甘肃省兰州市第五十八中学2022-2023学年高三上学期第一次模拟考试数学（理科）试题（解析版）

高考模拟试题PAGEPAGE1兰州市五十八中2022-2023学年度第一次模拟考试数学试卷（理科）第I卷（选择题）一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知全集U＝{x∈Z|0<x<8}，集合M＝{2,3,5}，N＝{x|x2－8x＋12＝0}，则集合{1,4,7}为()A.M∩(∁UN) B.∁U(M∩N)C.∁U(M∪N) D.(∁UM)∩N〖答案〗C〖解析〗〖详析〗由N中方程解得：x=2或x=6,即N={2,6}，∵全集U={x∈Z|0<x<8}={1,2,3,4,5,6,7},M={2,3,5}，∴M∪N={2,3,5,6}，则M∩(∁UN)={1,2,3,4,5,7};∁U(M∩N)={1,3,4,5,6,7};∁U(M∪N)={1,4,7};(∁UM)∩N={2,6}，故选C.『点石成金』：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2.若是虚数单位，则复数的实部与虚部之积为A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖详析〗由复数的运算法则有：，则实部和虚部之积为.本题选择B选项.3.直线与平行,则（）A. B.2 C.或2 D.0或1〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根据两条直线平行的条件列方程，由此解出的值，排除两条直线重合的情况，由此得出正确选项.〖详析〗由于两条直线平行，所以，解得或，当时，两条直线方程都为，即两条直线重合，不符合题意，故，所以本小题选B.〖『点石成金』〗本小题主要考查两条直线平行求参数，考查两条直线重合，属于基础题.4.已知m，n是直线，α是平面，且m∥α，则下列结论中正确是（）A.∀n⊂α，都有m∥n B.∃n⊂α，使m⊥nC.∀n∥m，都有n∥α D.∃n⊥α，使m∥n〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根据线面位置关系逐一说明选项.〖详析〗若m∥α，n⊂α，则m，n平行或异面，所以A错误；若m∥α，则∃l⊂α，使m∥l,因此∃n⊂α，使l⊥n,即m⊥n，所以B正确；若m∥α，n∥m，则n∥α或n在α内，所以C错误；若m∥α，则∃l⊂α，使m∥l,因此若n⊥α，则l⊥n,即m⊥n，所以D错误；故选：B〖『点石成金』〗本题考查线线以及线面位置，考查空间想象能力以及基本判断能力，属基础题.5.等于（）A. B. C. D.1〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗由，观察可得，代入根据两角差的正弦定理展开整理即可得出〖答案〗.〖详析〗因为，所以.故选：C.6.关于的不等式组表示的平面区域的面积为A.3 B. C.2 D.〖答案〗C〖解析〗〖详析〗可行域为一个直角三角形ABC，其中所以面积为，选C.7.已知数列为各项均为正数的等比数列，是它的前项和，若，且，则（）A.29 B.30 C.31 D.32〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根据等比数列性质由求出，进而求出，求出公比，即可求出结论.〖详析〗,，设的公比为，，.故选:C.〖『点石成金』〗本题考查等比数列性质、等比数列通项基本量的运算，属于基础题.8.如图所示，在中，点在线段上，且，若，则（）A. B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗由向量的运算法则，化简得,再由，即可求得的值，即可求解.〖详析〗由向量的运算法则，可得,因为，所以，从而求得，故选:B．〖『点石成金』〗该题考查的是有关向量的基本定理，在解题的过程中，需要利用向量直角的关系，结合三角形法则，即可求得结果，属于基础题.9.已知函数，若对于任意的，都有成立，则的最小值为（）A.2 B.1 C.4 D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗由题意可知是函数的最小值,是函数的最大值,则的最小值就是函数的半周期.〖详析〗对任意的,成立,所以,,所以,又的周期,所以,故选:B.〖『点石成金』〗本题主要考查三角函数的性质运用,考查分析理解能力,难度不大10.从5名同学中选若干名分别到图书馆、食堂做志愿者，若每个地方至少去2名，则不同的安排方法共有（）A.20种 B.50种 C.80种 D.100种〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗分去4个人或5个人两种情况进行讨论.〖详析〗当去4个人时，则安排方法有种，当去5个人时，则安排方法有种，综上，不同的安排方法共有50种.故选：B.11.已知双曲线右焦点为，过且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，抛物线的焦点为，若为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根据，可得，根据离心率公式可得，又，可得.