第一章空间向量与立体几何知识归纳与题型突破（13类题型清单）（原卷版）

第一章空间向量与立体几何知识归纳与题型突破（题型清单）知识点1.空间向量(1)定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量．(2)模(或长度)：向量的大小．(3)表示方法：①几何表示法：可以用有向线段来直观的表示向量，如始点为A终点为B的向量，记为eq\o(AB,\s\up7(→))，模为|eq\o(AB,\s\up7(→))|．②字母表示法：可以用字母a，b，c，…表示，模为|a|，|b|，|c|，…．知识点2.几类特殊的向量(1)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作0．(2)单位向量：模等于1的向量称为单位向量．(3)相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量．(4)相反向量：方向相反，大小相等的向量称为相反向量．(5)平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相平行，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合．通常规定零向量与任意向量平行．注意：1.空间向量表示空间内具有大小和方向的量,平面向量表示平面内具有大小和方向的量,空

间向量是在平面向量基础上进一步学习的知识内容,它们的运算规律完全相同,空间向量的

相关定理及公式与平面向量类似,可以类比学习;2.在空间中,零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相对应的概念完全相同;3.由于向量是由其模和方向确定的,所以解答空间向量有关概念问题时,通常抓住这两点来解决;4.零向量是一个特殊向量,其方向是任意的,且与任何向量共线,这一点说明向量共线不具有传递性.知识点3.空间向量的加法、减法与数乘运算名称运算法则特点图示加法运算三角形法则收尾相接收尾连（通过平移）平行四边形法则起点相同（共起点）（通过平移）减法运算平行四边形法则起点相同连终点，被减向量定指向。数乘运算实数λ的作用：正负定方向，数值定模比知识点4.空间向量的加法和数乘的运算律（1）加法交换律：（2）加法结合律：（3）数乘运算律：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μv；③λ(a＋b)＝λa＋λb；知识点5.共线向量及共线向量定理1.共线向量或平行向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫作共线向量或平行向量.向量a与b平行，记作a//b.规定，零向量与任意向量共线.2.共线向量定理对空间任意两个向量a，b（a≠0），b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b=λa.知识点6.空间向量的线性运算的理解类似于平面向量，可以定义空间向量的加法、减法及数乘运算．图1图2(1)如图1，eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋b，eq\o(CA,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))＝a－b．(2)如图2，eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→))＋eq\o(DD1,\s\up7(→))＝eq\o(DB1,\s\up7(→))．即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的对角线所表示的向量．(3)给定一个实数λ与任意一个空间向量a，则实数λ与空间向量a相乘的运算称为数乘向量，记作λa．其中：①当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向：(ⅰ)当λ＞0时，与a的方向相同；(ⅱ)当λ＜0时，与a的方向相反．②当λ＝0或a＝0时，λa＝0．知识点7.空间两个向量的夹角夹角定义a,b是空间两个向量，过空间任意一点O，作OA=a，OB=b,∠AOB=θ（0≤θ≤π）叫做向量a,图示 表示〈a,b〉.范围[0,π]2.空间两个向量的关系（1）若〈a,b〉=0,则向量a,b方向相同;（2）若〈a,b〉=π,则向量a,b方向相反;（3）若〈a,b〉=π2,则向量a,b互相垂直，记作a⊥知识点8.空间两个向量的数量积空间向量的数量积的定义定义已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos〈a,b〉

叫做a,b的数量积,记作

a·b

.即a·b=|a||b|cos〈a,b〉.规定零向量与任意向量的数量积为0

2.空间向量数量积的运算律交换律a·b=

b·a

结合律(λa)·b=⑩

λ(a·b)

