2024年大学试题(理学)-数值分析考试近5年真题集锦（频考类试题）带答案

（图片大小可自由调整）2024年大学试题(理学)-数值分析考试近5年真题集锦（频考类试题）带答案第I卷一.参考题库(共100题)1.用牛顿法求方程x2-3x-1=0在[1,2]之间的近似根 （1）请指出为什么初值应取2？ （2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001.2.对于初值问题，证明当h<0.2时，欧拉公式绝对稳定。3.设方程组 试考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯-塞德尔迭代法的收敛性。4.求方程x2-x-1.25=0的近似根，用迭代公式，取初始值x0=1，那么x1=（）。5.试讨论用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解下列方程组的收敛性问题： 6.设（1）方程f（x）=0有根x*： （2）对一切x∈R，f’（x）存在且，证明对于任意的λ∈（0，2/m迭代格式是局部收敛的。7.用幂法计算下列矩阵的主特征值及对应的特征向量： 当特征值有3位小数稳定时迭代终止。8.下述矩阵能否分解为LU（其中L为单位下三角阵，U为上三角阵）？若能分解，那么分解是否唯一？ 9.设一阶差商f（x1，x2）==-3，f（x2，x3）=，则二阶差商f（x1，x2，x3）=（）。10.分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分： 11.求证： （a）║x║∞≤║x║1≤n║x║∞； （b）12.用辛浦生公式计算积分近似值；13.递推公式，如果取y0=≈1.41作计算，则计算到y0时，误差为（），这个计算公式数值稳定不稳定（）。14.求解方程组的高斯—塞德尔迭代格式为（），该迭代格式的迭代矩阵的谱半径ρ（M）=（）。15.已知用线性插值求的近似值。（拉格朗日线性插值）16.用复化Simpson公式计算积分的近似值，要求误差限为0.5×10-5。17.设∥A∥P,∥A∥q为Rn*n上任意两种矩阵（算子）范数，证明存在常数c1,c2>0使得对一切A∈Rn*n均成立。18.对一元2次方程具有5位有效数字，求其具有5位有效数字的根。19.导出如下3个求积公式，并给出截断误差的表达式。 20.对于f（x）=0的牛顿公式， 证明收敛到，这里x*为f（x）=0的根。21.解初值问题的改进欧拉法是（）阶方法。22.改变函数的形式，使计算结果较精确（）。23.选取常数a，使达到极小，问这个解是否唯一？24.已知一元方程x3-3x-1.2=0。 1）求方程的一个含正根的区间； 2）给出在有根区间收敛的简单迭代法公式（判断收敛性）； 3）给出在有根区间的Newton迭代法公式。25.π=3.14159...具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算）26.设，则ρ（A）为（）。A、2B、5C、7D、327.分别描述R2中（画图）28.证明对于任意选择的A，序列收敛于零29.用二分法求方程f（x）=x3-x-1=0在[1.0，1.5]区间内的一个根，误差限。ε=10-230.设f（x）=4x5+2x4+3x2+1和节点xk=k/2，k=0，1，2...则f[x0，x1，...x5]=（）31.设f（x）=x4+3x3-1，在[0，1]上求三次最佳逼近多项式。32.用追赶法求解三对角方程组 33.已知f（-1）=2，f（1）=3，f（2）=-4，求拉格朗日插值多项式L2（x）及f（1，5）的近似值，取五位小数。34.设，在−1≤x≤1上取n=20，按等距节点求分段线性插值函数Ih（x），计算各相邻节点间中点处的Ih（x）与f（x）的值，并计算误差。35.设为Rn×n上任意两种矩阵算子范数，证明存在常数c1，c2>0，使对一切A∈Rn×n满足 36.已知方程组Ax=b，其中 （1）写出该方程组的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式； （2）判断两种方法的收敛性，如果均收敛，说明哪一种方法收敛更快。37.用二步法求解一阶常微分方程初值问题，问：如何选择参数，α，β的值，才使该方法的阶数尽可能地高？写出此时的局部截断误差主项，并说明该方法是几阶的。38.解常微分方程初值问题的梯形格式是（）阶方法。39.