多媒体展示一个物理抛物线运动的动画，如抛物线投掷物体。

-提问学生：“你们在生活中见过类似的运动吗？这个运动背后隐藏着怎样的数学规律？”

-学生思考后，引导他们发现抛物线运动可以用二次函数来描述，从而引出本节课的主题。

2.讲授新课（15分钟）

-利用投影仪展示二次函数的标准形式和图像，解释二次函数的基本性质，如开口方向、对称轴、顶点等。

-通过具体的例子，如y=ax^2+bx+c，展示如何通过图像确定函数的性质。

-讲解二次函数最大值和最小值的求解方法，包括配方法和顶点公式。

-通过实例，展示如何将实际问题转化为二次函数模型，并解决最优化问题。

3.巩固练习（10分钟）

-分发练习题，让学生独立完成，题目涉及二次函数图像的识别、性质的应用以及最大值最小值的求解。

-学生完成练习后，邀请几位学生上台展示解题过程，并让其他学生进行评价和讨论。

-针对学生的解答，教师进行点评，指出正确和错误的地方，并给出解题的优化建议。

4.课堂提问与师生互动（10分钟）

-提问学生：“在解决实际问题时，你们是如何选择二次函数模型的？”

-学生分享自己的思考过程，教师引导他们理解选择模型的重要性。

-提问：“如何从二次函数的图像中获取信息来解决实际问题？”

-学生回答后，教师总结并强调图像在解决问题中的关键作用。

-进行小组讨论，每个小组选择一个实际问题，讨论如何用二次函数解决，并分享给全班。

5.创新环节（5分钟）

-利用多媒体展示一个创新的数学游戏，该游戏涉及二次函数的应用，如通过调整二次函数的参数来达到某种目标。

-让学生尝试玩游戏，并在游戏中发现二次函数的应用，增强实践操作能力和创新思维。

6.总结与布置作业（5分钟）

-教师总结本节课的重点内容，强调二次函数在实际问题中的应用。

-布置作业：让学生回家后，选择一个实际问题，尝试用二次函数模型来解决，并写下解题过程和感悟。

总用时：45分钟六、知识点梳理

1.二次函数的基本概念

-二次函数的定义：形如y=ax^2+bx+c（a≠0）的函数称为二次函数。

-二次函数的标准形式：y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为顶点坐标。

2.二次函数的图像和性质

-图像：二次函数的图像是一条抛物线。

-开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

-对称轴：抛物线的对称轴是直线x=h。

-顶点：抛物线的顶点是点(h,k)。

-最值：当a>0时，抛物线有最小值k；当a<0时，抛物线有最大值k。

3.二次函数的求解方法

-配方法：将一般形式的二次函数y=ax^2+bx+c转换为顶点形式y=a(x-h)^2+k。

-公式法：使用韦达定理求解二次方程ax^2+bx+c=0的根，即x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。