,λ∈R分配律a·(b+c)=

a·b+a·c

3.空间向量数量积的性质=1\*GB3①若a,b为非零向量,则a⊥b⇔

a·b=0

;=2\*GB3②若a,b同向，a·b=|a||b|；若a,b反向，a·b=|a||b|；特别的，a·a=|a|2，或|a|=a2=3\*GB3③若θ为a,b的夹角，则cosθ=a=4\*GB3④|a·b|≤|a||b|4.与数量积有关的2个易错点①两个向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零.②向量数量积的运算不满足消去律和乘法的结合律，即ab=ac⟹b=c，（a·b）·c=a·（b·c）都不成立.知识点9.向量的投影（1）向量在向量上的投影向量①定义：对于空间任意两个非零向量a，b，设向量OA=a，OB=b，如图，过点A作AA1⊥0B，垂足为A1.上述由向量a得到向量OA1的变换称为向量a向向量b投影，向量OA1称为向量②几何意义：向量a，b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积，即a·b=OA（2）向量在平面上的投影向量①定义：设向量m=CD，过C，D分别作平面α的垂线，垂足分别为C1，D1，得向量C1D1.我们将上述由向量m得到向量C1D1的变换称为向量m向平面②几何意义：空间向量m，n的数量积就是向量m在平面α上的投影向量与向量n的数量积，即m∙n=C1知识点10.共面向量及共面向量定理1.一般地，能平移到同一平面内的向量叫作共面向量.2.如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组（x，y），使得p=xa+yb,即向量p可以由两个不共线的向量a，b线性表示。知识点11.空间四点共面的条件已知OA，OB，OC不共面，若OP=xOA+yOB+zOC，且x+y+z=1，则P，A，B，C四点共面.注意：共面向量不仅包括在同一个平面内的向量，还包括平行于同一平面的向量.（2）空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面了.知识点12.空间向量的基本定理空间向量基本定理如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使p=xe1+ye2+ze3基底和基向量如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么空间的每一个向量都可由向量e1，e2，e3线性表示，我们把{e1，e2，e3}称为空间的一个基底，e1，e2，e3叫作基向量.知识点13.正交基底和单位正交基底正交基底如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底单位正交基底当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i,j,k}表示推论:设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得OP=xOA+yOB知识点14.空间直角坐标系1.定义：如图，在空间选定一点0和一个单位正交基底{i，j，k}以0为原点，分别以i，j，k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫作坐标轴，这是我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz。其中点O叫作坐标原点，x轴、y轴、z轴叫作坐标轴，三条坐标轴中的每两条确定一个坐标平面，分别叫作xoy平面、yoz平面和xoz平面。2.右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。知识点15.空间直角坐标系中点的坐标定义：对于空间任意一点A，作点A在三条坐标轴上的射影，即通过点A作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴和z轴分别交于P，Q，R，点P，Q，R在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，我们把有序实数组（x，y，z）叫作A点的坐标，记为A（x，y，z）。其中x，y，z分别叫作点A的横坐标，纵坐标，竖坐标。在空间直角坐标系Oxyx中，对于空间任意一个向量a，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（a1，a2，a3），使a=a1i＋a2j＋a3x，有序实数组（a1，a2，a3）叫作向量a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，记作a=（a1，a2，a3）.知识点16.空间向量的坐标运算1.空间向量的坐标运算（1）设a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），则①a+b=（x1+x2，y1+y2，z1+z2）②ab=（x1x2，y1y2，z1z2）③λa=（λx1，λy1，λz1）(a∈R).=4\*GB3④若u，v是两个实数，ua＋vb＝(ux1＋vx2，uy1＋vy2，uz1＋vz2)；=5\*GB3⑤a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2；=6\*GB3⑥|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)＋z\o\al(2,1))；=7\*GB3⑦当a≠0且b≠0时，cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)＋z\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)＋z\o\al(2,2)))．(2)设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则AB=OBOA=（x2x1，y2y1，z2z1）.即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.2.空间向量平行、垂直的坐标表示（1）已知空间向量a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），且a≠0，则a//b⟺b=λa⟺x2=λx1，y2=λy1，z2=λz1(λ∈R).(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0．3.