已知常微分方程的初值问题： 用改进的Euler方法计算y（1.2）的近似值，取步长h=0.2。40.，则A的谱半径ρ（A）=（），A的cound（A）1=（）。41.已知一组试验数据如下： 求它的拟合曲线（直线）。42.数值微分中，已知等距节点的函数值（x0，y0）（x1，y1）（x2，y2），则由三点的求导公式，有f′（x1）=（）。43.试用最小二乘法，求解下列超定方程组： 44.设x*=2.3149541...，取5位有效数字，则所得的近似值x=（）。45.对于给定的线性方程组 （1）讨论雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法的收敛性。 （2）对收敛的方法，取初值，迭代两次，求出。46.用梯形法解初值问题y′=x2+x-y，y（0）=0取步长h=0.1，计算到x=0.5，并与准确解y=-e-x+x2-x+1相比较。47.有常微分方程的初值问题，试用泰勒展开法，构造线性两步法数值计算公式，使其具有二阶精度，并推导其局部截断误差主项。48.舍入误差是（）产生的误差。A、只取有限位数B、模型准确值与用数值方法求得的准确值C、观察与测量D、数学模型准确值与实际值49.已知高斯求积公式将区间[0，1]二等分，用复化高斯求积法求定积分的近似值。50.已知一组试验数据 试用直线拟合这组数据.(计算过程保留3位小数)。（最小二乘线性逼近）51.如有下列表函数： 则一次差商f[0.2，0.4]=（）52.用最小二乘法求一个形如y=a+bx2的经验公式，使它与下列数据拟合，并求均方误差。 53.用二分法求非线性方程f（x）=0在区间（a，b）内的根时，二分n次后的误差限为（）。54.设Y0=28，按递推公式计算到Y100，若取≈27.982（五位有效数字），试问计算Y100将有多大误差？55.迭代法收敛的充要条件是什么？如果能否说明迭代法不收敛？用什么表示迭代法的收敛速度？56.求A、B使求积公式的代数精度尽量高，并求其代数精度；利用此公式求（保留四位小数）。57.设A为非奇异矩阵，且，求证（A+δA）-1存在且有估计 58.设A为对称正定矩阵，且其分解为A=LDLT=WTW，其中W=D1/2LT，求证： 59.导出具有下列形式的3阶方法： 60.证明61.以100，121，144为插值节点，用插值法计算的近似值，并利用余项估计误差。62.设f（x）=（x-x0）（x-x1）…（x-xn）求之值，其中，而节点互异。（均差的计算）63.取h=0.25，用差分方法解边值问题。 64.用改进的尤拉方法解 取步长h=0.1计算y（0.5），并与准确解y=-e-x+x2-x+1相比较。65.在[-1，1]上利用幂级数项数求f（x）=sinx的3次逼近多项式，使误差不超过0.005。66.设x*的相对误差为2％，求（x*）n的相对误差67.用二分法求方程x2-x-1=0的正根，要求误差<0.05。68.求参数a，b，使得计算初值问题的二步数值方法的阶数尽量高，并给出局部截断误差的主项。69.已知f（1）=1.0，f（2）=1.2，f（3）=1.3，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得≈（），用三点式求得f′（x）≈（）。70.构造一个三次多项式H（x），使它满足条件（埃尔米特插值）。71.若线性代数方程组AX=b的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都（）。72.设x的相对误差为a%，求y=xn的相对误差。（函数误差的计算）73.若x1≈0.937具有3位有效数字，问的相对误差限是多？设的绝对误差限和相对误差限。74.设A∈Rn×n，且ai1，aj1不全为零，Pij为使aj1（2）=0的平面旋转阵，试推导计算PijA第i行，第j行元素公式及APTij第i列，第j列元素的计算公式。75.用辛普森公式求积分并计算误差76.用插值极小化方法求在[1，2]上的二次插值多项式，并在[1，2]上估计误差。 77.用牛顿法求方程xex-1=0的根，x0=0.5，计算结果准确到四位有效数字。78.设f（x）=C2[a，b]，且f（a）=f（b）=0，求证： 79.设A∈Rn*n，证明当ρ（A）<1时，矩阵序列Sk=I+A+L+Ak（k=0，1，2，L）收敛，并求其极限。80.设li（x）是以xk=k（k=0，1，...，9）为节点的Lagrange插值基函数，则=（）A、xB、kC、iD、181.