第04讲 正方形的性质和判定（知识解读+达标检测）（解析版）-A4

第页第04讲正方形的性质和判定【题型1正方形的概念和性质】【题型2正方形的判定】【题型3正方形的性质与判定综合】考点1：正方形的概念与性质正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）【题型1正方形形的概念和性质】【典例1】（2023秋•顺德区期末）在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在边BC和CD上，则∠CEF＝（）A．75° B．60° C．50° D．45°【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D＝∠C＝90°，∵△AEF是等边三角形，∴AE＝AF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE＝DF，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴∠CEF＝45°，故选：D．【变式1-1】（2023秋•禅城区期末）如图所示，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的一点．连接BE，且AB＝AE，则∠EBC的度数是（）A．45° B．30° C．22.5° D．20°【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝45°，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝＝67.5°．∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝90°﹣67.5°＝22.5°．故选：C．【变式1-2】（2023秋•淄川区期末）如图所示，在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O作OE⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE＝4，CF＝3，则EF的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，AC⊥BD，又∵OE⊥OF，∴∠EOB+∠BOF＝90°＝∠BOF+∠COF，∴∠EOB＝∠COF，∴△BEO≌△CFO（ASA），∴BE＝CF＝3，又∵AB＝BC，∴AE＝BF＝4，∴Rt△BEF中，EF＝＝＝5．故选：C．【变式1-3】（2023秋•西宁期末）如图，正方形AOBC的边OB，OA分别在x轴和y轴上，点A（0，4），点D（4，3）在BC边上，将△ACD以点A为旋转中心，顺时针旋转90°得到△AOD′，AM平分∠DAD′交OB于点M，则点M的坐标是（2.4，0）．【答案】（2.4，0）．【解答】解：连接DM，∵将△ACD以点A为旋转中心，顺时针旋转90°得到△AOD′，∴AD'＝AD，D'O＝CD，∵AM平分∠DAD′交OB于点M，∴∠D'AM＝∠DAM，∵AM＝AM，∴△D′AM≌△DAM，∴D'M＝DM，∵点A（0，4），点D（4，3），四边形AOBC是正方形，∴OA＝BC＝4，BD＝3，CD＝1，设OM＝x，则D'M＝DM＝1+x，BM＝4﹣x，∴DM2＝BM2+BD2，∴（1+x）2＝32+（4﹣x）2，解得x＝2.4，∴M的坐标为（2.4，0），故答案为：（2.4，0）．【变式1-4】（2023秋•磐石市期末）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形A'B'C'O的一个顶点．若两个正方形的边长均为2，则图中阴影部分图形的面积为1．【答案】见试题解答内容【解答】解：设A′O与AB交于点E，C′O与BC交于点F，因为四边形ABCD是正方形，所以AO＝BO，∠AOB＝90°，∠EAO＝∠FBO．∴∠AOE+∠BOE＝90°．又∠BOF+∠BOE＝90°，∴∠AOE＝∠BOF．所以△AEO≌△BFO（ASA）．∴四边形EBFO面积＝△BEO面积+△BFO面积＝△BEO面积+△AEO面积＝△ABO面积．因为正方形ABCD边长为2，∴正方形面积为4，∴△ABO面积为1．所以阴影部分面积为1．故答案为1．考点2：正方形的判定※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。注意：正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)：【题型2正方形的判定】【典例2】（2023•秦都区校级二模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使矩形ABCD成为正方形的是（）A．BD＝AB B．DC＝AD C．∠AOB＝60° D．