2024年教师资格证考试-中学教师资格证数学(统考)考试近5年真题集锦（频考类试题）带答案

（图片大小可自由调整）2024年教师资格证考试-中学教师资格证数学(统考)考试近5年真题集锦（频考类试题）带答案第I卷一.参考题库(共100题)1.求两个平行平面之间的距离。2.已知正数x，y，z满足x+y+z=xyz，且不等式恒成立，求λ的范围。3.试论述把算法加入数学课程的原因。4.长方体的一个顶点上的三条棱分别是3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的表面积是（）。A、20B、25C、50πD、200π5.请以"直线与平面平行的判定"为课题，完成下列教学设计。 （1）教学目标 （2）本节课的教学重、难点 （3）写出新课引入和新知探究、巩固、应用等及设计意图6.已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1。 （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线Z：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标。7.请简要描述数学应用意识及推理能力的主要表现。8.在高中数学课程中为什么要讲微积分初步？9.为什么在数学教学中要贯彻理论与实际相结合的原则？10.设则必有（）。A、AP1P2=BB、AP2P1=BC、P1P2A=BD、P2P1A=B11.设随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则随着σ的增大，概率P｛|x-μ|A、单调增大B、单调减少C、保持不变D、增减不变12.设，且a≠b，记｜a-b｜=m，求a-b与x轴正方向的夹角的余弦值。13.数列极限（）。 A、AB、BC、CD、D14.函数y=x2-2ax+1，若它的增区间是[2，+∞），则a的取值是多少？若它在区间[2，+∞）上递增，则a的取值范围是什么？15.下列关于高中数学课程结构的说法不正确的是（）。A、高中数学课程可分为必修与选修两类B、高中数学选修课程包括4个系列的课程C、高中数学必修课程包括5个模块D、高中课程的组合具有固定性，不能发生改变16.发现法是由（）提出的。A、布鲁纳B、陶行知C、卢仲衡D、蔡元培17.下面是一段关于先学函数还是先学映射的讨论。根据《新课标》的要求，谈谈你对这一问题的认识。 甲：从去年开始，高一教材安排的是先讲函数概念，后讲映射概念。而以往教材是先讲映射，后讲函数。我个人认为改动的必要性不大。 乙：先讲映射，再讲函数，这样做教师比较熟悉，心理上容易接受；先讲函数再讲映射，可能立意于从初中函数入手，是从学生角度考虑问题。但哪个好，还说不清楚，需要经过实践检验。 丙：先学映射后学函数，是从一般到特殊。先讲函数后讲映射，是从特殊到一般，更符合认识的规律。 丁：还是先讲函数的好，函数是映射的特殊形式啊！这样也符合数学中从特殊到一般的规律。 戊：我个人觉得，先学映射，后学函数比较好。我觉得，学习函数概念，不比学习映射简单多少。还不如把一般的东西学好，再学习一些特例。（就像你学了函数概念后，再慢慢学一次函数、二次函数。）我个人学其他东西也喜欢先学基础的，再学具体的。 己：不用那么严格区分哪个先，哪个后，只要不一起讲就行。以前我们读书时是先映射后函数，也不是过来了吗？现在倒过来讲，没觉得学生不舒服啊。 庚：对基础较好的学生，我认为先讲映射好一些，对基础不太好、理解能力较弱的学生，先讲函数好一些。 辛：我认为先讲函数好。时代在进步，以往的教材符合过去的时代，现的教材符合现在孩子的心理，先讲函数孩子们不会感到陌生，反而觉得很亲切，这样学起来才有信心和动力。18.=（）.A、OB、1C、∞D、219.在△ABC中，C=90°，且CA=CB=3，点M满足，=（）。A、2B、3C、4D、620.筹比数列{an}，q=2，S4=1，求S8为（）。A、14B、15C、16D、1721.50名学生做物理、化学两种实验，已知物理实验做的正确的有40人，化学实验做的正确的有31人，两种实验都做错的有4人，那么这两种实验都做对的有多少人？22.下列四类函数中，有性质“对任意的x>0，y>0，函数f（x）满足f（x+y）=f（x）f（y）”的是（）。A、幂函数B、对数函数C、指数函数D、余弦函数23.高中数学课程中有哪几条主线？24.已知三个不相等的数a、b、c，试给出寻找这三个数中最大的一个算法，画出该算法的流程图。25.设计算法求S=12+22+32+…+992的值，要求画出程序框图，并写出基本语句编写的程序。26.设坐标原点为O，抛物线y2：2x与过焦点的直线交于A、B两点，则（）。A、B、C、3D、-327.简述概念获得的两种方式并给出每种方式的教学重点。28.从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则选派方案共有（）。A、280种B、240种C、180种D、96种29.为什么说平面向量改变了中学数学内容的结构？30.简述波利亚怎样解题的教学步骤。31.n级复矩阵A的所有特征值的乘积等于（）。A、（-1）nB、（-1）n+1C、（-1）n-132.已知AB为过抛物线y2=2px焦点F的弦，则以AB为直径的圆与抛物线的准线（）。 