教育统计学课件

引言

一.关于学习教育与心理统计学的几点说明

（-）确定为教育与心理统计学的依据

教育与心理统计，实际上是教育统计与心理统计的合称，如今，教育问题的研究与心理问题

的研究，关系愈益密切，对教育教学问题的深层次的微观研究，常常离不开心理学，因此,

统计方法通常运用于既包含教育问题、又包含心理问题的场合。如，考试理论研究中所运用

的因子分析，既涉及可观察的学生学习行为结果的知识测量，又涉及到不可观察的学生潜在

心理特质的测量。此外，运用在教育研究领域的统计方法，在心理研究领域也基本可用，正

因为如此，教育统计学中的基本统计理论、原理和方法实际上就是心理研究领域中的统计理

论、原理和方法。教育统计与心理统计的差异主要是形式上即材料上的差异而非本质的差异

一即教育统计主要运用教育教学中的数据材料来阐明统计原理和方法，而心理统计则主要

运用心理实验数据或心理测验数据来阐明统计原理和方法。也就是说，统计原理和方法一样，

仅仅是数据材料不同。

（二）掌握统计技术另需具备的工具和书刊

1.具统计功能的计算器或excel电子表格的数据编辑处理方法。

2.spss统计软件全称是statisticspackageforsocialscience（StatisticalProducts-Services

Solution），没有统计软件的支撑，统计知识和方法也基本匕R能停留在理论层面和少量的

数据处理，难以真正运用到实践中。

3.统计软件处理技术必备的自学书籍。《spss在教育统计中的应用》，主编杨晓明高等教育

出版社；《心理实验设计及其数据处理》，主编金志诚，广东高等教育出版社；《数据统计分析

与SPSS应用》主编余建英人民邮电出版社。

4.教育及心理问卷调查必备测量工具书刊《心理卫生评定量表手册》中国心理卫生杂志社

汪向东等共112个心理与教育方面问题的量表。

二.教育与心理统计学产生的背景及意义

随着科技的发展，人类认识、改造世界的能力不断更新，教育工作者已不再满足于对教育和

心理现象只进行哲学的思辨或经验的描述，而开始要求并强调作系统的思考与定量的研究和

分析。（学科发展背景）这一学科发展的背景也正好符合——当代社会科学向数量化、综合

化发展的社会趋势。因此，教育与心理科学的定量化研究，乃是20世纪以来的世界性潮流。

（社会背景）因为教育与心理统计学，就是阐述怎样运用数理统计学原理，对教育和心理问

题进行定量研究的方法论科学，是了解教育与心理状态、认识教育与心理规律的有力工具，

是推进教育和心理研究方法科学化进程的重要基石。因而，学好教育与心理统计学，是跟上

这种教育与心理问题定量化研究的趋势，提高自己的研究水平和研究力度，以及确保教务管

理科学化，等等，都具有积极的意义。

三、教育与心理统计学学习难度的根源解析

覆盖多门学科知识；思维基础的限制；学习习惯方面定势的不良影响；讲授的深浅度难于把

握。

第一章绪论

教学目的：了解教育与心理统计学的作用及其产生发展情况以及学习时应注意的基本问题;