-图像法：通过观察二次函数的图像，确定其性质和最值。

4.二次函数的应用

-最大值和最小值问题：利用二次函数的最值性质解决实际问题，如求生产成本的最小值、利润的最大值等。

-几何问题：利用二次函数的图像解决几何问题，如求解面积、距离等。

-物理问题：利用二次函数描述物理运动，如抛物线运动。

5.实际问题转化为二次函数模型

-分析问题：确定实际问题中的变量，找出变量之间的数量关系。

-建立模型：根据变量关系，建立相应的二次函数模型。

-求解问题：利用二次函数的性质和求解方法，解决实际问题。

6.二次函数的应用案例

-经济学中的成本分析：利用二次函数模型分析生产成本与产量之间的关系。

-物理学中的抛物线运动：利用二次函数描述抛物线运动中的位置与时间的关系。

-工程问题：利用二次函数解决工程中的优化问题。

7.二次函数的性质与图像的综合应用

-利用二次函数的性质解决实际问题，如求解最优化问题、分析数据等。

-通过二次函数的图像进行数据的可视化展示，增强数据的直观性。七、教学评价与反馈

1.课堂表现：

-学生在导入环节表现出浓厚的兴趣，能够积极参与讨论，提出问题。

-在讲授新课环节，学生能够跟随教师的讲解，理解二次函数的基本概念和性质。

-在巩固练习环节，大部分学生能够独立完成练习题，表现出对新知识的理解和掌握。

-在课堂提问与师生互动环节，学生能够积极回答问题，与同学进行讨论，展现出良好的合作精神。

2.小组讨论成果展示：

-学生在小组讨论中能够积极参与，共同探讨如何将实际问题转化为二次函数模型，并尝试解决。

-每个小组在展示环节都能够清晰地表达自己的思路和解决方案，其他小组成员能够提出有价值的意见和建议。

-小组讨论成果展示后，教师对每个小组的表现进行点评，指出优点和需要改进的地方。

3.随堂测试：

-随堂测试题目涉及二次函数图像的识别、性质的应用以及最大值最小值的求解。

-学生在测试中能够认真作答，测试结果显示大部分学生掌握了本节课的重点知识。

-教师根据测试结果，对学生的掌握情况进行分析，对个别学生的疑问进行解答。

4.课后作业反馈：

-学生在课后完成的作业中，能够将所学知识应用于实际问题中，解决了一些具有挑战性的问题。

-教师对作业进行批改，针对每个学生的作业给出具体评价和建议，帮助学生进一步提升解题能力。

5.教师评价与反馈：

-针对学生的课堂表现，教师给出积极的反馈，鼓励学生继续参与讨论和提问。

-对于小组讨论成果展示，教师肯定了学生的团队合作能力和创新思维，同时指出讨论中存在的不足，如某些小组的讨论深度不够，需要进一步思考。

-针对随堂测试和课后作业，教师对学生的掌握情况进行评价，对于表现优秀的学生给予表扬，对于有困难的学生提供个别辅导。

-教师总结本节课的教学效果，指出学生在学习二次函数过程中的常见错误，提醒学生在后续学习中注意避免。

-教师根据学生的反馈和评价，调整后续的教学计划和教学方法，以满足学生的学习需求。八、板书设计

1.二次函数的基本概念

①二次函数的定义：y=ax^2+bx+c（a≠0）

②二次函数的标准形式：y=a(x-h)^2+k

2.二次函数的图像和性质

①图像：抛物线

②开口方向：a>0（向上），a<0（向下）

③对称轴：x=h

④顶点：(h,k)

⑤最值：a>0（最小值k），a<0（最大值k）

3.二次函数的求解方法

①配方法：将一般形式转换为顶点形式

②公式法：求解二次方程的根

③图像法：观察图像确定性质和最值

4.二次函数的应用

①最大值和最小值问题

②几何问题

③物理问题

5.实际问题转化为二次函数模型

①分析问题：确定变量及数量关系

②建立模型：构建二次函数

③求解问题：利用二次函数性质和求解方法

6.二次函数的应用案例

①经济学：成本分析

②物理学：抛物线运动

③工程问题：优化求解

7.二次函数的性质与图像的综合应用

①性质应用：解决实际问题

②图像应用：数据可视化展示九、教学反思

今天在课堂上，我进行了关于二次函数应用的讲解，从学生的反馈来看，整体教学效果还不错，但也存在一些不足之处，值得我深思和改进。

在导入环节，我通过展示抛物线运动的动画，成功激发了学生的兴趣，他们对于二次函数在生活中的应用表现出了浓厚的兴趣。这一点让我感到欣慰，因为兴趣是最好的老师，只有学生对知识感兴趣，才能更好地吸收和理解。

在讲授新课环节，我发现自己可能讲得太快了一些，尤其是在讲解二次函数的性质时，一些学生可能没有完全跟上我的思路。下次我会尝试放慢讲解速度，确保每个学生都能跟上，同时也会增加一些互动环节，让学生更多地参与到课堂中来。

在巩固练习环节，我注意到有些学生在解题时还是存在一些困难，尤其是将实际问题抽象为二次函数模型的过程中。这说明我在这一部分的讲解还不够深入，我需要更多地引导学生去思考如何将现实问题转化为数学模型，这可能需要在课后准备更多的案例和练习。

小组讨论环节是一个亮点，学生们在小组中积极交流，能够相互启发，提出了不少有创意的解决方案。但是，我也发现有些小组的讨论深度不够，可能是因为时间有限，也可能是学生的基础知识掌握得不够扎实。我会在今后的教学中加强对学生的个别辅导，提高他们的基础知识水平。

随堂测试的结果让我看到了学生们的进步，但同时也暴露出一些问题。有些学生在解决最大值和最小值问题时，对于公式的运用还不够熟练。我计划在后续的复习课中，专门针对这部分内容进行强化训练。

