数学教案：互斥事件第一课时

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精3。4互斥事件整体设计教材分析本节的内容主要是互斥事件及其概率，为了能简洁地叙述相关内容，可以通过实例来叙述，如在粉笔盒里装有3支红粉笔，2支绿粉笔,1支黄粉笔,现从中任取1支，记事件A为取得红粉笔，记事件B为取得绿粉笔,则A与B不能同时发生,即A与B是互斥事件。互斥事件定义中事件A与事件B不可能同时发生是指若事件A发生，事件B就不发生或者事件B发生，事件A就不发生。对立事件的定义中的两个事件必有一个发生，它的前提条件是这两个事件为互斥事件.因此，对立事件可以理解为：事件A与B不能同时发生，且事件A与B中“必有一个发生”即指事件A不发生，事件B就一定发生或者事件A发生，事件B就不发生。如,投掷一枚硬币，事件A为正面向上，事件B为反面向上,则事件A与事件B必有一个发生且只有一个发生。事件A的对立事件通常记作A。如果事件A与B互斥,那么事件A+B发生(即A、B中有一个发生)的概率,等于事件A、B分别发生的概率的和，即P(A+B)=P（A)+P（B)，此公式可以由特殊情形中的既是互斥事件又是等可能性事件推导得到。一般地,如果事件A1，A2，…,An两两互斥,那么事件A1+A2+…+An发生（即A1，A2，…，An中有一个发生）的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1+A2+…+An）=P(A1)+P(A2）+…+P(An).对立事件是一种特殊的互斥事件。特殊有两点：其一,事件个数特殊(只能是两个事件)；其二，发生情况特殊（有且只有一个发生）。若A与B是对立事件，则A与B互斥且A+B为必然事件,故A+B发生的概率为1，即P(A+B）=P(A）+P（B)=1。从集合的角度来看，事件A、B互斥，是指事件A所含的结果组成的集合与事件B所含的结果组成的集合的交集为空集，则有P（A+B）=card(A+B)/card（I)=（card(A）+card（B））/card(I)=card(A）/card(I）+card(B）/card(I)=P(A)+P（B);事件A与B对立，是指事件B所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集，即A∩B=,且A∪B=I。图1 图2公式P（A+)=P(A)+P（)=1的常用变形公式为P（A）=1—P（）或P()=1-P（A)，在解题中会经常用到。本节基本方法是将较复杂事件表示为若干两两互斥事件的和，利用概率加法公式计算互斥事件和的概率，或当一事件的对立事件的概率易求时，将该事件概率的计算转化为对立事件的概率,简化计算.解题时应注意互斥事件或对立事件的条件是否满足.三维目标1。理解互斥事件、对立事件的概念和实际意义,能够运用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率，会利用两个对立事件的概率和等于1来简化一些概率的计算.2.通过对互斥事件、对立事件概念的理解及其概率的计算，进一步理解随机事件概率的意义,从而掌握互斥事件、对立事件与古典概型、几何概型的区别与联系。3。通过对互斥事件的概率的计算，进一步理解随机事件的概率的意义,提高分析问题和解决问题的能力。4。通过对互斥事件、对立事件概念的理解及其概率的计算，培养学生类比推理、信息迁移能力和转化的数学思想.5。结合互斥事件、对立事件的概念及其概率的计算，培养学生的辩证唯物主义观点和用对立统一规律分析问题的方法。重点难点教学重点：1.理解互斥事件的概率加法公式.2。会运用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率。教学难点：1。用定义判断较复杂的事件是否互斥。2。会运用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率。课时安排2课时教学过程第1课时导入新课设计思路一：（实例导入)在1个盒内放有10个大小相同的小球，其中有7个红球，2个绿球,1个黄球，从中任取一个球。请同学们思考下列事件的概率：事件A:得到红球;事件B:得到绿球；事件C：得到红球或者绿球。设计思路二：(情境导入）体育考试的成绩分为四个等级:优、良、中、不及格，某班50名学生参加了体育考试，结果如下：优85分及以上9人良75～84分15人中60～74分21人不及格60分以下5人体育考试的成绩的等级为优、良、中、不及格的事件分别记为A，B,C，D。