第02讲 解直角三角形（知识解读+真题演练+课后巩固）（解析版）-A4

第页第02讲解直角三角形使学生理解直角三角形中五个元素的关系，什么是解直角三角形；2．会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．知识点1解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.

在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.

设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：

①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).

②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.

③边角之间的关系：

，，，，，.

④，h为斜边上的高.

注意：

(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.

(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).

(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.知识点2解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC

两

边两直角边(a，b)由求∠A，

∠B=90°－∠A，

斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，

∠B=90°－∠A，

一

边

一

角一直角边

和一锐角锐角、邻边

(如∠A，b)∠B=90°－∠A，

，锐角、对边

(如∠A，a)∠B=90°－∠A，

，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，

，注意：

1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.

2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.【典例1】（2023•雨花区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，sin∠B等于（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，∴AC＝＝＝8，∴sin∠B＝＝＝．故选：D．【变式1-1】（2023•子洲县校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，，则AC的长为（）A．4.5 B．5 C．2 D．3【答案】C【解答】解：∵cosB＝，∴＝，∵AB＝6，∴CB＝×6＝4，∴AC＝＝＝2．故选：C．【变式1-2】（2023春•东城区校级期末）如图，每个小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上，则sinB的值是（）A．1 B． C． D．【答案】D【解答】解：由图可知∠ACB＝90°，且AC＝3，BC＝4，∴AB＝，∴．故选：D．【变式1-3】（2023•沭阳县模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝9，cosB＝，则AC的长为（）A．6 B．2 C．3 D．9【答案】C【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝9，cosB＝，∴BC＝AB•cosB＝9×＝6，∴AC＝＝＝3，故选：C．【典例2】（2022秋•承德县期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，下列结论正确的是（）A．sinC＝ B．sinC＝ C．sinC＝ D．sinC＝【答案】C【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，cosC＝，tanC＝，故A、B不符合题意；在Rt△BAC中，sinC＝，故C符合题意；∵∠B+∠BAD＝90°，∠B+∠C＝90°，∴∠C＝∠BAD，在Rt△BAD中，cos∠BAD＝，∴cosC＝cos∠BAD＝，故D不符合题意；故选：C．【变式2-1】（2023•耿马县二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若AD＝8，，那么tanB的值为（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠CDB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠DCB＝90°，∵∠ACD+∠A＝90°，∴∠A＝∠DCB，∴△ACD∽△CBD，∴＝，∵AD＝8，，∴＝，解得BD＝4，∴tanB＝＝＝，故选：D．【变式2-2】（2023春•巴东县期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，＝，则tan∠B＝（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠CDB＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD，∴，∴CD2＝AD•DB，∵，设AD＝3a，DB＝2a，则CD2＝3a•2a＝6a2，∴CD＝，∴tan∠B＝．故选：C．