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学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号…………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………第2页,共4页福建省建瓯市第四中学2024-2025学年数学九年级第一学期开学检测试题题号一二三四五总分得分A卷(100分)一、选择题(本大题共8个小题,每小题4分,共32分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求)1、(4分)设,,且,则的值是()A. B. C. D.2、(4分)菱形ABCD中,∠A=60°,周长是16,则菱形的面积是().A.16 B.16 C.16 D.83、(4分)若分式x2x-1□xA.+ B.— C.—或÷ D.+或×4、(4分)某工厂新引进一批电子产品,甲工人比乙工人每小时多搬运30件电子产品,已知甲工人搬运300件电子产品所用的时间与乙工人搬运200件电子产品所用的时间相同若设乙工人每小时搬运x件电子产品,可列方程为A. B. C. D.5、(4分)等边三角形的边长为2,则该三角形的面积为()A.4 B. C.2 D.36、(4分)使二次根式有意义的x的取值范围是().A. B. C. D.7、(4分)不等式组的解集为()A.x>-1 B.x<3 C.x<-1或x>3 D.-1<x<38、(4分)如图,直线y=kx和y=ax+4交于A(1,k),则不等式kx﹣6<ax+4<kx的解集为()A.1<x< B.1<x<3 C.﹣<x<1 D.<x<3二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)9、(4分)点A在双曲线y=上,点B在双曲线y=(k≠0)上,AB∥x轴,分别过点A、B向x轴作垂线,垂足分别为D、C,若矩形ABCD的面积是8,则k的值为.10、(4分)设a是的小数部分,则根式可以用表示为______.11、(4分)如图,O是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是AD的中点,若AB=5,AD=12,则四边形ABOM的周长为.12、(4分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的两个顶点A,B的坐标分别为(-2,0),(-1,0),BC⊥x轴,将△ABC以y轴为对称轴作轴对称变换,得到△A’B’C’(A和A’,B和B’,C和C’分别是对应顶点),直线经过点A,C’,则点C’的坐标是.13、(4分)关于x的方程(m﹣2)x2+2x+1=0有实数根,则偶数m的最大值为_____.三、解答题(本大题共5个小题,共48分)14、(12分)如图,是正方形的对角线,.边在其所在的直线上平移,将通过平移得到的线段记为,连接、,并过点作,垂足为,连接、.(1)请直接写出线段在平移过程中,四边形是什么四边形;(2)请判断、之间的数量关系和位置关系,并加以证明;(3)在平移变换过程中,设,,求与之间的函数关系式.15、(8分)如图,四边形ABCD是正方形,点E是BC边上的点,∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分线CF于点F.(1)如图①,当点E是BC边上任一点(不与点B、C重合)时,求证:AE=EF.(2)如图②当点E是BC边的延长线上一点时,(1)中的结论还成立吗?(填成立或者不成立).(3)当点E是BC边上任一点(不与点B、C重合)时,若已知AE=EF,那么∠AEF的度数是否发生变化?证明你的结论.16、(8分)已知抛物线,与轴交于、,(1)若,时,求线段的长,(2)若,时,求线段的长,(3)若一排与形状相同的抛物线在直角坐标系上如图放置,且每相邻两个的交点均在轴上,,若之间有5个它们的交点,求的取值范围.17、(10分)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=60cm,∠A=60°,点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是ts.过点D作DF⊥BC于点F,连接DE、EF.(1)求证:AE=DF;(2)四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t值;如果不能,请说明理由;(3)当t为何值时,△DEF为直角三角形?