第03讲三角形一边的平行线（二）

第03讲三角形一边的平行线（二）掌握三角形一边平行线判定定理及推论，以及平行线分线段成比例定理重点是理清该判定定理及其推论之间的区别和联系难点是灵活运用本节的三个定理及两个推论，并理解和掌握“作平行线”这一主要的作辅助线的方法模块一：三角形一边的平行线判定定理及推论1、三角形一边的平行线判定定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．2、三角形一边的平行线判定定理推论如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．如图，在中，直线与、所在直线交于点和点，如果那么//．在中，点、分别在边、上，根据下列条件，试判断与是 否平行． （1），，，； （2），，，； （3），，，； （4），．【答案】（1）平行；（2）平行；（3）不平行；（4）平行．【解析】（1），可推知平行；，，可推知平行；，，不相等，可推知不平行；（4）根据线段大小和位置关系，得，，，可推知平行．【总结】考查三角形一边平行线判定定理的内容，根据比例性质进行相关变形应用．如图，中，点在边上，点在边上，下列命题中不正确的是（）ABCEF （A）若//，则ABCEF （B）若，则// （C）若//，则 （D）若，则//【答案】D【解析】A、B、C选项都可由三角形一边平行线性质定理及其判定定理可判定正确，D选 项不符合定理判定内容．【总结】考查三角形一边平行线性质定理及其判定定理的内容．ABCDO如图，四边形中，、相交于点，若，，， ，求的长．ABCDO【答案】6．【解析】，，． 代入可计算，得：．【总结】考查三角形一边平行线性质定理及其判定定理，先判定再应用．如图，、是的边上的两点，满足．联结，过点 作//，交边于点，联结．ABCDEF ABCDEF【答案】略．【解析】证明：//，．又，即，，//．【总结】考查三角形一边平行线性质定理及其判定，先应用性质证明比例线段相等再判定．ABCDEFG如图，在菱形中，点、分别在边、上，，与 交于点，又．ABCDEFG 求证：四边形是平行四边形．【答案】略．【解析】证明：，．又四边形是菱形，．．且有．，．又，，．即证四边形是平行四边形．【总结】平行四边形的证明，先从判定定理出发，考虑哪个判定定理的应用，然后根据题目条件进行分析证平行．模块二：平行线分线段成比例定理1、平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例．如图，直线////，直线与直线被直线、、所截，那么．BBCDEFG2、平行线等分线段定理两条直线被三条平行的直线所截，如果一条直线上截得的线段相等，那么另一条直线上截得的线段也相等．BCADEF如图，////，，，， 求、的长．BCADEF【答案】．【解析】根据平行线分线段成比例定理和比例的合比 性，可得，代入求得，则．【总结】考查平行线分线段成比例定理结合比例的合比性质的应用．CBADEF如图，直线、、分别交直线于点、、，交直线于点、、， 且////．已知，，，求、的长．CBADEF【答案】．【解析】根据平行线分线段成比例定理和比例的合比性， 可得，代入求得， 则．【总结】考查平行线分线段成比例定理结合比例的合比性质的应用，两条直线交叉时仍成立．如图，、、都垂直于直线，，，，ABCDEABCDEFlNM【答案】10．NM【解析】过点作交于点，交于点．、、都垂直于直线，，则四边形、、都为平行四边形．，．，．由平行可得：，代入得：，．【总结】考查平行线分线段成比例定理，往往通过平行线的平移转化到一个三角形中三角形一边平行线性质定理的应用．ABCDEOPQM如图，中，为中点，为上一点，的延长线交于点， 的延长线交于点，//，且过点与、分别交于点ABCDEOPQM 和点． 求证：（1）；（2）//．【答案】略．【解析】证明：（1）//，∴． ， ． 由为中点，即可证得．（2）连结． //，． 由（1）可得，，，//．【总结】考查三角形一边平行线的判定定理，注意根据相等的比例作为中间量进行等比例转换．如图，中，，，，是边上的一个动点， 过点作//与相交于点，连接，设线段的长为，的面积 为．（1）求与之间的函数关系式，并指出函数的定义域；ABCDP（2）是否存在一个位置的点，使的面积等于的面积的？如果存在，求出 的长；如果不存在，请说明理由．ABCDP【答案】（1）；E （2）存在，．E【解析】（1）过点作于点．F 由，可得，又，F 故． 又，故，代入可得：． 故．过点作于点． 由，可得：， 故． 又的面积是面积的， ∴， 解得：，即．【总结】考查三角形中一边平行线性质的综合应用，同时在题目中，注意对于特殊角的利用．一、单选题（2022秋·上海浦东新·九年级校考期中）如图，已知线段、、，求线段，使，下列作图正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用图形得比例线段，再与已知式作对比，可以得出结论．【详解】解：A、由图可得，即，所以图形能画出，故此选项符合题意；B、由图可得，即且是所求线段，所以图形不能画出，故此选项不符合题意；C、由图可得，即且是所求线段，所以图形不能画出，故此选项不符合题意；D、由图可得，即且是所求线段，所以图形不能画出，故此选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理、复杂作图，熟练掌握平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．（2023·上海闵行·统考一模）如图，已知，它们依次交直线l1、l2于点A、D、F和点B、C、E，如果AD：DF＝3：1，BE＝10，那么CE等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平行线分线段成比例定理即可完成．【详解】∵∴∴BC=3CE∵BC+CE=10∴3CE+CE=10∴故选：C【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握此定理是关键．（2023·上海·一模）如图，已知，，，那么的长等于（