OD＝CD【答案】B【解答】解：要使矩形成为正方形，可根据正方形的判定定理解答：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形，（2）对角线互相垂直的矩形是正方形．∴添加DC＝AD，能使矩形ABCD成为正方形．故选：B．【变式2-1】（2023春•黄岩区期末）如图，在△ABC中，DE∥AC，DF∥AB，下列四个判断不正确的是（）A．四边形AEDF是平行四边形 B．如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形 C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形 D．如果AD⊥BC，且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形【答案】D【解答】解：由DE∥CA，DF∥BA，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形；又有∠BAC＝90°，根据有一角是直角的平行四边形是矩形，可得四边形AEDF是矩形．故A、B正确；如果AD平分∠BAC，那么∠EAD＝∠FAD，又有DF∥BA，可得∠EAD＝∠ADF，∴∠FAD＝∠ADF，∴AF＝FD，那么根据邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形AEDF是菱形，故C正确；如果AD⊥BC且AB＝AC，那么AD平分∠BAC，同上可得四边形AEDF是菱形．故D错误．故选：D．【变式2-2】（2023春•楚雄州期末）下列说法正确的是（）A．对角线相等的菱形是正方形 B．有一组邻边相等的平行四边形是正方形 C．有一个角是直角的平行四边形是正方形 D．各边都相等的四边形是正方形【答案】A【解答】解：∵菱形是特殊的平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，∴对角线相等的菱形同时也是矩形，∴对角线相等的菱形是正方形，故A正确；有一组邻边相等的平行四边形是菱形，但不一定是正方形，故B错误；有一个角是直角的平行四边形是矩形，但不一定是正方形，故C错误；根据菱形的判定定理，各边都相等的四边形是菱形，故D错误，故选：A．【变式2-3】（2023春•江都区期末）小明在学习了中心对称图形后，整理了平行四边形和特殊平行四边形之间的关系图，如图所示，从下列条件：①AB＝AD；②AC＝BD；③AC⊥BD；④AC平分∠DAB中，选择其中一个条件填入（）处，补全关系图，其中所有正确选项的序号是（）A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④【答案】C【解答】解：根据一组邻边相等的矩形是正方形，可得①符合题意；矩形的对角线本身是相等的，所以添AC＝BD不能判定四边形ABCD是正方形，故②不符合题意；根据对角线互相垂直的矩形是正方形，可得③符合题意；由AC平分∠DAB，可证明矩形ABCD的四边相等，根据四边相等的矩形是正方形，可得④符合题意，所以所有正确选项的序号是①③④．故选：C．【变式2-4】（2023春•迁安市期末）如图，一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形：a．两组对边分别相等b．一组对边平行且相等c．一组邻边相等d．一个角是直角顺次添加的条件：①a→c→d②a→b→c③b→d→c，则正确的添加顺序是（）A．仅① B．①② C．①③ D．②③【答案】C【解答】解：①a→c→d，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，一组邻边相等的四边形是菱形，有一个角是直角的菱形是正方形，符合题意；②a→b→c．只能判定四边形是菱形，不能判定四边形是正方形，不符合题意．③b→d→c，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的矩形是正方形，符合题意．故选：C．【题型3正方形的性质与判定综合】【典例3】（2023春•秦淮区期末）如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，∴∠MEN＝90°，∵点E是正方形ABCD对角线上的点，∴EM＝EN，∵∠DEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，∵∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴EF＝DE，∵四边形DEFG是矩形，∴矩形DEFG是正方形；（2）CE+CG的值是定值，定值为6，理由如下：∵正方形DEFG和正方形ABCD，∴DE＝DG，AD＝DC，∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠CDG＝∠ADE，在∴△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝×3＝6是定值．