空间向量坐标的应用(1)点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离OP＝eq\r(x2＋y2＋z2)．(2)任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离P1P2＝eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12)．知识点17.平面的法向量1.平面的法线与平面垂直的直线叫作平面的法线。由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，我们可以考虑用平面的垂线的方向来刻画平面的“方向”。2.平面的法向量：如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α，此时，我们把向量n叫作平面α的法向量.注意：平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量.（2）一个平面的法向量有无限多个，它们相互平行.3.平面法向量的性质（1）如果直线垂直于平面α，则直线l的任意一个方向都是平面α的一个法向量.（2）如果n是平面α的一个法向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λn也是平面α的一个法向量，而且平面α的任意两个法向量都平行（3）如果n为平面α的一个法向量，A为平面α上一个已知的点，则对于平面α上任意一点B，向量AB一定与向量n垂直，即AB∙n=0，从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定.知识点18.直线与平面、平面与平面的位置关系1.如果v是直线I的一个方向向量，n是平面α的一个法向量（1）n//v（2）n2.如果n1是平面α1的一个法向量，n2是平面α2的一个法向量：（1）n1⊥n2⟺α（2）n1//n2⟺α1//α2,或α3三垂线定理及其逆定理（1）射影已知空间中的平面α以及点A，过点A作α的垂线，设I与α相交于点A，则A'就是点A在平面α内的射影（称为投影）．空间中，图形F上，在平面内的所有点，所组成的集合F'称为图形F在平面α内的射影。（2）三垂线定理如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直。（3）三垂线定理的逆定理如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直则它也和这条斜线在平面内的射影垂直.知识点19.异面直线所成的角向量求法：若两异面直线l1,l2所成角为θ，它们的方向向量分别为u1,u22.范围：（0,π2]知识点20.直线与平面的夹角1.直线与平面垂直：直线与平面的夹角为90°.2.直线与平面平行或在平面内：直线与平面的夹角为0°.3.斜线和平面所成的角：斜线和它在平面内的射影所成的角，叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）注：1.线线角、线面角的关系式：如图，AB⊥α，则图形θ，θ2.最小角定理：斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角.4.用空间向量求直线与平面的夹角1.定义：设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，直线与平面所成的角为θ，u与n的角为φ，则有sinθ=cosφ=u2.范围：[0,π2]知识点21．二面角的概念(1)半平面：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面．(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．棱为l，两个面分别为α，β的二面角的面，记作α­l­β，若A∈α，B∈β，则二面角也可以记作A­l­B，二面角的范围为[0，π]．(3)二面角的平面角：在二面角α­l­β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角α­l­β的平面角．（4）用空间向量求二面角的大小定义：如果n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，设α1与α2所成角的大小为θ．则θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉，sinθ＝sin〈n1，n2〉．条件平面α，β的法向量分别为u，v，α，β所构成的二面角的大小为θ，〈u，v〉＝φ图形关系θ＝φθ＝π－φ计算cosθ＝cosφcosθ＝－cosφ知识点22.两点间的距离1.两点间距离A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），|AB|=(2用向量表示两点间距离AB=(x1−x2,y知识点23.点到直线的距离定义：若P为直线l外一点，A是l上任意一点，在点P和直线l所确定的平面内，取一个与直线l垂直的向量n，则点P到直线l的距离为d==|PQ|=设e是直线l的方向向量，则点P到直线l的距离为d=|AP|sin<AP,e>知识点24.点到平面的距离定义：若P是平面α外一点，PQ⊥α，垂足为Q，A为平面α内任意一点，设n为平面α的法向量，点P到平面α的距离d=|AP知识点25.相互平行的直线与平面之间1.定义：当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离，2.公式：如果直线l与平面α平行，n是平面α的一个法向量，A、B分别是l上和α内的点，则直线l与平面α之间的距离为d＝eq\f(|\o(BA,\s\up7(→))·n|,|n|)．知识点26.相互平行的平面与平面之间的距离1.定义：当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离．2.公垂线段：一般地，与两个平行平面同时垂直的直线，称为这两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分，称为这两个平面的公垂线段．显然，两个平行平面之间的距离也等于它们的公垂线段的长.3.公式：如果平面α与平面β平行，n是平面β的一个法向量，A和B分别是平面α和平面β内的点，则平面α和平面β之间的距离为d＝eq\f(|\o(BA,\s\up7(→))·n|,|n|)．题型1空间向量的有关概念理解例题：【多选】（2324高二下·云南保山·开学考试）下列关于空间向量的命题中，不正确的是（

