湖南省岳阳县一中、汨罗市一中2025届高一上数学期末质量跟踪监视试题含解析

湖南省岳阳县一中、汨罗市一中2025届高一上数学期末质量跟踪监视试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．定义在上的函数满足，且当时，.若关于的方程在上至少有两个实数解，则实数的取值范围为A. B.C. D.2．若，则（）A.2 B.1C.0 D.3．如果角的终边在第二象限，则下列结论正确的是A. B.C. D.4．已知（）A. B.C. D.5．已知命题：，，那么命题为（）A.， B.，C.， D.，6．若，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.7．已知函数若则的值为（）.A. B.或4C. D.或48．在平面直角坐标系中,以为圆心的圆与轴和轴分别相切于两点,点分别在线段上,若,与圆相切,则的最小值为A. B.C. D.9．如下图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中①②与成角③与为异面直线④以上四个命题中，正确的序号是A.①②③ B.②④C.③④ D.②③④10．已知则当最小时的值时A.﹣3 B.3C.﹣1 D.1二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．设向量，若⊥，则实数的值为______12．设函数是以4为周期的周期函数，且时，，则__________13．某种候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究候鸟的专家发现，该种鸟类的飞行速度（单位：m/s）与其耗氧量之间的关系为（其中、是实数）．据统计，该种鸟类在耗氧量为80个单位时，其飞行速度为18m/s，则________；若这种候鸟飞行的速度不能低于60m/s，其耗氧量至少要________个单位.14．设函数在区间上的最大值和最小值分别为M、m，则___________.15．函数的定义域为______16．设函数，若关于x方程有且仅有6个不同的实根.则实数a的取值范围是_______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数定义域是，.（1）求函数的定义域；（2）若函数，求函数的最小值18．已知圆，直线，点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为.（Ⅰ）若，求点的坐标；（Ⅱ）求证：经过三点圆必过定点，并求出所有定点的坐标.19．已知函数是R上的奇函数.（1）求a的值，并判断的单调性；（2）若存在，使不等式成立，求实数b的取值范围.20．观察下列各等式：，，.（1）请选择其中的一个式子，求出a的值；（2）分析上述各式的特点，写出能反映一般规律的等式，并进行证明.21．计算（1）；（2）.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】原问题等价于函数与的图象至少有两个交点【详解】解：关于的方程在上至少有两个实数解，等价于函数与的图象至少有两个交点，因为函数满足，且当时，，所以当时，，时，，时，，所以的大致图象如图所示：因为表示恒过定点，斜率为的直线，所以要使两个函数图象至少有两个交点，由图可知只需，即，故选：C2、C【解析】根据正弦、余弦函数的有界性及，可得，，再根据同角三角函数的基本关系求出，即可得解；【详解】解：∵，，又∵，∴，，又∵，∴，∴，故选：C3、B【解析】由题意结合三角函数的性质确定所给结论是否正确即可.【详解】角的终边在第二象限，则，AC错误；，B正确；当时，，，D错误本题选择B选项.【点睛】本题主要考查三角函数符号，二倍角公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4、D【解析】利用诱导公式对式子进行化简，转化为特殊角的三角函数，即可得到答案；【详解】，故选：D5、B【解析】利用含有一个量词的命题的否定的定义判断.【详解】因为命题：，是全称量词命题，所以其否定是存在量词命题，即，，故选：B6、B【解析】对于ACD，举例判断即可，对于B，利用不等式的性质判断【详解】解：对于A，令，，满足，但，故A错误，对于B，∵，∴，故B正确，对于C，当时，，故C错误，对于D，令，，满足，而，故D错误.故选：B.7、B【解析】利用分段讨论进行求解.【详解】当时，，（舍）；当时，，或（舍）；当时，，；综上可得或.故选：B.【点睛】本题主要考查分段函数的求值问题，侧重考查分类讨论的意识.8、D【解析】因为为圆心的圆与轴和轴分别相切于两点,点分别在线段上,若,与圆相切，设切点为，所以，设，则，，故选D.