【变式2-3】（2023•巧家县校级三模）如图，AD是△ABC的高，若BD＝2CD＝6，sin，则边AB的长为（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵sin∠DAC＝，∴tan∠DAC＝，∴＝，∵BD＝6，CD＝3，∴AD＝6，由勾股定理可知：AB2＝BD2+AD2，∴AB＝6，故选：D．【典例3】（2023•仓山区校级模拟）如图，平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的余弦值是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：作PA⊥x轴于A，如图．∵P（3，4），∴OA＝3，AP＝4，∴OP＝＝5，∴cosα＝＝．故选：C．【变式3-1】（2022秋•乳山市期末）如图，已知点P（4，3），OP与x轴正半轴的夹角为α，则cosα＝（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：过P作PN⊥x轴于N，PM⊥y轴于M，则∠PMO＝∠PNO＝90°，∵x轴⊥y轴，∴∠MON＝∠PMO＝∠PNO＝90°，∴四边形MONP是矩形，∴PM＝ON，PN＝OM，∵P（4，3），∴ON＝PM＝4，PN＝3，在Rt△PON中，由勾股定理得OP＝，∴，故选：B．【变式3-2】（2023•陇县一模）如图所示，在△ABC中，已知AB＝AC，AD⊥BC，若BD＝1，，则sin∠BAC＝（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：如图，过点B作BE⊥AC于E，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴sin∠BAD＝＝＝，∴AB＝3，∴AC＝AB＝3，由勾股定理得，AD＝＝＝2，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD＝2，由S△ABC＝BC•AD＝AC•BE得，BE＝＝＝，∴sin∠BAC＝＝＝，故选：B．【典例4】（2022秋•泉州期末）如图，在由小正方形组成的网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在小正方形的顶点上，则∠AOB的正弦值是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：过点B作BC⊥OA于点C．BO＝＝2，AO＝＝2．∵S△AOB＝×2×2＝2，∴AO•BC＝2．∴BC＝＝．∴sin∠AOB＝＝＝．故选：B．【变式4-1】（2023•长丰县模拟）如图，在网格中小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都在格点上，则sin∠ABC等于（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵小正方形的边长均为1，∴AC2＝5，BC2＝20，AB2＝25，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，∴sin∠ABC＝＝．故选：C．【变式4-2】（2023•海港区一模）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是（）A． B． C．2 D．【答案】B【解答】解：如图：连接BD，由题意得：AD2＝22+22＝8，BD2＝12+12＝2，AB2＝12+32＝10，∴AD2+BD2＝AB2，∴△ABD是直角三角形，∴∠ADB＝90°，在Rt△ABD中，AD＝2，BD＝，∴tanA＝＝＝，故选：B．【变式4-3】（2022秋•离石区期末）正方形网格中，∠AOB如图所示放置（点A，C均在网格的格点上，且点C在OB上），则cos∠AOB的值为（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：如图，C为OB边上的格点，连接AC，根据勾股定理，AO＝＝2，AC＝＝，OC＝＝，所以，AO2＝AC2+OC2＝20，所以，△AOC是直角三角形，cos∠AOB＝＝＝．故选：B．【典例5】（2023•西湖区校级二模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，DE为AC边上的中线．（1）若∠EDA＝3∠BAD，求∠C的度数；（2）若tan∠EDA＝4，AB＝5，求点A到BC的距离．【答案】（1）22.5°；（2）．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，DE为AC边上的中线，∠BAC＝90°，∴∠BAD＝∠C，∴AE＝DE＝CE，∴∠EAD＝∠EDA，∵∠EDA＝3∠BAD，∴∠EAD＝3∠BAD，∵∠BAC＝90°，∴3∠BAD+∠BAD＝90°，∴∠BAD＝22.5°，∴∠C＝22.5°；（2）由（1）可知：∠EAD＝∠EDA，∴，设AD＝x，则CD＝4x，∵∠BAC＝∠ADC＝90°，∠C＝∠C，∴△ACD∽△BCA，∴，即，∴AC＝20，∴，∴，即点A到BC的距离为．【变式5-1】（2022秋•徐汇区期末）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AD＝2，BD＝6，tanB＝，点E是边BC的中点．（1）求边AC的长；（2）求∠EAB的正弦值．【答案】（1）2；（2）．【解答】解：（1）∵CD⊥AB，∴△ACD、△BCD均为直角三角形．在Rt△CDB中，∵BD＝6，tanB＝＝，∴CD＝4．在Rt△CDA中，AC＝＝＝2．（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F．∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴CD∥EF．又∵点E是边BC的中点，∴EF是△BCD的中位线．∴DF＝BF＝3，EF＝CD＝2．