第1讲图形的初步认识（一）（题型精讲）（原卷版）

第1讲图形的初步认识（一）（精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析题型一：认识立体图形题型二：几何体展开图及由展开图求几何体表面积、体积题型三：正方体展开图问题题型四：点、线、面、体之间的关系题型五：平面图形旋转后得到立体图形题型六：截一个几何体题型七：用七巧板拼图问题题型八：直线、射线、线段题型九：两点确定一条直线题型十：线段的和与差题型十一：线段的中点问题题型十二：与线段有关的动点问题题型十三：两点之间线段最短题型十四：两点间的距离题型十五：最短路径问题第四部分：中考真题感悟第一部分：知识点精准记忆知识点一：认识立体图形①几何图形：从实物中抽象出的各种图形叫几何图形．几何图形分为立体图形和平面图形．

②立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形．

知识点二：点、线、面、体①体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点．

②从运动的观点来看，点动成线，线动成面，面动成体．点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界．③长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体简称体．

【扩展】多面体的顶点数、棱数、面数之间存在关系式：．知识点三：直线相关概念（1）概念：直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用“一根拉得紧的细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述．（2）表示方法：①可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如图1所示，可表示为直线(或直线)．②也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，可以表示为直线．（3）基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线．直线的特征：①直线没有长短，向两方无限延伸．②直线没有粗细．③两点确定一条直线．④两条直线相交有唯一一个交点．（4）点与直线的位置关系：①点在直线上，如图3所示，点在直线上，也可以说：直线经过点．②点在直线外，如图4，点在直线外，也可以说：直线不经过点．知识点四：线段相关概念（1）概念：直线上两点和它们之间的部分叫做线段．（2）表示方法：①线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如图所示，记作：线段或线段．②线段也可用一个小写英文字母来表示，如图5所示，记作：线段．(3)“作一条线段等于已知线段”的两种方法：法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线上截取．法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例：可以先量出线段的长度，再画一条等于这个长度的线段．(4)基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短．如图所示，在，两点所连的线中，线段的长度是最短的．注：①线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可以比较长短．②连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离．③线段的比较：①度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短．②叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．(5)线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如图所示，点是线段的中点，则，或．若点是线段的中点，则点一定在线段上．知识点五：射线相关概念(1)概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点．如图所示，直线上点和它一旁的部分是一条射线，点是端点．（2）特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长．（3）表示方法：①可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图8所示，可记为射线．②也可以用一个小写英文字母表示，如图8所示，射线可记为射线．注：①端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如图中射线，射线是不同的射线．②端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如图中射线、射线、射线都表示同一条射线．知识点六：直线的性质：两点确定一条直线①直线公理：经过两点有且只有一条直线．

简称：两点确定一条直线．

②经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了．知识点七：两点间的距离①两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．

②平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离．第二部分：课前自我评估测试1．（2023秋·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考期末）某个几何体的展开图如图所示，该几何体是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·甘肃武威·七年级校考期末）如图，在下面的四个几何体中，从它们各自的正面和左面看，不相同的是（）A．三棱柱 B．正方体 C．圆柱 D．圆锥3．（2023秋·吉林长春·七年级校联考期末）如图，点C、D为线段上的两点，，若，则等于（）A．4 B．5 C．6 D．74．（2023秋·吉林长春·七年级长春市实验中学校考期末）如图，下列说法正确的是（）A．点在射线上 B．点是直线的一个端点C．射线和射线是同一条射线 D．点在线段上5．（2023秋·山东聊城·七年级校考期末）如图所示，某同学的家在P处，他想尽快赶到附近C处搭顺风车，他选择第②条路线，用几何知识解释其道理正确的是（

）A．两点确定一条直线 B．两点之间，直线最短C．两点之间，线段最短 D．经过一点有无数条直线6．（2023秋·四川达州·七年级四川省大竹中学校考期中）如图所示的平面图形绕轴旋转一周，可得到的立体图形是（

）A． B．C． D．7．（2023秋·河南郑州·七年级校考阶段练习）如图，一个密闭的圆柱形玻璃杯中装一半的水，任意放置这个玻璃杯，则水面的形状不可能是（

）A． B． C． D．第三部分：典型例题剖析题型一：认识立体图形典型例题例题1．（2023·河北·九年级专题练习）①~④是由相同的小正方体粘在一起的几何体，若组合其中的两个，恰是由6个小正方体构成的长方体，则应选择（

