数学教案：方差与标准差

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2。3。2方差与标准差整体设计教材分析“方差与标准差”这节课在上节课平均数的基础上,从实例“有甲、乙两种钢筋，检查它们的抗拉强度”中平均数不是反映总体质量、水平的唯一特征数，在平均值相差不大的情况下，数据的稳定程度可以作为评价对象质量高低的又一重要因素，从而说明引入方差、标准差的必要性,同时使学生养成从多个角度看问题的习惯，锻炼了学生的创造性思维。为了让学生充分体会“稳定性”的意义，教材中用数轴表示两组数据，形象地表现出数据的“聚散"程度，并用极差反映数据的稳定性。当两组数据的极差相差不大时，就不适宜用极差来表示稳定性，这时可用“方差与标准差"作为比较数据稳定性的特征数。初中已学过方差概念，现在的教学不能停留在原有的水平上，要将用方差刻画数据的稳定程度的理由讲清楚，充分揭示用方差作为比较数据稳定性水平的特征数的思维过程.通过方差的单位与原数据的单位的比较,通过实际问题的分析,让学生了解到用方差反映稳定性水平的不足之处是与原数据单位不一致,且平方后可能夸大偏差的程度等，从而引入“标准差”的概念，这一过程应让学生在形成问题和解决问题的过程中加以探索.三维目标1。通过对具体案例的分析掌握样本数据的平均数、方差与标准差的基本概念和计算方法,培养学生分析问题和解决问题的能力,激发学生探究数学问题的兴趣和动机.2.在解决统计问题的过程中,进一步体会用样本估计总体的思想，形成对数据处理过程进行初步评价的意识。3。引导学生对一些生活中实际问题的学习，进一步培养学生的数学素养和增强学生的数学应用意识及认真、耐心、细致的学习态度和学习习惯.4.渗透数学来源于实践，反过来又作用于实践的观点。重点难点教学重点：1。通过实例理解样本数据方差与标准差的意义和作用,学会计算数据的样本方差与标准差。2.根据方差与标准差对事件进行科学的决策,形成对数据处理过程进行初步评价的意识。教学难点：1.方差与标准差的计算方法及运算的准确性。2.用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征,从中进一步理解统计的基本思想.课时安排1课时教学过程导入新课平均数向我们提供了样本数据的重要信息，但是，平均数有时也会使我们作出对总体的片面判断.某地区的统计报表显示，此地区的年平均家庭收入是10万元，给人的印象是这个地区的家庭收入普遍比较高。但是,如果这个平均数是从200户贫困家庭和20户极富有的家庭收入计算出来的,那么它就既不能代表贫困家庭的年收入，也不能代表极富有家庭的年收入。因为这个平均数掩盖了一些极端情况.而这些极端情况显然是不能被忽视的。因此，只有平均数还难以概括样本数据的实际情况.举例：有甲、乙两种钢筋,现从中各抽取一个样本（如下表）检查他们的抗拉强度（单位：kg/mm2)，通过计算发现，两个样本的平均数均为125。哪种钢筋的质量较好？两种钢筋的平均数都是125，那么，它们有没有什么差异呢?推进新课作出图形，作直观比较：直观上看，还是有差异的。乙的强度比较分散，甲的强度相对集中。因此,我们还需要从另外的角度来考察这两组数据.例如，在作统计图、表时提到过的极差甲的强度极差＝135-110=25,乙的强度极差＝145—100=45。它在一定程度上表明了样本数据的分散程度,与平均数一起,可以给我们许多关于样本数据的信息，显然,极差对极端值非常敏感，注意到这一点,我们可以得到一种“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的统计策略。新知探究1.方差(variance）的概念：考察样本数据的分散程度的大小,最常用的统计量是方差，一般用s2表示。假设样本数据是x1，x2，…，xn，表示这组数据的平均数.结合上节课有关离差的讨论可知，离差越小，稳定性就越高。因此,通常用如下公式计算方差：.因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了离差的程度,因此将其算术平方根作为样本的标准差(standarddeviation）,分别简称样本方差、样本标准差.2。计算样本数据x1,x2，…,xn的标准差的算法是：S1算出样本数据的平均数x;S2算出每个样本数据与样本平均数的差xi—x（i=1,2,…,n）；S3算出S2中xi-x（i=1，2，…，n)的平方；S4算出S3中n个平方数的平均数；S5算出S4中平均数的算术平方根，即为样本标准差.关于方差、标准差的一点说明:(1)方差、标准差是用来描述样本数据的离散程度的，它反映了各个样本数据聚集于样本平均数周围的程度.