）A．4 B． C． D．8【答案】C【分析】根据平行线分线段成比例得到，即可求出．【详解】解：∵，∴，∵，∴，解得：．故选：C【点睛】本题考查了平行线分线段成比例；熟练掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是本题的关键．（2022·上海·九年级专题练习）如图，已知ABCDEF，它们依次交直线、于点A、C、E和点B、D、F．如果AC：CE=2：3，BD=4，那么BF等于（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【分析】根据平行线分线段成比例定理求解即可．【详解】解：∵ABCDEF，∴，∵AC：CE=2：3，BD=4，∴，∴DF=6，∴BF=BD+DF=4+6=10，故选：C．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理、比例性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理及其应用是解答的关键．（2022秋·九年级单元测试）在中，点E、D、F分别在边AB、BC、AC上，联结DE、DF，如果，，，那么的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题目的已知条件画出图形，然后利用平行线分线段成比例解答即可．【详解】如图：∵DE∥AC，AE：EB=3：2，∴∴∵，∴故选：B【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例这个基本事实是解题的关键．（2022秋·上海徐汇·九年级校考阶段练习）如图，直线，直线与这三条直线分别交于点和点若，则的长为（）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】由平行线分线段成比例可得再代入数据可得答案．【详解】解：∵，∴∵，∴∴．故选A．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，掌握“由平行线得到成比例的线段，再代入数据进行计算”是解本题的关键．（2023·上海宝山·一模）在中，点D、E分别在AB、AC上，如果AD：：3，那么下列条件中能够判断的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】试题解析：∵AD：BD=1：3，∴，∴当时，，∴DE∥BC，故C选项能够判断DE∥BC；而A，B，D选项不能判断DE∥BC；故选C．（2023·上海·一模）如图，DE∥AB，如果CE∶AE=1∶2，DE=3，那么AB等于（

）A．6； B．9； C．12； D．13．【答案】B【分析】根据比例的性质得CE∶CA=1∶3，根据平行线分线段成比例定理的推论，即可求得答案.【详解】∵CE∶AE=1∶2，∴CE∶CA=1∶3，∵DE∥AB，∴∵DE=3，∴AB=3DE=9故选：B【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的推论及比例的性质，熟练运用“平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例”是解题的关键.二、填空题（2023·上海·一模）如图，已知直线、、分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且，，，，则______．【答案】8【分析】根据平行线分线段成比例，即可进行解答．【详解】解：∵，∴，即，∵，∴，解得：，故答案为：8．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．掌握平行线分线段成比例是解题关键．（2023·上海奉贤·统考一模）如图，在中，点D、E、F分别在边、、上，，，如果，那么的值是____________．【答案】【分析】根据得到，根据比例的性质可得，再根据，即可得到答案；【详解】解：∵，∴，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查平行线截线段对应成比例，解题的关键是根据比例性质求得．（2023·上海松江·统考一模）如图，已知直线，如果，，那么线段的长是________．【答案】【分析】由平行线所截线段对应成比例可知，然后代入的值求解即可．【详解】解：．故答案为：【点睛】本题主要考查平行线所截线段对应成比例，熟练掌握比例线段的计算是解决本题的关键．（2023·上海奉贤·统考一模）如图2，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、．如果，，，那么____________．【答案】【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论，【详解】解：∵，∴，∵，，，∴，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，找准对应线段是解题的关键．（2023·上海浦东新·上海市建平实验中学校考一模）如图，已知直线、、分别交直线于点、、，交直线于点、、，且，，，，那么线段的长等于______．【答案】9【分析】利用平行线分线段成比例定理得到，利用比例的性质得到，从而可计算出DE的长．【详解】解：，∴，即，，即，∴．故答案为：9．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．（2023·上海·一模）如图，AB∥CD∥EF，如果AC＝2，CE＝3，BD＝1.5，那么BF的长是_____．