）A．长度相等、方向相同的两个向量是相等向量B．平行且模相等的两个向量是相等向量C．若，则D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同巩固训练1．【多选】（2324高二上·重庆·期中）下列命题中，是真命题的为（

）A．设，是两个空间向量，则B．若空间向量，满足，则C．若空间向量，，满足，，则D．在正方体中，必有2．（2324高二下·甘肃庆阳·期中）下列命题是真命题的是（

）A．空间向量就是空间中的一条有向线段B．不相等的两个空间向量的模必不相等C．任一向量与它的相反向量不相等D．向量与向量的长度相等3．（2324高二上·福建泉州·期中）在正方体中，与向量相反的向量是（

）A． B． C． D．4．（2324高二上·山西临汾·阶段练习）如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．

(1)单位向量共有多少个？(2)试写出与相等的所有向量．(3)试写出的相反向量．题型2空间向量的线性运算例题：（2122高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知四面体，是的中点，连接，则＝（）A． B． C． D．巩固训练1．（2324高二下·甘肃·期中）在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则（

）A． B． C． D．2．（2024高三·全国·专题练习）如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，则（）A． B． C． D．3．【多选】（2324高二下·甘肃白银·期中）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，为的中点，则（

）A． B．C． D．题型3空间向量的线性表示例题：（2324高二下·江苏徐州·期中）在四棱柱中，，，则（

）A． B．C． D．巩固训练1．（2324高二上·四川凉山·期中）在平行六面体中，，点P在线段上，且，则下列向量中与相等的向量是（

）A． B．C． D．2．（2324高二下·湖北孝感·期中）在三棱柱中，是的中点，，则（

）A． B．C． D．3．（2324高二上·湖北武汉·期中）如图，空间四边形中，，分别是边，上的点，且，，点是线段的中点，则以下向量表示正确的是（

）A． B．C． D．4．（2016高二·全国·课后作业）在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若,,，则用基底表示向量为（

）

A． B．C． D．题型4空间向量的基本定理及应用例题：【多选】（2324高二上·陕西宝鸡·期中）给出下列命题，其中正确的有（

）A．空间任意三个向量都可以作为一组基底B．已知向量，则、与任何向量都不能构成空间的一组基底C．、、、是空间四点，若、、不能构成空间的一组基底，则、、、共面D．已知是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底巩固训练1．【多选】（2324高二下·甘肃兰州·期中）已知空间向量，，不共面，则以下每组向量能做基底的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，2．（2324高二下·甘肃·期中）在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，若，，则用基底表示向量为（

）A． B．C． D．3．（2122高二上·江苏常州·期中）如图，在空间四边形中，是的重心，若，则.4．（2324高二下·上海浦东新·期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是，的中点，是的中点，若，则.题型5空间向量的共线问题例题：（2223高二下·江苏·课后作业）若空间非零向量不共线，则使与共线的k的值为.巩固训练1．（2023高一·全国·单元测试）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且三点共线，则实数k的值为．2．（2324高二上·北京·期中）已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（

）A．共线 B．共线C．共面 D．不共面3．（2324高二上·吉林延边·期中）已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（

）A．，3 B．，2 C．1，3 D．，24．【多选】（2324高二上·青海海南·期中）已知三棱柱，为空间内一点，若，其中，，则（

）A．若，则点在棱上 B．若，则点在线段上C．若，为棱的中点 D．若，则点在线段上题型6空间向量的共面问题例题：（2324高二下·江苏宿迁·期中）下列命题正确的是（

）A．若是空间任意四点，则有B．若表示向量的有向线段所在的直线为异面直线，则向量一定不共面C．若共线，则表示向量与的有向线段所在直线平行D．对空间任意一点与不共线的三点、、，若（其中、、），则、、、四点共面巩固训练1．【多选】（2324高二上·河南开封·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，2．（2223高二上·浙江杭州·期末）对于空间一点和不共线三点，且有，则（

）A．四点共面 B．四点共面C．四点共面 D．五点共面3．（1920高二·全国·课后作业）已知是不共面向量，，，，若，、三个向量共面，则实数．4．（2324高二上·四川成都·期中）已知向量，，，若，，共面，则（

）A．4 B．2 C．3 D．15．（2324高二上·江苏盐城·期末）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，若正实数满足，则的最小值为（