请说明理由.18、(10分)已知ABC为等边三角形,点D、E分别在直线AB、BC上,且AD=BE.(1)如图1,若点D、E分别是AB、CB边上的点,连接AE、CD交于点F,过点E作∠AEG=60°,使EG=AE,连接GD,则∠AFD=(填度数);(2)在(1)的条件下,猜想DG与CE存在什么关系,并证明;(3)如图2,若点D、E分别是BA、CB延长线上的点,(2)中结论是否仍然成立?请给出判断并证明.B卷(50分)一、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)19、(4分)在矩形中,,,以为边在矩形外部作,且,连接,则的最小值为___________.20、(4分)已知中,,则的度数是_______度.21、(4分)若在实数范围内有意义,则x的取值范围是______.22、(4分)如图,B(3,﹣3),C(5,0),以OC,CB为边作平行四边形OABC,则经过点A的反比例函数的解析式为_____.23、(4分)如图,与是位似图形,位似比为,已知,则的长为________.二、解答题(本大题共3个小题,共30分)24、(8分)某校开展“爱我汕头,创文同行”的活动,倡议学生利用双休日参加义务劳动,为了解同学们劳动情况,学校随机调查了部分同学的劳动时间,并用得到的数据绘制了不完整的统计图,根据图中信息解答下列问题:(1)抽查的学生劳动时间为1.5小时”的人数为人,并将条形统计图补充完整.(2)抽查的学生劳动时间的众数为小时,中位数为小时.(3)已知全校学生人数为1200人,请你估算该校学生参加义务劳动1小时的有多少人?25、(10分)在“3.15”植树节活动后,对栽下的甲、乙、丙、丁四个品种的树苗进行成活率观测,以下是根据观测数据制成的统计图表的一部分:栽下的各品种树苗棵数统计表植树品种甲种乙种丙种丁种植树棵数150125125若经观测计算得出丙种树苗的成活率为89.6%,请你根据以上信息解答下列问题:(1)这次栽下的四个品种的树苗共棵,乙品种树苗棵;(2)图1中,甲%、乙%,并将图2补充完整;(3)求这次植树活动的树苗成活率.26、(12分)某校八年级(1)班要从班级里数学成绩较优秀的甲、乙两位学生中选拔一人参加“全国初中数学联赛”,为此,数学老师对两位同学进行了辅导,并在辅导期间测验了6次,测验成绩如下表(单位:分):次数,1,2,3,4,5,6甲:79,78,84,81,83,75乙:83,77,80,85,80,75利用表中数据,解答下列问题:(1)计算甲、乙测验成绩的平均数.(2)写出甲、乙测验成绩的中位数.(3)计算甲、乙测验成绩的方差.(结果保留小数点后两位)(4)根据以上信息,你认为老师应该派甲、乙哪名学生参赛?简述理由.
参考答案与详细解析一、选择题(本大题共8个小题,每小题4分,共32分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求)1、C【解析】
将变形后可分解为:(−5)(+3)=0,从而根据a>0,b>0可得出a和b的关系,代入即可得出答案.【详解】由题意得:a+=3+15b,∴(−5)(+3)=0,故可得:=5,a=25b,∴=.故选C.本题考查二次根式的化简求值,有一定难度,根据题意得出a和b的关系是关键.2、D【解析】分析:过点D作DE⊥BC于点E,根据菱形的性质以及直角三角形的性质得出DE的长,即可得出菱形的面积.详解:如图所示:过点D作DE⊥BC于点E,∵在菱形ABCD中,周长是16,∴AD=AB=4,∵∠A=60°,∴∠ADE=30°,∴AE==2,∴DE=,∴菱形ABCD的面积S=DE×AB=8.故选D.点睛:题主要考查了菱形的面积以及其性质,含30°角的直角三角形的性质,勾股定理,得出DE的长是解题关键.3、C【解析】
依次计算+、-、×、÷,再进行判断.【详解】当□为“-”时,x2当□为“+”时,x2当□为“×”时,x2当□为“÷”时,x2所以结果为x的有—或÷.故选:C.考查了分式的加、减、乘、除运算,解题关键是熟记其运算法则.4、C【解析】
乙工人每小时搬运x件电子产品,则甲工人每小时搬运件电子产品,根据甲的工效乙的工效,列出方程即可.【详解】乙工人每小时搬运x件电子产品,则甲工人每小时搬运件电子产品,依题意得:,故选C.本题考查了分式方程的应用,弄清题意,根据关键描述语句找到合适的等量关系是解决问题的关键
错因分析:中等题.选错的原因是:未能读懂题意导致不能列出正确的等量关系.