∴AF＝AD+DF＝5．在Rt△AEF中，AE＝＝＝．∴sin∠EAB＝＝＝．【变式5-2】（2023春•梅江区校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB＝6，CD＝3，BC的延长线与AD的延长线交于点E．（1）若∠A＝60°，求BC的长；（2）若sinE＝，求AD的长．【答案】（1）＝6﹣6；（2）6．【解答】解：（1）∵∠A＝60°，∠ABE＝90°，AB＝6，tanA＝，∴∠E＝30°，BE＝tan60°•6＝6，又∵∠CDE＝90°，CD＝3，sinE＝，∠E＝30°，∴CE＝＝6，∴BC＝BE﹣CE＝6﹣6；（2）∵sinE＝，∴sinA＝，∵∠ABE＝90°，AB＝6，sinA＝＝，∴设BE＝4x，则AE＝5x，得AB＝3x，∴3x＝6，得x＝2，∴BE＝8，AE＝10，∴tanE＝＝＝＝，解得DE＝4，∴AD＝AE﹣DE＝10﹣4＝6，即AD的长是6．1．（2023•攀枝花）△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．已知a＝6，b＝8，c＝10，则cos∠A的值为（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：在△ABC中，∵a＝6，b＝8，c＝10，a2+b2＝62+82＝36+64＝100，c2＝100．∴a2+b2＝c2．∴△ABC是直角三角形．∴cosA＝＝＝．故选：C．2．（2023•益阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，有三点A（0，1），B（4，1），C（5，6），则sin∠BAC＝（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：过C作CD⊥AB交AB延长线于D，∵A（0，1），B（4，1），C（5，6），∴D（5，1），∴CD＝6﹣1＝5，AD＝5，∴AC＝5，∴sin∠BAC＝＝，故选：C．3．（2022•广元）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，如图．则DE∥AB，∴∠APC＝∠EDC．在△DCE中，有EC＝＝，DC＝＝2，DE＝＝5，∵EC2+DC2＝DE2，故△DCE为直角三角形，∠DCE＝90°．∴cos∠APC＝cos∠EDC＝＝．故选：B．4．（2022•乐山）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，点D是AC上一点，连结BD．若tan∠A＝，tan∠ABD＝，则CD的长为（）A．2 B．3 C． D．2【答案】C【解答】解：过D点作DE⊥AB于E，∵tan∠A＝＝，tan∠ABD＝＝，∴AE＝2DE，BE＝3DE，∴2DE+3DE＝5DE＝AB，在Rt△ABC中，tan∠A＝，BC＝，∴，解得AC＝，∴AB＝，∴DE＝1，∴AE＝2，∴AD＝，∴CD＝AC﹣AD＝，故选：C．5．（2022•宜宾）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，将△BCD沿BD折叠到△BED位置，DE交AB于点F，则cos∠ADF的值为（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AB∥CD，AD＝BC＝3，AB＝CD＝5，∴∠BDC＝∠DBF，由折叠的性质可得∠BDC＝∠BDF，∴∠BDF＝∠DBF，∴BF＝DF，设BF＝x，则DF＝x，AF＝5﹣x，在Rt△ADF中，32+（5﹣x）2＝x2，∴x＝，∴cos∠ADF＝，故选：C．6．（2022•陕西）如图，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝6，tanC＝2，则边AB的长为（）A．3 B．3 C．6 D．3【答案】C【解答】解：∵BD＝2CD＝6，∴CD＝3，BD＝6，∵tanC＝＝2，∴AD＝6，∴AB＝AD＝6故选：C．7．（2023•常州）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D在边AB上，连接CD．若BD＝CD，＝，则tanB＝．【答案】．【解答】解：设AD＝t，∵BD＝CD，＝，∴BD＝CD＝3t，∴AC＝＝2t，AB＝AD+BD＝4t，∴tanB＝＝＝，故答案为：．8．（2023•宿迁）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则sin∠ABC＝．【答案】．【解答】解：如图，连接AC，由勾股定理得：AB2＝22+42＝20，BC2＝12+32＝10，AC2＝12+32＝10，则BC2+AC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴sin∠ABC＝＝＝，故答案为：．9．（2023•广元）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），点B（0，﹣3），点C在x轴上，且点C在点A右方，连接AB，BC，若tan∠ABC＝，则点C的坐标为（，0）．【答案】（，0）．【解答】解：设C（a，0），∴OC＝a，∵点A（1，0），点B（0，﹣3），∴OA＝1，AC＝a﹣1，OB＝3，BC＝，在Rt△OAB中，tan∠OBA＝，tan∠ABC＝，∴∠OBA＝∠ABC，过C点作CD∥y轴交BA的延长线于点D，∴∠OBA＝∠D，∠AOB＝∠ACD，∴△OBA∽△CDA，∠ABC＝∠D，∴，CD＝BC，∴，∴，解得a＝0（舍去）或a＝，∴C（，0），故答案为：（，0）．10．（2022•广州）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC＝8，BC＝6．