考点：1、圆的几何性质；2、数形结合思想及三角函数求最值【方法点睛】本题主要考查圆的几何性质、数形结合思想及三角函数求最值，属于难题．求最值的常见方法有①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②三角函数法：将问题转化为三角函数，利用三角函数的有界性求最值；③不等式法：借助于基本不等式求函数的值域，用不等式法求值域时，要注意基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”；④单调性法：首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求凼数的值域，⑤图像法：画出函数图像，根据图像的最高和最低点求最值，本题主要应用方法②求的最小值的9、D【解析】由已知中正方体的平面展开图，得到正方体的直观图如上图所示：由正方体的几何特征可得：①不平行，不正确；

②AN∥BM，所以，CN与BM所成的角就是∠ANC=60°角，正确；③与不平行、不相交，故异面直线与为异面直线，正确；④易证，故，正确；故选D10、B【解析】由题目已知可得：当时，的值最小故选二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】∵，∴，，又⊥∴∴故答案为12、##0.5【解析】利用周期和分段函数的性质可得答案.【详解】，.故答案为：.13、①.6②.10240【解析】由初始值解出的值，然后令，可得出的取值范围，由此得出候鸟在飞行时速度不低于时的最低耗氧量.【详解】由题意，知，解得，所以，要使飞行速度不能低于，则有，即，即，解得，即，所以耗氧量至少要个单位.故答案为：6；10240【点睛】本题考查对数的应用，解题的关键就是要利用题中数据解出函数解析式，利用题意列出不等式进行求解.14、2【解析】，令，易得函数为奇函数，则，从而可得出答案.【详解】解：，令，因为，所以函数为奇函数，所以，即，所以，即.故答案为：2.15、【解析】由对数的真数大于零、二次根式的被开方数非负，分式的分母不为零，列不等式组可求得答案【详解】由题意得，解得，所以函数的定义域为，故答案为：16、或或【解析】作出函数的图象，设，分关于有两个不同的实数根、，和两相等实数根进行讨论，当方程有两个相等的实数根时，再检验，当方程有两个不同的实数根、时，或，再由二次方程实数根的分布进行讨论求解即可.【详解】作出函数的简图如图，令，要使关于的方程有且仅有个不同的实根，（1）当方程有两个相等的实数根时，由，即，此时当，此时，此时由图可知方程有4个实数根，此时不满足.当，此时，此时由图可知方程有6个实数根，此时满足条件(2)当方程有两个不同的实数根、时，则或当时，由可得则的根为由图可知当时，方程有2个实数根当时，方程有4个实数根，此时满足条件.当时，设由，则，即综上所述：满足条件的实数a的取值范围是或或故答案为：或或【点睛】关键点睛：本题考查利用复合型二次函数的零点个数求参数，考查数形结合思想的应用，解答本题的关键由条件结合函数的图象，分析方程的根情况及其范围，再由二次方程实数根的分布解决问题，属于难题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）由定义域，求得的定义域即为所求；（2）求函数的值域，再代入求最值【详解】（1）的定义域是，即的定义域是，所以的定义域为；（2），令，，，即，所以，当时取到【点睛】求函数值域要先准确求出函数的定义域，注意函数解析式有意义的条件，及题目对自变量的限制条件，复合函数相关问题要注意整体代换思想18、(1)点的坐标为或(2)见解析，过的圆必过定点和【解析】（1）设，由题可知，由点点距得到，解得参数值；（2）设的中点为，过三点的圆是以为直径的圆，根据圆的标准方程得到圆，根据点P在直线上得到，代入上式可求出，进而得到定点解析：（Ⅰ）设，由题可知，即，解得：，故所求点的坐标为或.（2）设的中点为，过三点的圆是以为直径的圆，设，则又∵圆又∵代入（1）式，得：整理得：无论取何值时，该圆都经过的交点或综上所述，过的圆必过定点和点睛：这个题目考查的是直线和圆的位置关系；一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；还有就是在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值19、（1），为上的增函数；（2）.【解析】（1）由奇函数的定义即可求解的值，因为，所以由复合函数单调性的判断法则即可判断的单调性；（2）由题意，原问题等价于，令，则，利用二次函数的性质可求得的最小值，从而即可得答案.【小问1详解】解：∵函数是R上的奇函数，∴，即对任意恒成立，∴，∵，又在上单调递增且，且在单调递增，所以为上的增函数；【小问2详解】解：由已知在内有解，即