〖详析〗在抛物线中，，双曲线中，当时，，取．因为是锐角三角形，所以，则，即．因为双曲线中，所以，所以，解得，所以．因为，则，所以双曲线的离心率的取值范围是．故选：D．〖『点石成金』〗本题考查了抛物线的几何性质，考查了双曲线的离心率，属于基础题.12.已知是偶函数，在(－∞，0)上满足恒成立，则下列不等式成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗由题干条件得到时，，故在上单调递减，结合为偶函数，得到在上单调递增，从而判断出大小关系.〖详析〗时，即，∴在上单调递减，又为偶函数，∴在上单调递增．∴，∴.故选：A．第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把〖答案〗填在答题卡中的横线上．）13.直线与函数的图象恰有三个公共点，则实数的取值范围是_______.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗因为分段函数的分段点是含有参数的，所以需要将两个部分函数图象先行画出，并且画出的图象，然后平移，查看交点的个数，由此判断的取值范围即可.〖详析〗，即，解得，；时，解得，当时，直线与函数有一个交点，为处，不满足；当时，直线与函数有两个交点，为、处，不满足；当时，直线与函数有三个交点，为、、，满足；当，直线与函数有两个交点，为、，不满足；故的取值范围是.故〖答案〗为：14.已知向量，满足，，，则向量在向量上的投影为__________．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗由已知结合向量数量积的性质可求，然后代入到向量在向量上的投影公式可求．〖详析〗，，，，5，则向量在向量上的投影为1，故〖答案〗为﹣1．〖『点石成金』〗本题主要考查了平面向量数量积的性质的简单应用，熟练掌握基本性质是求解问题的关键．15.袋中装有3个红球2个白球，从中随机取球，每次一个，直到取得红球为止，则取球次数的数学期望为_____．〖答案〗##〖解析〗〖祥解〗根据题意，写出的所有可能值并求出每个值对应的概率，代入期望的计算公式即可求解.〖详析〗由题意得的所有可能值为1，2，3，，；，∴．故〖答案〗为：.16.数列的前项积为，那么当时，______．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗设数列的前项积为，则即可得解.〖详析〗解：设数列的前项积为，则，当时，．故〖答案〗为：三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.第23届冬季奥运会于2018年2月9日至2月25日在韩国平昌举行，期间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校教职工在冬季奥运会期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如下频数分布表：收看时间（单位：小时）收看人数143016282012（1）若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“体育达人”，否则定义为“非体育达人”，请根据频数分布表补全列联表：男女合计体育达人40非体育达人30合计并判断能否有90％的把握认为该校教职工是否为“体育达人”与“性别”有关；（2）在全校“体育达人”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“体育达人”中选取2名作冬奥会知识讲座.求抽取的这两人恰好是一男一女的概率.附表及公式：.〖答案〗（1）填表见〖解析〗；有90％的把握认为该校教职工是“体育达人”与“性别”有关；（2）.〖解析〗〖祥解〗(1)依题意完善列联表，计算卡方，再跟参考值相比较，即可判断；（2）记“抽取的这两人恰好是一男一女”为事件，则，计算可得；〖详析〗解:（1）由题意得下表：男女合计体育达人402060非体育达人303060合计7050120的观测值为.所以有90％的把握认为该校教职工是“体育达人”与“性别”有关.（2）由题意知抽取的6名“体育达人”中有4名男职工，2名女职工，记“抽取的这两人恰好是一男一女”为事件，.答：抽取这两人恰好是一男一女的概率为.〖『点石成金』〗本题考查独立性检验以及古典概型的概率计算，属于基础题.18.在直角梯形(如图1)，，，AD＝8，AB＝BC＝4，M为线段AD中点．将△ABC沿AC折起，使平面ABC⊥平面ACD，得到几何体B－ACD(如图2)．（1）求证：CD⊥平面ABC；（2）求AB与平面BCM所成角的正弦值．〖答案〗（1）证明见〖解析〗（2）〖解析〗〖祥解〗（1）先根据勾股定理得到，再根据面面垂直的性质定理可证CD⊥平面ABC；（2）取AC的中点O，连接OB，先证明两两垂直，再以为原点，OM、OC、OB所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用线面角的向量公式可求出结果.〖小问1详析〗由题设可知，，AD＝8，∴，∴CD⊥AC，又∵平面ABC⊥平面ACD，平面平面ACD＝AC，平面，∴CD⊥平面ABC．