理解教育与心理统计学的性质；掌握教育与心理统计学的主要内容;熟练掌握教育与心理统

计学中的几个基本概念和符号。

教学重点：教育与心理统计学的性质：教育与心理统计学中的几组基本概念和常见符号

教学方法：讲授法讨论法

第一节教育与心理统计学的性质和作用

一、教育与心理统计学的性质

教育与心理统计学：是以数理统计的理论和方法来研究教育与心理现象中数据资料的搜集、

整理、分析和推断，以便发现教育与心理现象的特点和规律的应用科学。

（手段、内容、目的和特性）

为深入理解教育与心理统计学的上述性质，请思考讨论下面两个问题：

1.统计学、数理统计学与教育与心理统计学，三门学科之间有何逻辑联系？

2.教育与心理统计学为什么要以数理统计学为其理论基础？

（或者说,教育与心理现象的研究为什么要借用数理统计的原理和方法？）

对于问题1……

对于问题2,数理统计是通过对随机现象所表现的数量进行搜集、整理、描述和推断，从而

发现其统计规律的一门学科。数理统计学研究的是随机现象（即因存在不确定因素而导致结

果带有偶然性同时又蕴涵一定规律性的现象）。比如，……与此同时，教育与心理领域中也

存在大量的随机现象，这些随机现象之所以难以确定，是因为难界定、难控制、难测量、难

比较、难归因。如，性格的形成、表现及影响，对个体而言，都是难以确定的，具有偶然性，

但同时也潜藏一定的规律性，对同类性格的大多数人来说，性格的形成、表现及影响，又涵

盖了不少规律性的东西。为了能更好地研究这样一些随机现象，就需要以数理统计学为理论

基础，就应该借用数理统计学的原理和方法来加以研究。

二、教育与心理统计学的作用

（-）明确教育、心理现象的性质

（二）比较两种教育、心理现象的差异

（三）分析影响教育、心理现象变化的因素

（四）由局部推测总体

（五）设计最优抽样方案

第二节教育与心理统计学的基本内容

一、根据研究问题的实质分为以下几项内容

（一）描述一件事物的性质

（-）比较两件事物的差异

（三）分析影响事物变化的因素

（四）一件事物两种不同属性之间的相互关系

（五）取样方法

二、根据统计方法的功能分为三种

（-）描述统计

主要研究如何整理心理与教育科学实验或调查得到的大量数据。用于描述一件事物的全貌,

表达•种事物的性质。描述统计又有两方面的内容：

1、绘制统计图、统计表

把收集来的杂乱无序的数据简缩成清晰而易于理解的形式，以图表、数字的形式表现出来。

使研究者从中能够非常直观且迅速地获得有价值的信息。

2、计算出统计量

集中量数差异量数偏态量与峰态量相关系数，等等。

（-）推断统计：用于在一定可靠程

度上，据样木信息对相应总体特征进

行合理推断。

参数估计假设检验（4大检验）：Z检验；T检验：F检验；检验

（三）实验设计

用于研究如何科学、经济、以及更有效地设计实验。……

描述统计是基础和前提，推断统计来自描述统计，是描述统计的深化

第三节学习和应用教育与心理统计学应注意的基本问题

一、在学习教育与心理统计学时要注意以下几个问题

（-）树立学习信心，克服畏难情绪，提高学习积极性

（二）重点掌握各种统计方法的使用条件

（三）进行一定的练习

（四）把握好学习的三个环节：预习、听讲、复习

二、在应用教育与心理统计学的各种方法时要切记以下几点

（-）克服统计无用和统计万能的思想，注意科研道德

（-）需认真分析要处理的实验数据，正确选用统计方法，防止乱用统计

1、分析实验是否合理，即所获得的数据能否用统计方法去处理

2、分析实验数据的类型

般说来，实验数据按由什么方法获得，可分为两大类，一类是通过计算个数的数据，叫计

数数据。如，男女数。另一类是借助于一定测量工具，或一定测量标准而获得的，叫测量数

据。如身高。止匕外，实验数据按其是否具有连续性，又可分为连续数据和离散数据。连续数

据——在某一区间，允许取无限个数量。离散数据——取有限个或者可数的数量

3、分析数据的分布规律

第四节教育与心理统计学中的

几组基本概念和符号

一、随机现象、随机试验、随机事件和随机变量

随机现象：是指在一定的条件下，

有多种可能结果出现，事先不能断言

哪种结果会出现的现象。如：抛一枚硬币。

随机试验：对随机现象的一次观察，称为一次随机试验，简称试验。

随机事件：指随机现象中的每种可能结果，简称事件（常用A、B、C表示）。在SPSS统计

软件中，为了统计处理方便，对于不是以数值表示的随机事件，应将其数量化。如：……

随机变量：对于每一个给定的随机

现象，定义在事件集合上的函数，称为随机变量，简称变量（常用X、Y、Z表示）

例如：抛掷一枚硬币，观察其落地后是“正面朝上”还是“反面朝上这一现象只有两个

可能结果：A代表正面朝上（用1表示），B代表反面朝上（用0表示）。于是可定义一个随

机变量X：

1当A发生时X=0当B发生时

这样，X=1表示“正面朝上”事件；x=o表示“反面朝上”事件。有人做过大量实验，事

件A和事件B发生的概率几乎相等，均为0.5。这个结果可表示为这样的函数关系式：P（X

=1）=P（X=0）=0.5

二、总体、个体、样本和样品

总体：具有某种特征的一类事物的全体，又称“母体”

个体：构成总体的每个基本单元

样本：为了调查总体的性质而从总体中随机抽取的一部分个体所组成的集合成为总体的一个

样本。（常用“n”表示）

样品：样本中的个体称为样品。样本中包含的个体数称为样本容量

特别注意两个问题：

1.总体和样本是相对的。比如，从徐州市随机抽取6所学校，对其学生家长的职业进行调

查。这时，6所学校的学生可作为整个徐州市所有学生的样本，同时也可作为6所学校各班

学生的总体。

2.大样本和小样本也是相对的。一般说来，n大于或等于30为大样本n小于30为小样

本但这种划分不是绝对的。必须根据具体问题加以确定。如要对全国中学生心理素质状况进

行调查，那么抽取n=50甚至100仍然不能算是大样本。因为这样的数量相对于全国的中学

生而言，是微乎其微的。

三、次数、频率、概率和概率分布

次数：某一随机事件在某一类别中出现的数目，又称为频数。统计学上往往将人数、只数、

个数、头数等等统称为次数或频数。（用"f”表示）。如：

频率：又称相对次数，某一事件的次数被总的事件数目除，也就是某一数据出现的次数占数

据总数目的比例。用公式表示为：

频数/总数目一频率

频率常用比例表达，有时也用百分数表示。

概率：又称机率，是指在一定条件下，对一个事件出现的“可能性大小”的度量（用“p”