5、B【解析】∵等边三角形高线即中点,AB=2,∴BD=CD=1,在Rt△ABD中,AB=2,BD=1,∴AD=,∴S△ABC=BC⋅AD=×2×=,故选B.6、B【解析】
直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案.【详解】依题意得:,解得:.故选:.此题考查了二次根式的意义和性质.概念:式子叫二次根式.性质:二次根式中的被开方数必须是非负数,否则二次根式无意义.7、D【解析】分析:分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.详解:解不等式3−2x<5,得:x>−1,解不等式x−2<1,得:x<3,∴不等式组的解集为−1<x<3,故选:D.点睛:此题考查不等式的解集,根据求不等式组解集的口诀:同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小找不到,即可解答.8、A【解析】
把A(1,k)代入y=ax+4得a=k-4,则解不等式kx-4<ax+4得x<,再结合图象得到x>1时,ax+4<kx,从而得到不等式kx-6<ax+4<kx的解集.【详解】解:把A(1,k)代入y=ax+4得k=a+4,则a=k﹣4,解不等式kx﹣4<ax+4得x<,而当x>1时,ax+4<kx,所以不等式kx﹣6<ax+4<kx的解集为1<x<.故选A.本题考查了一次函数与一元一次不等式:从函数的角度看,就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围;从函数图象的角度看,就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合.也考查了一次函数的性质.二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)9、12或4【解析】试题分析:当图形处于同一个象限时,则k=8+4=12;当图形不在同一个象限时,则k=8-4=4.考点:反比例函数的性质10、【解析】
根据题意用表示出a,代入原式化简计算即可得到结果.【详解】解:根据题意得:a=,则原式=====,故答案为:.此题考查了估算无理数的大小,根据题意表示出a是解本题的关键.11、1.【解析】
∵AB=5,AD=12,∴根据矩形的性质和勾股定理,得AC=13.∵BO为Rt△ABC斜边上的中线∴BO=6.5∵O是AC的中点,M是AD的中点,∴OM是△ACD的中位线∴OM=2.5∴四边形ABOM的周长为:6.5+2.5+6+5=1故答案为112、(1,3)。【解析】∵B的坐标为(-1,0),BC⊥x轴,∴点C的横坐标―1。∵将△ABC以y轴为对称轴作轴对称变换,得到△A’B’C’,∴点C’的横坐标为1。∵A(-2,0)在直线上,∴。∴直线解析式为。∵当x=1时,。∴点C’的坐标是(1,3)。13、1【解析】
由方程有实数根,可得出b1﹣4ac≥0,代入数据即可得出关于m的一元一次不等式,解不等式即可得m的取值范围,再找出其内的最大偶数即可.【详解】解:当m﹣1=0时,原方程为1x+1=0,解得:x=﹣,∴m=1符合题意;当m﹣1≠0时,△=b1﹣4ac=11﹣4(m﹣1)≥0,即11﹣4m≥0,解得:m≤3且m≠1.综上所述:m≤3,∴偶数m的最大值为1.故答案为:1.本题考查了根的判别式以及解一元一次方程,分方程为一元一次或一元二次方程两种情况找出m的取值范围是解题的关键.三、解答题(本大题共5个小题,共48分)14、(1)四边形是平行四边形;(2)且,证明见解析;(3)见解析.【解析】