）A．①③ B．②③ C．③④ D．①④例题2．（2022秋·山东烟台·六年级统考期中）用3个大小相同的小正方体搭成的几何体，从三个方向看到的形状图如图所示，则这个几何体可能是（

）A． B． C． D．例题3．（2022秋·广东佛山·七年级校考阶段练习）如图，下列几何体，是柱体的有______，球体的有______．（填序号）例题4．（2022秋·广东佛山·七年级校考阶段练习）如图，观察下列几何体并回答问题．(1)请观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳出棱柱有___________个面，___________条棱，___________个顶点；棱锥有___________个面，___________条棱，___________个顶点；(2)所有像三棱柱、四棱柱、六棱柱、三棱锥等这样由四个或四个以上多边形所围成的立体图形叫做多面体，经过前人们归纳总结发现，多面体的面数，顶点个数以及棱的条数存在着一定的关系，请根据（1）总结出这个关系为___________．同类题型归类练1．（2023秋·广东深圳·七年级深圳市福永中学校考阶段练习）如图，一个由6个相同小正方体组成的几何体，则该几何体的主视图是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·吉林长春·七年级长春市实验中学校考期末）下列图形中，是柱体的有______________________________．（填序号）3．（2022秋·山西太原·七年级统考期中）用若干大小相同的小立方块搭一个几何体，使得从左面和从上面看到的这个几何体的形状图如图所示．请从A，B两题中任选一题作答．我选择___________题．A．搭成该几何体的小立方块最少有___________个．B．根据所给的两个形状图，要画出从正面看到的形状图，最多能画出___________种不同的图形．4．（2022秋·山东济南·七年级统考期中）如图是由一些棱长都为1cm的小正方体组合成的简单几何体．(1)从正面看该几何体，看到的形状图如图所示，请在下面方格纸中分别画出从左面看和从上面看该几何体看到的形状图；（画出的图需涂上阴影或斜线）(2)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持从左面看和从上面看观察到的形状图不变，最多可以再添加块小正方体．题型二：几何体展开图及由展开图求几何体表面积、体积典型例题例题1．（2023秋·山东德州·七年级校考期末）如下图，有一个正方体纸盒，在它的三个侧面分别画有三角形、正方形和五边形，现用一把剪刀沿着它的棱剪开成一个平面图形，则展开图是（

）A． B． C． D．例题2．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，圆柱的底面直径为，高为，一只蚂蚁在处，沿圆柱的侧面爬到处，现将圆柱侧面沿“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（

）A． B．C． D．例题3．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图所示是小芳要用硬纸片做成的一个文具盒的展开图，则这个文具盒的表面积等于________．例题4．（2022秋·七年级课时练习）如图是一个几何体的展开图．(1)写出该几何体的名称_________：(2)用一个平面去截该几何体，截面形状可能是_________（填序号）；①三角形；②四边形；③五边形；④六边形(3)根据图中标注的长度（单位：cm），求该几何体的表面积和体积．例题5．（2022秋·江苏·七年级专题练习）如图①是一张长为20cm，宽为12cm的长方形硬纸板，把它的四个角都剪去一个边长为cm的小正方形，然后把它折成一个无盖的长方体盒子（如图②），请回答下列问题：(1)折成的无盖长方体盒子的容积______；（用含的代数式表示即可，不需化简）(2)请写出，值；12345180252192(3)从正面看折成的长方体盒子，它的形状可能是正方形吗？如果是正方形，求出的值；如果不是正方形，请说明理由．同类题型归类练1．（2023秋·陕西西安·七年级西安市远东一中校考阶段练习）如图所示，该正方体的展开图为（

）A． B．C． D．2．（2023·河北·九年级专题练习）如图是一个正方体的展开图，正方体相对面的数字或代数式互为相反数，则的值为______，的值为______．3．（2022秋·四川成都·七年级校考期中）某种无盖的长方体包装盒的展开图如图所示．根据图中数据计算，这种药品包装盒的体积是________．4．（2022秋·陕西西安·七年级校考阶段练习）画出如图所示的底面为直角三角形的直棱柱的表面展开图，并计算它的侧面积和表面积．5．（2022秋·山东淄博·六年级统考期中）综合与实践问题情景：某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒．操作探究：(1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒．(2)如图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“小”字相对的字是．(3)如图3，有一张边长为50的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒．①请你在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕．②若四角各剪去了一个边长为6的小正方形，这个纸盒的容积．题型三：正方体展开图问题典型例题例题1．（2023秋·广东深圳·七年级深圳市福永中学校考阶段练习）如图，它需再添一个面，折叠后才能围成一个正方体，下图中的黑色小正方形分别由四位同学补画，其中正确的是（

