类型一反比例k的几何意义之求k

类型一、反比例”k”的几何意义之求k【解惑】从反比例函数（k为常数，）图象上任一点P，向x轴和y轴作垂线，以点P及点P的两个垂足和坐标原点为顶点的矩形的面积等于常数，以点P及点P的一个垂足和坐标原点为顶点的三角形的面积等于【融会贯通】1．如图，直线与x轴交于点A，与函数的图象交于点B，轴于点C，平移直线，使其过点C，且与函数的图象交于D，若，则k的值为（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【详解】解：过点D作轴于点E，由直线可知，设∴，，∴，由题意可知，∴，即，∴，，∴∴点D的坐标为∵点B、点D在反比例函数上，∴,解得：或(舍)∴2．如图，反比例函数的图像上有两点，反比例函数的图像上有两点，且轴于点，轴于点，，，，则（）A．4 B． C． D．6【答案】B【详解】解：连接，如下图，由反比例函数的性质可知，，∵，∴①，∵，∴②，由①②两式解得，则．3．如图，直线AB与双曲线在第一象限交于点A，与双曲线在第二象限交于点B，与y轴交于点C，若，且的面积为8，则k的值为______．【答案】【详解】解：如图：分别过点A、B作轴，轴，垂足分别为点E、F，设点，点，则，，，，，，得，，，点C在y轴上，，，，得，解得，【知不足】1．如图，的边在x轴上，若过点A的反比例函数的图象经过边的中点D，且，则k的值是（

）A．12 B．24 C．28 D．32【答案】C【详解】解：过点、分别作，，垂足为、，由图像可知：，在中，，∴，是的中点，∴，，四边形是平行四边形，，，点、在反比例函数的图象上，，，，设点，，，在中，令，则，∴，，即，，，，，解得，2．如图，直线与x轴相交于点B，点A是直线上一点，过点A，B分别作x轴、y'轴的平行线交于点C，点C恰在反比例函数的图象上，若点A的横坐标为点B横坐标的一半，则k的值为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：对于一次函数，令，则，解得：，∵点A的横坐标为点B横坐标的一半，∴点A的横坐标为把代入，解得，∴，∵过点A，B分别作x轴、y'轴的平行线交于点C，∴，∴，∵，∴，3．如图，点A、B在反比例函数的图象上，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别是M、N，射线交x轴于点C，若，四边形的面积是4，则k的值为_____．【答案】【详解】解∶设，则，点A、B在反比例函数的图象上，，，，，解得，4．如图，两个边长分别为的正方形连在一起，三点在同一直线上，反比例函数在第一象限的图象经过小正方形右下顶点．若，则的值是_____．【答案】4【详解】解：连接，设点坐标为，则，和都是等腰直角三角形，，，，即，，，，．【一览众山小】1．如图，将一块含角的三角板AOB按如图所示摆放在平面直角坐标系中，，，的面积为4，BO与x轴的夹角为，若反比例函数的图象经过点A，则k的值为（