教师的评价和反馈对学生来说非常重要，我意识到自己在评价学生时可能过于注重结果，而忽略了他们的努力过程。今后，我会更加注重鼓励学生，关注他们在学习过程中的努力和进步。第21章二次函数与反比例函数21.5反比例函数科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）第21章二次函数与反比例函数21.5反比例函数设计思路结合沪科版初中数学九年级上册第21章《二次函数与反比例函数》21.5节的教学内容，本节课以反比例函数为教学重点。设计思路以学生为中心，通过引导学生观察、分析、归纳反比例函数的性质和图像，使学生能够理解反比例函数的定义、图像特征以及在实际问题中的应用。课程分为导入、探究、巩固、拓展四个环节，注重理论与实践相结合，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。核心素养目标1.理解反比例函数的概念，培养符号意识。

2.通过观察反比例函数图像，发展几何直观和空间观念。

3.探究反比例函数的性质，锻炼逻辑思维和数学推理能力。

4.解决实际问题，提升数学应用意识和创新意识。重点难点及解决办法重点：理解反比例函数的定义及其图像特征，掌握反比例函数的性质。

难点：反比例函数图像的绘制，以及反比例函数在实际问题中的应用。

解决办法：

1.利用生活中的实例引入反比例函数的概念，帮助学生建立直观感受。

2.通过互动讨论，引导学生发现反比例函数图像的特点，如渐近线、单调性等。

3.以练习题为载体，让学生动手绘制反比例函数图像，加深对图像特征的理解。

4.创设实际问题情境，让学生运用反比例函数解决问题，培养数学应用能力。

5.对难点进行分解，分步骤讲解，确保学生能够逐步掌握。教学方法与策略1.采用讲授与讨论相结合的方法，首先讲解反比例函数的基本概念和性质，随后引导学生进行小组讨论，分享对反比例函数图像的理解。

2.设计实验活动，让学生通过实际操作，绘制反比例函数图像，观察图像变化，增强直观感知。

3.利用多媒体教学工具展示反比例函数图像的动态变化，辅助学生理解函数的性质。

4.创设实际问题情境，采用项目导向学习，让学生在解决实际问题的过程中，运用反比例函数知识，提高解决实际问题的能力。教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：引起学生对反比例函数的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

开场提问：“你们在生活中有没有遇到过两种量成反比的情况？比如，速度和时间的关系？”

展示一些关于反比例关系的实例，如水龙头流量与时间的图像，让学生初步感受反比例函数的实际意义。

简短介绍反比例函数的基本概念，为接下来的学习打下基础。

2.反比例函数基础知识讲解（10分钟）

目标：让学生了解反比例函数的基本概念、图像特征和性质。

过程：

讲解反比例函数的定义，包括其表达式和图像特点。

详细介绍反比例函数的图像，如渐近线、单调性等，使用图表或示意图帮助学生理解。

3.反比例函数案例分析（20分钟）

目标：通过具体案例，让学生深入了解反比例函数的特性和重要性。

过程：

选择几个典型的反比例函数案例进行分析，如物理中的电阻与电流的关系。

详细介绍每个案例的背景、特点和意义，让学生全面了解反比例函数在实际问题中的多样性或复杂性。

引导学生思考这些案例对实际生活或学习的影响，以及如何应用反比例函数解决实际问题。

小组讨论：让学生分组讨论反比例函数在生活中的其他应用，并提出创新性的想法或建议。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。

