第01讲 反比例函数、定义图像与性质（知识解读+真题演练+课后巩固）（原卷版）-A4

第页第01讲反比例函数、定义图像与性质理解反比例函数的概念和意义；2.掌握反比例的图像和性质，并能解决相关问题知识1反比例函数的定义如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数.一般地，形如(为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数.注意：（1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点.（2）()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件.（3）()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式.知识点2反比例的图像和性质

1、反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴.注意：（1）若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称；（2）在反比例函数(为常数，)中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴．2、画反比例函数的图象的基本步骤：（1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；（4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内．3、反比例函数的性质（1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小；（2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大；注意：（1）反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号.（2）反比例的图像关于原点的对称【题型1反比例函数的定义】【典例1】（2023春•东台市期中）下列函数中，是反比例函数的为（）A．y＝2x+1 B．y＝ C．y＝ D．2y＝x【变式1-1】（2023春•邗江区期末）下列式子中，表示y是x的反比例函数的是（）A．xy＝1 B．y＝ C．y＝ D．y＝【变式1-2】（2022秋•怀化期末）下列函数不是反比例函数的是（）A．y＝3x﹣1 B．y＝﹣ C．xy＝5 D．y＝【典例2】（2022秋•岳阳县期末）若函数y＝（m+4）x|m|﹣5是反比例函数，则m的值为（）A．4 B．﹣4 C．4或﹣4 D．0【变式2-1】】（2022秋•惠来县期末）函数y＝xk﹣1是反比例函数，则k＝（）A．3 B．2 C．1 D．0【变式2-2】（2022秋•邯山区校级期末）若y＝x2m+1为关于x的反比例函数，则m的值是（）A．0 B．﹣1 C．0.5 D．1【变式2-3】（2023•雁峰区校级一模）若函数y＝（n﹣2）是反比例函数，则n为（）A．±2 B．2 C．﹣2 D．以上都不对【题型2反比例函数系数K的几何意义】【典例3】（2023•和平区校级三模）如图，点A在双曲线上，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积S△AOB＝2，则k的值为（）A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4【变式3-1】（2022秋•怀化期末）如图，点A在双曲线y＝上，AB⊥y轴于B，S△AOB＝3，则k＝（）A．3 B．6 C．18 D．不能确定【变式3-2】（2023•海州区校级二模）若图中反比例函数的表达式均为，则阴影面积为2的是（）A． B． C． D．【变式3-3】（2023春•高新区期末）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，已知△POB的面积为4，则k的值为（）​A．16 B．14 C．12 D．10【题型3反比例函数的图像】【典例4】（2022秋•南华县期末）反比例函数与一次函数y＝kx+1在同一坐标系的图象可能是（）A． B． C． D．【变式4-1】（2022秋•大渡口区校级期末）在同一坐标系中，函数和y＝kx﹣2的图象大致是（）A． B． C． D．【变式4-2】（2023•庐阳区校级三模）反比例函数y＝﹣与一次函数y＝kx﹣3在同一坐标系中的大致图象可能是（）A． B． C． D．【变式4-3】（2023•济南模拟）函数y＝﹣kx+k与函数y＝（k≠0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（）A．B． C．D．【题型4反比例函数图像的对称性】【典例5】（2022秋•细河区期末）如图，双曲线y＝与直线y＝mx相交于A、B两点，B点坐标为（﹣2，﹣3），则A点坐标为（）A．（﹣2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3）【变式5-1】（2023•海口二模）如图，直线与双曲线相交于A（﹣2，1）、B两点，则点B坐标为（）A．（2，﹣1） B．（1，﹣2） C．（1，） D．（，﹣1）【变式5-2】（2022秋•新城区期末）若正比例函数y＝﹣2x与反比例函数y＝的图象交于（1，﹣2），则另一个交点坐标为（）A．（2，1） B．