）A． B． C．2 D．4题型7空间向量的数量积问题例题：（2223高二上·湖南怀化·期末）如图，各棱长都为的四面体中，，则向量（

）A． B． C． D．巩固训练1．（2324高二下·江苏常州·期中）若，则（

）A．10 B．8 C． D．2．（2021高二下·四川凉山·期中）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（

）A．若且，则 B．C．若，且，则 D．3．【多选】（2324高二上·贵州铜仁·阶段练习）如图，在三棱锥中，，且，点是的中点，是上的一点，且，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．4．（2023高二·全国·专题练习）四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为.5．（2324高二上·山东德州·阶段练习）已知，则与夹角的余弦值为.6．（2324高二下·江苏连云港·期中）已知平行六面体中，，，，则（

）A． B． C． D．7．（2324高二上·天津南开·期中）已知向量，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是．8．（2324高二下·江苏宿迁·期中）已知空间单位向量，，两两垂直，则（

）A． B． C．3 D．69．（2324高二下·江苏淮安·期中）平行六面体中，，，，，则（

）A． B． C． D．题型8空间向量的坐标运算例题：（2122高二上·山西忻州·阶段练习）已知点、，C为线段AB上一点，若，则点C的坐标为．巩固训练1．【多选】（2324高二下·甘肃兰州·期中）已知四边形是平行四边形，，，，则（

）A．点的坐标是 B．C． D．四边形的面积是2．（2223高二上·河南郑州·期中）在空间直角坐标系中，，，，，点满足.(1)求点的坐标（用表示）；(2)若，求的值．3．（2324高二上·上海·期中）如图所示，以长方体的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为．题型9空间向量的对称问题例题：【多选】（2324高二上·河北石家庄·期中）在空间直角坐标系中，以下结论正确的是（

）A．点关于原点O的对称点的坐标为B．点关于y轴的对称点的坐标为C．点关于平面对称的点的坐标是D．点到平面的距离为1巩固训练1．（2324高二下·甘肃庆阳·期中）已知点，求：(1)点A在平面、x轴上的投影点的坐标；(2)求点A关于平面、x轴、原点的对称点的坐标.2．（2324高二上·安徽合肥·阶段练习）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（

）A． B． C． D．3．（2324高二上·上海徐汇·期中）已知，则的中点关于平面的对称点的坐标是4．（2324高二上·宁夏银川·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知点，则下列说法错误的是（

）A．点P关于坐标原点对称点的坐标为B．点P在x轴上的射影点的坐标为C．点P关于Oyz平面对称点的坐标为D．点P在Oyz平面上的射影点的坐标为题型10利用空间向量证明平行垂直例题：（2324高二下·江苏徐州·期中）在正方体中，下列关系正确的是（

）A． B． C． D．巩固训练1．（2324高二下·安徽亳州·期中）已知，分别是平面的法向量，若，则．2．（2122高二上·广东湛江·期中）如图，四棱锥中，底面是正方形，平面，过A点的截面分别交于点E，F，G，且，．下列结论正确的是（写出所有正确结论的编号）．①平面；②平面；③平面；④若，点A，B，C，D，E，F，G在同一球面上；⑤若，则四棱锥的体积为．3．（2021高二上·山东菏泽·阶段练习）如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点．(1)求证：平面；(2)求证：平面.4．（2023高三·全国·专题练习）如图，在三棱台中，，平面，，，，且D为中点.求证：平面；5．（2324高二上·安徽宿州·期中）如图所示，三棱柱中，分别是上的点，且，．用空间向量解决如下问题：

(1)若，证明：；(2)证明：平面．6．（2324高二上·浙江·期中）已知正三棱台中，，，、分别为、的中点.

(1)求该正三棱台的表面积；(2)求证：平面题型11利用空间向量计算空间角例题：（2324高二下·江苏淮安·期中）已知三棱锥中和所在平面互相垂直，求(1)与所成角的余弦值；(2)与平面所成角的正弦值；(3)直线上是否存在点使得二面角为，若存在求出BP的长，不存在说明理由.巩固训练1．（2324高二上·天津南开·期中）如图，平行六面体中，．(1)证明：；(2)求的长；(3)求直线与AC所成角的余弦值．2．（2324高三上·江苏扬州·期中）如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，BA＝BC＝