2023-2024学年北京首都师大附中高一（上）10月月考数学试卷和答案

高中PAGE1高中2023北京首都师大附高一10月月考数学第Ⅰ卷（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.下列各式：①；②；③；④，其中错误的个数是（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.命题“,”的否定是（）A., B.,C., D.,或3.将下列多项式因式分解，结果中不含因式的是（）A. B.C. D.4.若集合，则（）A. B. C. D.5.如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A. B. C. D.6.已知：，：，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.下列结论成立的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则8.设集合，则（）A. B. C. D.9.已知是三个集合，若，则一定有（）A. B. C. D.10.设表示非空集合中元素的个数，已知非空集合.定义，若，且，则实数的所有取值为（）A.0 B.0， C.0， D.，0，第Ⅱ卷（共70分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.方程组的解集用列举法表示为______________.12.若“”是“|x|<1”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是___________13.设，，集合，则的值是______.14.已知集合，，若，则实数a的取值范围是______．15.当两个集合中有一个集合为另一个集合的子集时，称两个集合之间构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称两个集合之间构成“偏食”，对于集合，.若与构成“全食”，则的取值范围是______；若与构成“偏食”，则的取值范围是______.三、解答题（本大题共4小题，共45分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）16.已知全集，集合，集合．（1）求集合及；（2）若集合，且，求实数的取值范围．17.已知关于的一元二次方程有两个实数根，.（1）求实数的取值范围；（2）若，求的值.18.已知全集，，，，在①；②；③；这三个条件中任选一个补充到下列问题中并作答.问题：设：______，：，是否存在实数，使得是的必要不充分条件？若实数存在，求的取值范围；若实数不存在，说明理由.19.已知集合（），表示集合中的元素个数，当集合的子集满足时，称为集合的二元子集，若对集合的任意个不同的二元子集，，…，，均存在对应的集合满足：①；②；③（），则称集合具有性质.（1）当时，若集合具有性质，请直接写出集合的所有二元子集以及的一个取值；（2）当，时，判断集合是否具有性质？并说明理由.

参考答案第Ⅰ卷（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.【答案】A【分析】根据集合与集合的关系，元素与集合的关系即可求解.【详解】由元素与集合的关系可知正确，不正确，由集合之间的关系知正确，由集合中元素的无序性知正确，故错误的个数为1，故选：A【点睛】本题主要考查了元素与集合的关系，集合的子集，集合的相等，属于容易题.2.【答案】D【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可得到结果.【详解】命题“,”是存在量词命题,又,所以其否定为全称量词命题,即为“,或”.故选:D.3.【答案】C【分析】利用提取公因式法判断A，利用公式法判断B，利用十字相乘法判断C、D.【详解】对于A.原式，不符合题意；对于B.原式，不符合题意；对于C原式，符合题意；对于D.原式，不符合题意.故选：C.4.【答案】C【分析】解绝对值不等式得A，根据交集的定义计算即可.【详解】解得，即，B为奇数集，故.故选：C5.【答案】C【分析】根据Venn图表示的集合运算作答．【详解】阴影部分在集合的公共部分，但不在集合内，表示为，故选：C．6.【答案】D【分析】分别求出，再分析出的推导关系.【详解】，所以或，而，所以是的既不充分也不必要条件，故选：D7.【答案】D【分析】根据不等式的性质或举出反例对各选项逐一判断即可.【详解】选项A：当时，若，则，当时，若，则，故A说法错误；选项B：若，满足，此时，故B说法错误；选项C：当或时，，当时，，故C说法错误；选项D：当时，，所以不等式同乘可得，故D说法正确；故选：D8.【答案】B【分析】根据集合的表达式，可求出集合是的奇数倍，是的整数倍，即可得出的关系.【详解】由可知，集合表示的是的奇数倍；由可知，集合表示的是的整数倍；即可知是的真子集，即.故选：B9.【答案】A【分析】根据，以及，结合已知条件，即可判断集合之间的关系.【详解】因为，又，故可得，则；因为，又,故可得，则；综上所述：.故选：A.【点睛】本题考查由集合的运算结果，求集合之间的关系，属基础题.10.【答案】D【分析】由题意可得集合中的元素个数为1个或3个，分集合中的元素个数为1和集合中的元素个数为3两种情况，再结合一元次方程根的个数求解即可.【详解】解：由可得或，又因为，，所以集合中的元素个数为1个或3个，当集合中的元素个数为1时，则有两相等的实数根，且无解，所以，解得；当集合中的元素个数为3时，则有两不相等的实数根，且有两个相等且异于方程的根的解，所以，解得或，综上所述，或或.故选：D.【点睛】关键点睛：本题的关键是根据题意得出集合中的元素个数为1个或3个.第Ⅱ卷（共70分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.【答案】【分析】首先根据方程组求出其解，然后运用列举法表示出对应的解集即可（以有序数对的形式表示元素）.【详解】因为，所以，所以列举法表示解集为：.故答案为.【点睛】本题考查二元一次方程组解集的列举法表示，难度较易.二元一次方程组的解用列举法表示时，可将元素表示成有序数的形式：.12.【答案】【分析】根据题意得到，再利用数轴得到不等式，解出不等式即可.【详解】是的必要不充分条件,,,实数的取值范围是,故答案为：.13.【答案】0【分析】由集合相等的含义，分类讨论元素对应关系即可.【详解】由集合元素互异性：，又，则或，解得或，故故答案为：014.【答案】【分析】分别讨论和两种情况求解.【详解】因为，若，则，满足题意；若，则应满足，所以，综上，.故答案为：.15.【答案】①.或②.【分析】分情况解集合，再根据“全食”与“偏食”的概念分析集合中元素满足的关系列式求解即可.【详解】由可知，当时，，此时；当时，，此时，当时，；又，若与构成“全食”，则，当时，满足题意；当时，不合题意；当时，要使，则，即，解得；综上，与构成“全食”时，的取值范围是或；若与构成“偏食”时，显然时，不满足题意，当时，由，所以，即，解得，此时的取值范围是.故答案为：或；三、解答题（本大题共4小题，共45分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）16.【答案】（1），；（2）【分析】（1）解一元一次不等式求集合A，再应用集合的交并补运算求及.（2）由集合的包含关系可得，结合已知即可得的取值范围．【小问1详解】由得：，所以，则，由，所以，．【小问2详解】因为且，所以，解得．所以的取值范围是．17.【答案】（1）（2）【分析】（1）根据根的判别式列不等式，然后解不等式即可；（2）根据韦达定理得到，，然后代入求解即可.【小问1详解】因为有两个实根，所以，解得.【小问2详解】由题意得，，所以，整理得，解得或-1，因为，所以.18.【答案】答案见解析【分析】分别求解集合，并求解三个条件的集合，再根据必要不充分条件，转化为集合的包含关系，即可列式求解.【详解】不等式，即，解得：，即，，解得：，即，若选①，或，或，，若是的必要不充分条件，则,即或，解得：或；所以存在实数，使得是的必要不充分条件，的范围为或；若选②，，，，若是的必要不充分条件，则,则，解集为；所以不存在实数，使得是的必要不充分条件；若选③，，，，若是的必要不充分条件，则,则，解得：；所以存在实数，使得是的必要不充分条件，的取值范围为；19.【答案】（1）答案见解析（2）不具有，理由见解析【分析】（1）根据集合具有性质的定义即可得出答案；（2）当，时，利用反证法即可得出结论.【小问1