过程：

将学生分成若干小组，每组选择一个与反比例函数相关的实际问题进行深入讨论。

小组内讨论该问题的背景、解决方案以及反比例函数在其中的作用。

每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对反比例函数的认识和理解。

过程：

各组代表依次上台展示讨论成果，包括问题的背景、解决方案及反比例函数的应用。

其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。

教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。

6.课堂小结（5分钟）

目标：回顾本节课的主要内容，强调反比例函数的重要性和意义。

过程：

简要回顾本节课的学习内容，包括反比例函数的基本概念、图像特征、案例分析等。

强调反比例函数在现实生活或学习中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用反比例函数。

布置课后作业：让学生撰写一篇关于反比例函数在生活中的应用短文或报告，以巩固学习效果。教学资源拓展1.拓展资源：

（1）反比例函数的物理应用：介绍反比例函数在物理学科中的应用，如电阻与电流的关系、速度与时间的关系等，通过实例让学生了解反比例函数在实际生活中的重要作用。

（2）反比例函数的几何性质：详细讲解反比例函数图像的几何性质，如渐近线、单调性等，并通过实例让学生观察和分析这些性质。

（3）反比例函数的数学应用：介绍反比例函数在数学领域的应用，如解决最优化问题、绘制函数图像等，让学生了解反比例函数在数学研究中的价值。

2.拓展建议：

（1）开展小组研究：鼓励学生分组研究反比例函数在不同领域的应用，如物理、化学、生物等，培养学生跨学科的综合能力。

（2）实际操作练习：让学生利用计算器或计算机软件绘制反比例函数图像，观察函数的变化规律，加深对反比例函数的理解。

（3）数学日记：鼓励学生撰写数学日记，记录自己在学习反比例函数过程中的心得体会、问题解决过程等，提高学生的数学表达能力和反思能力。

（4）参观实践活动：组织学生参观相关企业或实验室，了解反比例函数在实际生产中的应用，激发学生的学习兴趣。

（5）研究性学习：引导学生开展研究性学习，探讨反比例函数在解决实际问题中的局限性，培养学生独立思考和创新能力。课后作业1.绘制反比例函数图像

请在坐标系中绘制下列反比例函数的图像，并观察其特点：

y=1/x,y=2/x,y=-1/x,y=-2/x

答案：每个函数的图像都是一条通过原点的曲线，y=1/x和y=-1/x分别是第一和第三象限的渐近线，y=2/x和y=-2/x分别是第二和第四象限的渐近线。

2.反比例函数的性质

对于反比例函数y=k/x(k≠0)，判断下列说法的正确性：

a)当k>0时，函数图像在第一和第三象限。

b)当k<0时，函数图像在第二和第四象限。

c)当x>0时，y随x的增大而增大。

d)当x<0时，y随x的减小而增大。

答案：a)正确；b)正确；c)错误，y随x的增大而减小；d)正确。

3.反比例函数的应用

某工厂生产一批产品，其生产成本y（元）与生产数量x（件）成反比。当生产100件时，成本为5000元。求该工厂生产成本与生产数量的函数关系式。

答案：y=5000/x。

4.反比例函数的图像变换

若将反比例函数y=1/x的图像向右平移2个单位，得到新的函数图像。写出新函数的表达式，并简要描述图像的变化。

答案：新函数为y=1/(x-2)。图像向右平移2个单位。

5.实际问题中的反比例函数

一个圆形游泳池的周长C（米）与其半径r（米）之间的关系可以表示为C=2πr。求半径r与周长C的函数关系式，并说明这是一个反比例函数。

答案：r=C/(2π)。这是一个反比例函数，因为周长C与半径r成反比。课堂1.课堂评价：

-提问：在课堂教学中，通过提问的方式检查学生对反比例函数概念的理解程度，例如询问学生反比例函数的定义、图像特征及其在实际中的应用。

-观察：观察学生在课堂活动中的参与度，如小组讨论、绘制函数图像等，了解学生对知识点的掌握情况。

-测试：在课程结束时进行小测验，测试学生对反比例函数性质的理解和运用能力，例如求解反比例函数的表达式、绘制图像等。

-及时反馈：对学生的回答和测试结果进行即时评价，指出错误，解释正确答案，确保学生能够及时理解和纠正错误。

2.作业评价：

-批改：认真批改学生的作业，关注学生对反比例函数知识点的理解和应用，如图像绘制是否准确、解题步骤是否完整等。

-点评：对学生的作业进行详细点评，指出作业中的亮点和不足，如对反比例函数图像特征的理解是否深刻，解题方法是否恰当等。

-反馈：及时将作业评价反馈给学生，鼓励学生针对不足之处进行改进，同时肯定学生的进步和努力。

-鼓励：对表现出色的学生给予表扬，激励学生保持学习热情，对遇到困难的学生提供帮助和指导，鼓励他们克服困难，继续努力。

3.形成性评价：

-跟踪学生的进步：通过定期的小测验和作业，跟踪学生在学习反比例函数过程中的进步，确保学生能够逐步掌握知识点。

-调整教学策略：根据学生的反馈和学习情况，适时调整教学策略，如增加练习题、组织小组讨论等，以帮助学生更好地理解和运用反比例函数。

4.总结性评价：

-期末考试：在学期末，通过期末考试的形式，全面评估学生对反比例函数知识点的掌握情况，包括理论知识和实际应用能力。

-学习报告：要求学生撰写学习报告，总结在学习反比例函数过程中的收获、困难和解决策略，以促进学生反思和自我评价。教学反思与改进教学反思是教师专业成长的重要环节，它帮助我们总结经验，发现问题，不断改进教学方法和策略。以下是我对这次反比例函数教学的反思与改进措施：

1.教学内容的呈现方式

在这次教学中，我发现有些学生对反比例函数的基本概念理解不够深入，特别是对函数图像的绘制和分析。因此，我计划在未来的教学中，通过更多的实例和实际情境来引入反比例函数，让学生在实际问题中感受函数的应用，从而加深对概念的理解。