表示）

概率分布：说明一个随机变量可能

取哪些值以及有多大的概率取到那些值的表达式。如：P（X=xi）=pi（i=1,2,3-）表示

的就是，若X为离散型随机变量，可能的取值范围是xi,X2,X3取值xi的概率

为pi,于是把上述表达式称为X的概率分布或者概率密度

常用的概率分布有：两点分布、二项分布、正态分布、分布、t分布和F分布6种。

四、统计量和参数

统计量：又称统计特征数，是指在

研究中对样本信息计算得到的各种

量数，它能描述一组数据的特征。如

平均数、中数……

参数：又称总体参数，是指从已知

的统计量推论得到的相应总体的各种量数，它能描述一个总体的情况。比如，由样本平均数

推论得到的总体平均数，由样本标准差推论得到的总体标准差，以及由样本相关系数推论得

到的总体相关系数等等。

几种常用的统计量和参数的符号

名称统计量参数

算术平均数口

标准差S

方差S2

相关系数rP

希腊字母表及其读音与意义

序号大写小写英文注音国际音标注音中文注音意义

1Aaalphaa:lf阿尔法角度；系数

2Bpbetabet贝塔磁通系数；角度；系数

3rYgammaga:m伽马电导系数（小写）

4△6deltadelt德尔塔变动：密度；屈光度

5Eeepsilonep'silon伊普西龙对数之基数

6ZCzetazat截塔系数；方位角；阻抗；相对粘度；原子序数

7Hnetaeit艾塔磁滞系数；效率（小写）

8€）9thet9it西塔温度；相位角

9Iiiotaiot约塔微小，一点儿

10KKkappakap卡帕介质常数

11AA.lambdalambd兰布达波长（小写）；体积

12Mumumju缪磁导系数；微（千分之一）；放大因数（小写）

13Nvnunju纽磁阻系数

14E&xiksi克西

150oomicronomik'ron奥密克戎

16ITnpipai派圆周率=圆周+直径=3.1416

17PPrhorou肉电阻系数（小写）

18Sosigma'sigma西格马总和（大写），表面密度；跨导（小写）

19TTtautau套时间常数

20Tuupsilonjup'silon宇普西龙位移

21e6phifai佛爱磁通；角

22Xxchiphai西

23甲Wpsipsai普西角速；介质电通量（静电力线）；角

24omegao,miga欧米伽欧姆（大写）；角速（小写）；角

五、误差、系统误差、随机测量误差和抽样误差

误差：测得值与真值之差，以及样本统计量与总体参数之差。

系统误差：在搜集资料的过程中，因仪器不足，主试者暗示或对一些实验指标掌握过宽或过

严，可导致测量结果呈倾向性的偏大或偏小。应力求避免。

随机测量误差：在搜集资料的过程中，即使方法能够统一，仪器得以校正，但由于各种偶然

因素影响，会造成对用同一方法对同一对象多次测定的结果不完全相同，这种误差往往没有

固定的倾向，而是有的稍高，有的稍低。如，被试自身带到实验中来的各种因素和特征：象

被试的年龄、性别、智力水平、学习经验以及被试实验过程中的兴趣、态度和疲劳等因素。

随机测量误差可尽量缩小，但一般难以完全避免。

抽样误差：随机样本的统计量与总体参数之差。

第五节教育与心理统计的常见问题类型与SPSS

一.问题类型

①对采集数据的一般性统计。如频数、频率、均值和方差等。例如，抽样调查某地区家庭义

务教育支出，其中问卷调查项目有家庭人口、父母受教育年限、子女人数、上学人数、家庭

人均收入、家庭人均支出、教育支出、少数民族比例。要对整个抽样加以统计，说明此地区

的上述指标情况，就要做一般性统计分析。

②两个总体之间某类特征数据的差异显著性。例如，研究我国重点与非重点两类大学毕业生

收入有无差异问题。

③多个总体之间某类特征数据的差异显著性。例如，研究具有博士学位、硕士学位和学士学

位毕业生的期望收入有无差异的问题。

?一个或多个因素对结果影响的显著性。例如，不同性别、不同地区、不同家庭背景的学生

接受高等教育情况有无差异；教学手段与课外科研活动是否对学生学习成绩有影响。

⑤两个特征变量数据的相关性（相关程度）大小。例如，个人受教育年限与个人收入关系的

密切程度。

⑥一变量和另一变量或多个变量之间的近似函数关系。例如，一个地区人均教育支出与人均

国内生产总值近似的函数关系。

⑦某变量是否服从特定分布。例如，某校学生月生活费支出是否服从正态分布。

⑧如何将多个研究对象进行分类（聚类）。例如，将我国31个省市按人均教育经费多少分成

五大类。

⑨如何将多个指标描述的对象简化成少量指标描述。例如，影响小学辍学率的因素有很多，

比如人均国内生产总值、人均教育经费、农民人均收入、当地文盲率等十几个因素，能否简

化成几个综合因素（因子）。

⑩如何将多个用不同量纲指标描述的研究对象进行综合排序。例如，衡量一个地区现代化水

平有多个指标，而且这些指标量纲都不一样，现有儿个地区，按教育现代化水平这一量纲指

标排序，如何进行。

二.数据类型

按照统计学处理问题的方法分类，不同的数据类型有不同的统计分析方法。一般分为定性数

据和定量数据。定量数据中又分为：服从或近似正态分布的数据；非正态分布数据。

三.SPSS如何解决教育与心理统计中的问题

解决上述10种问题的SPSS统计方法如下表所示：

解决

方法

问题

类型数据类型

定性

数据定量数据

服从或近似非正态分布

服从正态分布

?数据清理与基本统计分析数据清理与基本统计分析数据清理与基本统计分析

?卡方检验

一般卡方检验T检验

配对T检验

两组独立样本的T检验

非参数检验;两组独立样本非参数检验；

两配对非参数检验

?卡方检验方差分析非参数检验;多独立样本非参数检验；

多配对非参数检验

?方差分析多独立样本非参数检验；

多配对非参数检验

?卡方检验相关分析相关分析

?回归分析回归分析

?非参数检验;单样本K-S检验

?聚类分析聚类分析聚类分析

?因子分析与主成分分析因子分析与主成分分析因子分析与主成分分析

?因子分析与主成分分析因子分析与主成分分析因子分析与主成分分析

注：基本统计分析包括频数统计、描述性统计、均值、均值标准误差、中位数、众数和全距、

方差和标准差、四分位数、十分位数和百分位数、峰度和偏度、参数估计（总体均值与总体

方差的估计?参数的点估计、计算总体均值的置信区间?参数的区间估计）

课后作业与练习：

1、什么是教育与心理统计学？它的作用和内容有哪些？

2、名词解释

随机现象、随机试验、随机事件、随机变量、次数、频率、概率和概率分布、误差、系统误

差、随机测量误差和抽样误差

3、举例说明什么是总体、个体、样本和样品？什么是统计量和参数？

4、熟练掌握Excel数据录入及图表制作方法。

第二章数据的搜集、整理和表达

教学目的了解数据整理和表达的意义；掌握各类数据的区别和联系；掌握数据整理和表达的

主要方法；熟练掌握数据分组和编制次数分布表的步骤及方法。

教学重点各种数据资料的异同及适用统计量；数据整理和表达的主要方法；数据分组和编制

次数分布表的步骤及方法。

教学方法讲授法讨论法

第一节数据资料的搜集

一、搜集数据资料的意义

（一）搜集数据资料是统计工作的第一步

（二）搜集数据资料是统计整理和统计分析、推断的前提和基础

（要求：根据研究目的和实事求是原则、运用科学方法、准确并及时搜集统计资料）

二、数据资料的来源

在教育与心理研究中，统计资料主要来自教育与心理实验、教育与心理测验以及教育与心理

调查三种途径。

（-）实验数据

通过教育与心理实验得到的数据，应采用何种统计方法，与实验设计的方法有关。这部分内

容属于《心理科学研究方法》这门学科，因此这里不再展开。

（二）测量数据

教育与心理测验是一种特殊的调查，但由于测验已经形成一套相当完整的理论，因而不再归

于调查而自成体系。

（三）调查资料

1、按调查对象的范围划分，有全面调查和非全面调查

2、按调查时间划分，有经常性调查和一次性调查

3、按调查的组织方式划分，有统计报表调查和专门调查

统计报表主要指教育部门逐级向上呈报的各种表格，教职工情况登记表、学生情况登记表和

经费收支情况登记表等等。

4、按调查方法划分，有观察法、访谈法、报告法、问卷法、文献法

其中，报告法是按隶属关系逐级呈报资料的方法。

运用上述调查方法搜集数据资料，需要首先制定调查方案。调查方案的制定包括以下工作：

明确调查的目的和任务是什么；确认调查的对象和范围；理清调查的内容和项目；运用什么

调查方法和方式；对调查活动的组织领导——又包括思想准备、组织准备、人员训练、力量

配备、文件及表格的拟制和经费预算等。

第二节数据资料的整理

当我们从……

・、变量与数据的基本问题

（-）变量的基本问题

1、变量的涵义：表示事物某一特性的量。由于事物总是发展变化的，……在某一变量中，

一旦某个值被确定，就把这个值称之为这个变量的一个数据。比如，……变量是上位概念,

数据是从属于变量的下位概念。

2、变量的种类

（1）按变量的测量水平即标定（或表示）事物的明确程度分为以下几种

A称名变量（又叫定类变量或类别变量）

（I）涵义：按事物的某一特性，划分并区别事物不同种类后，用数字化的方式来表示所形

成的变量。如，……

二分称名变量：只有两项类别或两种变化结果的称名变量。

（II）特点及适用统计方法：

a表示称名变量的数只能叫数字或数码，而不能叫作数值或数据，只起分类标记作用，而无

数量和序列的涵义。如学号，我是1号，你是2号，所以我比你高明吗？69路公交车就一

定比67路公交车的服务质量好吗？

b不能直接进行量化分析和加、减、乘、除四则运算。男（1）+女（0）=?对+错=?

