2024-2025学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.2空间向量的数乘运算学案含解析新人教A版选修2-11

PAGE3.1.2空间向量的数乘运算内容标准学科素养1.驾驭空间向量数乘运算的定义及运算律．2.理解向量共线、向量共面的定义．3.驾驭共线向量定理和共面对量定理，会证明空间三点共线、四点共面.提升逻辑推理发展直观想象授课提示：对应学生用书第54页[基础相识]学问点一空间向量的数乘运算eq\a\vs4\al(预习教材P86－87，思索并完成以下问题)平面对量的数乘运算是什么？满意哪些运算律？提示：(1)实数λ和向量a的乘积仍是一个向量．(2)|λa|＝|λ||a|.(3)λa的方向．当λ>0时，λa的方向与a方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反．(4)数乘运算的运算律λ(μa)＝(λμ)a；λ(a＋b)＝λa＋λb.学问梳理空间向量的数乘运算(1)定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍旧是一个向量，称为向量的数乘运算．(2)向量a与λa的关系λ的范围方向关系模的关系λ>0方向相同λa的模是a的模的|λ|倍λ＝0λa＝0，其方向是随意的λ<0方向相反(3)空间向量的数乘运算律若λ，μ是实数，a，b是空间向量，则有①安排律：λ(a＋b)＝λa＋λb；(λ＋μ)a＝λa＋μa；②结合律：λ(μa)＝(λμ)a.学问点二共线向量与共面对量eq\a\vs4\al(思索并完成以下问题)(1)在学习平面对量时，共线向量是怎样定义的？如何规定0与任何向量的关系？提示：方向相同或相反的两向量称为共线向量；0与任何向量是共线向量．(2)对空间随意两个向量a与b，假如a＝λb，a与b有什么位置关系？反过来，a与b有什么位置关系时，a＝λb?提示：类似于平面对量共线的充要条件，对空间随意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb(b≠0)．(3)对空间随意两个不共线的向量a，b，假如p＝xa＋yb，那么向量p与向量a，b有什么位置关系？反过来，向量p与向量a，b有什么位置关系时，p＝xa＋yb?提示：假如两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.学问梳理共线向量与共面对量共线(平行)向量共面对量定义表示空间向量的有向线段所在的直线相互平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量平行于同一平面的向量叫做共面对量充要条件对于空间随意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb若两个向量a，b不共线，则向量p与a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb推论假如l为经过点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于空间任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋ta①，其中a叫做直线l的方向向量，如图所示．若在l上取eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，则①式可化为eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))如图，空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))或对空间随意一点O来说，有eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))[自我检测]1．已知空间四边形ABCD，M，G分别是BC，CD的中点，连接AM，AG，MG，则eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))等于()A.eq\o(AG,\s\up6(→)) B.eq\o(CG,\s\up6(→))C.eq\o(BC,\s\up6(→)) D.eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))答案：A2．满意下列条件，能说明空间不重合的A，B，C三点共线的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)) B.eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→)) D．|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|答案：C3．对于空间的随意三个向量a，b,2a－bA．共面对量B．共线向量C．不共面对量D．既不共线也不共面的向量答案：A授课提示：对应学生用书第55页探究一空间向量的数乘运算[教材P89练习2]如图，已知正方体ABCD­A′B′C′D′，点E，F分别是上底面A′C′和侧面CD′的中心．求下列各式中x，y的值：(1)eq\o(AC′,\s\up6(→))＝x(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC′,\s\up6(→)))；(2)eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))；(3)eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AA′,\s\up6(→)).解析：(1)在正方体中，eq\o(AC′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC′,\s\up6(→))，∴x＝1.(2)eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)A′C′＝eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))∴x＝y＝eq\f(1,2).(3)eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DC′,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(DD′,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，∴x＝y＝eq\f(1,2).[例1]已知ABCD为正方形，P是ABCD所在平面外的一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中点，求下列各式中x，y的值．(1)eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))＋xeq\o(PC,\s\up6(→))＋yeq\o(PA,\s\up6(→))；(2)eq\o(PA,\s\up6(→))＝xeq\o(PO,\s\up6(→))＋yeq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→)).[解析](1)如图所示，eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→))，由向量加法的平行四边形法则可得eq\o(PO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PA,\s\up6(→)))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up6(→))，∴eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up6(→)).∴x＝－eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,2).(2)∵eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\o(PD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(PD,\s\up6(→))＋2eq\o(QO,\s\up6(→))＝eq\o(PD,\s\up6(→))＋2(eq\o(PO,\s\up6(→))－eq\o(PQ,\s\up6(→)))＝eq\o(PD,\s\up6(→))＋2eq\o(PO,\s\up6(→))－2eq\o(PQ,\s\up6(→)).∴x＝2，y＝－2.方法技巧1.对向量进行分解或对向量表达式进行化简时，要精确运用空间向量加法、减法的运算法则，要熟识数乘向量运算的几何意义，同时还要留意将相关向量向选定的向量进行转化．2．在△ABC中，若D为BC边的中点，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，这一结论可视为向量形式的中点公式，应用特别广泛，应娴熟驾驭．跟踪探究1.如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，O为AC的中点．(1)化简：eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))；(2)设E是棱DD1上的点，且eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(DD1,\s\up6(→))，若eq\o(EO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋zeq\o(AA1,\s\up6(→))，试求实数x，y，z的值．解析：(1)eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→)).(2)eq\o(EO,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))－eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AA1,\s\up6(→))，所以x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,2)，z＝－eq\f(2,3).探究二空间共线向量定理及其应用[教材P99习题3.1B组2题改编]如图，已知空间四边形OABC中，OA＝OB，CA＝CB，点E，F，G，H分别是OA，OB，BC，CA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．