2.学生参与度

在小组讨论环节，我发现部分学生参与度不高，可能是因为他们对反比例函数不太感兴趣或者对某些概念感到困惑。为了提高学生的参与度，我打算在接下来的教学中，设计更多与生活相关的练习题和讨论话题，激发学生的学习兴趣，同时鼓励学生积极参与讨论，提出自己的观点。

3.教学媒体的运用

在使用多媒体展示反比例函数图像时，我发现有些学生更倾向于传统的黑板教学，因为他们觉得这样更容易跟随教师的讲解。因此，我会在未来的教学中，根据学生的反馈调整教学媒体的使用，既保留多媒体的动态效果，又兼顾学生的接受习惯。

4.作业批改和反馈

在批改作业时，我发现有些学生的作业存在同样的问题，这说明我在讲解时可能没有清晰地传达某些知识点。为了解决这个问题，我计划在批改作业后，对共性问题进行集中讲解，确保所有学生都能理解和掌握。

5.学生个别辅导

在教学中，我注意到有些学生需要更多的个别辅导。为了更好地满足这些学生的需求，我打算在课后安排一些辅导时间，针对他们在学习中的难点进行个别指导。

6.教学评价的多样性

在教学评价方面，我计划引入更多样化的评价方式，如课堂表现、小组合作、自我评价等，以便更全面地了解学生的学习情况。

7.教学反思的记录

最后，我会在每次课后进行教学反思，记录下教学中的亮点和不足，以及改进措施的实施情况。通过持续的反思和改进，我相信自己能够成为一名更优秀的教师。板书设计①反比例函数的定义：

-反比例函数：y=k/x(k≠0)

-渐近线：y=0,x=0

②反比例函数的图像特征：

-图像：双曲线

-单调性：在第一、三象限单调递减，在第二、四象限单调递增

③反比例函数的性质：

-当k>0时，图像位于第一、三象限

-当k<0时，图像位于第二、四象限第21章二次函数与反比例函数21.6综合与实践获得最大利润课题：科目：班级：课时：计划3课时教师：单位：一、设计意图结合九年级学生的认知水平，本章内容旨在通过实际生活中的问题，让学生深入理解二次函数与反比例函数的应用。本节课通过“获得最大利润”这一实际案例，引导学生运用所学知识解决实际问题，提高学生的数学应用能力和解决问题的能力，为后续学习打下坚实基础。二、核心素养目标培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提升逻辑思维与数学建模素养。通过分析“获得最大利润”问题，使学生能够将二次函数与反比例函数与现实情境相结合，发展数据分析与数学抽象思维，增强数学应用意识，培养创新思维和解决复杂问题的能力。三、学习者分析1.学生已经掌握了二次函数与反比例函数的基本概念、图像性质和解析式的相关知识，能够绘制和分析这些函数的图像，了解其增减性和单调性。

2.学习兴趣方面，学生对现实生活中的应用问题较为感兴趣，喜欢通过解决实际问题来学习数学。在能力上，学生具备一定的逻辑推理和分析问题的能力，但个别学生在数学建模方面可能存在困难。在学习风格上，学生更倾向于通过实例和操作来理解和掌握知识。

3.学生可能遇到的困难和挑战包括：如何将实际问题抽象为数学模型，如何利用二次函数和反比例函数的知识来解决具体问题，以及在解决过程中如何选择合适的数学工具和方法。此外，部分学生可能在理解函数的最大值或最小值概念时遇到困难。四、教学方法与策略四、教学方法与策略

1.采用讲授与讨论相结合的方法，首先讲解二次函数与反比例函数在解决实际问题中的应用原理，然后引导学生进行小组讨论，分析案例中的数学模型。

2.设计角色扮演活动，让学生模拟商家和消费者的角色，通过调整价格策略来探讨利润变化，增强学生的参与感和实际操作能力。

3.使用多媒体教学，展示实际案例的数据图表和函数图像，帮助学生直观理解函数的最大值问题，并利用互动软件进行实时反馈和评价。五、教学流程1.导入新课（5分钟）

详细内容：通过展示一家店铺的营业额数据，引导学生观察并思考营业额与售价之间的关系，提出问题：“如何调整售价才能获得最大利润？”从而引出本节课的主题“获得最大利润”。

