数学教案：分层抽样与系统抽样第课时分层抽样

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第2课时分层抽样导入新课思路1.中国共产党第十八次代表大会的代表名额原则上是按各选举单位的党组织数、党员人数进行分配的，并适当考虑前几次代表大会代表名额数等因素．按照这一分配办法，各选举单位的代表名额，比十七大时都有增加．另外，按惯例，中央将确定一部分已经退出领导岗位的老党员作为特邀代表出席大会．这种产生代表的方法是简单随机抽样还是系统抽样？教师点出课题：分层抽样．思路2。我们已经学习了两种抽样方法：简单随机抽样和系统抽样，本节课我们学习分层抽样．推进新课eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（新知探究))eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(提出问题))1．假设某地区有高中生2400人,初中生10900人，小学生11000人，此地区教育部门为了了解本地区中小学的近视情况及其形成原因，要从本地区的学生中抽取1％的学生进行调查，你认为应当怎样抽取样本?2．想一想为什么这样取各个学段的个体数？3．请归纳分层抽样的定义．4．请归纳分层抽样的步骤．5．分层抽样时应如何分层？其适用于什么样的总体？讨论结果：1．分别利用系统抽样在高中生中抽取2400×1％＝24人,在初中生中抽取10900×1％＝109人，在小学生中抽取11000×1％＝110人．这种抽样方法称为分层抽样．2．含有个体多的层，在样本中的代表也应该多,即样本从该层中抽取的个体数也应该多．这样的样本才有更好的代表性．3．一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样的方法叫分层抽样．4．分层抽样的步骤：(1）分层：按某种特征将总体分成若干部分(层）;（2)按抽样比确定每层抽取个体的个数；（3）各层分别按简单随机抽样的方法抽取样本；（4）综合每层抽样，组成样本．5．分层抽样又称类型抽样,应用分层抽样应遵循以下要求：(1)分层时将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则，即保证样本结构与总体结构一致性．(2）分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样,每层样本数量与每层个体数量的比与这层个体数量与总体容量的比相等．(3)当总体个体差异明显时，采用分层抽样．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（应用示例))思路1例某地农田分布在山地、丘陵、平原、洼地不同的地形上，要对这个地区的农作物产量进行调查，应当采用什么抽样方法?解：显然不同类型的农田之间的产量有较大差异，应当采用分层抽样的方法，对不同类型的农田按其占总数的比例来抽取样本．点评:在每个层中进行抽样时，大多数情况下是采用简单随机抽样，有时也会用到其他的抽样方法，这要根据问题的需要来决定.变式训练1．某公司有1000名员工，其中：高层管理人员占5%，属于高收入者;中层管理人员占15%，属于中等收入者；一般员工占80%，属于低收入者．要对这个公司员工的收入情况进行调查,欲抽取100名员工，应当怎样进行抽样?解：我们可以采用分层抽样的方法，按照收入水平分成三个层:高收入者、中等收入者、低收入者．可抽取5名高级管理人员、15名中层管理人员、80名一般员工，再对收入状况分别进行调查．2．某市有大型、中型与小型的商店共1500家，它们的家数之比为1∶5∶9。要调查商店的每日零售额情况，要求抽取其中的15家商店进行调查，应当采用怎样的抽样方法？解：在这个问题中,商店有大型、中型和小型之分,商店的每日零售额直接受到商店规模的影响，如果采用简单随机抽样的方法，可能使抽样的结果不具有代表性．从题目中数据可以看出,最好是:从100家大型商店中抽出1个代表，从500家中型商店中抽出5个代表,从900家小型商店中抽出9个代表．因此，我们要对每个类型的商店分别进行抽样。思路2例1一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人,50岁以上的有95人，为了了解这个单位职工与身体状况有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本,若职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？分析：由于职工年龄与这项指标有关,所以应选取分层抽样来抽取样本．解：用分层抽样来抽取样本，步骤是:(1)分层：按年龄将150名职工分成三层:不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁以上的职工．(2)确定每层抽取个体的个数．抽样比为eq\f(100，500)＝eq\f（1,5),则在不到35岁的职工中抽125×eq\f（1,5）＝25人；在35岁至49岁的职工中抽280×eq\f（1,5)＝56人；在50岁以上的职工中抽95×eq\f（1,5)＝19人．(3）在各层分别按抽签法或随机数表法抽取样本．（4）综合每层抽样，组成样本．点评:本题主要考查分层抽样及其实施步骤．