专题04相似三角形的存在性-2023年中考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（专用）（原卷版）

专题04相似三角形的存在性目录最新模考题热点题型归纳【题型一】相似三角形的存在性【题型二】圆和相似三角形【题型三】双等角模型【题型四】345模型【题型一】相似三角形的存在性【典例分析】1．（2023浦东新区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，tanC＝，点D是斜边AC上的动点，联结BD，EF垂直平分BD交射线BA于点F，交边BC于点E．（1）如图，当点D是斜边AC上的中点时，求EF的长；（2）联结DE，如果△DEC和△ABC相似，求CE的长；（3）当点F在边BA的延长线上，且AF＝2时，求AD的长．【提分秘籍】相似三角形存在性问题，分类讨论步骤：第一步：找到题目中已知三角形和待求三角形中相等的角；要先确定已知三角形是否有直角，或确定锐角（借助三角函数值初中阶段衡量角度问题的计算手段，二次函数角的存在性压轴专题应用更为突出）①若有已知的相等角，则其顶点对应；②若没有相等的角，则让不确定的三角形的角和已知三角形的特殊角相等。第二步：确定相似后，根据对应边成比例求解动点坐标：①若已知三角形各边已知，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小；②若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后用相似来列方程求解。【变式演练】1．（2023杨浦区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的中线，AC＝3，BC＝4，点Q是CB延长线上的一动点，过点Q作QP⊥CD，交CD的延长线于点P．（1）当点B为CQ的中点时，求PD的长；（2）设BQ＝x，PD＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）过点B作BF⊥AB交PQ于F，当△BDF和△ABC相似时，求BQ的长．2．（2023徐汇区一模）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D为边BC上一动点（与点B、C不重合），点E为AB上一点，∠EDB＝∠ADC，过点E作EF⊥AD，垂足为点G，交射线AC于点F．（1）如果点D为边BC的中点，求∠DAB的正切值；（2）当点F在边AC上时，设CD＝x，CF＝y，求y关于x的函数解析式及x的取值范围；（3）联结DF，如果△CDF与△AGE相似，求线段CD的长．3．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如图，在中，，，，点是边上的动点，以为边在外作正方形，分别联结、，与交于点．（1）当时，求正方形的面积；（2）延长交于点，如果和相似，求的值；（3）当时，求的长．4．（2021·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在中，，，点D为边上一动点（与点B、C不重合），点E为边上一点，，过点E作，垂足为点G，交射线于点F．（1）如果点D为边的中点，求的正切值；（2）当点F在边上时，设，，求y关于x的函数解析式及定义域；（3）联结如果与相似，求线段的长．5.（2021松江一模）如图，已知在等腰中，，，，垂足为F，点D是边AB上一点（不与A，B重合）（1）求边BC的长；（2）如图2，延长DF交BC的延长线于点G，如果，求线段AD的长；（3）过点D作，垂足为E，DE交BF于点Q，连接DF，如果和相似，求线段BD的长．【题型二】圆和相似三角形【典例分析】（2022•徐汇区二模）如图，AB为半圆O的直径，点C在线段AB的延长线上，BC＝OB，点D是在半圆O上的点（不与A，B两点重合），CE⊥CD且CE＝CD，联结DE．（1）如图1，线段CD与半圆O交于点F，如果DF＝BF，求证：；（2）如图2，线段CD与半圆O交于点F，如果点D平分，求tan∠DFA；（3）联结OE交CD于点G，当△DOG和△EGC相似时，求∠AOD．【提分秘籍】[圆中相似思路]利用圆周角定理等尽可能找相等角，两组角相等即可证全等:若有相等线段转化线段，问题中的线段可能并非相似三角形中的线段确定相等线段、角之后，猜想可能存在的相似并证明.【变式演练】1.【2021宝山二模】如图，已知AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为点B、点C，AC与BD交于点P．（1）如果AB＝3，CD＝5，以点P为圆心作圆，圆P与直线BC相切．①求圆P的半径长；②又BC＝8，以BC为直径作圆O，试判断圆O与圆P的位置关系，并说明理由．（2）如果分别以AB、CD为直径的两圆外切，求证：△ABC与△BCD相似．2.【2021虹口二模】（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，tanA=,AC=5，点M是射线AB上一点，以MC为半径的⊙M交直线AC于点D．（1）如图9，当MC=AC时，求CD的长；（2）当点D在线段AC的延长线上时，设BM=x，四边形CBMD的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果直线MD与射线BC相交于点E，且△ECD与△EMC相似，求线段BM的长．CCMBA图9DCCBA备用图3.【2021年浦东新区二模】（14分）已知：半圆O的直径AB＝6，点C在半圆O上，且tan∠ABC＝2，点D为弧AC上一点，联结DC（如图）（1）求BC的长；（2）若射线DC交射线AB于点M，且△MBC与△MOC相似，求CD的长；（3）联结OD，当OD∥