问题1：在同一次考试中，某一位同学能否既得优又得良？问题2：从这个班任意抽取一位同学，那么这位同学的体育成绩为“优良”（优或良）的概率分别是多少？问题3:如果将“体育成绩及格”记为事件E，那么E与D能否同时发生?它们之间有什么关系？推进新课新知探究对于导入思路一：1。互斥事件的有关概念在1个盒内放有10个大小相同的小球,其中有7个红球，2个绿球，1个黄球,从中任取一个球.则事件A“得到红球”的概率为；事件B“得到绿球"的概率为;事件C“得到红球或者绿球”的概率为。下面来研究以下问题：“得到红球"和“得到绿球”这两个事件之间有什么关系，可以同时发生吗？问题(3)中的事件“得到红球或者绿球”与问题（1）（2）中的事件有何联系，它们的概率间的关系如何？如果从盒中摸出1个球是红球,即事件A发生，那么事件B就不发生；如果从盒中摸出1个球是绿球，即事件B发生，那么事件A就不发生.就是说，事件A与B不可能同时发生.这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件(exclusiveevents)。一般地，如果事件A1，A2，…An中的任何两个都是互斥的,那么就说A1,A2,…An彼此互斥。从集合的角度看，n个事件彼此互斥,是指各个事件所含的结果组成的集合彼此不相交.2.互斥事件有一个发生的概率设A、B是两个互斥事件,那么A＋B表示这样一个事件：在同一试验中,A与B中有一个发生就表示它发生。那么事件A＋B的概率是多少？在上面的问题中“从盒中摸出1个球,得到红球或绿球”就表示事件A＋B.由于从盒中摸出1个球有10种等可能的方法，而得到红球或绿球的方法有7＋2种，所以得到红球或绿球的概率P（A＋B）＝，另一方面P（A)＝，P（B）＝,由，我们看到P（A＋B）＝P(A）＋P（B).这就是说，如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生（即A,B中有一个发生）的概率,等于事件A,B分别发生的概率的和.一般地，如果事件A1，A2，…An彼此互斥，那么事件A1＋A2＋…＋An发生(即A1，A2，…An中有一个发生）的概率，等于这个事件分别发生的概率的和，即P(A1＋A2＋…＋An）＝P(A1)＋P（A2）＋…＋P（An）。3.对立事件如果事件A与事件B是互斥事件，并且事件A与事件B中必有一个事件发生，则称事件A与事件B为对立事件（complementaryevents）.事件A的对立事件记为A.对立事件与互斥事件的关系对立事件必定是互斥事件，两个互斥事件或对立事件不能同时发生.对立事件有且只有一个发生，而互斥事件可能两个都不发生，即互斥事件至多有一个发生。从集合的角度来看，表示互斥事件与对立事件的集合的交集都是空集，但对立事件的并集是全集，而两个互斥事件的并集不一定是全集.如图所示：注：椭圆表示全集左图是集合表示的互斥事件之间的关系，右图是集合表示的对立事件之间的关系.由于对立事件A与必定有一个发生，因此A+是必然事件，所以P（A）+P()=P(A+）=1,由此，可以有如下的重要公式P(）=1－P(A）。对于导入思路二：对于问题1，在同一次体育考试中，同一人不可能既得优又得良，即事件A和B是不可能同时发生的.不能同时发生的两个事件称为互斥事件（exclusiveevents）.对于本例中的事件，其中任意两个都是互斥的.一般地，如果事件A1，A2，…，An中的任何两个都是互斥事件,就说事件A1，A2，…，An彼此互斥。设A,B为互斥事件,当事件A，B有一个发生，我们把这个事件记作A+B。在上述关于体育考试成绩的问题2中，事件A+B就表示事件“优”或“良”，那么，事件A+B发生的概率是多少呢?用古典概型的求概率公式，可以得到事件A发生的概率P（A)=，事件B发生的概率P（B)=。因此有P(A+B)=P（A）+P（B).如果事件A,B为互斥，那么事件A+B发生的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A+B）=P（A）+P(B).一般地,如果事件A1，A2,…，An两两互斥，那么事件A1+A2+…+An发生(即A1，A2,…，An中有一个发生)的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1+A2+…+An）=P(A1)+P(A2)+…+P(An).