证明：∵E，F，G，H分别为OA，OB，BC，CA的中点，∴eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(CG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(CH,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→)).∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝2eq\o(OF,\s\up6(→))－2eq\o(OE,\s\up6(→))＝2(eq\o(OF,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→)))＝2eq\o(EF,\s\up6(→))，∴AB∥EF，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2|eq\o(EF,\s\up6(→))|.同理HG∥AB，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2|eq\o(HG,\s\up6(→))|，∴四边形EFGH是平行四边形．[例2]如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E在A1D1上，且eq\o(A1E,\s\up6(→))＝2eq\o(ED1,\s\up6(→))，点F在对角线A1C上，且eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up6(→)).求证：E，F，B三点共线．[证明]设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c.因为eq\o(A1E,\s\up6(→))＝2eq\o(ED1,\s\up6(→))，eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up6(→))，所以eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(A1D1,\s\up6(→))，eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(A1C,\s\up6(→))，所以eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)b，eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\f(2,5)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\f(2,5)a＋eq\f(2,5)b－eq\f(2,5)c.所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(A1F,\s\up6(→))－eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)a－eq\f(4,15)b－eq\f(2,5)c＝eq\f(2,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2,3)b－c)).又eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(EA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)b－c＋a＝a－eq\f(2,3)b－c，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(EB,\s\up6(→)).因为eq\o(EF,\s\up6(→))与eq\o(EB,\s\up6(→))有公共点E，所以E，F，B三点共线．方法技巧1.本题利用向量的共线证明白线线平行，解题时应留意向量共线与两直线平行的区分．2．推断或证明两向量a，b(b≠0)共线，就是找寻实数λ，使a＝λb成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达．跟踪探究2.如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，推断eq\o(CE,\s\up6(→))与eq\o(MN,\s\up6(→))是否共线．解析：∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→)).又eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))－eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→))，∴2eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))－eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→))＝eq\o(CE,\s\up6(→))，即eq\o(CE,\s\up6(→))＝2eq\o(MN,\s\up6(→)).∴eq\o(CE,\s\up6(→))与eq\o(MN,\s\up6(→))共线．探究三空间共面对量定理及其应用[阅读教材P88例1]如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，并且使eq\f(OE,OA)＝eq\f(OF,OB)＝eq\f(OG,OC)＝eq\f(OH,OD)＝k，求证：E，F，G，H四点共面．题型：空间四点共面的判定方法步骤：(1)由数乘运算表示出向量eq\o(OE,\s\up6(→))，eq\o(OF,\s\up6(→))，eq\o(OG,\s\up6(→))，eq\o(OH,\s\up6(→)).(2)由向量减法运算得出eq\o(EG,\s\up6(→)).(3)由eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AC,\s\up6(→))、eq\o(AD,\s\up6(→))的关系得出eq\o(EG,\s\up6(→))、eq\o(EF,\s\up6(→))、eq\o(EH,\s\up6(→))的关系，从而判定E，F，G，H四点共面．[例3]已知A，B，C三点不共线，平面ABC外的一点M满意eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OC,\s\up6(→)).(1)推断eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))三个向量是否共面；(2)推断点M是否在平面ABC内．[解析](1)因为eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OC,\s\up6(→))，所以6eq\o(OM,\s\up6(→))＝3eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，所以3eq\o(OA,\s\up6(→))－3eq\o(OM,\s\up6(→))＝(2eq\o(OM,\s\up6(→))－2eq\o(OB,\s\up6(→)))＋(eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))，因此3eq\o(MA,\s\up6(→))＝2eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝－2eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→)).故向量eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面．(2)由(1)知向量eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面，三个向量又有公共点M，故M，A，B，C共面，即点M在平面ABC内．方法技巧1.证明空间三个向量共面，常用如下方法：(1)设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若a＝xb＋yc，则向量a，b，c共面；(2)找寻平面α，证明这些向量与平面α平行．2．对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面：(1)eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))；(2)对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))；(3)eq\o(PM,\s\up6(→))∥eq\o(AB,\s\up6(→))(或eq\o(PA,\s\up6(→))∥eq\o(MB,\s\up6(→))，或eq\o(PB,\s\up6(→))∥eq\o(AM,\s\up6(→)))．跟踪探究3.已知A，B，M三点不共线，对于平面ABM外的随意一点O，确定在下列条件下，点P是否与A，B，M肯定共面．(1)eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝3eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))；(2)eq\o(OP,\s\up6(→))＝4eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→)).解析：(1)∵eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝3eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))＋(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))，∴eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))，∴eq\o(MP,\s\up6(→))，eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))为共面对量，∴P与A，B，M共面．(2)eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))＋(eq\o(OA,\s\up6(