）A． B． C． D．例题2．（2023秋·吉林长春·七年级长春市实验中学校考期末）图1和图2中所有的正方形都全等，将图1的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形不能围成正方体的位置是（）A．① B．② C．③ D．④例题3．（2023秋·江苏盐城·七年级校考阶段练习）如图是一个正方体的展开图，将它拼成正方体后，“神”字对面的字是________．例题4．（2022秋·全国·七年级专题练习）有同样大小的三个立方体骰子，每个骰子的展开图如图1所示，现在把三个股子放在桌子上（如图2），凡是能看得到的点数之和最大是________，最小是________．例题5．（2022秋·七年级单元测试）如图所示，图1为一个棱长为6的正方体，图2为图1的表面展开图（数字和字母写在外表面上，字母也可以表示数），请根据要求回答问题：(1)如果正方体相对面上的两个数字之和相等，则=___________，=___________；(2)如果面“2”是左面，面“4”在后面，则上面是___________（填6或10或或）；(3)图1中，点为所在棱的中点，在图2中找到点的位置，直接写出图2中的面积___________.同类题型归类练1．（2023秋·河南郑州·七年级校考阶段练习）如图是正方体的平面展开图，在顶点处标有自然数1～11，折叠围绕成正方体后，与数字6重合的数字是(

)A．7，8 B．7，9 C．7，2 D．7，42．（2023秋·广东深圳·七年级深圳市福永中学校考阶段练习）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，标有“☆“的一面相对面上的字是（）A．神 B．奇 C．数 D．学3．（2023秋·江苏盐城·七年级校考阶段练习）有一个正方体，六个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6，如图是我们能看到的三种情况，如果记6的对面数字为a，2的对面数字为b，那么a+b的值为_____．4．（2022秋·湖南湘西·七年级统考期末）如图是一个正方体的展开图，如果正方体相对的两个面上标注的数值均互为相反数，则的值是_________．5．（2022秋·全国·七年级期末）如图所示，图1为一个棱长为3的正方体，图2为图1的表面展开图（每个面表示的数字写在外表面上），请根据要求回答问题：(1)如果正方体相对面上的两个数字之和相等，则x=，y=；(2)如果面“3”是上面，面“5”是后面，则右面是（填0或或x或y）；(3)图1中，点P为所在棱的中点，在图2中找到点P的位置，并直接写出图2中的面积．题型四：点、线、面、体之间的关系典型例题例题1．（2022秋·广东佛山·七年级校考阶段练习）下布现象，既说明“点动成线”的是（

）A．汽车雨刷在挡风琉璃上刷出的痕迹B．流星划过夜空留下的痕迹C．酒店旋转门运动的痕迹D．在桌面上快速转动一个硬币形成的痕迹例题2．（2022秋·山东济南·七年级统考期中）国扇文化有深厚的文化底蕴，历来中国有“制扇之国”之称，打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为____．例题3．（2022秋·江苏·七年级专题练习）飞机表演“飞机拉线”时，我们用数学的知识可解释为点动成线.用数学知识解释下列现象：(1)流星从空中划过留下的痕迹可解释为______；(2)自行车的辐条运动可解释为_____；(3)一只蚂蚁行走的路线可解释为_____；(4)打开折扇得到扇面可解释为_____；(5)一个圆面沿着它的一条直径旋转一周成球可解释为____.例题4．（2022秋·七年级课时练习）如图①、②、③、④四个图形都是平面图形，观察图②和表中对应数值，探究计数的方法并解答下面的问题．(1)数一数每个图各有多少顶点、多少条边、这些边围成多少区域，将结果填入下表：图形①②③④顶点数()边数()区域数()(2)根据表中的数值，写出平面图的顶点数、边数、区域数之间的关系；(3)如果一个平面图形有20个顶点和11个区域，求这个平面图形的边数．同类题型归类练1．（2022秋·全国·七年级专题练习）夜晚时，我们看到的流星划过属于（

）A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上答案都不对2．（2022秋·全国·七年级专题练习）一个棱柱的面数为14，棱数是36，则其顶点数为________．3．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图，某银行大堂的旋转门内部由三块宽为2m、高为3m的玻璃隔板组成．(1)将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是圆柱．这能说明的事实___________（选择正确的一项填入）．A．点动成线