c在相关分析中，可用点二列相关系数和相关系数等统计指标来表示变量间的特征；在描述

统计分析中，统计图/统计表/频数/频率；在统计假设检验中，可采用卡方检验

B等级变量（又叫定序变量）

（I）涵义：在对事物的分类过程中，依据事物某种特征或属性的程度大小而排列成序所形

成的变量。如，...

（U）特点：

a既无绝对零点，也无相等单位

所谓无绝对零点，是指无绝对的从。开始的起始点或参照点。……

此外，所谓无相等单位，有两层涵义：一是指，各等级间差距的意义不同即不相等。如，优、

良、中、各等级间的差距是不相等的；二是指，评定各等级时使用的评定标准即单位值是不

一致的即不相同的。如：某同学成绩在徐师大评为中等，但在九州大学则可能评为优等，或

者相反，显然是由于衡定、度量各等级的标准（单位值）不等造成的。而体重、身高等则不

会出现上述情况。

b等级变量不能进行加、减、乘、除四则运算。因为加减法运算有-•个前提：参加运算的数

据须有相同的单位。1只苹果+1只橘子=?1名+2名=?这里的“名”不是它的单位，优等+

良等=?

c如果是等级变量，在描述统计中，可用中位数、百分位数、频数、频率、统计图、统计

表；在相关分析中，可采用等级相关系数等统计指标，表示其变量间的特征；在统计假设检

验中，可采用卡方检验。

C等距变量（又叫定距变量或间距变量）

（I）涵义：依据某一特性划分事物类别时，既编排了顺序，又具有相等度量单位的变量。

（II）特点：

a单位相等（即数据等距、度量的单位值相同），如温度，摄氏10度与摄氏9度，同摄氏

9度与摄氏8度，都是相差1度，所以这种数据是等距的，具有相同单位的。一般有相对参

照点，但无绝对参照点，温度为。不是一点温度都没有，所以这里的0不是绝对零点即并非

绝对的起始点，而只是一个相对的参照点，是一个人为规定的相对参照点，是“1个大气压

下纯水结冰的温度”，如果当时物理学家将“1个大气压下煤油结冰的温度”规定为摄氏0

度，这样一来，纯水结冰时的温度就不是。度，而会高于。度。

b可以进行加、减运算但不能进行乘、除运算。如，可在2个温度之间进行加减运算，可

以说今天最高气温（30度）比昨天最高气温（20）高10度，这是减法运算的结果，但不能

说今天最高气温（30度）是昨天最高气温（20度）的1.5倍，即不可以进行30/20=1.5这样

的乘除法运算，因为乘除运算的前提是：须有绝对零点。

c如果是等距变量，既可用前述描述统计的方法，也可用平均数、标准差等统计分

析方法；相关分析中，可采用积差相关系数等统计指标，表示其变量间的特征；统计假设检

验中，适用于各种检验方法。

D比率变量（定比变量）

（I）涵义：表示事物某一特性的变量，既有绝对参照点，又有相同单位的变量。如长度、

重量、体积等数量，其绝对零点都是0,就长度而言，。米就是在始发地，一点距离都没有；

就重量而言。千克就是一点质量都没有，并且这样的。作为起始点是不以人的意志为转移的，

因而是绝对的零点。同时3米和2米,2米和1米相差的距离始终是相等的，所以单位相等。

（II）特点：

a可以进行加、减、乘、除四则运算…

b适合等距变量的统计指标和方法，都适合比率变量

讨论：5分制和100分制是定序变量还是定距变量？

（2）据变量的性质不同，可分为以下两种

A、连续变量

（I）涵义：在变化范围内，可取得任何数值的变量。……

（II）特征：

a数值可以是小数或分数

b借助于某种测量工具得到的，称之为测量数据或计量数据

（III）几何意义及表达式

a数轴上的一段距离

b具有实数的稠密性

实限:连续变量的取值所确定的区间界限，其中较大的界限值称实上限,较小的称为实下限。

确定法：向连续变量的取值的上下各移动最末一个数位的半个单位值而得到的两个数。10

米的最末一个数位是个位，表明是用以1米为一个单位值去度量得到的长度，所以它的一半

就是0.5,于是上实限为10+0.5=10.5；下实限为10-0.5=9.5。

例1：确定连续变量取值19.6的实限。

例2：确定确定连续变量取值10.00的实限。

练习：74.825；80.00005

表达法：大于等于下限，小于上限［）左闭右开

B、非连续变量（离散变量）

（I）涵义：在变化范围内，只能取一定数值，且彼此不连续的变量。

附：数值是整数，通过计算个体数目多少而得到的称之为计数数据。

（11）几何意义及其表达：代表数轴上的一个独立的点值，取值是有限的。对于非连续变量

来说，其变量值不存在实限问题。所以可直接表达。1,2,3,4-

（-）数据的基本问题

1、数据的涵义：事物关系的具体表

现形式，它是从量的方面去反映和标志事物某种特征的有单位的数值。它是对具体事物进行

计数或测量的结果。如，

2、数据的特点：

A变异性（波动性）：即用同一方

法对同一样本的各个个体进行测

试所获得的结果不同，甚至用同一方法多次测试同样个体，结果也不完全相同。……

B规律性：在一定时空范围内，数据呈现差异的同时又存在一定的规律性。……

3、数据的种类：

（1）数据的获得方式不同：可分为

A计数数据：计算个数的方式得到的数据，以整数的数量形式表示。

B测量数据：借助一定的测量工具或一定的测量标准而得到的数据

既可以是整数，又可以用分数来表示。它只是一个代表值.