(1)根据平移的性质,可得PQ=BC=AD,根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,可得答案;(2)根据正方形的性质,平移的性质,可得PQ与AB的关系,根据等腰直角三角形的判定与性质,可得∠PQO,根据全等三角形的判定与性质,可得AO与OP的数量关系,根据余角的性质,可得AO与OP的位置关系;(3)根据等腰直角三角形的性质,可得OE的长,根据三角形的面积公式,可得函数关系式.【详解】(1)根据平移的性质可得,PQ=BC,∵四边形ABCD是正方形,∴BC=AD,BC∥AD,∴PQ=AD,PQ∥AD,∴四边形是平行四边形.(2)且.证明如下:①当向右平移时,如图,∵四边形是正方形,∴,.∵,∴.∵,∴,∴∴,∴.在和中,∴,∴,.∵,∴,即.∴,∴且.②当向左平移时,如图,同理可证,,∴,,∴,∴,∴,∴且.(3)过点作于.在中,,∴.①当向右平移时,如图,,∴.∵,∴.②当向左平移时,如图,,∴.∵.∴.本题考查了二次函数综合题,利用平行四边形的判定是解题关键;利用全等三角形的判定与性质是解题关键;利用等腰直角三角形的性质的出OE的长是解题关键.15、(1)见解析;(2)成立,理由见解析;(3)∠AEF=90°不发生变化.理由见解析.【解析】
(1)在AB上取点G,使得BG=BE,连接EG,根据已知条件利用ASA判定△AGE≌△ECF,因为全等三角形的对应边相等,所以AE=EF;(2)在BA的延长线上取一点G,使AG=CE,连接EG,根据已知利用ASA判定△AGE≌△ECF,因为全等三角形的对应边相等,所以AE=EF;(3)在BA边取一点G,使BG=BE,连接EG.作AP⊥EG,EQ⊥FC,先证AGP≌△ECQ得AP=EQ,再证Rt△AEP≌Rt△EFQ得∠AEP=∠EFQ,∠BAE=∠CEF,结合∠AEB+∠BAE=90°知∠AEB+∠CEF=90°,从而得出答案.【详解】(1)证明:在BA边取一点G,使BG=BE,连接EG,∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=90°,BA=BC,∠DCM═90°,∴BA-BG=BC-BE,即
AG=CE.∵∠AEF=90°,∠B=90°,∴∠AEB+∠CEF=90°,∠AEB+∠BAE=90°,∴∠CEF=∠BAE.∵BG=BE,CF平分∠DCM,∴∠BGE=∠FCM=45°,∴∠AGE=∠ECF=135°,∴△AGE≌△ECF(ASA),∴AE=EF.(2)成立,理由:在BA的延长线上取点G,使得AG=CE,连接EG.∵四边形ABCD为正方形,AG=CE,∴∠B=90°,BG=BE,∴△BEG为等腰直角三角形,∴∠G=45°,又∵CF为正方形的外角平分线,∴∠ECF=45°,∴∠G=∠ECF=45°,∵∠AEF=90°,∴∠FEM=90°-∠AEB,又∵∠BAE=90°-∠AEB,∴∠FEM=∠BAE,∴∠GAE=∠CEF,在△AGE和△ECF中,∵,∴△AGE≌△ECF(ASA),∴AE=EF.故答案为:成立.(3)∠AEF=90°不发生变化.理由如下:在BA边取一点G,使BG=BE,连接EG.分别过点A、E作AP⊥EG,EQ⊥FC,垂足分别为点P、Q,∴∠APG=∠EQC=90°,由(1)中知,AG=CE,∠AGE=∠ECF=135°,∴∠AGP=∠ECQ=45°,∴△AGP≌△ECQ(AAS),∴AP=EQ,∴Rt△AEP≌Rt△EFQ(HL),∴∠AEP=∠EFQ,∴∠BAE=∠CEF,又∵∠AEB+∠BAE=90°,∴∠AEB+∠CEF=90°,∴∠AEF=90°.此题是四边形综合题,主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质,正确作出辅助线、灵活运用全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键,解答时,注意类比思想的正确运用.16、(1)6;(2)6;(3)【解析】
