2024-2025学年华师版初中数学九年级（下）教学课件 27.2.3 切线（第1课时　切线的判定与性质）

第27

章圆27.2与圆有关的位置关系3.切线（第1课时切线的判定与性质）学习目标1.判定一条直线是否为圆的切线，并会过圆上一点作圆的切线.2.理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理.（重点）3.能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题.（难点）问题：下图中让你感受到了直线与圆的哪种位置关系？如何判断一条直线是否为切线呢？新课导入砂轮上打磨工件时飞出的火星.1.切线的判定定理知识讲解ABC问题：已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线？观察：（1）圆心O到直线AB的距离

与圆的半径有什么数量关系?（2）二者位置有什么关系？为什么？Ｏ经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.OA为⊙O的半径BC

⊥

OA于ABC为⊙O的切线ＯABC

1.切线的判定定理2.符号表示归纳：判断一条直线是一个圆的切线有三种方法：1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；3.判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.0lAlOlrd用三角尺过圆上一点画圆的切线.做一做

如下图所示，已知⊙O

上一点P，过点P画⊙O

的切线．画法：（1）如图，连结OP，将三角尺的直角顶点放在点P处，并使一直角边与半径OP

重合；为什么画出来的直线l是⊙O的切线呢？例1如图，直线AB经过⊙O上的点A，且AB＝OA，∠OBA＝45°，求证：直线AB是⊙O的切线.证明：∵AB＝OA，∠OBA＝45°,∴∠AOB＝∠OBA＝45°(等边对等角)∴AB⊥OA.∵

点Ａ在圆上∴直线AB是⊙O

的切线（经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线)）ABO●∴∠OAB＝180°－∠OBA－∠AOB＝90°,

已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.OBAC分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连结OC，只要证明AB⊥OC即可.

证明：连结OC.

∵OA＝OB,CA＝CB,

∴OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.

∴AB⊥OC.

∵

OC是⊙O的半径,∴AB是⊙O的切线.

练一练2.切线的性质定理问题：如图，如果直线l是⊙O

的切线，点A为切点，那么OA与l垂直吗？AlO如果直线l是⊙O

的切线，A是切点，那么直线l⊥OA.总结：切线的性质定理

圆的切线垂直于经过切点的半径．符号表示：如图，直线CD与⊙O相切，求证：⊙O的半径OA与直线CD垂直.证明：（1）假设AB与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于CD,垂足为M；（2）则OM<OA,即圆心到直线CD的距离小于⊙O的半径,因此,CD与⊙O相交.这与已知条件“直线与⊙O相切”相矛盾；CDBOA（3）所以⊙O的半径OA与直线CD垂直.M反证法证明切线的性质例2如图,△ABC

为等腰三角形，AB

＝AC

，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O

相切于点D.求证：AC

是⊙O的切线．BOCDA分析：根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OE是⊙O的半径就可以了，而OD是⊙O的半径，因此只需要证明OE=OD成立即可.E证明：如图，过点O作OE⊥AC,垂足为E,连结OD，OA,∵⊙O与AB相切于点E

，∴OD⊥AB.又∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点．∴AO平分∠BAC，EBOCDA∴OE＝OD，

即OE是⊙O半径.∴AC是⊙O的切线．随堂训练1.判断下列命题是否正确.

⑴

经过半径外端的直线是圆的切线.

⑵垂直于半径的直线是圆的切线.

⑶过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是

圆的切线.

⑷与圆只有一个公共点的直线是圆的切线.

⑸过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线.（）（）（）（

）（）××

CC5证明：连结OP.∵AB=AC,∴∠B=∠C.

∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，∴∠OPB=∠C.

∴OP∥AC.

∵PE⊥AC，∴PE⊥OP.

∴PE为⊙O的切线.5.如图,在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P，PE⊥AC于点E.

求证:PE是⊙O的切线.OABCEP课堂小结切线的判定方法定义法数量关系法判定定理1个公共点，则相切d=r，则相切经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线切线的性