B．线动成面

C．面动成体(2)求该旋转门旋转一周形成的几何体的体积．（边框及衔接处忽略不计，结果保留）题型五：平面图形旋转后得到立体图形典型例题例题1．（2023·全国·九年级专题练习）（11·曲靖）将如图所示的两个平面图形绕轴旋转一周，对其所得的立体图形，下列说法正确的是（

）A．主视图相同B．左视图相同C．俯视图相同D．三种视图都不相同例题2．（2022秋·七年级课时练习）如图是平面图形绕虚线l旋转一周得到的，则该旋转图形的是…（）A． B． C． D．例题3．（2022秋·山东淄博·七年级统考期中）如图①，把一张长8厘米、宽4厘米的长方形纸板分成甲、乙两个相同的直角三角形．(1)将甲三角形绕轴（如图②）旋转一周，可以形成一个怎样的几何体?它的体积是多少立方厘米（π取3.14）(2)将乙三角形绕轴（如图③）旋转一周形成一个几何体，求该几何体的体积．例题4．（2022秋·七年级单元测试）探究：有一长6，宽4的矩形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴，旋转180°，得到一个圆柱，现可按照两种方案进行操作：方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图①；方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图②．(1)请通过计算说明哪种方法构造的圆柱体积大；(2)若将此长方形绕着它的其中一条边所在的直线为轴旋转360°，则得到的圆柱体积为多少？同类题型归类练1．（2023秋·广东深圳·七年级深圳市福永中学校考阶段练习）将如图所示的直角三角形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（）A． B． C． D．2．（2023秋·河南郑州·七年级校考阶段练习）如图所示，已知直角三角形纸板ABC，直角边，．将直角三角形纸板绕三角形的边所在的直线旋转一周，能得到______种大小不同的几何体？分别计算绕三角形直角边所在的直线旋转一周，得到的几何体的体积？圆锥的体积，其中取3．（2022秋·山东青岛·六年级统考期中）点动成线，线动成面，面动成体，如图，长方形的长，宽，若将长方形绕边所在直线旋转一周，请你解答下列问题：(1)得到的几何体的名称是______；(2)求得到的几何体的侧面积和体积．4．（2022秋·陕西西安·七年级统考期中）已知长方形的长为5cm，宽为4cm，将其绕它的一边所在的直线旋转一周，得到一个立体图形．（1）得到的几何图形的名称为，这个现象用数学知识解释为．（2）求此几何体的表面积；(结果保留π)（3）求此几何体的体积．(结果保留π)5．（2022秋·七年级课时练习）如图，将一个长方形沿它的长或宽所在的直线旋转一周，回答下列问题：（1）得到什么几何体？（2）长方形的长和宽分别为6cm和4cm，分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到不同的几何体，它们的体积分别为多少？（结果保留）题型六：截一个几何体典型例题例题1．（2023秋·陕西西安·七年级西安市远东一中校考阶段练习）用一平面截一个正方体，不能得到的截面形状是（）A．等边三角形 B．长方形 C．六边形 D．七边形例题2．（2023秋·辽宁铁岭·七年级校考期末）如图所示，用经过、、三点的平面截去正方体的一角，变成一个新的多面体，这个多面体的面数是A．8 B．7 C．6 D．5例题3．（2022·全国·七年级假期作业）如图，将图①中的正方体切去一块，可得到如图②所示的几何体．若正方体的棱长为1，则图②中几何体的表面积为______．例题4．（2022春·贵州铜仁·九年级统考学业考试）如图①，已知正方体的棱长为4cm，，，分别是，，的中点，截面将这个正方体切去一个角后得到一个新的几何体（如图②），则图②中阴影部分的面积为_______cm2．同类题型归类练1．（2023秋·辽宁沈阳·七年级沈阳市第一三四中学校考阶段练习）如图所示的一块长方体木头，想象沿虚线所示位置截下去所得到的截面图形是(

)A． B． C． D．2．（2022秋·陕西宝鸡·七年级校考期中）如图，用平面截一个几何体，该几何体的截面形状是（

）A． B． C． D．3．（2022秋·七年级课时练习）如图所示，观察下列图形，在横线上写出几何体的名称及截面形状.（1）①的名称是________，截面形状________；（2）②的名称是________，截面形状是________；（3）③的名称是________，截面形状是________；（4）④的名称是________，截面形状是________；4．（2022秋·全国·七年级专题练习）我们知道，三棱柱的上、下底面都是三角形，那么正三棱柱的上、下底面都是等边三角形．如图，大正三棱柱的底面周长为10，截取一个底面周长为3的小正三棱柱．(1)请写出截面的形状；(2)请直接写出四边形DECB的周长．题型七：用七巧板拼图问题典型例题例题1．（2022秋·山东威海·七年级校联考阶段练习）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，用如图1所示的七巧板拼图2所示的平行四边形和长方形，下列说法正确的是（

