北师版初中九上数学1.2.3矩形的性质与判定的综合应用【课件】

九年级数学北师版·上册第3课时矩形的性质与判定的综合应用第一章特殊平行四边形2矩形的性质与判定问题1:

矩形有哪些性质？①是轴对称图形;

②四个角都是直角;③对角线相等且互相平分.①定义：有一个角是直角的平行四边形;②对角线相等的平行四边形;

③有三个角是直角的四边形.问题2:矩形的判定方法有哪些？复习引入知识讲解分析：在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，BE︰ED=1︰3，易证得△OAB是等边三角形，继而求得∠BAE的度数，由△OAB是等边三角形，求出∠ADE的度数，又由AD=6，即可求得AE的长.

如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，求AE的长.例1知识讲解解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，∴OA=OB，∵BE︰ED=1

︰

3，∴BE︰OB=1︰2，∵AE⊥BD，∴AB=OA，∴OA=AB=OB，即△OAB是等边三角形，∴∠ABD=60°，∴∠ADE=90°-∠ABD=30°，∴AE=AD=3.点评:此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意数形结合思想的应用.

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）连接DE，交AC于点F，请判断四边形ABDE的形状，并证明；（3）线段DF与AB有怎样的关系？请证明你的结论.例2知识讲解证明：∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，∴∠ADC=90°，∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，∴∠MAN=∠CAN，∴∠DAE=90°，∵CE⊥AN，∴∠AEC=90°，∴四边形ADCE为矩形；（1）求证：四边形ADCE为矩形；分析：在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，又由AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，可得∠DAE=90°，又由CE⊥AN，即可证得四边形ADCE为矩形.知识讲解解：四边形ABDE是平行四边形，理由如下：由（1）知，四边形ADCE为矩形，则AC=DE，AE=CD．又∵AB=AC，BD=CD，∴AB=DE，AE=BD，∴四边形ABDE是平行四边形.（2）连接DE，交AC于点F，请判断四边形ABDE的形状，并证明；分析：利用（1）中矩形的对角线相等推知AC=DE；结合已知条件可以推知AB=DE，又AE=BD，则易判定四边形ABDE是平行四边形.知识讲解解：DF∥AB，DF=AB．理由如下：∵四边形ADCE为矩形，∴AF=CF，∵BD=CD，∴DF是△ABC的中位线，∴DF∥AB，DF=AB.（3）线段DF与AB有怎样的关系？请证明你的结论.分析：由四边形ADCE为矩形，可得AF=CF，又由AD是BC边的中线，即可得DF是△ABC的中位线，则可得DF∥AB，DF=AB.点评:此题考查了矩形的判定与性质、三线合一以及三角形中位线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.知识讲解

如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N.(1)求证：CM＝CN；(2)若△CMN的面积与△CDN的面积比为3∶1，求的值．例3知识讲解(1)求证：CM＝CN；解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠ANM＝∠CMN，由折叠知∠CNM＝∠ANM，∴∠CNM＝∠CMN，∴CN＝CM.知识讲解(2)若△CMN的面积与△CDN的面积比为3∶1，求的值．解：∵AD∥BC，S△CMN∶S△CDN＝3∶1，∴CM∶DN＝3∶1，设DN＝x，则CM＝3x，过点N作NK⊥BC于点K，∵DC⊥BC，∴NK∥DC，又∵AD∥BC，∴CK＝DN＝x，MK＝2x，由(1)知CN＝CM＝3x，∴NK2＝CN2－CK2＝(3x)2－x2＝8x2，

K知识讲解1、已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线所成的锐角的度数是（）.

A、100°B、90°C、80°D、70°2、矩形的一边长为6，各边中点围成的四边形的周长是20，则矩形的对角线长为

，面积为

.C10483、平行四边形四个内角的平分线，如果能围成一个四边形，那么这个四边形一定是（）

A、矩形B、菱形

C、正方形D、等腰梯形

A120°35、已知：如图，在ABCD

中，E，F分别为边

AB，CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．（1）求证：DE＝BF；（2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．

∴DE＝BF.

∴四边形AGBD是矩形.1、定义：有一个角是

的

叫做矩形.2、性质和判定：性质判定边角对角线同平行四边形平行四边形直角四个角都是直角对角线相等且互相平分3、对角线相等的平行四边形.2、有三个角是直角的四边形.1、有一个角是直角的平行四边形.BCD∟∟∟∟OA1、如图，P是矩形ABCD内一点，

PA＝3，PD＝4，PC＝5，则PB＝

.

2、如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的F点处.（1）若∠BAF＝60°，求∠EAF的度数；（2）若AB＝6cm，AD＝10cm，求线段CE的长.

1、如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的F点处.（1）若∠BAF＝60°，求∠EAF的度数；（2）若AB＝4cm，AD＝5cm，求线段CE的长.（2）∵四边形ABCD为矩形，∴DC=AB