（﹣1，2） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1）【题型5反比例函数的性质】【典例6】（2023•章贡区校级模拟）对于反比例函数y＝，下列结论错误的是（）A．函数图象分布在第一、三象限 B．函数图象经过点（﹣3，﹣2） C．函数图象在每一象限内，y的值随x值的增大而减小 D．若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在函数图象上，且x1＜x2，则y1＞y2【变式6-1】（2023春•淮安区校级期末）反比例函数的图象分布在第二、四象限，则a的取值范围是（）A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1 D．a≥1【变式6-2】（2022秋•兴县期末）对于反比例函数y＝﹣，下列描述不正确的是（）A．图象位于二、四象限 B．当x＞0时，y随x的增大而增大 C．图象必经过（﹣2，） D．当x＞﹣1时，y＞3【变式6-3】（2023•瑞安市开学）对于反比例函数，当﹣1＜y≤2，且y≠0时，自变量x的取值范围是（）A．x≥1或x＜﹣2 B．x≥1或x≤﹣2 C．0＜x≤1或x＜﹣2 D．﹣2＜x＜0或x≥1【题型6反比例函数图像点坐标特征】【典例7】（2023•西湖区校级开学）若点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），都在反比例函数（k为常数，k＞0）的图象上，其中y2＜0＜y1＜y3，则x1，x2，x3的大小关系是（）A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x3＜x1 C．x1＜x3＜x2 D．x2＜x1＜x3【变式7-1】（2023•义乌市校级开学）以下四个点中，不在反比例函数y＝图象上的是（）A．（2，2） B．（﹣2，﹣2） C．（3，） D．（﹣4，）【变式7-2】（2023春•沐川县期末）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y2＞y1【变式7-3】（2022秋•平度市期末）已知函数，当﹣2＜x＜﹣1时，y的取值范围是（）A．1＜y＜2 B． C．﹣2＜y＜﹣1 D．【题型7待定系数法求反比例函数解析式】【典例8】（2022秋•道县期末）已知反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（﹣2，6）．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）若（1，y1），（3，y2）是这个反比例函数图象上的两个点，请比较y1，y2的大小．【变式8-1】（2023•高阳县校级模拟）y与x成反比例，当x＝2时y＝1，则y与x的函数关系式为（）A．y＝2x B．y＝2﹣x C． D．【变式8-2】（2023春•灌云县期末）已知y与x+2成反比例函数关系，且当x＝﹣1时，y＝3．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）当x＝0时，求y的值．【变式8-3】（2023春•东阳市期末）已知反比例函数的图象的一支如图所示，它经过点（3，﹣2）．​（1）求此反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支．（2）求当y≤4，且y≠0时自变量x的取值范围．【题型8反比例函数与一次函数的交点问题】【典例9】（2023•西山区二模）如图，在同一平面直角坐标系中，直线y1＝x+1与双曲线y2＝相交于点A（1，2）和点B（﹣2，﹣1），则当y1＞y2时，x的取值范围是（）​A．x＜﹣2或x＞1 B．﹣2＜x＜1 C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．x＜﹣2或0＜x＜1【变式9-1】（2022秋•乐亭县期末）一次函数y1＝k1x+b和反比例函数y2＝（k1•k2≠0）的图象如图所示，若y1＞y2，则x的取值范围是（）A．x＜﹣2或x＞1 B．x＜﹣2或0＜x＜1 C．﹣2＜x＜0或0＜x＜﹣2 D．﹣2＜x＜0或x＞2【变式9-2】（2023春•高新区期末）反比例函数y＝与正比例函数y＝2x一个交点为（1，2），则另一个交点是（）A．（﹣1，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（1，2） D．（2，1）【变式9-3】（2022秋•辽阳期末）如图，正比例函数y＝k1x（k1为常数，且k1≠0）和反比例函数（k2为常数，且k2≠0）的图象相交于A（2，m）和B两点，则不等式的解集为（）A．x＜﹣2或x＞2 B．﹣2＜x＜2 C．﹣2＜x＜0或x＞2 D．x＜﹣2或0＜x＜﹣2【题型9反比例函数与一次函数的综合】【典例10】（2022秋•朝阳期末）如图，一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（1，6），B（3，n）两点．（1）求反比例函数的解析式和n的值；（2）根据图象直接写出不等式k1x+b的x的取值范围；（3）求△AOB的面积．【变式10-1】（2023•开阳县模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）的图象相交于第一，三象限内的A（3，5），B（a，﹣3）两点，与x轴交于点C．（1）求该反比例函数和一次函数的表达式；（2）在y轴上找一点P使PB﹣PC最大，求PB﹣PC的最大值．