）A．能拼成平行四边形，不能拼成长方形B．能拼成长方形，不能拼成平行四边形C．既能拼成长方形，也能拼成平行四边形D．既不能拼成长方形，也不能拼成平行四边形例题2．（2022秋·全国·七年级期末）七巧板是由可以错综分合的几何图案演化而来，它是一种拼板玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧，如图1，将一块正方形薄板分为7块，其中包括5块大小不等的三角形，1块正方形和1块平行四边形，图2是由图1拼成的风车形状，则下列等式错误的是（

）A． B． C． D．例题3．（2022秋·山东烟台·七年级统考期中）将一张边长为8cm的正方形纸片经过折叠、打开、画线得到如图1所示一副七巧板，再将图1沿实线分割，拼成如图2所示一个“家”的图形，该图形中的小正方形（阴影部分）的面积为___________cm2．例题4．（2022春·山东青岛·七年级校考期末）如图，把一副七巧板按如图进行1~7编号，1~7号分别对应着七巧板的七块，如果编号5对应的面积等于，则由这幅七巧板拼得的“房子”中阴影部分的面积等于______．例题5．（2022春·浙江金华·八年级校考阶段练习）七巧板是我国著名的拼图玩具，从宋代“燕几图”演变而来，距今有3000多年历史．已知一副七巧板（左图）的总面积为36cm2，现用这副七巧板如右图摆放，则图中“箭头”的面积是______cm2同类题型归类练1．（2023·江西·九年级专题练习）沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为__________．2．（2022秋·浙江·七年级专题练习）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被西方人誉为“东方魔板”．小林将图1的一副七巧板拼成图2的“衣服”（阴影部分），并将它放入方格图中，方格图中的小正方形边长为1，则这件“衣服”的周长为____（取1.4）．3．（2022春·湖南株洲·九年级校考期中）如图，有一块边长为的正方形厚纸板，做成如图①所示的一套七巧板（点为正方形纸板对角线的交点，点、分别为、的中点，∥，∥），将图①所示七巧板拼成如图②所示的“鱼形”，则“鱼尾”的长为______．4．（2022秋·河南周口·九年级校考阶段练习）巧板又称七巧图、智慧板，是中国民间流传的智力玩具，它是由等腰直角三角形，正方形和平行四边形组成的．如图，若图形“4”的小正方形的边长为，则整个七巧板所组成的大正方形的面积为__________．5．（2022春·北京·七年级北京市第一六一中学校考期末）“四巧板”又称T字之迷，是一种类似七巧板的传统智力玩具．“四巧板”由一块长方形（拼图中的大写“一“字）分解的4块不规则形状组成．其中有大小不同的直角梯形各一块，等腰直角三角形一块，凹五边形一块．这几个多边形的内角除了有直角外，还有45°、135°和270°的角．如图是一副“四巧板”：请你用这四块图形拼成如图所示的“箭头”式样（示意图），只需在“箭头”中画出分割线，并写出相应的图形编号．