（2）根据数据是否具有连续性，可分为离散性数据和连续性数据。

一般说来，数据测量水平（等级）越高，应用范围越广泛；反之，应用范围越受限。等级高

的数据可兼有等级低数据的功能；而不能相反。统计学上也将数据分为两大类型：定性数据

和定量数据。定性数据也称品质数据，它说明的是研究对象的品质特征，不能用数值来表现，

主要代表定类数据和定序数据。在spss中为处理方便，常用数字或数码去标示它，但这时

的数字或数码

只起分类标记作用，而无数量和序列的涵义,因而不是数值或数据;定量数据也称数量数据，

它说明的是研究对象的数量特征，能用数值来表现，主要代表定距数据和定比数据。对于这

两类不同类型的数据，要采用不同的统计方法进行处理和分析。对品质数据通常计算出频数

和频率，并进行卡方检验；而数量数据则可以用均值和其它更为复杂的统计方法进行分析，

并进行Z检验、F检验和T检验。

二、数据资料整理的意义

1、统计资料的整理是对统计调查的进一步深化

2、统计资料的整理是统计分析的前提

三、数据资料整理的方法

（-）鉴别资料的真实性

方法：计算检查；逻辑检查

(-)分组和次数分布

1、分组。分组也叫归类，即根据形式不同，可分为

(1)性质类别——按照事物的不同性质进行分类。如，将学生作文成绩分为：甲、乙、丙、

丁，将健康状况分为：好、中、差，将员工对工作的满意度分为：很满意、基本满意、不满

意。等等。然后再把具有相应性质的人归入某个等级组中，以便查明各等级组的人数情况和

总体的情况。

(2)数量类别——按照数值大小排序分组

A等级排列，即按等级大小排列成序。究竟是数值大的还是数值小的排在第一等，这要看

事物本身所反映的性质。如果是学习成绩或能力测验分数，当然是数值大的为第一等级；如

果是反应时及完成一项工作所需要的时间，数值小的当然为第一等级。止匕外，在对一组数据

按等级排序时，常遇到等级数值相同的数据，如：61,60,60,58,57,57,57,55,这

时又应当怎样排等级呢？

具体方法是：不管相同数目的个

数是多少，将其各相同数据应占的等级相加再平均(相同数据所在的等级相加再除以数据的

个数)，所得的平均等级作为这几个相同数据的共同等级。……

1(61),2.5(60),2.5(60),4(58),6(57),6(57),6(57),8(55)