【变式3-1】（2023春•建昌县期末）如图，Rt△ABC两条外角平分线交于点D，∠B＝90°，过点D作DE⊥BA于点E，DF⊥BC于点F．（1）求证：四边形BFDE是正方形；（2）若BF＝6，点C为BF的中点，直接写出AE的长．【答案】2．【解答】（1）证明：如图所示：过点D作DH⊥AC，∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠E＝∠F＝∠B＝90°，∴四边形BFDE是矩形，∵AD平分∠EAC，DE⊥BA，∴DE＝DH，∵CD平分∠ACF，DF⊥BC，DH⊥AC，∴DH＝DF，∴DE＝DF，∴四边形BFDE是正方形；（2）解：∵DH⊥AC，∴∠AHD＝∠DHC＝90°，由（1）∠E＝∠F＝90°，DE＝DH，DH＝DF，∴∠AHD＝∠DHC＝∠E＝∠F＝90°，在Rt△AED和Rt△AHD中，，∴Rt△AED≌Rt△AHD（HL），∴AE＝AH，同理可以证明Rt△DFC≌Rt△DHC（HL），∴CH＝CF，∵BF＝6，C为BF中点，∴BC＝CF＝CH＝3，∵四边形BFDE是正方形，∴BE＝BF＝6，设AE＝x，则AB＝BE﹣AE＝6﹣x，AC＝AH+CH＝x+3，由勾股定理得：AB2+BC2＝AC2，∴（6﹣x）2+32＝（x+3）2，解之得：x＝2，∴AE的长为2．【变式3-2】（2023春•青海月考）如图，已知菱形ABCD，E、F是对角线BD所在直线上的两点，且∠AED＝45°，DF＝BE，连接CE、AE、AF、CF．（1）求证：四边形AECF是正方形；（2）若BD＝4，BE＝3，求菱形ABCD的周长．【答案】（1）证明见解答过程；（2）4．【解答】解：（1）连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，∵BE＝DF，∴BE+OB＝DF+DO，∴FO＝EO，∴EF与AC垂直且互相平分，∴四边形AECF是菱形，∴∠AEF＝∠CEF，又∵∠AED＝45°，∴∠AEC＝90°，∴菱形AECF是正方形；（2）∵菱形AECF是正方形，BD＝4，BE＝3，∴OD＝2，∴FD＝3，∴EF＝10，∴AC＝10，∴OC＝5，∴CD＝＝＝，∴菱形ABCD的周长＝4CD＝4．答：菱形ABCD的周长为4．【变式3-3】（2022春•赣县区期末）如图，E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE＝BF＝CM＝DN（1）求证：四边形EFMN是正方形；（2）若AB＝7，AE＝3，求四边形EFMN的周长．【答案】（1）证明过程见解答；（2）20．【解答】（1）证明：∵AE＝BF＝CM＝DN，∴AN＝DM＝CF＝BE．∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴△AEN≌△DMN≌△CFM≌△BEF（SAS）．∴EF＝EN＝NM＝MF，∠ENA＝∠DMN．∴四边形EFMN是菱形，∵∠ENA＝∠DMN，∠DMN+∠DNM＝90°，∴∠ENA+∠DNM＝90°．∴∠ENM＝90°．∴四边形EFMN是正方形；（2）解：∵AB＝7，AE＝3，∴AN＝BE＝AB﹣AE＝4，∴EN＝＝5，∴正方形EFMN的周长＝4×5＝20．【变式3-4】（2022春•覃塘区期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD边上，且AE＝AF，∠CEF＝45°．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）若，BE＝1，求四边形ABCD的面积．【答案】（1）证明过程见解析；（2）17．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，∵AE＝AF，∴∠AFE＝∠AEF，∵∠CEF＝45°，∠C＝90°，∴∠CFE＝45°，∴∠AFD＝∠AEB，∴△ABE≌△ADF（AAS），∴AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形．（2）解：∵由（1）可知：，又BE＝1，∠B＝90°，∴由勾股定理得，，∵四边形ABCD是正方形，∴．【变式3-5】（2022•龙岗区模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，DF∥AC．（1）求证：四边形AFDE为正方形；（2）若AD＝2，求四边形AFDE的面积．【答案】（1）见解答．（2）4．【解答】（1）证明：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AFDE是平行四边形．∵AD平分∠BAC，∴∠FAD＝∠EAD．∵DE∥AB，∴∠EDA＝∠FAD．∴∠EDA＝∠EAD．∴AE＝DE．∴四边形AFDE是菱形．∵∠BAC＝90°，∴四边形AFDE是正方形．（2）解：∵四边形AFDE是正方形，AD＝2，∴AF＝DF＝DE＝AE＝＝2．∴四边形AFDE的面积为2×2＝4一．选择题（共10小题）1．