1.4.1空间中点直线平面的向量表示教学设计-2024-2025学年高二上学期数学人教A版选择性

包头市景泰高级中学数学教案本2024包头市景泰高级中学数学教案本2024包头市景泰高级中学教务处包头市景泰高级中学教务处包头市景泰高级中学高一数学教案课题空间中点线面的向量表示授课教师授课班级授课时间9月份课时安排1课时教学背景分析（一）课题及教学内容分析本节课是人教A版《普通高中教科书·数学》选择性必修第一册第一章第四节第一课时的内容，主要研究空间向量的应用。从本节知识的内部结构看,这样空间向量可表示空间中点的位置，直线和平面的方向。根据其方向的特点，空间中的直线与平面，平面与平面的位置关系转化为向量的相关问题.对于“平行”与“垂直”两种特殊的位置关系，以向量的运算为工具，可证明空间中线面间的平行与垂直的关系，并能解决直线与平面、平面与平面和异面直线的夹角问题.本节的核心内容是探求利用空间向量解决立体几何问题的一般方法。基于以上分析，确定本节课的教学重点：用向量表示空间几何中的点、直线和平面；利用向量共线定理、平面向量基本定理推导直线和平面的向量表达式以及求平面法向量的方法。总体学生情况分析已具备的认知基础:学生在“立体几何初步”的学习中，已经能够解决立体几何中的点线面的位置关系和度量问题,学生经历过运用平面向量解决平面几何的问题，自然能提出运用空间向量解决立体几何的问题。景泰的学生整体上数学成绩不高，基础比较弱，思维薄弱，计算能力比较差，对抽象的数学知识理解困难，记忆有限，积极性不足，空间想象能力不足，应用方面易失误，缺少综合的分析能力。（三）本班学生情况分析教学目标1.会将空间中的点、直线、平面用规范的向量语言表示出来，通过学会空间中的点、直线、平面的向量表示再来研究空间的直、平面的平行、垂直的关系；2.通过恰当选取几何体中的一个向量基底，加深理解向量基本定理，能够用向量规范表示空间中的点、直线、平面，体悟数学“元”思想，发展学生的数学抽象等数学核心素养。教学重难点重点：点、直线和平面的向量表示，以及平面法向量的求法。难点：点、直线和平面的向量表示的探究过程。通过问题引导，让学生经历“痛苦”的思考过程，使学生逐步发现为什么“向量可以代替点、直线和平面”，“如何借助向量来表示点、直线和平面”，继而通过抓主线——点的位置向量，转化、类比，最后得到正确的结论。教学资源和教学方法本节课采用“问题导学”教学模式，通过设置联系性问题、理解性问题、归纳性问题、拓展性问题实现学生的深度学习。引导学生独立思考，主动探究，合作交流，利用小组汇报，学生讲解，学生小结等多种方式，借助动态实物图将空间中点、直线和平面的向量表示制作成动态图形，通过创设物理情境，数学情境，落实重点，突破难点，倡导学生主动参与，在师生互动、生生互动中，通过对空间中点、直线和平面的向量表示的探究，使学生学会空间中点、直线和平面的向量表示方法,进一步提升数学抽象核心素养.让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程.不断地提升学生学习能力，努力实现学习的目标。教学中以引导学生和学生活动为主，提高学生们自主学习的积极性和能力，加强学生们对内容的理解和分析，实际操作中需要高质量的做一些试题来巩固新的知识，从而得到掌握本节课的内容。教学设计一、创设情境，提出问题2024年巴黎奥运会开幕式上的1100架中国无人机表演震撼全世界。无人机编织的光影，在埃菲尔铁塔上舞动，让巴黎的夜晚比平时更加璀璨耀眼。随着节奏，它们迅速变换着各种图案，首先是奥运五环，在空中勾勒出五个闪亮的环，每一个环都闪耀着不同的颜色，仿佛象征着世界五大洲的团结和友谊。接着，五环变幻成巴黎奥运会的会徽，那细致的图案在空中绽放，仿佛一幅巨大的画卷展开在夜空中。随后，无人机又迅速排列成火炬手的形象，一位高举火炬的运动员跃然于天际，她手中的火炬仿佛真的在燃烧。无人机在空中灵活飞行，仿佛被赋予了生命一样，全世界所有的观众都被这精准、优美变换而鼓掌和欢呼。把无人机看作一个点的话，根据1100架无人机所组成的不同空间结构图，现回答下列问题：【问题1】：你能确定每一架无人机在空中的位置吗？【问题2】：多架无人机在空中能组成一条直线或一个平面吗？【问题3】：你会用空间向量法来表示空间中变幻的无人机吗？