方差与标准差越小,表明各个样本数据在样本平均数的周围越集中；反之，方差标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数的周围越分散.（2）在实际应用中，方差与标准差常被理解为稳定性.例如在上面的比较两种钢筋的抗拉强度时，方差与标准差越小意味着该产品的质量越稳定；在描述成绩时，方差与标准差越小，说明成绩越稳定。(3）学生思考“标准差的取值范围是什么？标准差为0的样本数据有什么特点？”由标准差的定义容易得出标准差是非负的;标准差为0意味着所有的样本数据都相等的特性，且与样本平均数也相等,可以构造一个样本容量为2的样本：x1,x2（x1<x2),这样可以体会出两个样本数据分散程度与样本标准差之间的关系。应用示例例1根据下列四组样本数据,说明它们的异同点。(1）555555555;(2)444555666；（3)334456677;（4）222258888.分析：从数据的数字特征出发.解:四组数据的平均数都是5。0，标准差分别是0。00,0。82，1。49,2.83。虽然它们有相同的平均数，但是它们有不同的标准差，说明数据的分散程度是不一样的.点评：样本的方差、标准差能说明数据的分散程度。例2甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm2)，试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定。分析：巩固求方差和标准差的方法.解:甲品种的样本平均数为10，样本方差为［(9.8—10）2+（9。9—10)2+(10。1-10)2+(10—10）2+（10.2—10）2］÷5=0.02,乙品种的样本平均数也为10，样本方差为［（9。4-10）2+（10.3—10)2+(10。8—10）2+(9。7—10）2+（9。8-10)2]÷5=0.24.因为0。24>0.02，所以，由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定.点评：1.本题若仅由甲=乙,易产生这两种水稻的产量一样稳定的错觉。这表明在实际问题中，仅靠期望值（即平均数）不能完全反映问题，还要研究其偏离平均值的离散程度（及方差或标准差)：标准差大说明取值分散性大,标准差小说明取值分散性小或者说取值比较稳定、集中。2。要对“根据这组数据估计…”的统计意义作必要的说明:第一，统计研究是以一定的样本为依据的，对于确定的样本得到确定的统计结果；第二，统计结果具有随机性,选择不同的样本可能得到不同的统计结果。最后还可让学生思考除了品种的优劣，影响水稻产量还有哪些因素?根据一组数据得到的结果是否可靠？这些问题的提出会激发学生对统计学理论的兴趣。例3为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用了一段时间后必须更换.已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下，试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差。分析：用每一个区间内的组中值作为相应日光灯的使用寿命，再求平均使用寿命.解：各组中值分别为165。5，195.5，225.5，255。5,285。5，315.5，345。5，375.5,由此算得平均数约为165。5×1％+195.5×11%+225。5×18%+255。5×20％+285.5×25％+315。5×16%+345。5×7%+375.5×2%=268。4≈268（天)。这些组中值的方差为×[1×(165.5—268。4）2+11×（195.5-268.4）2+18×（225.5-268。4）2+20×（255。5-268.4）2+25×(285.5-268.4)2+16×(315。5—268。4）2+7×（345.5-268。4)2+2×(375.5-268。4）2]=2128.60(天2),故所求的标准差约为≈46（天）.答：估计这种日光灯的平均寿命约为268天，标准差约为46天.点评：此例的目的是：掌握连续性随机变量的平均值和标准差的一种估计方法，即组中值估计法.因为前一节例3已介绍了连续性随机变量的平均值的估计方法，所以处理此例时应让学生回忆前例并主动探索解决问题的方法。例4容量是40的样本中各数据与30的差的平方和是250，样本标准差是1.5，求样本平均数.分析:根据样本平均数、样本方差、样本标准差的公式解题。解：∵（x1-30)2+(x2-30）2+…+(x40—30）2=250，所以(x12+x22+…+x402)—60(x1+x2+…+x40）+40×302=250.