2.新课讲授（15分钟）

详细内容：

-讲解二次函数与反比例函数在利润最大化问题中的应用，通过公式推导和图像分析，说明如何确定函数的最大值。

-举例说明如何将实际生活中的问题抽象为二次函数或反比例函数模型。

-分析不同类型的函数模型在解决实际问题时的区别和联系。

3.实践活动（10分钟）

详细内容：

-让学生分组，每组给定一个关于售价与利润的实际案例，要求学生建立相应的函数模型。

-学生利用计算工具，如计算器或电脑软件，求解函数的最大值，并记录结果。

-学生根据求解结果，提出自己的售价调整策略，并预测可能的销售情况。

4.学生小组讨论（10分钟）

详细内容举例回答：

-方案讨论：每组学生根据自己建立的模型和求解结果，讨论哪种售价调整策略能够获得最大利润，并说明理由。

-案例分析：举例分析某一组学生的案例，讨论其在建模过程中可能遇到的困难，以及如何克服这些困难。

-策略评估：评估不同小组提出的售价调整策略，讨论哪些因素可能会影响策略的有效性。

5.总结回顾（5分钟）

详细内容：回顾本节课的主要内容，强调二次函数与反比例函数在解决实际问题中的应用，总结如何通过函数模型求解最大利润问题，并指出本节课的重难点。提醒学生在实际问题中注意函数模型的适用条件和限制。六、教学资源拓展1.拓展资源：

-拓展二次函数在实际生活中的应用，如物理学中的抛物线运动、经济学中的成本收益分析等。

-介绍反比例函数在工程学中的应用，如电阻与电流的关系、液体压力与容器面积的关系等。

-探讨函数最值问题在其他领域的应用，如最优化理论在工业生产中的应用、经济学中的价格弹性分析等。

-提供一些实际问题案例，如企业生产计划中的成本控制问题、物流配送中的最短路径问题等，让学生了解函数模型在实际问题中的应用。

-引导学生阅读一些关于数学建模和实际问题解决的书籍，如《数学建模案例分析》、《实际问题中的数学模型》等。

2.拓展建议：

-鼓励学生自主搜集生活中的实际问题，尝试运用二次函数和反比例函数的知识解决问题，提高学生的数学应用能力。

-建议学生参加数学建模竞赛或数学俱乐部，通过团队合作解决实际问题，培养学生的团队协作能力和创新能力。

-建议学生在课后阅读相关的数学杂志或报纸，了解数学在科技、经济等领域的最新应用和发展。

-鼓励学生利用网络资源，如在线教育平台、数学论坛等，与其他学习者交流学习经验，拓宽知识视野。

-建议学生定期回顾和总结所学的数学知识，尤其是函数模型在实际问题中的应用，通过反思和总结提高学习的深度和广度。七、内容逻辑关系①重点知识点：

-二次函数与反比例函数的定义和性质

-函数图像与最大值（或最小值）的关系

-实际问题中利润最大化模型的建立

②重点词汇：

-二次函数、反比例函数、最大利润、模型建立、图像分析

③重点句子：

-“通过分析函数图像，我们可以确定获得最大利润的售价。”

-“建立数学模型时，首先要确定变量之间的关系，然后选择适当的函数形式。”

-“在解决实际问题时，我们需要根据问题的具体情境，灵活运用数学知识和工具。”八、教学反思这节课通过“获得最大利润”这一案例，让学生将二次函数与反比例函数的知识应用于实际问题中。整体来看，学生们对这一主题表现出了浓厚的兴趣，但在教学过程中也发现了一些问题和值得改进的地方。

首先，学生们对于二次函数和反比例函数的基本概念掌握得比较扎实，但在将实际问题抽象为数学模型的过程中，一些学生显得有些迷茫。我意识到，我在讲解这一部分时可能没有足够强调实际情境与数学模型之间的联系。下次我会尝试用更具体的例子来引导学生，比如从学生们熟悉的购物经验出发，让他们更直观地理解如何从实际问题中提炼出数学模型。

其次，在实践活动环节，虽然学生们积极参与，但有些小组在利用计算工具求解函数最大值时遇到了困难。我注意到，这部分困难并不是因为学生们不会使用工具，而是因为他们对于如何将问题转化为工具能理解的数学表达式不够清晰。我计划在下次课之前，提供一些更详细的指导资料，帮助学生们更好地理解如何使用工具解决数学问题。

另外，我也发现学生们在小组讨论时的表现各有不同。有些小组能够积极交流，共同解决问题，而有些小组则相对沉默。这可能是因为学生们在团队合作方面的经验不足。为了改善这一情况，我打算在课堂之外组织一些团队建设活动，增强学生们之间的沟通和协作能力。

在总结回顾环节，我感到学生们对于本节课的知识点掌握得不错，但他们对如何将这些知识点应用到其他实际问题中还不是很有信心。我觉得，这可能是因为我们没有足够的时间进行深入探讨。未来，我计划在课程中增加一些类似的实际问题案例，让学生有更多机会练习和应用所学知识。