(1)将,代入,求出与x轴两个交点的的横坐标,即可确定AB的长.(2)将,代入,化简得y,令y=0,求出与x轴两个交点的的横坐标,即可确定AB的长.(3)令,解得,然后确定AB的长,再根据之间有5个交点,列出不等式,求解不等式即可.【详解】解:(1)∵,,∴,令,得,,∴.(2),时,令,,,∴,∴线段的长为6.(3)令,,,此时的长,∵之间有5个交点,∴,∴.本题考查了二次函数与x轴交点及交点间的距离,解题的关键在于认真分析,逐步解答,才会发现解答思路.17、(1)详见解析;(2)当t=10时,▱AEFD是菱形;(3)当t=时,△DEF是直角三角形(∠EDF=90°);当t=1时,△DEF是直角三角形(∠DEF=90°).【解析】
(1)在Rt△ABC中,根据已知条件求得∠C=30°,由题意可知CD=4tcm,AE=2tcm;在直角△CDF中,根据30°角直角三角形的性质可得DF=CD=2tcm,由此即可证得DF=AE;(2)由DF∥AB,DF=AE,根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AEFD是平行四边形,当AD=AE时,四边形AEFD是菱形,即可得60﹣4t=2t,解得t=10,即当t=10时,▱AEFD是菱形;(2)能,分∠EDF=90°和∠DEF=90°两种情况求t的值即可.【详解】(1)证明:∵在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=60cm,∠A=60°,∴∠C=90°﹣∠A=30°.由题意可知,CD=4tcm,AE=2tcm,又∵在直角△CDF中,∠C=30°,∴DF=CD=2tcm,∴DF=AE;(2)∵DF∥AB,DF=AE,∴四边形AEFD是平行四边形,当AD=AE时,四边形AEFD是菱形,即60﹣4t=2t,解得:t=10,即当t=10时,▱AEFD是菱形;(3)当t=时△DEF是直角三角形(∠EDF=90°);当t=1时,△DEF是直角三角形(∠DEF=90°).理由如下:当∠EDF=90°时,DE∥BC.∴∠ADE=∠C=30°∴AD=2AE∵CD=4tcm,∴DF=AE=2tcm,∴AD=2AE=4tcm,∴4t+4t=60,∴t=时,∠EDF=90°.当∠DEF=90°时,DE⊥EF,∵四边形AEFD是平行四边形,∴AD∥EF,∴DE⊥AD,∴△ADE是直角三角形,∠ADE=90°,∵∠A=60°,∴∠DEA=30°,∴AD=AE,AD=AC﹣CD=60﹣4t(cm),AE=DF=CD=2tcm,∴60﹣4t=t,解得t=1.综上所述,当t=时△DEF是直角三角形(∠EDF=90°);当t=1时,△DEF是直角三角形(∠DEF=90°).本题考查了直角三角形的性质,菱形的判定与性质,正确利用t表示DF、AD的长是解决问题的关键.18、(1)∠AFD=60°(2)DG=CE,DG//CE;(3)详见解析【解析】
(1)证明△ABE≌△CAD(SAS),可得∠BAE=∠ACD,继而根据等边三角形的内角为60度以及三角形外角的性质即可求得答案;(2)由(1)∠AFD=60°,根据∠AEG=60°,可得GE//CD,继而根据GE=AE=CD,可得四边形GECD是平行四边形,根据平行四边形的性质即可得DG=CE,DG//CE;(3)延长EA交CD于点F,先证明△ACD≌△BAE,根据全等三角形的性质可得∠ACD=∠BAE,CD=AE,继而根据三角形外角的性质可得到∠EFC=60°,从而得∠EFC=∠GEF,得到GE//CD,继而证明四边形GECD是平行四边形,根据平行四边形的性质即可得到DG=CE,DG//CE.