即(x12+x22+…+x402)-60×40+40×900=250，①又∵140[（x1—)2+（x2—)2+…+(x40—)2］=1。52=2.25,即(x12+x22+…+x402)-2x(x1+x2+…+x40)+402=90，即（x12+x22+…+x402)—802+402=90，②①—②得402—2400x+40×900=160，即2—60+896=0，（-32)(-28)=0,所以，=32或=28。点评：理解样本方差的含义,抓住关键点：x1+x2+…+x40=40，通过数形结合，结合消元x1+x2+…+x40合理解决问题。例5已知一组数据的方差是s2，将这组数据的每个数据都加上10，求所得新数据的方差.分析:利用方差公式解题。解:设原数据：x1，x2，…,xn，平均数是，方差是s2，则新数据为：x1+10,x2+10，…，xn+10，平均数为则方差为[（x1+10—-10)2+（x2+10——10）2+…+（xn+10—-10）2］=［（x1-)2+（x2—）2+…+（xn-)2]=s2。变式训练某班有50名学生，某次数学考试的成绩经计算得到的平均分数是70分，标准差是s，后来发现登记有误,某甲得70分却记为40分,某乙50分误记为80分，更正后重新计算得标准差为s1，则s与s1之间的大小关系是（）A。s=s1B.s〈s1C。s〉s1D。不能确定解析：由题意,平均数不变，所以只要看与平均数的离差的平方的变化情况。因为方差刻画了数据相对于平均值的平均偏离程度。s中有：（40-70）2+(80—70)2=1000，s1中有:（70—70）2+（50—70)2=400所以s〉s1。答案：C点评：由本例及变式可推理归纳方差的性质：（1）若给定一组数据x1，x2，…，xn,方差为s2,则ax1,ax2,…，axn的方差为a2s2；（2)若给定一组数据x1，x2,…，xn，方差为s2，则ax1+b,ax2+b,…,axn+b的方差为a2s2，特别地，当a=1时，则有x1+b，x2+b,…,xn+b的方差为s2，这说明将一组数据的每一个数据都减去相同的一个常数，其方差是不变的，即不影响这组数据的波动性；（3）方差刻画了数据相对于平均值的平均偏离程度。对于不同的数据集，当离散程度越大时，方差越大；(4）方差的单位是原始测量数据单位的平方,对数据中的极值较为敏感。知能训练课本本节练习解答：1.甲、乙两个班的样本平均数为160,但甲班的极差为3，乙班的极差为30，故甲班的波动较小.2.已知s2=3=[(k1—)2+(k2-）2+…+(k8—）2］，而=2-3,s12=18[（2k1—6—2k+6)2+(2k2-6-2k+6）2+…+（2k8-6-2k+6)2］=4s23。甲较稳定。4。甲的平均值为10，方差为0.055；乙的平均值为10，方差为0.105.点评：从练习中再次体会数据的离散程度影响对事件的客观判断，体会从平均数、离散程度的角度对事件作出科学判断的方法。课堂小结1。数据的离散程度影响对事件的客观判断，体会从平均数、离散程度的角度对事件作出科学判断的方法,方差与标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数的周围越集中；反之，方差与标准差越大,表明各个样本数据在样本平均数的两边越分散；2。衡量离散程度的常用计算方法——方差与标准差，熟悉用计算器计算方差与标准差的方法，切实掌握相关的计算公式、方法、步骤并对有关数据进行合理解释；3.样本的有效选择对判断有重要影响,知道影响判断、决策的因素是多方面的，在对总体作出判断之前，要充分考虑各种因素，切实体会统计的思想方法；4.样本数据既具有随机性又具有规律性，在很广泛的条件下，简单随机抽样样本的数字特征如众数、中位数、平均数、方差与标准差随样本容量的增加及时稳定于总体相应的数字特征，总体的数字特征是一定的，不存在随机性.作业课本习题2.33、5、7.设计感想本节课一定要让学生体会平均数反映的是一组数据的平均水平,而方差和标准差则反映了一组数据的波动大小。在实际学习、工作中用得非常多，比如选择运动员参加大型比赛时，要看他以前的每次测试的平均成绩，但成绩的稳定性也非常重要；学习上也是如此,稳定了可以给最后的考试提供稳定心理。用这种与生活的息息相关性激发学生学数学的无限兴趣就是老师最大的收获。习题详解习题2。31。=(2×5。1+3×5.2+6×5。3+8×5.4+7×5。5+3×5。6+1×5.7）≈5。39。该厂这个月的平均日产值约为5.39万元.2。在全部数据中找出最小值4.0和最大值7.4,两者之差为3.4，确定全距为3。5,以组距0。5将区间［4.0，