A、相交B、相切C、相离D、与p的取值有关33.在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（）。A、56个B、57个C、58个D、60个34.求.35.下列关于高中数学课程中常用逻辑用语内容的说法不正确的是（）。A、在常用逻辑用语中，课程的目标是帮助学生正确使用常用逻辑用语，避免产生错误B、在常用逻辑用语中，课程的重点放在理解充分条件、必要条件、充分必要条件在数学中的含义C、在常用逻辑用语中，课程要求通过实例介绍两种基本的逻辑用语--全称量词和存在量词D、在常用逻辑用语中，课程要求学生形式的理解命题和命题的演算36.设均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是（）。A、若线性相关，则线性相关。B、若线性相关，则线性无关。C、若线性无关，则线性相关。D、若线性无关，则线性无关。37.数学建模属于（）试题类型。A、客观性B、探究性C、开放性D、应用性38.配对题属于（）试题类型。A、应用性B、探究性C、客观性D、开放性39.已知四点，无三点共线，则可以确定（）。A、1个平面B、4个平面C、1个或4个平面D、无法确定40.请从“过程与方法”的角度，阐述为什么要在统计的教学中强调案例教学。41.高中数学课程中关于椭圆的定义方式是（）。A、关系定义法tB、描述性定义法C、解释外延定义法D、发生式定义法42.阅读以下“线面平行的判定定理”的教学过程设计，回答问题。 问题： （1）填写教学过程中的设计意图。 （2）分析本次教学的重难点。 （3）请根据此教学过程写一个教学反思。43.一个圆在平面上的射影图形是（）。A、圆B、椭圆C、线段D、圆或椭圆或线段44.已知A={x｜x>-1}，那么正确的是（）。 A、AB、BC、CD、D45.已知， （1）求f（x）的最小正周期； （2）求f（x）单调区间； （3）求f（x）图象的对称轴，对称中心。46.将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有（）。A、30种B、90种C、180种D、270种47.已知矩阵，且。 （Ⅰ）求实数a、b、c、d的值； （Ⅱ）求直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程。48.设，设有P2P1A=B，则P2等于（）。 A、AB、BC、CD、D49.已知|a|=1，|b|=2。 （1）若a∥b，求a·b； （2）若a、b的夹角为60°，求|a+b|； （3）若a-b与a垂直，求当k为何值时，（ka-b）⊥（a+2b）。50.已知定点P（6，4）与定直线l1：y=4x，过P点的直线l与l1交于第一象限Q点，与x轴正半轴交于点M，求使△OQM面积最小的直线l方程。 51.若方程有解，则a的取值范围是（）。A、a>0或a≤-8B、a>0C、D、52.下列哪种学习方式不是《普通高中数学课程标准（实验）》所提倡的？（）A、合作学习B、探究学习C、机械学习D、自主学习53.某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，使可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止。如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数ξ的分布列和ξ的期望，并求李明在一年内领到驾照的概率。54.经过圆x2+2x+y2=0的圆心，与直线x+y=0垂直的直线方程是（）。A、x+y+1=0B、x-y-1=0C、x+y-1=0D、x-y+1=055.设数列｛an｝前n项和为Sn，且an+Sn=1（n∈N*） （1）求｛an｝的通项公式； （2）若数列｛bn｝满足b1=1且2bn+1=bn+an（n≥1），求数列｛bn｝的通项公式。56.（）关于赌博所引出问题的讨论，开创了概率理论的建设。A、巴斯卡和费马B、格朗特C、棣莫弗D、贝叶斯57.设，证明： （1）f（x）在其定义域内单调增加； （2）58.在下面这个习题的讲解中，教师有以下两种处理方式，你会选择哪种处理方式？请说明理由。 方程x2-5x+m=0的两个实根都大于1，求实数m的变化范围。 处理方法一：教师直接把正确解法讲给学生，教师讲在前，学生想在后。 处理方法二：组织学生开展相互之间的讨论，都把自己的想法说出来，并阐明自己的理由去努力说服对方。59.请你针对“对数概念”设计一个新课导入的教学情境。60.底面为平行四边形的四棱柱与平行六面体这两个概念的外延之间具有（）关系。A、交叉B、从属C、矛盾D、同一61.“大于”与“小于”这两个概念属于（）关系。A、矛盾关系B、对立关系C、从属关系D、同一关系62.小明家刚刚购买的房子成正方形（如下图），如果洗手间铺成白色的地砖，厨房与卧室铺浅黄色地砖，那么小明家需要购买多少m2的白色地砖？多少m2的浅黄色地砖？这些地砖的面积与小明家购买房子的总面积是什么关系？这个关系能否推广到一般情形？ （1）简述发现式教学法的含义； （2）通过该题谈谈发现法教学对学生的作用。63.设函数在（a，b）内连续，则在（a，b）内（）。A、f（x）必有界B、f（x）必可导C、f（x）必存在原函数D、D.