在上述关于体育考试成绩的问题3中,事件E与D不可能同时发生，但是必然有一个发生。由分析可知，事件E与D是互斥事件,但是比互斥事件的条件要强.如果两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件（complementaryevents）.事件A的对立事件记为A.对立事件与互斥事件有何异同?互斥事件和对立事件都是对两个事件而言的，它们既有区别又有联系.在一次试验中,两个互斥的事件有可能都不发生，也可能有一个发生；而两个对立的事件则必有一个发生,但不可能同时发生。所以,两个事件互斥,它们未必对立;反之，两个事件对立,它们一定互斥.也就是说,两个事件对立是这两个事件互斥的充分不必要条件.对立事件是一种特殊的互斥事件。特殊有两点：其一，事件个数特殊(只能是两个事件);其二，发生情况特殊(有且只有一个发生).若A与B是对立事件，则A与B互斥且A+B为必然事件，故A+B发生的概率为1,即P（A+B）=P（A）+P（B)=1。从集合的角度来看，事件A、B互斥，是指事件A所含的结果组成的集合与事件B所含的结果组成的集合的交集为空集，则有P（A+B)=card（A+B）/card（I）=（card（A)+card(B)）/card（I)=card(A)/card（I）+card(B)/card(I）=P(A)+P(B）；事件A与B对立，是指事件B所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集，即A∩B=，且A∪B=I。图1 图2公式P(A+）=P（A）+P()=1的常用变形公式为P(A）=1—P(）或P(）=1—P(A)，在解题中会经常用到.应用示例思路1例1一个射手进行一次射击,记“命中的环数大于8”为事件A，“命中的环数大于5”为事件B,“命中的环数小于4”为事件C，“命中的环数小于6”为事件D。那么A、B、C、D中有多少对互斥事件?分析:判断两个事件是否是互斥事件,主要依据是互斥事件的概念即两个事件不能同时发生.解：由于一个射手进行一次射击，“命中的环数大于8”与“命中的环数小于4"不能同时发生，也就是事件A与事件C不能同时发生，所以，事件A与事件C是互斥事件。同样道理，事件A与事件D，事件B与事件C，事件B与事件D也是互斥事件，因此，事件A、B、C、D中有四对互斥事件，即A与C，A与D，B与C，B与D。点评：在判断两个事件是否是互斥事件时,紧紧抓住关键词“两个事件不能同时发生”，如果满足条件就是互斥事件.对于对立事件则首先是互斥事件,还要满足条件“其中一个不发生，则另一个必定发生"。例2某人射击1次，命中7～10环的概率如下表所示：命中环数10环9环8环7环概率0.120.180.280.32(1）求射击1次，至少命中7环的概率;（2)求射击1次，命中不足7环的概率。分析：若将“射击1次，命中k环”记为事件Ak(k∈N，且k≤10），事件Ak两两不可以同时发生,因此，事件Ak两两互斥，考虑用互斥事件有一个发生的概率的计算方法来计算.解：记事件“射击1次,命中k环”为Ak（k∈N，且k≤10)，则事件Ak彼此互斥.（1）记“射击1次，至少命中7环”为事件A，那么当A10，A9,A8或A7之一发生时，事件A发生。由互斥事件的概率加法公式,得P（A)=P(A10+A9+A8+A7）=P（A10)+P(A9)+P（A8）+P（A7)=0.12+0.18+0。28+0。32=0。9。（2)事件“射击1次,命中不足7环"是事件“射击1次，至少命中7环”的对立事件，即A表示事件“射击1次,命中不足7环”。根据对立事件的概率公式，得P（)=1－P（A)=1－0.9=0.1。答:此人射击1次，至少命中7环的概率为0。9；命中不足7环的概率为0.1。点评:在解有关互斥事件的概率问题时,有时为了问题解答的简洁，往往采用间接的解题方法来求解,例如，要求某一个事件A的概率时，可以先求这一个事件A的对立事件A的概率,再通过公式P（A）=1－P(A）来求解.例3黄种人群各种血型的人所占的比例如下表所示：血型ABABO该血型的人所占比例（%）2829835已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人,任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血。小明是B型血，若小明因病需要输血，问：（1）任找一个人,其血可以输给小明的概率是多少？