最后，我也反思了自己的教学方法。虽然我尽量使用直观的方式讲解，但可能还是过于依赖传统的讲授方法。我计划在未来的教学中尝试更多样化的教学方法，比如引入更多的互动环节，让学生们在课堂上更加积极主动地参与到学习中来。课堂小结，当堂检测课堂小结：

在本节课中，我们探讨了如何利用二次函数与反比例函数的知识来求解实际问题中的最大利润。我们首先复习了二次函数和反比例函数的基本性质，然后通过具体的案例分析了如何建立数学模型，并运用函数图像来确定最大值或最小值。学生们积极参与讨论，提出了一些创新的解决方案，也意识到了将理论知识应用于实际情境中的重要性。

当堂检测：

为了检验学生们对本节课内容的掌握程度，我们将进行以下当堂检测：

1.填空题：

-二次函数的一般形式是______，其图像是一个______。

-反比例函数的一般形式是______，其图像是一条______。

2.选择题：

-以下哪个函数模型可能适用于描述商品售价与利润的关系？

A.线性函数B.二次函数C.反比例函数D.指数函数

3.解答题：

-假设一家公司的成本函数为C(x)=2x+100，其中x是生产的商品数量。如果公司希望通过销售商品获得最大利润，商品的售价应该定为多少？请建立相应的数学模型，并解释你的求解过程。

4.小组讨论题：

-以小组为单位，讨论以下问题：如果你是一家服装店的老板，你如何通过调整售价来最大化你的利润？请考虑成本、市场需求和其他可能影响利润的因素。

5.自我检测题：

-请回顾本节课的内容，并用自己的话总结二次函数和反比例函数在实际问题中的应用。你认为在解决实际问题时，哪些数学工具或方法最为有效？

检测结束后，老师将收集学生们的答案，并对检测结果进行分析，以便及时发现学生们在理解上的不足，并在下一节课中进行针对性的讲解和辅导。典型例题讲解1.例题一：

已知某商品的售价为每件100元，成本为每件60元，销售量与售价之间的关系可以表示为反比例函数。求当销售量为多少件时，该商品的利润最大，以及最大利润是多少。

解答：

设销售量为x件，售价为p元，则反比例函数为p=k/x，其中k为常数。

由题意得：100=k/x，解得k=100x。

利润函数为L(x)=(p-成本)*x=(100-60)*x=40x。

由于反比例函数的性质，当x=k/2时，p取得最大值。

所以，当x=100/2=50件时，利润最大，最大利润为L(50)=40*50=2000元。

2.例题二：

某工厂生产一种产品，固定成本为3000元，每生产一件产品需要可变成本10元，售价为30元。求该工厂每天生产多少件产品时，利润最大，以及最大利润是多少。

解答：

设每天生产的产品数量为x件，则总成本为C(x)=3000+10x，总售价为P(x)=30x。

利润函数为L(x)=P(x)-C(x)=30x-(3000+10x)=20x-3000。

由于二次函数的性质，当x=-b/2a时，函数取得最大值，其中a=20，b=-3000。

所以，当x=-(-3000)/(2*20)=75件时，利润最大，最大利润为L(75)=20*75-3000=1500元。

3.例题三：

一家商店销售某商品，每件商品的进价为50元，售价为80元。已知需求量与售价之间的关系可以表示为二次函数。求当售价为多少元时，商店可以获得最大利润，以及最大利润是多少。

解答：

设需求量为y件，售价为p元，则二次函数为y=ap^2+bp+c，其中a、b、c为常数。

由题意得：当p=80时，y=100（假设需求量为100件），代入二次函数得100=a*80^2+b*80+c。

利润函数为L(p)=(p-进价)*y=(p-50)*(ap^2+bp+c)。

由于二次函数的性质，当p=-b/2a时，函数取得最大值。

4.例题四：

某公司销售一种产品，成本函数为C(x)=2x^2+20x+100，其中x是销售量。若每件产品的售价固定为30元，求公司获得最大利润时的销售量和最大利润。

解答：

利润函数为L(x)=售价*销售量-成本函数=30x-(2x^2+20x+100)=-2x^2+10x-100。

由于二次函数的性质，当x=-b/2a时，函数取得最大值，其中a=-2，b=10。

所以，当x=-10/(2*-2)=2.5件时，利润最大，最大利润为L(2.5)=-2*2.5^2+10*2.5-100=12.5元。

5.例题五：

某工厂生产一种产品，固定成本为5000元，每生产一件产品的可变成本为10元。若市场需求与价格之间的关系可以表示为反比例函数，求当价格为多少元时，工厂可以获得最大利润，以及最大利润是多少。