【变式10-2】（2023春•清江浦区期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（﹣3，n），B（2，3）．（1）求反比例函数与一次函数的函数表达式；（2）请结合图象直接写出不等式kx+b≥的解集；（3）若点P为x轴上一点，△ABP的面积为10，求点P的坐标．1．（2023•临沂）正在建设中的临滕高速是我省“十四五”重点建设项目．一段工程施工需要运送土石方总量为105m3，设土石方日平均运送量为V（单位：m3/天），完成运送任务所需要的时间为t（单位：天），则V与t满足（）A．反比例函数关系 B．正比例函数关系 C．一次函数关系 D．二次函数关系2．（2023•株洲）下列哪个点在反比例函数的图象上？（）A．P1（1，﹣4） B．P2（4，﹣1） C．P3（2，4）D．3．（2023•泰安）一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（）A． B． C．​ D．4．（2023•济南）已知点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y15．（2023•武汉）关于反比例函数，下列结论正确的是（）A．图象位于第二、四象限 B．图象与坐标轴有公共点 C．图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小 D．图象经过点（a，a+2），则a＝16．（2023•永州）已知点M（2，a）在反比例函数的图象上，其中a，k为常数，且k＞0，则点M一定在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．（2023•上海）下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是（）A．y＝6x B．y＝﹣6x C．y＝ D．y＝﹣8．（2023•广州）已知正比例函数y1＝ax的图象经过点（1，﹣1），反比例函数y2＝的图象位于第一、第三象限，则一次函数y＝ax+b的图象一定不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．（2023•福建）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y＝和y＝的图象的四个分支上，则实数n的值为（）A．﹣3 B．﹣ C． D．310．（2023•广西）如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以AB，AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为S1，S2，S3，S4，若，则k的值为（）A．4 B．3 C．2 D．11．（2022秋•新泰市期中）若是反比例函数，则k必须满足（）A．k≠3 B．k≠0 C．k≠3或k≠0 D．k≠3且k≠02．（2022•西城区校级模拟）若反比例函数y＝的图象位于第一、三象限，则k的取值可以是（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．03．（2021秋•榆阳区期末）正比例函数y＝2x和反比例函数的一个交点为（1，2），则另一个交点为（）A．（﹣1，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（1，2） D．（2，1）4．（2022秋•历下区校级月考）如图为反比例函数y＝的图象，则k等于（）A． B． C．10 D．﹣105．（2022春•卧龙区期末）已知反比例函数，则下列描述不正确的是（）A．图象位于第一、第三象限 B．图象必经过点 C．图象与坐标轴无交点 D．y随x的增大而减小6．（2021秋•通道县期末）已知点P1（﹣3，y1），P2（﹣2，y2），P3（1，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y2＜y3＜y17．（2023秋•碑林区校级月考）函数y＝ax﹣a与y＝（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．8．（2021•金乡县一模）如图，反比例函数和正比例函数y2＝k2x的图象交于A（﹣1，﹣3）、B（1，3）两点，若，则x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜0 B．﹣1＜x＜1 C．x＜﹣1或0＜x＜1 D．﹣1＜x＜0或x＞19．（2021•成都自主招生）如图，是一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象，则关于方程的解为（）A．x1＝1，x2＝2 B．x1＝﹣2，x2＝﹣1 C．x1＝1，x2＝﹣2 D．x1＝2，x2＝﹣110．（2021•仪征市一模）如图，菱形AOBC的边BO在x轴正半轴上，点A（2，2），反比例函数y＝的图象经过点C，则k的值为（）A．12 B． C． D．11．（2021秋•姜堰区校级月考）如图，已知A、B是反比例函数y＝图象上两点，连接AB并延长，交y轴于C．若AB：BC＝3：1，S△AOC＝10，则k的值为（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣412．（2022春•朝阳区校级月考）正比例函数y＝2x与反比例函数y＝的一个