）A．3 B． C．6 D．9【答案】C【详解】过作轴交于点∵将一块含角的三角板AOB按如图所示摆放∴∵∴解得∵BO与x轴的夹角为∴∴在中，∴，则可将代入中，，解得2．两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，轴于点C，交的图象于点A，轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论：①与的面积相等；②四边形的面积不会发生变化；③与始终相等；④当点是的中点时，点一定是的中点．其中，正确的结论有（）个A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】解：∵点均在反比例函数的图象上，且轴，轴，∴，，∴，结论①正确；∵点在反比例函数的图象上，且轴，轴，∴，∴，即四边形的面积不会发生变化，结论②正确；设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，，，与的关系无法确定，结论③错误；如图，连接，点是的中点，，，，，即，，∴点一定是的中点，结论④正确；综上，正确的结论有3个，3．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，点A在点B的左侧，轴，点C，D在x轴上，若四边形ABCD为面积是9的矩形，则k的值为______．【答案】13【详解】解：延长交y轴于点E，则轴，∵点A在反比例函数上，∴四边形的面积是4，∵点B在反比例函数上，∴四边形的面积是，∵四边形的面积是9，∴，∵反比例函数在第一象限，∴．4．如图，已知直角三角形中，，将绕点旋转至的位置，且在中点，在反比例函数上，则的值_____．【答案】【详解】解：连接，作轴于点，由题意知，是中点，，，，是等边三角形，，，，，，，，，在反比例函数上，．5．如图，在中，，轴，垂足为A．反比例函数的图像经过点C，交于点D．已知，．(1)若，求k的值；(2)连接，若，求的长．【答案】(1)12(2)【详解】（1）作，垂足为E，，，．点E的纵坐标为3，则点C的纵坐标为3，在Rt中，，，，，，，，点C的横坐标为，∴点C的坐标为：，把点代入反比例函数中得：，解得．（2）设A点的坐标为，，，，点D的坐标分别为：．由（1）可知，点C的坐标为，点C，D都在反比例函数的图像上，，，，解得，C点的坐标为：，．【温故为师】1．如图，等腰直角三角形中，点A，B分别在x轴，y轴上，直角顶点C落在反比例函的图象上，的中点D落在y轴上，若，则______．【答案】4【详解】过点作轴，交轴于，于，则，，∵是的等腰直角三角形，∴，，则，∴，∴，∴，则，可设，则，∵的中点落在轴上，则，∴，即，∴，，，由得，，解得：，即∴，2．如图，在平面直角坐标系中，放置一个等腰纸片，，边与轴重合，点坐标为，若反比例函数与边交于点，与边交于点．（1）当点为中点时，反比例函数的表达式为______；（2）将如图放置的纸片的沿过点的直线翻折，当点落到中点时，______；（3）若双曲线与折线、所围成的区域内（含边界）有2个横纵坐标都是整数的点，则的取值范围是______．【答案】

【详解】（1）作于点F，∵点坐标为，，∴．∵是等腰直角三角形，，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，∴．（2）如图，折线，点B落在上点处．由（1）可知，，∴，∵点坐标为，是的中点，∴，设直线的解析式为，把点A和点B的坐标代入得，解得，∴，设，∵，∴，解得，∴，∴，∴．（3）∵点坐标为，，∴若双曲线与折线、所围成的区域内（含边界）有2个横纵坐标都是整数的点，则这两个点一定是点A和点，把代入得，把代入得，∴．3．如图，在平面直角坐标系中，直线、分别与双曲线在第一象限内交于点、，若的面积为3，则___________．【答案】4【详解】解：作轴于，轴于，如图，解方程组得或，则，，解方程组得或，则，，，而，，．4．如图，已知A是y轴负半轴上一点，点B在反比例函数的图像上，交x轴于点C，，，的面积为，则_______．【答案】【详解】解：过点B作轴于点D，如图所示．∵，∴，，∴．，又∵，∴，∴，∴，∴．5．如图，点A是反比例函数（x＞0）图象上的一个动点，过点A作轴于点B，点C是反比例函数图象上不与点A重合的点，以为边作菱形，过点D作轴于点F，交反比例函数的图象于点E．(1)已知当时，菱形面积为20，则此时点C的横坐标是，点D的横坐标是，求该反比例函数的表达式；(2)若点A在（1）中的反比例函数图象上运动，当菱形面积是48时，求的值．【答案】(1)3，8：y=(2)【详解】（1）解：过点C作于点T，∴菱形面积，∴，在中，，∴，∴点C的横坐标为3，点D的横坐标为，设点C的坐标为，则点A的坐标为，∴，解得：，∴，，∴反比例函数的表达式为：，，（2）解：设点，过点C作轴于点N，交于点M，∵菱形面积是48，∴，∴，∴点C的纵坐标为，∴，∴点D的坐标为，∴点E的坐标为，∴，∴．6．如图，已知一次函数与反比例函数相交于点、．过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为点M、N．连接．(1)求反比例函数的解析式；(2)若四边形的面积记作，的面积记作，求的值．【答案】(1)(2)【详解】（1）∵一次函数与反比例函数相交于点、，