必存在一点ξ∈（a，，使f（ξ）=064.计算n级行列式.65.已知函数。 （1）当时，求函数f（x）在［-2，2］上的最大值、最小值； （2）令，若g（x）在上单调递增，求实数a的取值范围。66.根据新课程标准的要求，论述如何选择合适的素材帮助学生掌握集合的性质与运算。67.在a>0，b>0的条件下，，其中正确的个数是（）。A、0B、1C、2D、368.设则f（x）的间断点为（）。A、0B、1C、D、69.在△ABC中，已知A，B，C对应的边分别为a，b，c，且∠C=2∠A，， （1）求cosC和cosB的值； （2）当时，求a，b，c的值。70.从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（）。A、8种B、12种C、16种D、20种71.（）关于歌尼斯堡七桥问题和关于多面体顶点、边和面关系的讨论，是几何学发展的重要突破，此时关心的不再是度量问题，而是位置问题、连接问题。A、欧几里得B、欧拉C、海亚姆D、高斯72.下列命题正确的是（）。A、经过两条直线有且只有一个平面B、经过一条直线和一个点有且只有一个平面C、如果平面α与β有三个公共点，则两个平面一定是重合平面D、两个不重合的平面α、β有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线73.下面是互联网上的一段对话，请对甲、乙学习集合的情况进行简要点评。 甲：“刚接触集合一头雾水，大家把在学习集合时的疑与难说些给我听吧！” 乙：“理解集合，通俗地说，就像要把一个小区的垃圾，分放到小区设立的不同垃圾桶里面。垃圾是可以分类的，有的可以回收利用，可回收的垃圾主要包括：纸类、塑料类、金属类、泡沫类、玻璃类等。每一类都是一个集合，每一件垃圾都是某集合的元素。集合申元素的互异性、无序性、确定性就不用说了，晓得就行。某类垃圾就是我们书写集合的那个框框而已，就这么简单。至于子集、全集、补集单从词义上就可以理解。实在不行，打开书反复看，总会理解其内涵的。” 几天后 甲：“自学了N天，感觉也不难了。呵呵！”74.如图，过半径为R的球面上一点P作三条两两垂直的弦PA、PB、PC。 （1）求证：PA2+PB2+PC2为定值； （2）求三棱锥P-ABC的体积的最大值。 75.若A，B是正交矩阵，则下列说法错误的是（）。A、AB为正交矩阵B、A+B为正交矩阵C、ATB为正交矩阵D、AB-1为正交矩阵76.球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为（）。A、4B、2C、2D、77.计算78.已知等差数列｛an｝满足：a3=7，a5+a7=26。｛an｝的前n项和为S。 （1）求an及Sn； （2）令.求数列｛bn｝的前n项和Tn。79.案例： 下面是一位老师在讲"简单几何体的三视图"的教学片断，请阅读后回答问题： 创设问题情境，从学生熟悉的古诗入手，引出课题。 多媒体显示： 题西林壁 --苏轼 横看成岭侧成峰， 远近高低各不同。 不识庐山真面目， 只缘身在此山中。 师：大家看大屏幕，一起朗读这首诗。 师：哪位同学能说说苏东坡是怎样观察庐山的吗？都有什么感觉？ 生：横看，侧看，远看，近看，高看，低看。都得到不同的效果。 师：回答得非常好。可能有些同学会纳闷，今天老师上数学课怎么会念起古诗来？其实，这首诗隐含着一些数学知识。它教会了我们怎样观察物体，这也是我们这节课将要学习的内容--简单组合体的三视图（写板书）。 问题： （1）该教师的课堂引入有什么特色，对教学有什么好处？ （2）简单谈谈数学教学过程中怎样调动学生的学习热情激发学习兴趣。80.阅读下面“函数的图象”一节的问题情境创设，分析其中存在的问题。 平均变化率 一、问题情境演示实验。将热水通过虹吸管从锥形瓶中输入盛有少量冷水的烧杯，利用温度传感器探测烧杯中的水温，同时通过数据采集器在屏幕上绘制温度随时间变化的曲线。 问题1：实验中有哪些变化？ 问题2：观察图象，曲线有哪些特点？ 问题3：选定两段曲线AB、BC，如何用数量来刻画曲线的陡峭的程度？ 二、学生活动与师生互动81.设，则（）。A、A与B既合同又相似B、A与B合同但不相似C、A与B不合同但相似D、A与B既不合同又不相似82.设f（x）是R上的函数，则下列叙述正确的是（）。A、f（x）f（-x）是奇函数B、f（x）｜f（x）｜是奇函数C、f（x）-f（-x）是偶函数D、f（x）+f（-x）是偶函数83.下列关于高中数学课程的变化内容，说法不正确的是（）。A、高中数学课程中的向量既是几何的研究对象，也是代数的研究对象B、高中数学课程中，概率的学习重点是如何计数C、算法是培养逻辑推理能力的非常好的载体D、集合论是一个重要的数学分支84.在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，下列说法中正确的是（）。A、100个吸烟者中至少有99人患有肺癌B、100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有C、1个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有肺癌D、100个吸烟者中一定有患肺癌的人85.已知定义在R上的函数f（x）和数列{an}满足下列条件： 86.