如果总体中的个体有差异时，那么就用分层抽样抽取样本．用分层抽样抽取样本时，要把性质、结构相同的个体组成一层。变式训练1．某市的3个区共有高中学生20000人，且3个区的高中学生人数之比为2∶3∶5,现要从所有学生中抽取一个容量为200的样本，调查该市高中学生的视力情况，试写出抽样过程．分析：由于该市高中学生的视力有差异，按3个区分成三层，用分层抽样来抽取样本．在3个区分别抽取的学生人数之比也是2∶3∶5，所以抽取的学生人数分别是200×eq\f（2，2＋3＋5）＝40；200×eq\f(3,2＋3＋5）＝60；200×eq\f(5，2＋3＋5）＝100.解:用分层抽样来抽取样本，步骤是：（1)分层：按区将20000名高中生分成三层；（2）确定每层抽取个体的个数．在这3个区抽取的学生数目分别是40,60,100；（3）在各层分别按随机数表法抽取样本；（4)综合每层抽样,组成样本．2．某单位有老年人28人，中年人54人,青年人81人，为了调查他们的身体状况，从他们中抽取容量为36的样本,最适合抽取样本的方法是（)．A．简单随机抽样B．系统抽样C．分层抽样D．先从老年人中剔除1人,再用分层抽样解析：总人数为28＋54＋81＝163。样本容量为36，由于总体由差异明显的三部分组成，考虑用分层抽样．若按36∶163取样,无法得到整解，故考虑先剔除1人，抽取比例变为36∶162＝2∶9,则中年人取12人，青年人取18人，先从老年人中剔除1人，老年人取6人，组成容量为36的样本．答案：D例2某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是(）．A．4 B．5 C．6 解析：抽样比为eq\f（20,40＋10＋30＋20）＝eq\f(1,5），则抽取的植物油类食品种数是10×eq\f(1，5）＝2,则抽取的果蔬类食品种数是20×eq\f(1，5)＝4。故所抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是2＋4＝6.答案：C点评：如果A,B,C三层含有的个体数目分别是x，y，z，在A，B，C三层应抽取的个体数目分别是m，n，p，那么有x∶y∶z＝m∶n∶p;如果总体有N个个体，所抽取的样本容量为n，某层所含个体数目为a，在该层抽取的样本数目为b,那么有eq\f(n,N)＝eq\f(b,a).变式训练1．某校有学生2000人，其中高三学生500人．为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个200人的样本．则样本中高三学生的人数为__________．解析：因为抽样比为eq\f(200，2000)＝eq\f（1，10)，所以样本中高三学生的人数为500×eq\f（1，10)＝50.答案：502.甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法,抽取一个容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生()．A．30人，30人，30人 B．30人,45人，15人C．20人，30人，40人 D．30人，50人，10人解析：因抽样比是eq\f(90,3600＋5400＋1800）＝eq\f（1,120），故应在这三校分别抽取学生：eq\f（1,120）×3600＝30人，eq\f（1,120)×5400＝45人，eq\f(1，120）×1800＝15人．答案:Beq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(知能训练）)1．某城区有农民、工人、知识分子家庭共计2000户,其中农民家庭1800户,工人家庭100户．现要从中抽取容量为40的样本，调查家庭收入情况,则在整个抽样过程中，可以用到下列抽样方法中的（)．①简单随机抽样②系统抽样③分层抽样A．②③ B．①③C．③ D．①②③解析:由于各家庭有明显差异，所以首先应用分层抽样的方法分别从农民、工人、知识分子三类家庭中抽出若干户，即36户、2户、2户．又由于农民家庭户数较多，那么在农民家庭这一层宜采用系统抽样；而工人、知识分子家庭户数较少,宜采用简单随机抽样法．故整个抽样过程要用到①②③三种抽样法．答案：D2．某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家．为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本．若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是__________．答案:53．某校500名学生中，O型血有200人，A型血有125人，B型血有125人,AB型血有50人，为了研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为20的样本，怎样抽取样本？分析:由于研究血型与色弱的关系,按血型分层，用分层抽样抽取样本．利用抽样比确定抽取各种血型的人数．解:用分层抽样抽取样本．∵eq\f（20,500）＝eq\f（2，50)，即抽样比为eq\f(2，50),∴200×eq\f(2,50)＝8,125×eq\f(2,50）＝5,50×eq\f(2，50）＝2.