（1）尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图形中，求点O到AC的距离及sin∠ACD的值．【答案】（1）详见解答；（2）点O到AC的距离为4，sin∠ACD＝．【解答】解：（1）分别以A、C为圆心，大于AC为半径画弧，在AC的两侧分别相交于P、Q两点，画直线PQ交劣弧于点D，交AC于点E，即作线段AC的垂直平分线，由垂径定理可知，直线PQ一定过点O；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，且AC＝8，BC＝6．∴AB＝＝10，∵OD⊥AC，∴AE＝CE＝AC＝4，又∵OA＝OB，∴OE是△ABC的中位线，∴OE＝BC＝3，由于PQ过圆心O，且PQ⊥AC，即点O到AC的距离为3，连接OC，在Rt△CDE中，∵DE＝OD﹣CE＝5﹣3＝2，CE＝4，∴CD＝＝＝2∴sin∠ACD＝＝＝．一．选择题（共8小题）1．如图，∠B＝60°，AB＝4，AC＝6，则cosC的值是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：过A作AD⊥BC，垂足是D，在Rt△ABD中，∠B＝60°，∴∠BAD＝30°，∴BD＝2，AD＝，在Rt△ADC中，CD＝，∴cosC＝＝故选：D．2．如图，点A，B，C都在正方形网格的格点上，则sin∠BAC的值是（）A． B．1 C． D．【答案】A【解答】解：设小正方形的边长为1，由勾股定理，得：，过点B作BD⊥AC，由图可知：BD＝5，∴；故选：A．3．若锐角α满足，则＝（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵，∴α＝60°，∴，故选：C．4．在Rt△ABC中，∠B＝90°，如果∠A＝α，BC＝a，那么AC的长是（）A．a•tanα B．a•cotα C． D．【答案】D【解答】解：如图：在Rt△ABC中，AC＝＝．故选：D．5．如图，在6×6正方形网格中，△ABC的顶点A、B、C都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则sinA＝（）A． B． C． D．无法求得【答案】C【解答】解：设每个小正方形的边长为a，作CD⊥AB于点D，由图可得：CD＝4a，AD＝3a，∴，∴，故选：C．6．在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，BC＝2，则AB的长为（）A．2 B．4 C．6 D．2【答案】B【解答】解：∵∠A＝30°，∠C＝90°，BC＝2，∴AB＝2BC＝4，故选：B．7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，，则BC的长为（）A．3 B．2 C． D．【答案】D【解答】解：在Rt△ABC中，∵tanA＝＝，∴AC＝BC．∵AC2+BC2＝AB2，∴（BC）2+BC2＝42．∴BC2＝12．∴BC＝2．故选：D．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，CE是AB边上的中线，AD＝3，CE＝5，则tan∠BCE的值为（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵CE是AB边上的中线，CE＝5，∴AE＝BE＝5，AB＝10，∴∠BCE＝∠EBC，∵AD＝3，∴BD＝AB﹣AD＝7，DE＝AE﹣AD＝2，在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD＝＝＝，∴tan∠BCE＝tan∠EBC＝＝．故选：B．二．填空题（共3小题）9．如图，网格中小正方形的边长均为1，点A，B、C都在格点（小正方形的顶点）上，则∠BAC的正切值是2．【答案】2．【解答】解：由题意得：，，，∴BC2+AC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴，故答案为：2．10．如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标为（6，y），且OP与x轴正半轴的夹角为α．若tanα＝，则OP＝10．【答案】10．【解答】解：过P作PH⊥x轴于H，如图：∵tanα＝，∴＝，∵P（6，y），∴＝，解得y＝8，∴P（6，8），∴OP＝＝10；故答案为：10．11．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要方法，在计算tan15°时，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB，使BD＝AB，连接AD，使得∠D＝15°，所以tan15°＝，类比这种方法，计算tan22.5°＝﹣1．【答案】﹣1．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD．在Rt△ABC中，∵AC＝BC，∴∠ABC＝45°，AB＝AC．∵BD＝AB，∴∠D＝∠BAD．∵∠ABC＝∠D+∠BAD＝45°，∴∠D＝22.5°．在Rt△ACD中，tanD＝tan22.5°＝＝＝＝﹣1．故答案为：﹣1．三．解答题（共4小题）12．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，点D在AC上，，∠BDC＝60°，求BC的长．【答案】30．【解答】解：∵∠A＝30°，∠BDC＝60°，∴∠DBA＝60°﹣30°＝30°，∴∠A＝∠DBA，∴，在Rt△BDC中，．13．如图，在△ABC中，AB＝5，sinB＝，tanC＝．（1）求BC的长．（2）若点D在BC边上，且BD：CD＝3：2，求tan∠CAD的值．【答案】（1）10；（2）．【解答】解：（1）如图，过点A作AE⊥BC，垂足为E，在Rt△ABE中，AB＝5，sinB＝，∴＝，∴AE＝3，∴BE