下列关于概念教学的说法不正确的是（）。A、概念的内涵与外延这两个方面是相互联系、互相制约的B、根据概念外延间的同异关系，概念间的关系分为全同关系和交叉关系C、数学概念的获得有两种方式，概念形成与概念同化D、高中数学概念下定义的常见方式主要包括属概念加种差、揭示外延、描述性定义等方式87.论述实施合作学习应注意的几个问题。88.已知sinθ+cosθ=m，tanθ+cotθ=n，则m与n的大小关系为（）。A、m2=n，B、C、D、89.旋转曲面是（）。A、xOy平面上椭圆绕y轴旋转成的椭球面B、xOy平面上椭圆绕x轴旋转成的椭球面C、xOz平面上椭圆绕y轴旋转成的椭球面D、xOz平面上椭圆绕z轴旋转成的椭球面90.为什么说几何是认识和描述现实世界空间与图形关系的重要工具？91.设，则A-1B-1=（）。92.设椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率。已知点到这个椭圆上的点的最远距离为，求这个椭圆方程。93.不能描述算法的是（）。A、流程图B、伪代码C、数据库D、自然语言94.设全集，若，则（）。A、A={1，8}，B={2，6}B、A={1，3，5，8}，B={2，3，5，6}C、A={1，8}，B={2，3，5，6}D、A={1，3，8}，B={2，5，6}95.下图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）。 A、i>100B、i=100C、i>50D、i96.以“弧度制概念”为例，请用直接导入法为其设计一个课堂导入。97.结合实例谈谈，在高中课程教学中，为什么不强调几何概型，而强调随机模拟的思想？98.设有齐次线性方程组Ax=0及Bx=0，其中A、B均为m×n矩阵，现有以下4个命题 ①若Ax=0的解均是Bx=0的解，则rA≥rB； ②若rA≥rB，则Ax=0的解均是Bx=0的解； ③若Ax=0与Bx=0同解，则rA=rB； ④若rA=rB，则Ax=0与Bx=0同解。 以上命题中正确的是（）。A、①②B、①③C、②④D、③④99.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5。现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件。求此样本的容量n。100.下面为某校老师教授“等比数列”一节的教学片段： 环节一：举例引入等比数列的概念 环节二：等比数列概念的理解 环节三：类比等差数列通项公式的推导得等比数列的通项公式 环节四：学生自学例题并做练习 环节五：课堂小结和布置作业（剩余5分钟） 师：好了，我们这节课所研究的知识就到这里，接下来给大家一分钟的时间，请大家静静地回想这节课上我们学习了什么？你有什么样的收获？同时还存在哪些疑问？ 师：我们来分享一下大家的收获，请问有哪位同学愿意和我们谈谈你有什么收获？ 生甲：我这节课收获很大，首先我知道了什么样的数列是等比数列，其次懂得了等比数列的通项公式及其推导。 师：很好！这位同学收获确实很大啊！还有其他同学愿意分享自己的收获吗？ 生乙：我还学会了用等比数列的定义、通项公式去解决一些简单的问题。 师：不错。还有吗？ 生丙：学习了这节课，我学会了数学的类比思想，类比等差数列的知识来学习等比数列的知识。 师：很好！从这几位同学的发言中可以看出你们都有认真总结过这节课的知识！最后，课后研究作业是“报纸折叠38次的故事”，希望大家能用我们这节课所学的知识来理解一下这位数学家所说的话是否有他的道理？为什么？ 请你结合上述教学过程，分析一下这样的课堂小结有哪些优点或可改进的地方。第I卷参考答案一.参考题库1.参考答案： 在平面Ⅱ1上任取一点，例如P0（-1，0，0），P0到Ⅱ2的距离就是Ⅱ1，Ⅱ2之间的距离，代入2.参考答案： 3.参考答案： 1.时代的需要算法严格地说是数学的一个分支，它有自己的体系，它渗透到很多数学分支，尤其是应用数学分支。从另一个角度看，计算机科学的飞速发展对数学的发展起了极大的推动作用，它开拓了数学研究的领域，丰富了数学研究的方法，加强了数学与其他学科的联系，拓展了数学的应用范围。所有这一切，算法起了重要的作用。了解算法的基础知识和基本应用，对一个人的发展是非常重要的。 2.与传统的内容有密切的联系算法并不是一个十分陌生的内容。虽然在传统的数学内容中没有出现过这个名词，但它的思想反复体现在传统的数学内容中，可以说渗透到了大部分内容之中。 3.能引起学生的兴趣算法的特点是可以操作、可以检验，在条件允许的学校可以让学生在计算机上实现，这些都是受学生欢迎的，它们会使学生产生成就感。4.对教师没有太大的难度算法的内容对教师来说，难度不大，经过培训就能完全掌握。有些教研室和学校采取了一些有效的措施，例如分成小组、分工备课、集体研讨、教案共享，很好地解决了这个问题。5.算法将对未来的数学课程产生很大的影响算法进入高中是一件大事，会产生一系列的连锁反应，估计下面的一些情况会引起数学教育工作者的关注和研究。 （1）大学课程设计中，会对算法的内容给予更多的关注。有一些学校已经开设“算法”的选修课；有的学校把“算法”和相关的课程有机地结合起来。“算法”在大学数学教育中会成为关注的问题之一。 （2）“算法”的内容会以某种方式渗透到初中和小学，这～点是需要认真研究的课题。 （3）“算法”的内容进入高中，给出一个明确的导向，数学教育将更加关注“通性通法”，强化基本技能，淡化技巧。 （4）“算法”是培养逻辑推理能力的非常好的载体。“算法”在数学教育中的地位和作用应该成为数学教育研究的重要方面。4.参考答案：C5.参考答案： （1）教学目标 通过直观感知--观察--操作确认的认识方法理解并掌握直线与平面平行的判定定理，掌握直线与平面平行的画法并能准确使用数学符号语言、文字语言表述判定定理。培养学生观察、探究、发现的能力和空间想象能力、逻辑思维能力。让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感。 （2）教学重点与难点 重点是判定定理的引入与理解，难点是判定定理的应用及立体空间感、空间观念的形成与逻辑思维能力的培养。 （3）教学过程设计 ①知识准备、新课引入 提问1：根据公共点的情况，空间中直线a和平面有哪几种位置关系？并完成下表：（多媒体幻灯片演示） 我们把直线与平面相交或平行的位置关系统称为直线在平面外，用符号表示为A。 提问2：根据直线与平面平行的定义（没有公共点）来判定直线与平面平行，你认为方便吗？谈谈你的看法，并指出是否有别的判定途径。 （设计意图：通过提问，学生复习并归纳空间直线与平面位置关系而引入本节课题，并为探寻直线与平面平行判定定理做好准备。） ②判定定理的探求过程 1）直观感知 提问：根据同学们日常生活的观察，你们能感知到并举出直线与平面平行的具体事例吗？ 生1：日光灯与天花板，树立的电线杆与墙面。 生2：门转动到离开门框的任何位置时，门的边缘线始终与门框所在的平面平行（由学生到教室门前作演示），然后教师用多媒体动画演示。 2）动手实践 教师取出预先准备好的直角梯形泡沫板演示：当把互相平行的一边放在讲台桌面上并转动，观察另一边与桌面的位置，给人以平行的感觉.而当把直角所在的腰放在桌面上并转动，观察另一边与桌面，给人的印象就不平行。又如老师直立讲台，则大家会感觉到老师与四周墙面平行，如老师向前或后倾斜则感觉老师与左、右墙面平行，如老师向左、右倾斜，则感觉老师与前、后墙面平行（老师也可用事先准备的木条放在讲台桌上作上述情形的演示）。 （设计意图：设置这样动手实践的情境，是为了让学生更清楚地看到线面平行与否的关键因素是什么，使学生学在情境中，思在情理中，感悟在内心中，学自己身边的数学，领悟空间观念与空间图形性质。） 3）探究思考 上述演示的直线与平面位置关系为何有如此的不同？关键是什么因素起了作用呢？通过观察感知发现直线与平面平行，关键是三个要素：第一，平面外一条线；第二，平面内一条直线；第三，这两条直线平行。如果平面外的直线a与平面内的一条直线b平行，那么直线a与平面平行吗？ 4）归纳确认：（多媒体幻灯片演示） 直线和平面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线和这个平面平行。 简单概括：（内外）线线平行线面平行 作用：判定或证明线面平行。 关键：在平面内找（或作）出一条直线与面外的直线平行。 思想：空间问题转化为平面问题 ③定理运用，问题探究（多媒体幻灯片演示） 判断下列命题的真假？说明理由： 1）如果一条直线不在平面内，则这条直线就与平面平行。（） 2）过直线外一点可以作无数个平面与这条直线平行。（） 3）一直线上有二个点到平面的距离相等，则这条直线与平面平行。（） 设a、b是二异面直线，则过a、b外一点p且与a、b都平行的平面存在吗？若存在请画出平面，不存在说明理由？ 先由学生讨论交流，教师提问，然后教师总结，并用准备好的羊毛针、铁线、泡沫板等演示平面的形成过程，最后借多媒体展示作图的动画过程。 （设计意图：这是一道动手操作的问题，不仅是为了加深对定理的认识，更重要的是培养学生空间感与思维的严谨性。） ④总结 先由学生口头总结，然后教师归纳总结（由多媒体幻灯片展示）： 1）线面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与这个平面平行。 2）定理的符号表示： 简述：（内外）线线平行则线面平行。 3）定理运用的关键是找（作）面内的线与面外的线平行，途径有：取中点利用平行四边形或三角形中位线性质等。6.参考答案： 7.参考答案：应用意识主要表现在认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息，数学在现实世界中有着广泛的应用；面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略；面对新的数学知识时，能主动地寻找其实际背景，并探索其应用价值。推理能力主要表现在能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例；能清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据；在与他人交流的过程中，能运用数学语言合乎逻辑地进行讨论与质疑。8.参考答案：（1）微积分的思想是非常重要的思想，它可以帮助我们了解函数的变化，刻画现实世界中的规律。在日常生活中，微积分的基本知识已经成为人们认识某些事物的常识。