这里应注意两点：等级数应与数据的个数相同，即8个数据应有8个等级数：在相同数据后

面的数据，其等级应与相同数据等级平均之前所占等级相连接。如：58为第4等，那么相

隔3个书后的55应为第8等。

B按照数值大小直接由小到大排列。如果数据太多，就要编制•个次数分布表。

2、编制次数分布表

(1)次数分布表的涵义：表现总体单位在各组的次数分配情况的统计表，叫做次数分布表

(2)几种常见的次数分布表的编制

A简单次数分布表

结构：组别(观测值分组)和次数(频率)构成。见P35

a整列并求全距

全距：最大值与最小值间的距离，即该组数据最大值减最小值之差用R表示

b定组数：分组的数目即为组数。

用K表示。组数要根据数据多少来确定，但编制次数分布表的前提是“数据较多”，所以数

据就不会很少。如果数据在100左右或更多，那么根据经验，组数一般确定为10-15；或

者按照计算公式精确计算，如P32公式。

c求组距

组距：各组数据的组内间距。组距内的各数据即便数值有大小之别，但统计学上，每个数据

都有平等分享组距空间的权益，也就是说,组距内的每个数据所占的组距内的距离是等长的。

用i表示

i=R/K即分组后上下限之间的距离。组距一般取整数值。

d定组限

组限：各组数据的起止范围，即各组数据在数值上的起点值和终点值。但为了计算方便，常

把最高或最低组组限稍作延伸。见P34。组距和组限确定后，如果从最低组开始分组，那么

第一组为60~63,按照连续数据的性质，该组的实际上下限应当的59.5~62.5,再根据左闭

右开的数据区间的归属原则，小于62.5的数据应归入该组；等于或大于62.5的数据应归入

63~66这一组，因为63~66的实际范围是62.5~65.5，其余类推。按照习惯，次数分布表中，

各组的上限常常省略。见P35次数分布表。

e求组中值

组中值是居于各组数据分布中点位置的数值，是各组数据的代表值。如85-89这组内有85,

85,85,88四个数据，虽然有3个数都不与组中值87相等，但我们在对次数分布表中的分

组数据进行统计量的计算时，都用87这•组中值代表组内4个数据，这虽然与原始数据计

算的统计量有一定误差，但正负抵消之后的误差一般都在允许的范围内。正因为如此，我们

才能以组中值作为该组内所有数据的代表值。组中值用符号M或Xc表示

f归类划记

g记录次数

h核对

B、累计次数分布表

以简单次数分布表的基础，就可编制出累计次数分布表。见P37

C、相对次数分布表即频率分布表

此外，还有累计百分比分布表和双列次数分布表，只要简单次数分布表的编制方法和技术掌

握后，……

第三节数据的表达

（重点・自学）

一、统计表

（-）统计表及其作用

（-）统计表的结构：标题、表号、标目、线条（两边不封闭）、数字、表注

（三）统计表编排原则和要求

（四）统计表的种类及其编制步骤

二、统计图

（-）统计图及其特点作用

（二）统计图的结构：标题、图号、标目、图形、图注

（三）统计图的编排规则

（四）统计图的种类及其编制步骤

提醒：请熟练掌握excel（电子）表格的数据录入和图表制作方法。该技术可用于基本的信

息统计和教务管理以及简单的定量研究。

***

SPSS中两种数据录入及数据排序方法

见P10对中学家长的问卷调查spss中如何定义变量及录入数据（spss配套数据EG2-1中学

家长问卷）。

课后作业与练习：

1、定类变量、定序变量、定距变量和定比变量的涵义、特点与适用条件

2、调查方案的制定应作好哪些工作？

3、写出下列各数的精确限

832.9,7,675,23.0,78,1.302

4、编制统计表和统计图各应遵循哪些原则？

5、条形图、圆形图和次数分布图分别适合什么样的统计资料？

6、名词解释：连续变量、离散变量、品质数据、数量数据

7、P53第4、6、7题。

1.定性数据/品质数据/离散数据/计数数据/等级数据等---适用的基本统计分析方法有--…

频数/频率/统计图/统计表/卡方检验以及一些相关分析方法

2.定量数据/数量数据/连续数据/测量数据/定距数据/定比数据--适用的基本统计分析方

法有-一一频数/频率/统计图/统计表/平均数/标准差/各种检验方法以及一些相关分析方法

第三章集中量数

教学目的：了解集中量数的作用与种类；理解集中量数、集中趋势、权数、权重与加权；掌

握集中量数性质、特点、适用范围和优缺点；熟练掌握各集中量数的计算及使用。

教学重点：权数、权重与加权；集中量数性质、特点、适用范围和优缺点；加权算术平均数、

儿何平均数和中位数的应用

教学方法讲授法讨论法

第一节集中量数的概述

前面我们讨论了数据资料的搜集、整理和表达……

一、什么是集中量数

代表•组数据典型水平或集中趋势的量，又称代表值。如，常用平均水平（平均数）代表」

个班级或一个群体的整体水平或一般水平。

二、什么是集中趋势

数据向某一点集中或靠近的现象，称为数据的集中趋势。如，全年级同学的成绩都会在平均

数上下或左右波动，距离平均数远一点的数据即高分和低分会相对较少，离平均数越近的数

据会逐渐增多，数据的这种向某一点（比如平均数）集中或靠近的现象，就是数据的集中趋

势。

三、集中量数的作用和种类

(―)作用

1、能反应大量数据向某一点集中的情况。据此，我们一旦知道某个群体的平均水平，也就

能确认这个群体中绝大多数个体的水平与平均水平差不多。

2、它把研究对象各量数的差异抽象

化(模糊化)，用一个概括一般

的简单数据来描述和代表研究对象的一般水平，并且可用它对同质的另一个研究对象作比较,

还为进一步的统计分析奠定基础。

(-)种类

1、算术平均数(M或)___Mean

2、中位数(Md)------Median

3、众数(Mo)Mode

4、几何平均数(Mg)___geometricmean

5、调和平均数(MH)—harmonicmean

第二节算术平均数

一、算术平均数的概念及特性

(-)算术平均数的概念

各观测值的总和/观测值的个数所得之商，可称为均数、均值、平均数，它是统计学中最

常用的。公式为：

(-)算术平均数的特性(数学性质)

1、平均数与观测值个数的乘积等于各观测值的总和

2、如果对每个观测值加减一个任意值A,那么平均数也增加或减少这个数A。

3、如果每个观测值乘以或除以任意一个值A,那么也等于平均数乘以或除以该数A。

4、各观测值与其算术平均数之差的总和等于0。即离均差或离差之总和为0。

5、各观测值与平均数离差平方和同各观测值与其它任意值的离差平方和相比为最小。这

就是推论统计中常用到的“离差平方和最小”原则，即山该性质推导而来。并且，根据该原

则，可推定“样本平均数是总体平均数的最佳估计值”。

二、算术平均数的计算方法

(-)简单算术平均数(据原始数据计算)

(二)加权算术平均数

1、相关概念：

A、权数：即各变量值出现的次数或在一个总体中所占的比重(通常用分数、频率或比率表

示)。

B、权重：即某数据出现次数的多少，可以权衡其在该组数据中的重要性或代表性程度，有

权衡轻重的意思。

C、加权：用权数乘以各变量值，即所谓对变量值进行加权。

2、计算方法：

①据原始数据求平均数

原始数据还在，且各原始数据的权数(次数或比重)已知，则按下列公式计算。

例1某年级4个班的学生人数分别为50,52,48,51,期末各班数学考试平均成绩依次为

90,85,88,92,求年级的平均成绩。

例2某小学三年级数学期末总平均成绩规定为平时占20%,期中占30%,期末占50%。某

学生数学平时成绩为96,期中考试成绩为80,期末考试成绩为92。求该生期末总平均成绩。

②据分组后的数据求平均数

若数据资料已分组，原始数据已不见，但每组数据的个数或次数已知或可求出，那么，可用

组中值代表该组内各数据。这时的计算公式为：

其中，f为各组的数据个数即代表组内各数据的组中值的权数，Xc为各组组中值，为为数据

总数目即N。例题见P58

三、算术平均数的优缺点

（一）优点

1.一般优点：

（1）反映灵敏

（2）确定严密

（3）简明易懂

（4）适合代数运算

2.特殊优点：

（1）只知一组观测值的总和与总频数即可求算术平均数。

（2）用加权法可求出几个平均数的总平均数

（3）据样本数据求得的算术平均数最接近于总体平均数的真值，（这是与中数和众数等集中

量数相比而言）它是总体平均数的最好估计值。

（4）在计算方差、标准差、相关系数以及进行统计推断时，都要用到它

（二）缺点

1、易受两极端数值的影响

2、一组数据中，某个数据的大小，糊涂不清或不够确切，就无法计算平均数。

3、整理的数据，组距不等距的情况和分组出现开口组的情况

四、算术平均数的适用条件

（-）适用于同质数据，不同质的数据，不能计算算术平均数

（注：同质数据——指使用同一个观察手段，采用相同观测标准，能反应某一个问题的同一

方面特质的数据）

2、要求,组数据中每个数据都比较准确、可靠，若数据模糊不清或分组资料有不确定

组限时.，不能计算平均数。

3、无极端值出现，这是平均数受极端数据影响较大的缘故

4、需要得到一个相对精确可靠的集中量数或进一步参与其它运算。

5、只适合用几何平均数的情境则不宜用算术平均数

第三节中位数

一、中位数的概念

是指一组数据按大小顺序排序后，位于一组有序数据中间位置的量数，又叫中数，或中点数

二、中位数的计算方法

（-）数据较少时山原始数据求中位数

若数据个数N为奇数，那么位于中间位置（N+1）/2,若数据个数N为偶数，那么居于中

间位置N/2和N/2+1上的、那两个数的平均数是这组数据的中位数。

例1,5名学生的语文考分60,68,71,80,83的中位数是？

例2,8名学生的数学考分58,64,70,74,79,81,89,92的中位数是？

（二）当数据个数较多既可直接通过spss操作得到，也可在次数分布表求中位数，公式为：

见P58次数分布表。由于中位数所在位置与次数累积方向有关，所以，我们仅以自下而上累

积的次数分布情况为例，讨论如何计算中位数。自上而下累积的次数分布情况基本思路一样。

具体步骤：

1、求N/2,为中位数所在的位置，并找出中位数所在的分组区间

2、确定中位数所在的分组区间的精确下限，记为Lmd

3、求含有中位数那一区间组下限Lmd以下的累积次数，记为ni

4、求N/2与ni之差，记为

（N/2-ni）,表示中位数所在位置到该组的精确下限Lmd这一段距离内有多少个数据。……

（三）在中位数附近出现重复数据时求中位数

具体步骤：

1、将这些相同数据视其在组距为1的次数分布的同一组中

2、确定中位数所在组的精确下限

3、根据

求它

如:求数据2,3.8,5,5,5,8,8.7,10的中位数

三、中位数的优缺点

（一）优点

1、不受两极端特殊量数的影响

例：一项研究通过调查得到19名中学教师月收入情况如下（单位，元）:1200,1270,1300,

1310,1320,1320,1350,1360,1370,1390,1400,1450,1460,1490,1530,1580,

1600,3200,4000«请问,他们的月平均收入情况如何?