四巧板题型八：直线、射线、线段典型例题例题1．（2023秋·山东聊城·七年级校考期末）如图图中有条直线，条射线，条线段，则的值等于______．例题2．（2023春·七年级单元测试）如图，点在的一边上．按下列要求画图：(1)过点画直线，与的另一边相交于点；(2)过点画的垂线段，垂足为点；(3)过点画直线，交直线于点；例题3．（2022秋·陕西延安·七年级统考期末）如图，已知线段上有两个定点，．(1)图中共有_____条线段．(2)若在线段增加一点，则增加了_____________条线段．(3)现有一列往返于，两地的火车，中途停靠4个站．问：①有____________种票价；②要准备____________种车票．(4)已知，两地之间相距，在，所在的公路(看成直线)有一处，且与之间的距离为，在，两地的正中间，求与地之间的距离．同类题型归类练1．（2023秋·吉林长春·七年级校联考期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点都称为格点，点A、B、C都在格点上．(1)画射线；(2)找一格点D，使得直线，画出直线；(3)找一格点E，使得直线于点H，画出直线，并注明垂足H．2．（2023秋·吉林长春·七年级长春市实验中学校考期末）如图，在同一平面内有4个点A、B、C、D，请按要求完成下列问题.（此题作图不要求写出画法和结论）（1）连接线段AB、线段AD；（2）作直线BD、射线AC，两线相交于点O；（3）我们容易判断出线段AB+AD与BD的数量关系是，理由是.3．（2023秋·甘肃武威·七年级校考期末）如图,已知四点A、B、C、D,用圆规和无刻度的直尺，按下列要求与步骤画出图形:(1)画直线AB；(2)画射线DC；(3)延长线段DA至点E,使AE=AB(保留作图痕迹)．4．（2022秋·湖北黄石·七年级校考期末）如图，已知点A为线段上的一点．(1)根据要求画出图形（不要求写作法）：延长至点D，使；反向延长至点E，使；(2)如果，求的长5．（2022秋·安徽滁州·七年级校考阶段练习）如图，线段上的点数与线段的总数有如下关系：如果线段上有三个点时，线段总共有3条，如果线段上有4个点时，线段总数有6条，如果线段上有5个点时，线段总数共有条，…(1)当线段上有6个点时，线段总数共有条；(2)当线段上有n个点时，线段总数共有多少条？题型九：两点确定一条直线典型例题例题1．（2023秋·山东临沂·七年级临沂实验中学校考期末）下列说法中：其中正确的有（）①；②若，则是线段的中点；③两点之间所有连线中，直线最短；④两点确定一条直线．A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①④例题2．（2023秋·山东滨州·七年级校考期末）如图，经过创平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（）A．两点确定一条直线B．两点之间线段最短C．垂线段最短D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直例题3．（2022秋·全国·七年级期末）如图，已知四条线段，，，中的一条与挡板另一侧的线段在同一直线上，请借助直尺判断该线段是（）A． B． C． D．例题4．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图1，经过平面上的两个点可以画一条直线，如图2，图3，经过平面上三个点中任意两个点画直线，一共可以画一条或三条直线．那么经过平面上四个点中任意两个点画直线，一共可以画几条直线？请画图说明．例题5．（2022秋·广东梅州·七年级校考阶段练习）基本事实：已知过两点可以画一条直线，我们得到了一个基本事实，若平面内有不在同一直线上的个点，过其中任意两点，一共可以画条直线；类比：如图，已知，在的内部画射线，则图中共有个角；图1实践应用：年月日，沪苏通铁路正式通车，加快了长三角交通一体化建设，沪苏通铁路衔接南通和上海，并在沿途增设张家港、常熟、太仓三个停靠站，如图．若一动车往返于上海与南通之间，已知各站之间的路程均不相等．则共有____种不同的票价．(不考虑座位等级等其它因素)图2同类题型归类练1．（2023·河北·九年级专题练习）如图，已知四条线段，，，中的一条与挡板另一侧的线段在同一直线上，请借助直尺判断该线段是（

）A． B．C． D．2．（2022秋·天津·七年级天津市第二十一中学校考期末）下列说法中，正确的有（

）①直线与直线不是同一条直线；②若，则点为线段的中点；③两点确定一条直线；④两条射线组成的图形叫做角．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个3．（2022秋·七年级课时练习）下列说法错误的是（

）A．如图（1），建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这种做法用几何知识解释是：两点确定一条直线．B．如图（2），将甲，乙两把尺子拼在一起，两端重合，如果甲尺经校定是直的，那么乙尺不是直的，判断依据是：经过两点有且只有一条直线．C．如图（3），要测量两堵围墙形成的的度数，但人不能进入围墙，可先延长得到，然后测量的度数，再计算出的度数，其中依据的原理是：等角的余角相等．D．如图（4），从小明家到学校原有三条路线：路线①；路线②；路线③，后又开通了一条直道，路线④，这四条路线中路线④路程最短，其中依据的原理是：两点之间线段最短．4．（2022秋·江西宜春·七年级统考期末）如图，在利用量角器画一个40°的的过程中，对于先找点B，再画射线OB这一步骤的画图依据是______．题型十：线段的和与差典型例题例题1．（2023秋·江苏南京·八年级统考期中）如图，、相交于点，且．、是上两点，．若，，，则的长为（