很多中学生中学毕业之后会直接进入工作岗位，希望学生通过微积分的学习，能用变化和运动的观点来看待数学世界和现实世界，能有一个更加广阔的数学视野。（2）在中学阶段所学到的相关的学科，比如物理、化学、生物、地理等，都有很多反映微积分思想的实例和案例，所以在数学上给出微积分的表述，对于理解这些事例和案例是必要的。（3）直接介绍微积分的难度不大，能为中学生所接受。（4）可以帮助学生了解导数和积分的丰富背景和应用，建立一些具体的、特殊的极限概念，初步形成对极限的感性认识，这些对于进一步学习微积分理论是有帮助的。（5）微积分的产生在人类文明史上有着重要的作用。通过这部分内容的学习可以让学生更好地理解数学在人类进步和发展中不可缺少的作用。9.参考答案： 理论与实践相结合，既是认识论与方法论的基本原理，又是教学论中的一般原理。而研究数学理论和发展理论的目的，最终还是为了用于实践。数学的发展正是沿着"实践、认识、再实践、再认识"的规律不断发展着。每一次的实践，肯定了一些理论，提出一些问题，推动着理论的发展。这一原则是数学特点所决定的。数学虽是非常现实的，但舍去了与数量关系和空间形式无关的性质，以致它以高度抽象的形式出现。这就要求在教学的时候，不仅要联系实际来阐明理论，还要适当地、有机地使理论与实际交叉进行。此原则也是培养学生分析问题与解决问题能力所需要的。因为这个能力主要是指如何使学生把实际问题归结为数学问题的能力。显然，这就要求学生明确抽象理论的实际意义，并了解从实际现象上升为理论的探讨过程。数学的内容是依逻辑的顺序进行安排，并按照理论循序渐进地展开的，所以并非每一个抽象理论都反映具体实际现象。另外，由于数学各项理论内容的繁简与学生理解能力的强弱不同，故在教学中使理论与实践结合穿插进行的密度也不一致，因此必须适当、有机地进行。且随着年级的增高、个别理论难度加大，穿插进行的密度也相对地减小。10.参考答案：C11.参考答案：C12.参考答案： 13.参考答案：B14.参考答案： a=2；a≤2。15.参考答案：D16.参考答案：A17.参考答案： 函数是一种两个实数集合之间的对应关系，而映射是一种两个集合之间的对应关系。映射的思想和函数的思想在本质上是一样的，只是它们连接的两类对象不同。《新课标》中有关函数教学指导性意见的描述是这样的，“函数概念的引入一般有两种方法，一种方法是先学习映射，再学习函数；另一种方法是通过具体实例，体会数集之间的一种特殊的对应关系，即函数。考虑到多数高中学生的认知特点，为了有助于他们对函数概念本质的理解，建议采用后一种方式，从学生已掌握的具体函数和函数的描述性定义入手，引导学生联系自己的生活经历和实际问题，尝试列举各种各样的函数，构建函数的一般概念”。这是教学建议，是一种倾向性意见，并不是硬性规定，这个建议的道理也很简单，注重了从特殊到一般的思维形式，突出了函数概念的实际背景，从大量的两个变量之间的相依关系中归纳出函数的概念，理解函数的意义。这也为学习、理解更加抽象的映射奠定了基础。另外，在《新课标》中，关于映射只有一句话，即“了解缺射的概念”。18.参考答案：A19.参考答案：B20.参考答案：D21.参考答案： 2522.参考答案：C23.参考答案：高中数学课程中有六条主线：函数主线、运算主线、几何主线、算法主线、统计概率主线、应用主线。24.参考答案： 流程图为 25.参考答案： 这是一个累加求和问题，共99项相加，可设计一个计数变量，一个累加变量，用循环结构实现这一算法。算法及程序框图如下：26.参考答案：B27.参考答案： （1）数学概念获得有两种主要方式：一种是学生由大量的同类事物的不同例证中，独立发现同类事物的关键特征，这种获得方式，在心理学上称为概念形成；另一种是直接向学生展示定义，利用原有认知结构中有关知识理解新概念，这种获得概念的方式，心理学中称为概念同化。 （2）概念形成要求学生由具体事实概括出新概念。这就需要从大量的具体例子出发，利用学生在实际经验中的生动事例，以归纳的方式概括出一类事物的本质属性，初步形成一个新概念。教学重点是：列举大量学生熟悉的有关事实，进行辨认，概括出共同属性；进一步概括出关键属性，形成新概念；对新例子能抓住关键属性进行识别，从而达到对新概念的理解。 （3）概念同化要求学生利用旧知识导出新概念，即利用认知结构中的有关概念来学习，这是一种接受学习，是中学生学习数学概念的主要方式。教学重点是：要了解学生的认知结构，特别是了解有关知识的掌握情况，即有关的概念都应该是清晰的、稳定的、明确的；给出的定义要简明；通过适量正、反实例与练习，使学生能把握新概念的关键属性，使新概念不与相关概念混淆，使新概念从本质上纳入已有的认知结构。28.参考答案：B29.参考答案： 向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，是沟通代数和几何的一种工具。向量作为一个既有方向又有大小的量，在现代数学的发展中起着不可替代的作用。运算及其规律作为代数学的基本研究对象，贯穿中学数学内容的始终。向量可以进行多种运算，并具有一系列丰富的性质，所以和数的运算相比，向量运算不仅扩充了运算的对象，还扩充了运算的性质。运算对象的不断扩展是数学发展的一条重要线索。从小学开始，学生所接触的运算对象就在不断地扩展，从整数到分数，从正数到复数，从有理数到实数、复数，从数到字母、多项式等。数运算，字母、多项式运算，向量运算，函数、映射、变换运算，矩阵运算等都是数学中的基本运算。