故O型血抽8人，A型血抽5人，B型血抽5人，AB型血抽2人．抽样步骤:（1)确定抽样比eq\f(2，50);（2）按比例分配各层所要抽取的个体数，O型血抽8人，A型血抽5人，B型血抽5人，AB型血抽2人;(3）用简单随机抽样分别在各种血型中抽取样本，直至取出容量为20的样本．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(拓展提升)）某高级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案,使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2，…,270；使用系统抽样时,将学生统一随机编号为1,2，…，270，并将整个编号依次分为10段．如果抽得号码有下列四种情况：①7，34，61,88，115，142，169，196，223，250；②5,9,100，107,111，121，180，195，200,265；③11,38,65,92，119，146,173,200，227，254；④30，57,84,111，138,165,192，219,246,270.关于上述样本的下列结论中,正确的是(）．A．②③都不能为系统抽样 B．②④都不能为分层抽样C．①④都可能为系统抽样 D．①③都可能为分层抽样解析：如果按分层抽样抽取时，在一年级抽取108×eq\f(10，270）＝4人，在二、三年级各抽取81×eq\f（10，270)＝3人,则在号码段1,2，…，108中抽取4个号码，在号码段109，110，…，189中抽取3个号码，在号码段190，191，…,270中抽取3个号码，①②③符合，于是①②③可能是分层抽样,因为④不符合，所以④不可能是分层抽样；如果按系统抽样时，抽取出的号码应该是“等距”的，①③符合，②④不符合．因此①③都可能为系统抽样，②④都不能为系统抽样．答案：D点评：根据样本的号码判断抽样方法时，要紧扣三类抽样方法的特征．利用简单随机抽样抽取出的样本号码没有规律性；利用分层抽样抽取出的样本号码有规律性，即在每一层抽取的号码个数m等于该层所含个体数目与抽样比的积,并且应该恰有m个号码在该层的号码段内;利用系统抽样抽取出的样本号码也有规律性，其号码按从小到大的顺序排列，则所抽取的号码是：l，l＋k，l＋2k，…，l＋(n－1)k.其中，n为样本容量,l是第一组中的号码，k为分段间隔＝eq\f（总体容量，样本容量）.eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（课堂小结)）本节课学习了分层抽样的定义及其实施步骤．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（作业)）习题1—21，3。eq\o(\s\up7()，\s\do5(设计感想))本节课重视从学生的生活经验和已有知识中学习数学和理解数学．首先为教科书内容选择生活背景,让学生体验数学问题来源于生活实际；其次，大胆调用学生熟知的生活经验，使数学学习变得易于理解掌握；最后,善于联系生活实际有机改编教科书习题，让学生在实践活动中理解掌握知识，变“学了做”为“做中学”．eq\o(\s\up7（),\s\do5（备课资料))抽样调查及其主要方法抽样调查可以分为两类，即概率抽样和非概率抽样．概率抽样是按照随机原则进行抽样,不加主观因素，组成总体的每个单位都有被抽中的概率(非零概率）,可以避免样本出现偏差,样本对总体有很强的代表性．非概率抽样是按主观意向进行的抽样（非随机的)，组成总体的很大部分单位没有被抽中的机会（零概率)，使调查很容易出现倾向性偏差．现在被广泛应用的抽样调查是概率抽样．因此，现在的抽样调查是指概率抽样,其定义为：抽样调查,又称抽样推断，是一种重要的、科学的非全面调查方法．它根据调查的目的和任务要求，按照随机原则，从若干单位组成的事物总体中,抽取部分样本单位来进行调查、观察，用所得到的调查标志的数据来推断总体．抽样调查按抽样的组织形式划分，有以下几种主要方法：（1)简单随机抽样(也叫纯随机抽样，SPS抽样)．也就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位．特点是:每个样本单位被抽中的概率相等，样本的每个单位完全独立，彼此之间无一定的关联性和排斥性．简单随机抽样是其他各种抽样形式的基础．通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时,才采用这种方法．（2)等距抽样（也叫机械抽样或系统抽样，SYS抽样）．是将总体各单位按一定标志或次序排列成为图形或一览表式(也就是通常所说的排队），然后按相等的距离或间隔抽取样本单位．特点是：抽出的单位在总体中是均匀分布的，而且抽取的样本可少于纯随机抽样．等距抽样既可以用同调查项目相关的标志排队,也可以用同调查项目无关的标志排队．等距抽样是实际工作中应用较多的方法,目前我国城乡居民收支等调查，都是采用这种方式．（3)类型抽样（也叫分层抽样，STR抽样）．就是将总体单位按其属性特征分成若干类型或层，然后在类型或层中随机抽取样本单位．特点是:由于通过划类分层，增大了各类型中单位间的共同性，容易抽出具有代表性的调查样本．该方法适用于总体情况复杂，各单位之间差异较大，单位较多的情况．(4)整群抽样（又称集团抽样)．就是从总体中成群成组地抽取调