解：因这19名教师的收入中存在极端数据，M=1626.3元，已不能很好反映他们的平均收入

情况（19人中有17人月收入低于16263元），故应用中位数来代表其一般水平。于是，Md=

（19+1）/2=10,即1390元。

2、在两端界限不明确的分布中，即分组出现开口组时，不能求平均数，但可以求中位数。

3、•组数据中有个别数据不确切、不清楚时，要用中位数反映其平均水平。

（二）缺点

1、不适合进一步代数运算。如，不能将N个中位数综合求出一个总的中位数。

2、反应不够灵敏。求中位数不是每个数都参与计算，而主要由数据的个数决定，所以它反

应不够灵敏，但这正是中位数的特殊价值所在。

四、中位数的适用条件

（-）当一组数据有极端值时。

（-）当一组有序数据有个别数据模糊不清时。

（三）当需要快速估计一组数据的代表值时。

（四）分组资料有不确定组限即分组出现开口组时。

第四节几何平均数

一、儿何平均数的涵义及基本公式

(-)涵义

当一组数据中存在极端数据且分布呈偏态时，或者当i组数据中任何相邻数据之比，接近于

某个常数，即数据按一定比例关系变化时，用来表示其平均水平的量数。

如第一种情况：3,6,9,10,35。

因出现极端数据35,且呈偏态。

第二种情况，如，某高校自93至96年的招生数分别为：1000,1600,1680,1728。因相

邻两数据之比为常数1,如果要了解这几年的平均变化情况以及平均增长情况，就必须用几

何平均数来表示。当然，如果只需了解这几年的平均招生人数，则用算术平均数表示。

(二)基本公式

二、几何平均数的应用与计算

(-)当一组数据存在少数极端数据，分布呈偏态时，直接用基本公式计算几何平均数

例：有一研究者想研究介于S1与S2两感觉的物理刺激量是多少，他随机抽取10名被试,

让其调节一个可变的物理量的刺激，使所产生的感觉恰好介于S1与S2之间，然后测试所

调节的物理刺激量，10名被试的结果如下：5.7,6.2,6.7,6.9,7.5,8.0,7.6,10.0,15.6,

18.0

因发现有15.6和18.0两极端数据，且分布呈偏态，所以直接用基本公式计算。经计算，结

果为8.552。如果计算算术平均数，则为9.22,显然偏大。相比之下，几何平均数更能代表

该组数据的集中趋势。

(-)当一组数据间的变化是按一定比例关系变化时，如果想了解平均变化情况和平均增长

情况，要用几何平均数基本公式的变式计算

①每年的变化率已给出，直接用公式

例：已知某校四年中各年度的学生人数分别为上一年的1.12倍，1.09倍，1.08倍和1.06倍，

求年度的平均变化率。

注意：此时的1.12等比率值即是原始数据。两者相同的是，表示的都是平均水平；不同的

是，前者求的是几何平均数，而后者求的是平均变化率。

②每年的变化率没给出，只有原始数据，则用公式

注意：1、其中al表示一组数据中最先的原始数据，aN表示最后的原始数据。

2、a2/al相当于基本公式中的XI

基本公式中的N表示N个数据，而据原始数据求平均变化率中的N-1表示N-1个比率值。

★如果要了解平均变化情况或平均变化比率，就直接用上述公式。可见，平均变化情况或平

均变化比率，既可根据比率求出也可根据原始数据求出。

★在平均变化情况或平均变化比率求出后，如果要进一步了解教育经费的平均增长率、学习

进步率或提高率等，可据得到的平均变化率或平均发展速度，再用公式：平均增长率=平均

变化率-1,求出平均的增长率、学习进步率或提高率。如上例。

★在得到平均增长率后，如果还要进一步了解——从某一年开始预测未来几年的情况，那么

可用上述公式的又一变式X=X'*(Mg)N其中X表示想了解的未来情况的预测数

X'表示预测基础数，从哪•年开始预测，这•年的基础数是多少

Mg=l+平均增长率即平均变化率，N表示预测的年度数目(3年后……，那么N为3),或

者，从2005年开始预测，到2010年该校的招生人数是多少？这种情况下，

N=预测终止年-预测的起始年

练习：

例1：某生第一到第五周分别记住英语单词数为：20,23,26,30,34。问该生记英语单词

的平均变化率是多少？进步率又是多少？

例2：某校连续四年的毕业人数分别依次是：980,1100,1200,1300,问毕业生平均增长

率是多少？若该校毕业生一直照此速度增长，那么再过5年，该校毕业人数是多少？

例3：某校1970年的教育经费是10万元，2002年是121万元，问该校教育经费的年增长

率是多少？若一直按此比率增加，问2010年该校的教育经费是多少？

（三）几何平均数的适用条件

1、求一组等比或近似等比数据的平均数时

2、一组数据中有少数偏大或偏小的数据，数据分布呈偏态，求平均数时（此时算术平均数

已不能很好反映数据的典型情况），当然这种情况下求中数、众数也可。

3、在教育领域，主要应用几何平

均数求平均发展速度、增长率、

进步率、提高率，以便对某个理

想目标进行预测估计

***

见P69对中学家长的问卷调查spss基本统计分析中如何计算集中量数（spss配套数据EG2-1

中学家长问卷与EG13-1某班学生成绩）。

应用crosstabs进行分析----实例---潘P62

课后作业与练习：

1.名词解释：集中量数，集中趋势，权数，权重，加权

2.简答题：

①算术平均数的优缺点及其适用条

件

②几何平均数在教育上的作用

③中位数的适用条件

3.计算题：

①某年级有5个实验小组，第一组8人，第二组13人，第三组11人，第四组9人，第五组

10人，在一次实验后得知各组平均分依次分别为：81,79,84,90,73,求全年级5个实

验小组的总平均分。

②某初中最近4年毕业生统一会考的平均成绩如下，问，该校初中毕业成绩的平均变化率是

多少？

时间：1992199319941995

成绩：52.3160.6563.7871.42

?某市1998年至2002年高中毕业生人数分别为：2000,2200,2430,2600,2880,问，