）A． B． C． D．例题2．（2023秋·吉林长春·七年级长春市实验中学校考期末）如图，点、在线段上，，若，则______．例题3．（2023·河北·九年级专题练习）、、、四个车站的位置如图所示．（1）、两站的距离为_____；（2）若，为的中点，=______．同类题型归类练1．（2023秋·吉林长春·七年级长春市实验中学校考期末）如图，点B是线段AC上一点，且，．(1)求线段AC的长．(2)若点O是线段AC的中点，求线段OB的长．2．（2023秋·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，C为线段上一点，，点F、E分别为线段、的中点，．求的长和的长．3．（2023秋·山东临沂·七年级临沂实验中学校考期末）如图，线段AB＝10cm，C是线段AB上一点，AC＝4cm，M是AB的中点，N是AC的中点．求：(1)线段CM的长；(2)求线段MN的长．题型十一：线段的中点问题典型例题例题1．（2023秋·辽宁铁岭·七年级校考期末）如图，线段，点是线段上一点，点、分别是的中点，则的长为_____cm．例题2．（2023秋·全国·七年级专题练习）数轴上点表示的数是，点表示的数是，则、两点的距离是__________，、两点的中点是__________．若，，那么、两点的中点是_________．例题3．（2023秋·全国·七年级专题练习）已知，是数轴上两点，点在原点左侧且距原点20个单位，点在原点右侧且距原点100个单位．（1）点表示的数是：_______；点表示的数是：_______．（2），两点间的距离是_______个单位，线段中点表示的数是_______．例题4．（2022秋·湖北武汉·七年级校考期末）线段和数轴上运动，开始时与原点重合，且．(1)若，且为线段的中点，求线段的长．(2)在（1）的条件下，线段AB和CD同时开始向右运动，线段的速度为5个单位/秒，线段的速度为3个单位/秒，经过秒恰好有，求的值．(3)在（1）的条件下，若线段和同时开始向左匀速运动，线段的速度为个单位/秒，线段的速度为个单位/秒，设为线段中点，为线段中点，此时线段的长为定值吗？若是请求出这个定值，若不是请说明理由．例题5．（2022秋·辽宁沈阳·七年级统考期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律．(1)【特例感知】若数轴上点，点表示的数分别为8，，则两点之间的距离为_____________，线段的中点表示的数为_____________；(2)若数轴上点，点表示的数分别为，．【分类讨论】若，则两点之间的距离为：；若，则两点之间的距离为：；若，则两点之间的距离为：_____________；【类比探究】线段的中点表示的数为_____________；(3)【综合运用】若数轴上点，点表示的数分别为8，，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，同时点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当相遇时，停止运动，设运动时间为秒（），点在运动过程中，两点之间的距离为_____________；（用含的代数式表示）若点为的中点，点为的中点，线段的长度为_____________．（用含的代数式表示）同类题型归类练1．（2023秋·吉林长春·七年级校联考期末）如图，点D是线段AB的中点，C是线段AD的中点，若AB＝8cm，则CD＝___cm．2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，点，，在数轴上对应的数分别为，1，9．它们分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左做匀速运动，设同时运动的时间为秒．若，，三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点，则的值为______．3．（2023秋·全国·七年级专题练习）如图，数轴上有A，B两点，OA＝16，点B所表示的数为20，AC＝6AB．(1)求点C所表示的数．(2)动点P，Q分别自A，B两点同时出发，均以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点E为线段CP的中点，点F为线段CQ的中点，求出线段EF的长．4．（2022秋·陕西西安·七年级西安市铁一中学校考期末）（1）如图，已知点在线段上，且，，点、分别是，的中点，求线段的长度．解：（1）∵，点是______的中点∴_____∵，点是的中点∴______∴______∴线段的长度为6cm（2）若点是线段上任意一点，且，，点、分别是，的中点，求；（用、的代数式表示）题型十二：与线段有关的动点问题典型例题例题1．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图，数轴上的点和点分别表示0和10，点是线段上一动点.点沿以每秒2个单位的速度往返运动1次，是线段的中点，设点运动时间为秒（不超过10秒）.若点在运动过程中，当时，则运动时间的值为（