【设计意图】用无人机的精彩表演做情境，无人机表演的各种图案，学生们印象深刻，有利于学生的理解和分析，并且为接下来学习的空间向量研究直线、平面的位置奠定基础。二、分析问题，引入新课师生活动：分析上面的例子，让学生复习空间直角坐标系的建立，点的坐标表示。要想学会表示，请认真学习本节内容用空间向量研究直线、平面的位置关系。【设计意图】引导学生思考，从多个具体的实例中抽象概括出共同特征，形成较为抽象的数学语言，并通过实际例子让学生更好地理解本节课所要学习的内容。三、探究新知，形成概念师生活动：板书1探究1：如何用空间向量表示空间中的一个点P？师：想象一下，平常我们打的时候，有人问你“你现在在哪里？”，你是怎样回答的呢？通过看书：在空间中选一个起点O作为基点，则空间中任意一个点P就可以用向量OP来表示。我们把向量OP称为点P的位置向量。这样的表示往往比较随意，需要学生认真理解基点O。图形语言向量语言空间中一点【设计意图】通过空间内任意点的向量来表示，即主要确定点的位置，这样去让学生体会点与“基”点的一一对应关系，这样空间中的向量就可以表示出来了。探究2：如何用空间向量表示空间中的一条直线？师：用向量表示直线，就是要利用点和直线的方向向量表示直线上的任意点？在直线上取非零向量a，我们把向量a称为直线l的方向向量，设是直线上的任意一点，由向量共线的条件可知，点在直线上的充要条件是存在实数，使得，即。取定空间中任意一点，可以得到点是直线上的任意一点，的充要条件是存在实数，使得，①将代入①，即，②。①和②都称为空间直线的向量表示式。由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定。【设计意图】：在空间向量表示空间直线的基础上，得出“空间中的一点和一个方向也可以确定空间中的一条直线”，引导学生利用共线定理寻找向量表示直线方法，学生在探究问题的过程中体悟数形结合数学思想，提升学生的数学抽象等核心素养。图形语言向量语言直线直线探究3：一个点和两个定方向能否确定一个平面？如何用向量来表示这个平面？设两条相交直线的交点为，它们的方向向量分别为向量和向量，那么，由平面向量基本定理得到，这个平面的任意一点，存在唯一的有序实数对使得向量①这样，点与向量和向量，不仅可以确定平面，还可以具体表示出内的任意一点，这种表示在解决几何问题时有着重要作用。师：我们可以回忆平面向量的基本定理，来联想空间向量的任意一向量分解。进一步，取定空间任意一点为，可以得到，空间一点位于平面ABC内的充要条件是存在实数，使得，③。我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式，所以，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定。【设计意图】：通过平面内的任意一点的向量表示，对“存在实数x,y,使xAB+yAC”有了更深刻的理解，能够得出空间一点位于平面ABC内的充要条件是：存在实数x,y,使OP=OA+xAB+yAC。探究4：给定空间一点A和一条直线l，则过点A且垂直直线l的平面是唯一确定的。由此得到启发，我们可以点A和直线l的方向向量来确定平面。如果另有一条直线，在直线m上任取向量，向量与向量有什么关系呢？师：①垂直于平面虚线叫法线。②数学中把垂直于平面的直线方向向量叫平面的法向量。③平面是点的集合，如何用点A和平面α的法向量a表示平面内所有的点P构成的集合？直线，取直线l的方向向量，我们称向量为平面的法向量，给定一个点A和一个向量，那么过点A为法向量的平面完全确定，可以表示为满足集合。【设计意图】通过直线垂直平面的方法，来引导学生在直线上取一个方向向量，这样很容易得到一个平面的法向量，图形语言向量语言平面平面平面板书2：四、例题分析，理解巩固例:如图,在长方体中，,,是的中点，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系。(1)求直线的方向向量(2)求平面的法向量(3)求平面的法向量.(4)求平面的法向量.师生活动：下面由学生分组对上述例题进行改编或变式。五、课堂小结，复习回顾空间中一个点如何用向量表示二、空间中一条线如何用向量表示三、空间中一个面如何用向量表示四、如何表示一个平面的法向量六、达标检查，巩固提示1.如图，在三棱锥ABC