（2）任找一个人,其血不能输给小明的概率是多少？分析:由于每个人的血型是确定的，因此，对于任何一个人所具有的血型对应的事件是互斥的.解：（1）对任一人,其血型为A，B,AB，O型血的事件分别记为A′,B′,C′，D′,它们是互斥的。由已知,有P（A′）=0。28，P(B′）=0。29，P(C′）=0。08，P(D′）=0.35。因为B，O型血可以输给B型血的人，故“可以输给B型血的人”为事件B′+D′。根据互斥事件的概率加法公式,有P（）=P(B′）+P(D′)=0.29+0。35=0。64。（2）由于A,AB型血不能输给B型血的人,故“不能输给B型血的人”为事件A′+C′.根据互斥事件的概率加法公式，有P(A′+C′）=P（A′)+P（C′)=0。28+0.08=0.36。答：任找一个人，其血可以输给小明的概率是0。64，其血不能输给小明的概率是0.36.点评：第（2)问也可以这样解：因为事件“其血可以输给B型血的人"与事件“其血不能输给B型血的人”是对立事件，故由对立事件的概率公式，有P(B′+D′）=1－P（B′+D′)=1－0。64=0。36.例4（1)某家庭电话响第一声时被接的概率为,响第二声时被接的概率为，响第三声时被接的概率为，响第四声时被接的概率为，求电话在响第五声之前被接的概率。（2）有10件产品分为3个等级，其中一级品有4件，二级品3件，三级品3件，从这10件产品中任意取出2件，试求：①所取2件产品中有1件一级品、1件二级品的概率;②所取2件产品中至少有1件是一级品的概率；③所取2件产品是同等级产品的概率。分析：根据题意，事件“所取2件产品中至少有1件是一级品"可以分为事件“所取2件产品中恰有1件一级品"和“所取的2件产品都是一级品”，这两个事件是互斥事件；事件“所取2件产品是同等级产品”可以分为“所取2件产品都是一级品”“所取2件产品都是二级品"“所取2件产品都是三级品”这三个互斥事件，因而可以运用互斥事件有一个发生的概率的计算方法来求解。解:(1)假设“电话在响第n声被接”为事件Ai（i=1，2，3，4，5）,则电话在响第5声之前时被接的概率为P（A5）=P(A1）+P（A2)+P（A3）+P（A4）=+++=。（2）①记事件A为“所取2件产品中有1件一级品、1件二级品”，则P(A)=。②记事件B为“所取2件产品中至少有1件是一级品”，记事件B1为“所取2件产品中恰有1件一级品”,事件B2为“所取的2件产品都是一级品”，由于B1、B2不能同时发生,所以B1、B2是互斥事件，所以P（B)=P（B1)+P（B2）=。③记事件C为“所取2件产品是同等级产品”,事件C1为“所取2件产品都是一级品”,事件C2为“所取2件产品都是二级品”，事件C3为“所取2件产品都是三级品"，而事件C1、C2、C3是彼此互斥事件,因此，事件C的概率为P（C)=P(C1）+P（C2）+P(C3)==.点评：本题运用n个彼此互斥事件概率的计算公式P（A1+A2+…+An）=P(A1)+P（A2）+…+P(An),它实际上是公式P（A+B)=P(A）+P（B)的推广；另外用把某一个事件分解为若干个彼此互斥的事件的方法来解决有关概率问题，是求解概率问题常用的方法.思路2例1一只口袋内装有大小一样的4只白球和4只黑球，从中一次任意摸出2只球。记摸出2只白球为事件A,摸出1只白球和1只黑球为事件B。问：事件A与B是否为互斥事件？是否为对立事件？分析:可以根据互斥事件和对立事件的概念来判断.解：由于事件A与事件B不可能同时发生，所以事件A与B互斥.因为从口袋中一次可以摸出2只黑球，不符合对立事件所满足的条件,即“事件A与事件B是互斥事件,且事件A与事件B中必定有一个发生”，所以事件A与B不是对立事件.点评:要判断是否是互斥事件或对立事件,必须从互斥事件和对立事件的概念出发，紧扣相应概念的条件，若满足相应条件，就是互斥事件或对立事件,否则就不是。例2某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示:年降水量(单位:mm）[100，150)[150，200)［200,250）[250,300）概率0.120.250。160。14（1）求年降水量在[100，200)(mm）范围内的概率;(2）求年降水量在［150,300)（mm)范围内的概率.分析:分别记年降雨量在[100，150)、［150，200)、［200,250)、［250,300）为事件A、B、C、D，事件A、B、C、D不可能同时发生，所以,它们是互斥事件,可以运用互斥事件的概率的计算公式计算相应事件的概率.