〖小问2详析〗取AC的中点O，连接OB，由题设可知△ABC为等腰直角三角形，所以，又因为平面ABC⊥平面ACD，平面平面ACD＝AC，平面，所以平面,连接OM，因为平面,所以，因为M、O分别为AD和AC的中点，所以，所以OM⊥AC，故以为原点，OM、OC、OB所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示：则，，，，∴，，，设平面BCM的一个法向量为，则，得，令，得，∴．所以AB与平面BCM所成角的正弦值为.19.已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an.（1）证明：数列{an＋an＋1}为等比数列；（2）若a1＝，a2＝，求{an}通项公式.〖答案〗（1）证明见〖解析〗（2）an＝×3n－1〖解析〗〖祥解〗（1）将an＋2＝2an＋1＋3an，变形为an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)，利用等比数列的定义证明；（2）由（1）得到an＋an＋1＝2×3n－1，再由an＋2＝2an＋1＋3an，得到an＋2－3an＋1＝－(an＋1－3an)，结合求解.〖小问1详析〗证明：因为an＋2＝2an＋1＋3an，所以an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)，因为{an}中各项均为正数，所以an＋1＋an＞0，所以＝3，所以数列{an＋an＋1}是公比为3的等比数列.〖小问2详析〗由题意及（1）知，an＋an＋1＝(a1＋a2)3n－1＝2×3n－1，因为an＋2＝2an＋1＋3an，所以an＋2－3an＋1＝－(an＋1－3an)，a2＝3a1，所以a2－3a1＝0，所以an＋1－3an＝0，故an＋1＝3an，所以4an＝2×3n－1，即an＝×3n－1.20.已知函数（1）若函数存在单调递减区间，求a的取值范围；（2）若函数在〖1,4〗上单调递减，求a取值范围.〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）由题意整理函数的函数〖解析〗式，明确定义域并求导，构造函数，将问题转化为不等式在闭区间有解问题，分情况讨论，利用二次函数的性质，可得〖答案〗；（2）由题意，将问题转化为不等式在闭区间上恒成立问题，利用分情况求最值，可得〖答案〗.〖小问1详析〗由，易知其定义域为，则，因为函数存在单调递减区间，所以在上有解，当时，不等式为，解得，则当时，不等式成立，符合题意；令，当时，函数为开口向下的二次函数，则在上必定有解，符合题意；当时，函数为开口向下的二次函数，其对称轴为直线，令，解得，即时，在上有解，符合题意；综上，.〖小问2详析〗由（1）可知，，令，由函数在〖1，4〗上单调递减，则在上恒成立，当时，由（1）可知，，解得，则函数在上单调递减，符合题意；当时，函数为开口向下的二次函数，其对称轴为直线，则函数在上单调递减，即，令，解得，符合题意；当时，函数为开口向上的二次函数，其对称轴为直线，①当，即时，则函数在上，令，解得，即当时，符合题意；②当，即时，则函数在上，令，解得，即当时，符合题意.综上，.21.已知，分别是椭圆的左、右焦点.（1）若P是第一象限内该椭圆上的一点，，求点P的坐标；（2）设过定点的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围.〖答案〗（1）；（2）.〖解析〗〖祥解〗（1）由题得，联立椭圆方程，解方程组即得解；（2）显然不满足题意，可设l的方程为，联立直线和椭圆方程得到韦达定理，由为锐角，得到，把韦达定理代入化简即得解.〖详析〗（1）因为椭圆方程为，所以，，，可得，，设（，），则，所以，联立解得，即.（2）显然不满足题意，可设l的方程为，，，联立，由，得.，.又为锐角，即，即，，，可得.又，即为，解得.〖『点石成金』〗关键点『点石成金』：解答本题的关键是由为锐角，联想到，再利用数量积的坐标运算和韦达定理得到关于的不等式，解不等式即得解.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．〖选修4-4：坐标系与参数方程〗22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以该直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）求直线l被曲线C截得的弦长是多少？〖答案〗（1），（2）8〖解析〗〖祥解〗（1）消去参数可得直线l的普通方程，根据公式，可得曲线C的直角坐标方程；（2）联立直线与抛物线方程，利用弦长公式可求出结果.〖小问1详析〗由消去参数t，得直线l的普通方程为．∵曲线C的极坐标方程为，即，将，代入得，即.∴曲线C的直角坐标方程为．〖小问2详析〗联立，得，，设直线l与抛物线C交于点，，则，，故直线l被曲线C截得的弦长为．〖选修4-5：不等式〗23.已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）若时不等式成立，求的取值范围.〖答案〗（1）；（2）．