【答案】/3.75【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．【详解】解：∵AB∥CD∥EF，AC＝2，CE＝3，BD＝1.5，∴，即，解得：BF＝，故答案为：．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟知平行线分线段成比例定理是解题的关键．（2023·上海·一模）如图，已知ADBECF．如果，，，那么AC的长是_____．【答案】6.4/【分析】根据三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例，列出比例式解答即可．【详解】解：∵，∴，∵AB＝4.8，DE＝3.6，EF＝1.2，∴，解得，∴．故答案为：6.4．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握定理并灵活运用列出正确的比例式．（2023·上海长宁·统考一模）如图，已知，，，那么的长等于______．【答案】12【分析】根据平行线分线段对应成比例，列式计算即可．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，即：，∴；故答案为：．【点睛】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例，是解题的关键．三、解答题（2021秋·上海宝山·九年级统考期中）如图，已知直线l1、l2、l3分别截直线l4于点A、B、C，截直线l5于点D、E、F，且（1）如果AB＝3，BC＝6，DE＝4，求EF的长；（2）如果DE：EF＝2：3，AC＝25，求AB的长．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由，可得再代入数据即可得到结论；（2）由，可得可得结合，从而可得答案.【详解】解（1），AB＝3，BC＝6，DE＝4，经检验：符合题意；（2），而DE：EF＝2：3，【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，掌握“两条直线被一组平行线所截的对应线段成比例”是解题的关键.（2022秋·上海杨浦·九年级统考期中）如图，点D、E分别在的边、上，．如果，．求．【答案】3【分析】设,则可得出，的面积之比，再将的值代入，即可得出答案；【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，设，又，，∴，∴，（舍），∴．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解一元二次方程，结合同高的三角形面积比等于底边的比，解题关键结合图形正确写出对应线段．（2022秋·上海浦东新·九年级校考期中）小明夜游世博会，在路灯下的处走到处时，测得影子的的长为1米，继续往前走了米到达处，若小明的身高是米，路灯高度为米，此时小明的影子长为多少米？【答案】【分析】根据题意得，再根据平行线分线段成比例即可求解．【详解】解：如图所示，米，米，米，米，∵，，，∴，∴，即，∴，则米，∴，即，∴，解得，，∴小明的影子长为米．【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线的判断和平行线分线段成比例是解题的关键．在中，点D、E分别在边、上，下列条件中，能判定的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据对应线段成比例，两直线平行，可得出答案．【详解】A、,不可证明DE∥BC,故本选项正确；B、,可证明DE∥BC,故本选项错误；C、,不可证明DE∥BC,故本选项不正确；D、不可证明DE∥BC,故本选项不正确．故选B．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，对应线段成比例，两直线平行．如图，，若，则下面结论错误的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据比例的性质与平行线分线段成比例，列出比例式，逐项判断即可【详解】＝，,故A选项正确，不符合题意；l1∥l2∥l3，且＝，,故B选项正确，不符合题意；故D选项正确，不符合题意；根据已知条件不能求出的值，故C选项不正确，故选C．【点睛】本题考查了比例的性质与平行线分线段成比例，掌握比例的性质与平行线分线段成比例是解题的关键．如图，在平行四边形ABCD中，，，，分别以A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF，则四边形AECF的周长为______．【答案】10【分析】根据作图可得，且平分，设与的交点为，证明四边形为菱形，根据平行线分线段成比例可得为的中线，然后勾股定理求得，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得的长，进而根据菱形的性质即可求解．【详解】解：如图，设与的交点为，根据作图可得，且平分，，四边形是平行四边形，，，又，，，，，四边形是平行四边形，垂直平分，，四边形是菱形，，，，，为的中点，中，，，，，四边形AECF的周长为．故答案为：．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，菱形的性质与判定，勾股定理，平行线分线段成比例，平行四边形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．（2023·上海·一模）阅读：对于线段与点O（点O与不在同一直线上），如果同一平面内点P满足：射线与线段交于点Q，且，那么称点P为点O关于线段的“准射点”．问题：如图，矩形中，，点E在边上，且，联结．设点F是