解：(1）因为事件“年降雨量在［100,200)”是互斥事件A与B有一个发生的情况，所以事件A与B有一个发生的概率为P（A+B)＝P(A）+P(B）＝0.12+0。25=0.37，即年降雨量在［100,200）的概率为0。37。(2)由于事件“年降雨量在[150，300）"是互斥事件B、C、D有一个发生的情形，所以，互斥事件B、C、D有一个发生的概率为P(B+C+D）＝P（B)+P(C)+P（D)＝0.25+0.16+0.14=0。55，因此，年降雨量在［150,300)的概率为0。55.点评：正确判断所要求解的问题的概率类型，选择正确的计算公式，是解概率问题的关键所在。例3同时抛掷两枚骰子，试求向上一面的点数至少有一个是5点或6点的概率.分析:由于事件“向上一面的点数至少有一个是5点或6点”可以分为“向上一面的点数只有一个是5点而没有6点”“向上一面的点数只有一个是6点而没有5点”“向上一面的点数有一个是5点，一个是6点”“向上一面的点数两个都是5点或都是6点”这四个事件，这四个事件不可能同时发生，因此是彼此互斥事件.解:记事件A为“向上一面的点数至少有一个是5点或6点"，事件B为“向上一面的点数只有一个是5点而没有6点”，事件C为“向上一面的点数只有一个是6点而没有5点”，事件D为“向上一面的点数有一个是5点，一个是6点”，事件E为“向上一面的点数两个都是5点或都是6点”，事件A可以分为四个彼此互斥事件B、C、D、E，所以事件A的概率为P（A）=P(B）+P（C）+P(D）+P（E）=。答：所求向上一面的点数至少有一个是5点或6点的概率为。点评:在求某一个事件的概率时，可以将该事件分解为若干个彼此互斥事件，再运用彼此互斥事件概率的计算方法来求解.这种方法是求解概率问题常用的方法之一.例4一个盒子中装有6只灯泡，其中2只是次品,4只是正品，有放回地从中任取两次,每次取一只灯泡，试求下列事件的概率:(1)取到的2只灯泡都是次品；(2）取到的2只灯泡中正品、次品各一只；(3)取到的2只灯泡中至少有一只正品.分析：问题（1)可以用古典概型的概率的求解方法来解;问题（2）、（3）由于满足互斥事件的条件，所以考虑运用互斥事件有一个发生的概率的求解方法来解答.解:从6只灯泡中有放回地任取两只，共有62＝36种不同取法。(1)取到的2只都是次品情况为22＝4种.因而所求概率为。（2)由于取到的2只灯泡中正品、次品各一只有两种可能：第一次取到正品，第二次取到次品;第一次取到次品,第二次取到正品.即两个基本事件，而这两个事件符合互斥事件的条件,因而所求概率为P=.(3)由于“取到的两只灯泡中至少有一只正品"有两种可能即“取到的两只灯泡中恰好有一只正品和一只次品"和“取到的两只灯泡中两只都是正品”，对于事件“取到的两只灯泡中恰好有一只正品和一只次品”的概率由(2)可知为，又由于“取到的两只灯泡中两只都是正品”的可能有42=16,因此，事件“取到的两只灯泡中两只都是正品”的概率为,由于事件“取到的两只灯泡中至少有一只正品”是互斥事件“取到的两只灯泡中恰好有一只正品和一只次品"和“取到的两只灯泡中两只都是正品"有一个发生的情形,所以，事件“取到的两只灯泡中至少有一只正品”的概率为.点评：由于事件“取到的两只灯泡中至少有一只正品”是事件“取到的两只都是次品"的对立事件,因而问题(3）还可以运用对立事件概率的求法来解答.因此，所求事件“取到的两只灯泡中至少有一只正品"概率为P=1-.运用对立事件的概率求解是求解概率问题常用的方法.知能训练课本本节练习.解答:1。事件A与B互斥不对立；事件A与C互斥且对立;事件A与D不互斥.2。D3。.4.分别记“年降水量在［600，800）”“年降水量在［800,1000）"“年降水量在[1000,1200)"“年降水量在［1200，1400）”“年降水量在［1400，1600］”为事件A1、A2、A3、A4、A5，则事件A1、A2、A3、A4、A5彼此互斥.（1）记“年降水量在［800,1200)"为事件A，那么当A2、A3之一发生时，事件A发生。由互斥事件的概率加法公式，得P(A)=P(A2+A3)=P(A2)+P（A3）=0。26+0.38=0。64。（2）记“该地区发生涝灾”为事件B,根据题意，当A4、A5之一发生时,事件B发生.由互斥事件的概率加法公式，得P（B）=P（A4+A5）=P（A4)+P(A5）=0.16