）A．秒或秒 B．秒或秒或或秒C．3秒或7秒 D．3秒或或7秒或秒例题2．（2022秋·安徽蚌埠·七年级校考阶段练习）已知线段，点是射线上的一个动点，点是线段的中点，点是线段的中点．当时，的长为___________．例题3．（2022秋·七年级课时练习）如图，为线段上一点，，比BC的多5，，两点分别从，两点同时出发，分别以3个单位/秒和1.5个单位/秒的速度在射线上沿方向运动，运动时间为秒，为的中点，为的中点，以下结论：①；②；③当时，．其中正确的结论是________．同类题型归类练1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，已知在一张纸条上画有一条数轴．（1）沿过原点且垂直于数轴的直线折叠纸条，则表示－3的点与表示___________的点重合；（2）为数轴上一点，沿过点且垂直于数轴的直线折叠纸条，当表示－3的点与表示1的点重合时，①点所表示的数为__________；②若数轴上的，两点也同时重合，且，求点所表示的数．2．（2022秋·七年级课时练习）如图1，已知线段，点M是线段上一点，点C在线段上，点D在线段上，C、D两点分别从M、B出发以的速度沿直线运动，运动方向如箭头所示，其中a、b满足条件：．(1)直接写出：____________，_____________；(2)若，当点C、D运动了，求的值；(3)如图2，若，点N是直线上一点，且，求与的数量关系．3．（2022秋·全国·七年级专题练习）线段AB＝16，C，D是线段AB上的两个动点（点C在点D的左侧），且CD＝2，E为BC的中点．(1)如图1，当AC＝4时，求DE的长．(2)如图2，F为AD的中点．点C，D在线段AB上移动的过程中，线段EF的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请求出EF的长．4．（2022秋·浙江·七年级专题练习）如图，直线AB上有一点P，点M，N分别为线段PA，PB的中点，AB＝14．(1)若点P在线段AB上，且AP＝8，求线段MN的长度；(2)若点P在直线AB上运动，设AP＝x，BP＝y，请分别计算下面情况时MN的长度：①当P在AB之间；②当P在A左边；③当P在B右边；你发现了什么规律？5．（2022秋·全国·七年级专题练习）已知：数轴上点、、表示的数分别为、、，点为原点，且、、满足．(1)直接写出、、的值；(2)如图1，若点从点出发以每秒1个单位的速度向右运动，点从点出发以每秒3个单位的速度向右运动，点从点出发以每秒2个单位的速度向右运动，点、、同时出发，设运动的时间为秒，为何值时，点到点、的距离相等；(3)如图2，若点从点出发以每秒1个单位的速度向左运动，点从点出发以每秒3个单位的速度向左运动，点，同时出发开始运动，点为数轴上的一个动点，且点始终为线段的中点，设运动时间为秒，若点到线段的中点的距离为3时，求的值．题型十三：两点之间线段最短典型例题例题1．（2022秋·河北石家庄·七年级石家庄市第四十一中学校考期末）如图，小明从家到学校有三条路可走，路程最短的是道路②，其理由是（

）A．两点确定一条直线 B．两点之间，直线最短C．垂线段最短 D．连接两点的所有直线，线段最短例题2．（2022秋·北京·七年级校考阶段练习）如图，将五边形沿虚线裁去一个角得到六边形，则该六边形的周长一定比原五边形的周长小，理由为______．例题3．（2023春·七年级单元测试）如图，汽车站、码头分别位于两点，直线和波浪线分别表示公路与河流．(1)从汽车站到码头怎样走最近？画出最近路线，并说明理由；(2)从码头到公路怎样走最近？画出最近路线，并说明理由．例题4．（2023秋·山东临沂·八年级郯城县实验中学校考期末）如图，在中，，分别以点、为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于，，作直线，为的中点，为直线上任意一点．若，面积为10，则长度的最小值为（）A． B．3 C．4 D．5例题5．（2022秋·湖北省直辖县级单位·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，的面积是16，边的垂直平分线分别交，边于点，．若点D为边的中点，点为线段EF上一动点，则周长的最小值为_____．同类题型归类练1．（2022秋·北京通州·七年级统考期末）如图，在一条直线公路的异侧有两个村庄、，现在想在公路上选一点向两个村庄、铺设线路管道，使得点到村庄、的距离之和最短，下面有四种画法，其中符合题意的画法是____．（只填序号）2．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图，已知直线和直线外三点A，B，C，按下列要求画图：(1)画射线；(2)连接，并延长至D，使得；(3)在直线上确定点E，使得最小．3．（2022秋·江苏苏州·八年级校考期中）如图，以一边为直角边构造，且，，，．(1)求证：为直角三角形．(2)若点P为上一动点，连接，，求最小值．题型十四：两点间的距离典型例题例题1．（2022秋·北京房山·七年级统考期末）已知点，在直线上，，若点是直线上一点，且，则的长为（）A．7 B．3 C．7或3 D．2或3例题2．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图，把一根绳子对折成线段，上有一点P，已知，则这根绳子的长为________．例题3．（2022秋·江苏·七年级期末