【详解】(1)∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=∠ABC=60°,在△ABE和△CAD中,,∴△ABE≌△CAD(SAS),∴∠BAE=∠ACD,∵∠BAE+∠EAC=∠BAC=60°,∴∠ACD+∠EAC=60°,∴∠AFD=∠ACD+∠EAC=60°,故答案为60°;(2)DG=CE,DG//CE,理由如下:∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=∠ABC=60°,在△ABE和△CAD中,,∴△ABE≌△CAD(SAS),∴AE=CD,∠BAE=∠ACD,∵∠BAE+∠EAC=∠BAC=60°,∴∠ACD+∠EAC=60°,∴∠AFD=∠ACD+∠EAC=60°,又∵∠AEG=60°,∴∠AFD=∠AEG,∴GE//CD,∵GE=AE=CD,∴四边形GECD是平行四边形,∴DG=CE,DG//CE;(3)仍然成立延长EA交CD于点F,∵△ABC为等边三角形,∴AC=AB,∠BAC=∠ABC=60°,∴∠DAC=∠ABE=120°,在△ACD和△BAE中,,∴△ACD≌△BAE(SAS),∴∠ACD=∠BAE,CD=AE,∴∠EFC=∠DAF+∠BDC=∠BAE+∠AEB=∠ABC=60°,∴∠EFC=∠GEF,∴GE//CD,∵GE=AE=CD,∴四边形GECD是平行四边形,∴DG=CE,DG//CE.本题考查了等边三角形的性质,平行四边形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,熟练掌握相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的运用.一、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)19、【解析】分析:由S△ABP=AB•h=15,得出三角形的高h=5,在直线AB外作直线l∥AB,且两直线间的距离为5,延长DA至M使AM=10,则M、A关于直线l对称,连接CM,交直线l于P,连接AP、BP,则S△ABP=15,此时AP+CP=CM,根据两点之间线段最短可知AP+CP的最小值为CM;然后根据勾股定理即可求得.详解;∵在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,S△ABP=AB•h=15,∴h=5,在直线AB外作直线l∥AB,且两直线间的距离为5,延长DA至M使AM=10,则M、A关于直线l对称,连接CM,交直线l于P,连接AP、BP,则S△ABP=15,此时AP+CP=CM,根据两点之间线段最短可知AP+CP的最小值为CM;∵AD=8,AM=10,∴DM=18,∵CD=6,∴CM=,∴AP+CP的最小值为.故答案为.点睛:本题考查了轴对称-最短路线问题以及勾股定理的应用,根据题意作出点E是解题的关键.20、100【解析】
根据平行四边形对角相等的性质,即可得解.【详解】∵中,,∴故答案为100.此题主要考查平行四边形的性质,熟练掌握,即可解题.21、x≥-2【解析】分析:根据二次根式有意义的条件:被开方数为非负数,列不等式求解即可.详解:∵x+2≥0∴x≥-2.故答案为x≥-2.点睛:此题主要考查了二次根式有意义的条件,明确被开方数为非负数是解题关键.22、【解析】
设A坐标为(x,y),根据四边形OABC为平行四边形,利用平移性质确定出A的坐标,利用待定系数法确定出解析式即可.【详解】设A坐标为(x,y),∵B(3,-3),C(5,0),以OC,CB为边作平行四边形OABC,∴x+5=0+3,y+0=0-3,解得:x=-2,y=-3,即A(-2,-3),设过点A的反比例解析式为y=,把A(-2,-3)代入得:k=6,则过点A的反比例解析式为y=,故答案为y=.此题考查了待定系数法求反比例函数解析式,以及平行四边形的性质,熟练掌握待定系数法是解本题的关键.23、1【解析】
由△ABC与△DEF是位似图形,位似比为2:3,可得AB:DE=2:3,继而可求得DE的长.【详解】∵△ABC与△DEF是位似图形,位似比为2:3,
∴AB:DE=2:3,
∴DE=1.
故答案为:1.本题考查了位似图形的性质.解题的关键是掌握位似图形是
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