（2023秋•沈丘县期末）用边长为1的正方形做了一套七巧板，拼成如图所示的一座桥，则桥中阴影部分的面积为原正方形面积的（）A． B． C． D．不能确定【答案】A【解答】解：读图可得，阴影部分的面积为原正方形的面积的一半，则阴影部分的面积为1×1÷2＝；是原正方形的面积的一半；故选：A．2．（2023•陵城区校级一模）如图，在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，连接AE、CE，∠BCE＝70°，则∠EAD为（）A．10° B．15° C．20° D．30°【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADE＝∠CDE＝∠EBC＝45°，AD＝CD，∵DE＝DE，∴△AED≌△CED（SAS），∴∠EAD＝∠ECD，又∵∠BCE＝70°，方法1：∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BCE＝20°．方法2：∴∠BEC＝65°，∵∠BEC＝∠CDE+∠ECD，即65°＝45°+∠ECD，∴∠ECD＝20°，∴∠EAD＝20°．故选：C．3．（2023春•许昌期末）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．四个角都是90° B．四边相等 C．对角线相等 D．对角线互相平分【答案】B【解答】解：∵正方形的性质为：对边平行且相等，四条边相等，四个角为直角，对角线互相垂直平分，相等，且每条对角线平分一组对角，矩形的性质为：对边平行且相等，四个角为直角，对角线互相平分，相等，∴正方形具有而矩形不一定具有的性质是：四边相等，故选：B．4．（2023•江津区二模）如图，延长正方形ABCD边B至点E，使AE＝BD，则∠E为（）A．22.5° B．25° C．30° D．45°【答案】A【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴AC＝BD，且∠CAB＝45°，又∵BD＝AE，∴AE＝CA，∴∠E＝∠ACE，∵∠CAB＝∠ACE+∠E＝2∠E＝45°，∴∠E＝22.5°．故选：A．5．（2022秋•周村区期末）在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，这个条件可以是（）A．BC＝CD B．AB＝CD C．∠D＝90° D．AD＝BC【答案】A【解答】解：∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴当BC＝CD时，四边形ABCD是正方形，故选：A．6．（2023秋•于洪区期末）小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具（如图1），测得对角线，将正方形学具变形为菱形（如图2），∠DAB＝60°，则图2中对角线AC的长为（）A．20cm B． C． D．【答案】C【解答】解：如图1，∵四边形ABCD是正方形，AC＝10cm，∴AB＝AD＝AC＝10cm，在图2中，连接BD交AC于O，∵∠ABC＝60°，AB＝AD＝10cm，∴△ABD是等边三角形，则BD＝10cm，∵四边形ABCD是菱形，∴BO＝＝5cm，AO＝CO，AC⊥BD，∴AO＝＝＝5（cm），∴AC＝2AO＝10（cm），故选：C．7．（2023春•武汉期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A（0，1），B（2，0）均在坐标轴上，则点C的坐标是（）A．（1，3） B．（3，2） C．（2，3） D．（2，4）【答案】B【解答】解：过C作CH⊥x轴于H，如图：∵A（0，1），B（2，0），∴OA＝1，OB＝2，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABO＝90°﹣∠CBH＝∠BCH，∵∠AOB＝∠BHC＝90°，∴△AOB≌△BHC（AAS），∴OA＝BH＝1，OB＝CH＝2，∴OH＝OB+BH＝3，∴C（3，2）；故选：B．8．（2023春•方城县期末）如图，在正方形ABCD中，点P在边AB上，AE⊥DP于点E，CF⊥DP于点F，若AE＝4，CF＝7，则EF＝（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠ADC＝90°，CD＝DA，∴∠CDF+∠ADE＝90°，∵AE⊥DP，CF⊥DP，∴∠AED＝∠DFC＝90°，∴∠DAE+∠ADE＝90°，∴∠CDF＝∠DAE，在△CDF和△DAE中，∵∠DFC＝∠AED＝90°，∠CDF＝∠DAE，CD＝DA，∴△CDF≌△DAE（AAS），∴CF＝DE＝7，DF＝AE＝4，∴EF＝DE﹣DF＝7﹣4＝3，故选：C．9．（2023春•青秀区校级期末）如图，在正方形ABCD外侧作等边△ABE，连接DE，则∠EDB的度数为（）A．15° B．20° C．22.5° D．