从数运算到字母运算，是运算的一次飞跃。从数运算到向量运算，是运算的又一次飞跃。具体的图形是中学数学内容的另一重要研究对象。向量可以用来表示空间中的点、线、面。如果以坐标系原点为起点，向量就与空间中的点建立了一一对应关系；一点和一个非零向量可以唯一确定一条直线，它通过这个点且与给定向量垂直。在高维空间中，这种表示十分有用，还可以表示曲线、曲面。因此，向量可以描述、刻画、替代集合中的基本研究对象--点、线、面，它也是几何研究的对象。向量是集合研究对象，这种认识很重要。在立体集合中，可用向量来讨论空间中点、线、面之间的位置关系；判断线线、线面、面面的平行与垂直，用向量来度量几何体；计算长度、角度、面积等。由此可见，平面向量扩展了中学的运算，丰富了图形的研究方法，为学生今后进一步学习其他数学内容，体会数学的真谛奠定了基础。30.参考答案： （1）分析题意。首先了解问题的文字描述，指出未知数、已知数据和条件，对问题有个整体了解。其次，从各方面来考虑问题的主要部分，如果问题和某一图形有关，就应该画图，并在上面标出未知数与已知数据；如果对一些对象需要给以名称，就应该引入适当的符号。最后，把问题中的主要部分进行各种组合来考虑，同时把各个细节都联系起来，把每个细节与整个问题联系起来。 （2）拟定计划。找出已知数与未知数之间的联系。如果找不出直接的联系，那么考虑辅助问题；最终得出一个求解的计划。 （3）执行计划。实现求解计划，检验每一步骤。 （4）验算所得到的解。试着用别的方法导出这个结果，改进解的各部分，总结所得的结果并尝试把它用于其他问题。31.参考答案：A32.参考答案：B33.参考答案：C34.参考答案： 35.参考答案：D36.参考答案：A37.参考答案：D38.参考答案：C39.参考答案：C40.参考答案： 与传统的数学教学不同的是，新课程标准要求通过大量的实际案例来讲授统计，希望学生通过实际问题的解决来理解统计的思想，而不是死背公式和概念。这就要求学生掌握解决统计问题的全过程，这也是整个中学统计教学的一个指导思想。之所以如此，是因为处理统计问题的思维方式和传统的数学思维方式有所不同，传统的数学更强调演绎推理，而统计是根据具体数据概括出来的，更强调归纳的过程。在统计教学中，通过收集数据、利用图表整理和分析数据，求出数据的数字特征、进行统计推断，这就是通过对数据的处理，归纳出数据特征的过程。在高中阶段，学习统计不是从定义定理出发，而是从具体的实例出发，这有助于帮助学生了解和掌握解决一个统计问题的全过程：提出统计问题、收集信息、整理信息、从中提取信息并说明问题。因此，要特别注重统计的过程，即让学生经历“收集数据一整理数据一分析数据一作出推断”的数据处理全过程，在此过程中学习一些数据处理的方法，运用所学的知识和方法去解决实际问题，并培养学生归纳思维的能力。41.参考答案：D42.参考答案： （1） ①复习旧知识，为引出新问题做铺垫； ②从实际背景出发，直观感知直线和平面平行的位置关系，培养学生从实例中抽象空间图形的能力； ③引导学生用“降维”的思想来思考问题，即由证线面平行转证线线平行，进一步感知直线与平面平行的本质内涵。辨析使学生明确对数学结论的探究，表达要严谨，培养学生严谨的治学态度和良好的思维习惯： ④通过对问题的讨论，加深对线面平行判定方法的理解，掌握线面平行的本质属性，明确平行问题以无公共点为基本特征： ⑤让学生归纳出线面平行的判定定理，并能用符号语言、几何图形语言准确表示，使学生明白要判断一条直线与一个平面平行只要在这个平面内找到一条直线和已知直线平行。 （2）教学重点：线面平行的判定定理；教学难点：如何引导学生理解并掌握由平行公理推出线面平行的判定定理，并掌握这些定理的应用。 （3）教学反思：此教学过程设计首先用活动铁门的照片易于学生观察，加上教师问题串的引导，学生很自然想到“降维”处理，进而想到直线与平面平行的判定定理的内容。之后又让学生亲自动手实验，观察直线与平面的位置关系，从直观上帮助学生确定猜想的正确性。整个过程中，线面平行判定的引入非常的自然贴切，能够从学生熟悉的生活实例出发，引导学生进行观察、实验、猜想等合情推理的活动，进而对猜想进行思辨论证，抽象概括出直线与平面判定定理的结论，让学生充分体验几何的研究方法和过程。43.参考答案：D44.参考答案：B45.参考答案： （1）T=π。 46.参考答案：B47.参考答案： （Ⅰ）由题设得，解得； （Ⅱ）因为矩阵M所对应的线性变换将直线变成直线（或点），所以可取直线y=3x上的两点（0，0），（1，3），由得：点（0，0），（1，3）在矩阵M所对应的线性变换下的像是（0，0），（-2，2），从而直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程为y=-x。48.参考答案：B49.参考答案： 50.参考答案： 51.参考答案：D52.参考答案：C53.参考答案： ξ的取值分别为1，2，3，4。 ξ=1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P（ξ=1）=0.6。 ξ=2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故P（ξ=2）=（1-0.6）×0.7=0.28。 