该市这几年高中毕业生人数的年均变化率和年均增长率是多少？照此速度增长，到2010年

该市有多少高中毕业生？

④P80第4题、第5题

第四章差异量数

教学目的：了解差异量数的种类及其与集中量数的区别；理解差异量数、离中趋势、绝对差

异量数和相对差异量数；掌握百分位差、标准差、差异系数和标准分数的性质、特点、适用

范围和优缺点；熟练掌握百分位差、标准差、差异系数和标准分数的计算与运用。

教学重点：绝时差异量数和相对差异量数；百分位差、标准差、差异系数和标准分数的性质、

特点、适用范围和优缺点及其运用。

教学方法：讲授法讨论法

在进入差异量数讨论之前，我们先看看下面的问题：

某班有甲、乙两位同学，数学的平时测验分数为：

甲：54,63,70,82,90,74,99

乙：67,70,72,82,78,79,84

现在要从中选1名学生参加全市的数学竞赛，请问，该选谁去最好？……

第一节差异量数的概述

一、什么是差异量数

所谓差异量数就是用来衡量数据离中（注意与集中量数的区别）趋势大小程度的量数。

二、什么是离中趋势

一数列中各数据离开集中量数（如平均数）距离远近的趋势

三、差异量数的种类有哪些

全距百分位差平均差方差或标准差差异系数标准分数T分数等

四、在数轴匕集中量数与差异量数有何不同

在数轴上集中量数表现为量尺上的一点，是点值。

而差异量数表现为量尺上的一段距离。全距是最大值与最小值之间的一段距离；百分位差是

两个百分位数之间的一段距离；平均差是每个数据与平均数之间的平均距离；标准差是总体

数据与平均数的标准距离（经过标准化处理的平均距离），即以平均数为1个单位值对总体

数据的差异程度进行度量，表示差异程度有多少个平均数。标准差的平方就是方差，反之，

方差的算术平方根就是标准差;差异系数是以平均数为1个单位值对标准差的大小进行度量,

表示标准差的大小有多少个平均数。标准分数是以标准差为1个单位值去度量每个数据距离

平均数有多远，也就是有多少个标准差。可见，差异量数表示的都是量尺上的一段距离，只

不过这段距离的单位不同而已。

第二节全距和百分位差

一、全距（极差）

（-）全距的性质

.......R=Xmax-Xmin

（二）全距的计算方法（SPSS）

（三）全距的作用和适用情况

……一般情况下，全距只用于资料的预备性检查，目的在于大体了解数据的分散范围，以便

确定分组的方法。但是……

A:l,2,5,10,15,18,19

B:2,8,9,10,14,19,17,20

二、百分位差（百分位距）

（-）涵义

用次数分布中，两个百分位数之间的差距，来描述数据离中趋势的种差异量数。即在一定

范围内求全距。

常用的百分位差：P90—PIO,P93—P7,P75—P25

百分位差在意义上与全距一样，都是用来表示数据的离散程度的，只是表示离散程度的数据

范围不同而已。如果把一个次数分布看成是一个整体或一个基本单位，那么全距是在一个次

数分布中的100%的范围内求全距，而百分位差可理解为是在一个次数分布中的一定范围内

求全距，所以全距和百分位差可理解为同类型的差异量数，只不过当数据两端出现特大、特

小值时，全距的代表性低，为提高差异量数的代表性，就必须考虑在数据集中的位置或地段，

求一定范围内的数据的“全距”，于是产生了百分位差和四分位差这样的差异量数或统计方

法。

（二）常用的百分位差（包含四分位差）的计算方法（spss）

1、P90-P10,P93-P7

①首先计算百分位数

据百分位差的定义，它是两个百分位数之差，因此要计算百分位差，首先要计算百分位数。

在中位数的讨论中我们己经知道，N/2表示的是中位数所在的位置，如果把一组数据看成是

一个整体或一个基本单位，然后把它100等分，那么中位数所在的位置就在第50分位，即

可表示为N*50/100,即N/2；如果用PP表示第P个百分位，那么P50就表示第50个百分

位数即中位数，依次类推：P90就表示？其位置就在N*90/100,P10就表示？其位置在？同

理，P93和P7表示的统计意义和位置也可明确。

据在次数分布表计算中位数的公式

若用以上分析的百分位数表示，那么在次数分布表计算中位数的公式，也可表示为：

这样，把该公式推广为第P个百分位数，就得到计算百分位数的一般公式：

按照理解中位数计算公式的思路，来理解百分位数的公式，就不难得出：因为中位数的统计

意义是--把一组数据分为对等的两部分即中位数上下的数据各为50%,由此，第P个百分

位数Pp的统计意义就是--在Pp以下包含数据分布中全部数据的P%,在Pp以上包含数据

分布中全部数据的（100-P）%思考：P90和P10上下的数据个数分别是多少，

于是不难得到这样的结论：百分位数是中位数的推广（普遍情况），中位数是百分位数的特

例。

百分位数的计算步骤与中位数基

本相同：

（1）即第P个百分位数所在的位

置P*N/100,并找出该百分位数

所在的分组区间

（2）确定百分位数所在组的精确下限Lp

（3）算出Lp以下的各组次数和，计为ni

（4）求P%N与ni之差

（5）将上述结果代入公式：

例1：某班数学成绩分布表，求P90—PIO,P93—P7

组别次数自下而上

累计次数

90-95345

85—901342

80-85829

75—801121

70-75510

65—7035

60-6522

解：P90=84.5+(45*90/100-29)*5/13

=84.5+4.423

=88.923

P10=64.5+(45*10/100-2)+5/3

=64.5+4,167

=68.667

P90-P10=88.923-68.667

=20.256

表示有80%的数据分布在全距为20.256这样的范围内

P93=84.5+(45*93/100-29)*5/13=89.442

P7=64.5+(45*7/100-2)*5/13=66.417

P93-P7=89.442-66.417=23.0