30°【答案】A【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∵△ABE是等边三角形，∴AB＝AE，∠BAE＝∠ABE＝60°，在△ADE中，AD＝AE，∠DBE＝∠ABD+∠ABE＝90°+60°＝150°，∴∠EDB＝（180°﹣150°）＝15°，故选：A．10．（2023春•五莲县期末）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝6，F为DE的中点．若OF的长为1，则△CEF的周长为（）A．14 B．16 C．18 D．12【答案】B【解答】解：在正方形ABCD中，BO＝DO，BC＝CD，∠BCD＝90°，∵F为DE的中点，∴OF为△DBE的中位线，ED＝2CF＝2EF，∴△CEF的周长为EF+EC+FC＝ED+EC，∵OF＝1，∴BE＝2OF＝2，∵CE＝6，∴BC＝BE+CE＝2+6＝8，∴CD＝BC＝8，在Rt△CED中，∠ECD＝90°，CD＝8，CE＝6，∴ED＝，∴△CEF的周长为EF+EC+FC＝ED+EC＝10+6＝16，故选：B．二．填空题（共5小题）11．（2023春•泰兴市期末）如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC上的一点，EF⊥CD，EG⊥AD，垂足分别为F、G，已知EG＝1，EF＝3，则BE的长度为．【答案】．【解答】解：如图所示，连接DE，GF，∵四边形ABCD是正方形，∴CB＝CD，∠ECB＝∠ECD＝45°，∠ADC＝90°，又∵CE＝CE，∴△CBE≌△CDE（SAS），∴BE＝ED，∵EF⊥CD，EG⊥AD，∴∠EGD＝∠GDF＝∠DFE＝90°，∴四边形GEFD是矩形，∴GF＝DE，在Rt△EFG中，EG＝1，EF＝3，∴FG＝，∴，故答案为：．12．（2023秋•白银期末）如图，正方形ABCD的边长为2，点E在边BC上，AF⊥AE交CD的延长线于点F，则四边形AECF的面积为4．【答案】4．【解答】解：在正方形ABCD中，AD＝AB，∠DAB＝90°，∵AF⊥AE，∴∠EAF＝90°，∴∠DAF＝90°﹣∠DAE＝∠BAE∵∠ADF＝∠ABE＝90°，∴△ADF≌△ABE（ASA），∴△ADF的面积＝△ABE的面积，∴四边形AECF的面积＝△ADF的面积+四边形ADCE的面积＝△ABE的面积+四边形ADCE的面积＝正方形ABCD的面积＝22＝4．故答案为：4．13．（2022秋•锦江区期末）小颖将能够活动的菱形学具活动成为图1所示形状，并测得AC＝5，∠B＝60°，接着，她又将这个学具活动成为图2所示正方形，此时A'C'的长为5．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∵AC＝5，∴AB＝BC＝5，∵四边形A′B′C′D′为正方形，∴∠A′B′C′＝90°，由旋转的性质得出A′B′＝B′C′＝AB＝5，∴A′C′＝＝5，故答案为：5．14．（2023春•孝义市期中）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，请你添加一个条件使它是正方形，你添加的条件是∠ABC＝90°（答案不唯一）．【答案】∠ABC＝90°（答案不唯一）．【解答】解：根据有一个内角为90°的菱形是正方形可知添加的条件∠ABC＝90°（答案不唯一），故答案为：∠ABC＝90°（答案不唯一）．15．（2023春•西丰县期中）如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作射线OM，ON，分别交CD，BC于点E，F，且∠EOF＝90°，连接EF给出下列结论：①△COE≌△BOF；②四边形OECF的面积为正方形ABCD面积的；③EF平分∠OEC；④DE2+BF2＝EF2．其中正确的是①②④（填序号）．【答案】①②④．【解答】解：①在正方形ABCD中，OC＝OB，∠COB＝90°，∠OBC＝∠OCB＝45°，∵∠EOF＝90°，∴∠COE＝∠EOF﹣∠COF＝90°﹣∠COF，∴∠COE＝∠BOF，∴△COE≌△BOF（ASA），故①正确；②由①全等可得四边形CEOF的面积与△OCD面积相等，∴四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的，故②正确；③∵△COE≌△BOF，∴OE＝OF，∴∠OFE＝∠OEF＝45°，∵∠CEO≠90°，∴∠OEF≠∠CEF，故③错误；④∵△COE≌△BOF，∴CE＝BF，∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝CD，∴DE＝CF，在Rt△ECF中，CE2+CF2＝EF2，∴DE2+BF2＝EF2，故④正确；综上所述，正确的是①②④，故答案为：①②④．三．解答题（共3小题）16．（2023秋•礼泉县期末）如图，E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE＝BF＝CM＝DN．求证：四边形EFMN是正方形．【答案】见试题解答内容【解答】解：四边形E