若用复化辛浦生公式计算积分问至少应将区间[0，4]多少等分才能保证计算结果有五位有效数字？82.用Gauss消去法求解下列方程组。 83.如何选取r，使p（x）=x2+r在[-1，1]上与零偏差最小？r是否唯一？84.计算球体积要使相对误差为1%，问度量半径R允许的相对误差限是多少？85.证明解y’=f（x，y）的公式： 是二阶的，并求出其局部截断误差。86.已知x=φ（x）在区间[a，b]内只有一根，而当a<x<b时，试问如何将x=φ（x）化为适于迭代的形式？ 将x=tgx化为适于迭代的形式，并求x=4.5（弧度）附近的根。87.若误差限为0.5×10-15，那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算）88.用Romberg方法求，要求误差不超过。从所取节点个数与上题结果比较中体会这2种方法的优缺点。89.利用尤拉方法计算积分 在点x=0.5，1，1.5，2的近似值。90.证明解y′=f（x，y）的下列差分公式 是二阶的，并求出截断误差的首项。91.证明：若为严格对角占优矩阵，则A非奇异。92.用下列方法计算积分比较结果 （1）龙贝格方法； （2）三点及五点高斯公式； （3）将积分区间分为四等分，用复化两点高斯公式。93.利用区间变换推出区间为[a，b]的伯恩斯坦多项式。94.方程x3-x2-1=0在x0=1.5附近有根，把方程写成3种不同的等价形式： 95.设x∈Rn。证明 96.用二次拉格朗日插值多项式的值。插值节点和相应的函数值是（0，0），（0.30，0.2955），（0.40，0.3894）。97.f（x）=x7+x4+3x+1，求f[20，21，...，27]及f[20，21，...，28]。98.用直接三角分解（Doolittle）法解方程组（不选主元）： 99.选择a，使积分取得最小值100.设初值问题 a）写出由Euler方法、取步长h=0.1解上述初值问题数值解的公式； b）写出由改进Euler方法、取步长h=0.1解上述初值问题数值解的公式。第I卷参考答案一.参考题库1.参考答案： 2.参考答案： 3.参考答案： （a）谱半径ρ（B）=1.093>1，Jacobi迭代法不收敛； 矩阵A对称正定，故Gauss-Seidel迭代法收敛。 （b）谱半径ρ（B）=01，Gauss-Seidel迭代法不收敛。4.参考答案：1.55.参考答案：6.参考答案：7.参考答案： 8.参考答案： 按高斯消去法，A无法进行第二次消去，换行后可以分解，B第二次消去可乘任意系数，分解不唯一，C可唯一分解。9.参考答案： 10.参考答案： 如下： 11.参考答案： 12.参考答案： 13.参考答案： ；不稳定14.参考答案： ；15.参考答案： 16.参考答案： 如下： 17.参考答案：18.参考答案：19.参考答案：20.参考答案： 迭代函数为，且有 21.参考答案：222.参考答案： 23.参考答案： 原函数与零的偏差极大值点分别为 24.参考答案： 25.参考答案： 26.参考答案：C27.参考答案： 28.参考答案： 29.参考答案： 30.参考答案：431.参考答案： 则g（t）在[-1，1]上的三次最佳逼近多项式为 作逆变换t=2x-1代入S（t），则f（x）在[0，1]上的三次最佳逼近多项式为 32.参考答案：33.参考答案： 如下： 34.参考答案：35.参考答案： 由向量范数的相容性可知存在常数a1，a2>0，使得，于是令c1=a1/a2>0，c2=a2/a1>0，则对任意A∈Rn×n，均有不等式 36.参考答案： （1）Jacobi迭代法的分量形式 37.参考答案： 局部截断误差为 38.参考答案：二39.参考答案： 如下： 40.参考答案： ；641.参考答案： 42.参考答案： 43.参考答案：44.参考答案：2.315045.参考答案： 46.参考答案： 用梯形法求解公式，得 47.参考答案： 48.参考答案：A49.参考答案： 50.参考答案： 51.参考答案：0.652.参考答案： 如下： 53.参考答案： 54.参考答案： 如下： 55.参考答案： 迭代法收敛的充要条件是ρ（B）时因不一定能使ρ（B）则迭代法收敛。56.参考答案： 如下： 57.参考答案： 58.参考答案： 59.参考答案：60.参考答案： 如下： 61.参考答案： 用Newton插值方法：差分表： 62.参考答案： 63.参考答案： 用差商逼近导数的方法把原边值问题转化为等价差分法方程组可得， 解此方程组可得 64