解答：

设需求量为y件，价格为p元，则反比例函数为y=k/p，其中k为常数。

由题意得：当p=100元时，y=50件，代入反比例函数得50=k/100，解得k=5000。

利润函数为L(p)=(p-可变成本)*y-固定成本=(p-10)*(5000/p)-5000。第21章二次函数与反比例函数本章复习与测试科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）第21章二次函数与反比例函数本章复习与测试教学内容分析1.本节课的主要教学内容为复习九年级上册沪科版数学第21章“二次函数与反比例函数”，包括二次函数的定义、性质、图像，以及反比例函数的定义、性质、图像，并在此基础上进行相关的应用题训练。

2.教学内容与学生已有知识的联系：本章内容与学生在七、八年级学习的线性函数知识紧密相关，通过复习二次函数与反比例函数，可以加深学生对函数概念的理解，提高学生解决实际问题的能力。具体教材章节包括：

-21.1二次函数的定义与性质

-21.2二次函数图像

-21.3反比例函数的定义与性质

-21.4反比例函数图像

-21.5二次函数与反比例函数的应用。核心素养目标本节课旨在培养学生的逻辑思维、数学抽象、数学建模、直观想象和数据分析能力。通过复习二次函数与反比例函数的知识，使学生能够更好地理解函数的概念，掌握函数的性质和图像，并能运用这些知识解决实际问题，提升学生的数学应用意识和创新意识。重点难点及解决办法重点：理解和掌握二次函数与反比例函数的定义、性质和图像，以及相关的应用题解题技巧。

难点：

1.二次函数与反比例函数图像的绘制与理解。

2.二次函数与反比例函数在实际问题中的应用。

解决办法与突破策略：

1.对于二次函数与反比例函数图像的绘制与理解，通过以下方法解决：

-引导学生通过观察函数表达式，理解参数对图像的影响。

-利用多媒体教学工具，动态展示函数图像的变化过程。

-安排小组讨论，让学生在实际操作中加深对图像特征的理解。

2.对于应用题的解决，采取以下策略：

-通过例题讲解，展示解题步骤和思路。

-设计具有实际背景的应用题，让学生在解决具体问题中运用所学知识。

-鼓励学生进行解题后的反思，总结解题规律和策略。

-定期组织测试和反馈，及时发现并解决学生在应用题解题中的问题。教学方法与策略1.采用讲授与讨论相结合的方法，以讲授为主，辅以学生讨论，确保学生对二次函数与反比例函数的理解深入。

2.设计小组合作活动，让学生通过角色扮演分析函数问题，增强互动性和实践性。

3.利用多媒体课件展示函数图像，辅助讲解，增强直观性。

4.安排案例研究和项目导向学习，让学生在实际问题解决中运用知识，提高应用能力。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

-发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布关于二次函数与反比例函数的预习资料，包括PPT和预习指导。

-设计预习问题：设计如“二次函数的图像有哪些特点？”“反比例函数的图像与二次函数有何不同？”等问题。

-监控预习进度：通过在线平台跟踪学生的预习进度，及时提供帮助。

学生活动：

-自主阅读预习资料：学生自主阅读，理解二次函数与反比例函数的基本概念。

-思考预习问题：针对问题进行思考，记录疑问。

-提交预习成果：学生将预习笔记和问题提交至在线平台。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：培养学生自主学习能力。

-信息技术手段：利用在线平台进行资源共享和进度监控。

作用与目的：

-帮助学生提前理解函数概念，为课堂学习打下基础。

-培养学生的自主学习能力和独立思考能力。

2.课中强化技能

教师活动：

-导入新课：通过生活中的实例引入二次函数与反比例函数的概念。

-讲解知识点：详细讲解二次函数与反比例函数的性质和图像特点。

-组织课堂活动：设计小组讨论，让学生探讨函数图像的变化规律。

-解答疑问：对学生提出的问题进行解答。

学生活动：

-听讲并思考：学生认真听讲，积极思考。

-参与课堂活动：积极参与小组讨论，探讨函数图像特征。

-提问与讨论：提出疑问，与同学和老师进行讨论。

教学方法/手段/资源：

-讲授法：讲解函数性质和图像特征。

-实践活动法：通过小组讨论，实践绘制函数图像。

-合作学习法：培养团队合作和沟通能力。

作用与目的：

-帮助学生掌握二次函数与反比例函数的性质和图像。

-