ξ=3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故P（ξ=3）=（1-0.6）×（1-0.7）×0.8=0.096。 ξ=4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故P（ξ=4）=（1-0.6）×（1-0.7）×（1-0.8）=0.024。 则李明实际参加考试次数ξ的分布列为 故ξ的期望Eξ=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544。54.参考答案：D55.参考答案： 56.参考答案：A57.参考答案： 58.参考答案： 会选择第二种处理方法。处理方法一，用教师的讲代替了学生的想，教师讲在前，学生想在后，那么学生的一些自以为正确的错误思想就会被掩盖起来。这种处理方式不能针对学生存在的差异进行有效教学，难以实现真正的因材施教。处理方法二，采取合作学习的方式，这种方式能调动学生的学习主动性，也能把学生各种不同的想法反映出来，这时的课堂不再是教师的“一言堂”，而是更多学生积极参与的“群言堂”。学生的多种想法也可以作为课堂生成性资源被加以有效利用。59.参考答案： 此处学生回答均为预设。 师：今天我们这节课的题目是“对数”。对数的发明人纳皮尔讲：“我要尽可能来免除计算的困难和繁重，许多人被讨厌的计算吓得不敢学数学了。”法国的拉普拉斯说得好：“对数可以把几个月的计算减少到几天完成，使天文学家的寿命延长一倍。”同学们，学习对数有这么大好处，今天我们就来学习它，并牢固掌握它吧。（这样导入新课，简明扼要，迅速集中学生注意力，使学生能积极主动地带着好奇心去听课思考，有利于培养学生的探索精神。） 师：前面，我们学习了指数的概念，请大家在括号中填空：2（）=2；2（）=4。 生：2（1）=2；2（2）=4。 师：很好！那么该如何填空2（）=3？ 生：…… 师：我们姑且不要急于填空，首先，满足这样条件的数是否存在？ 生：存在。 师：为什么？有几个？ 生甲：函数y=2x与直线y=2有交点而且只有一个，因此所填的数有且只有一个。 师：很好，那么，怎么填这个数呢？ 生乙：老师，我知道了！画出准确图象，求出近似解。 生丁：我觉得可以用计算器求近似解。 师：都很好，但我们有时在研究问题的时候，一开始并不想急于求出近似解，而只想采取一种方法把这个数“暂时表示出来”，大家觉得这个数怎么表示？ 生：肯定与2，3有关，而且是2与3唯一决定的，并且还与它们的顺序有关。 师：很好！为了便于记忆及和谐，我们应该把2放“低一些”，3放得“高一些”，这就是我们今天所要学习的对数。 …… （教师在原有的概念的基础上设置认知和需求，既激发了学生产生对新概念“创造”的需求，又紧紧地把学习的概念附着在学生已有的认知结构上。）60.参考答案：D61.参考答案：B62.参考答案： （1）发现式教学法又叫问题教学法，是美国著名心理学家布鲁纳于20世纪50年代首先倡导的、让学生自己发现问题、主动获取知识的一种教学方法。布鲁纳从青少年好奇、好学、好问、好动手的心理特点出发，提出了在教师的指导下，通过演示、实验、解答问题等手段引导学生像当初数学家发现定理那样去发现知识，以便培养他们进行研究、探讨和创造的能力。 通常可以按下述一般步骤进行： ①创设问题情境，激发学生学习的积极性和主动性。 ②寻找问题答案，探讨问题解法。 ③完善问题解答，总结思路方法。 ④进行知识综合，充实和改善学生的知识结构。 （2）在思考这个题的过程中，学生能够获得（a+B.2=a2+2ab+b2这个猜想，之后引导学生给出证明即可。这个问题的证明既可以从几何的角度利用面积计算得出，也可以从代数角度利用多项式乘法得出，学生怎样证明都可以。通过发现法教学，我们鼓励学生从多个角度解决问题，这对培养学生思维的灵活性非常重要，而思维的灵活性是创造性的基础。63.参考答案：C64.参考答案： 原式65.参考答案： (1)66.参考答案： 新课程标准就集合的学习指出：“集合是一个不加定义的概念，教学中应结合学生的生活经验和已有的数学知识，通过列举丰富的实例，使学生理解集合的含义。”这就告诉我们，学习集合时重在集合的含义，包括集合之间的关系的含义写表达，集合的运算是什么。在本单元的教学过程中，教师应以学生已有的数学知识为基础，引导学生对以往所学的数学内容用集合的形式来回顾、梳理，例如用集合表述自然数、整数、方程的解或不等式的解等。以这些知识为背景获得学生运用集合语言进行表达和交流的情境和机会，同时与自然语言、图形语言进行转换和比较，使学生体会自然语言、图形语言、集合语言各自的特点，进而感受用集合表示数学内容的简洁性和准确性。67.参考答案：C68.参考答案：A69.参考答案： 70.参考答案：B71.参考答案：B72.参考答案：D73.参考答案： 这段对话很有意思，一方面，表现出甲的求知欲很强和开始学集合时的无奈，但在乙的引导下终于自学成功。另一方面，可以看出乙对知识的理解和学习建议确实很好，垃圾分类的例子很生动，短短的一段话，深入浅出。74.参考答案： 75.参考答案：B76.参考答案：B77.参考答案： 78.参考答案： 79.参考答案： （1）这位老师用语文课的诗句作为引入，内容新鲜方式特别，提起学生的求知欲，达到了一定的效果跨越学科界限，让苏东坡的一首《题西林壁》把同学们带入了一个如