2024-2025学年初中数学九年级下册华师大版（2024）教学设计合集

2024-2025学年初中数学九年级下册华师大版（2024）教学设计合集目录一、第26章二次函数 1.126.1二次函数 1.226.2二次函数的图象与性质 1.326.3实践与探索 1.4本章复习与测试二、第27章圆 2.127.1圆的认识 2.227.2与圆有关的位置关系 2.327.3圆中的计算问题 2.427.4正多边形和圆 2.5本章复习与测试三、第28章样本与总体 3.128.1抽样调查的意义 3.228.2用样本估计总体 3.328.3借助调查做决策 3.4本章复习与测试第26章二次函数26.1二次函数主备人备课成员设计思路结合九年级学生的认知水平及华师大版初中数学九年级下册教材特点，本节课以“二次函数”为核心内容，通过引导学生探究二次函数的定义、图像特征及其性质，培养学生的逻辑思维能力和数学应用能力。课程设计以实际生活中的问题为导入，通过实例讲解、学生互动、小组讨论等多种教学方法，让学生在动手操作和思考中掌握二次函数的基本知识和应用。同时，结合课本练习题，巩固学生对二次函数的理解，提高解题技巧。核心素养目标培养学生逻辑推理和数学抽象能力，通过探究二次函数的性质和图像，发展学生的数学建模素养，提升运用数学知识解决实际问题的能力。同时，注重培养学生的数据分析观念，通过观察和比较二次函数的变化，提高学生的直观想象和数据分析能力。学情分析九年级的学生已经具备了基本的代数和几何知识，能够理解一次函数的概念和性质，但对于二次函数这一更复杂的函数形式，可能还缺乏深入的理解。在知识层面上，学生对二次函数的基础概念较为陌生，需要通过具体的实例来加深理解。在能力层面，学生的逻辑思维和抽象思维能力正在发展阶段，能够通过观察和实验来发现规律，但可能缺乏系统的归纳和总结能力。

在素质方面，学生具备了一定的探究精神和合作意识，但可能缺乏独立解决问题的能力。在行为习惯上，学生可能存在对数学学习兴趣不高、畏难情绪等问题，这可能会影响他们对二次函数学习的积极性和持久性。因此，在教学过程中，需要激发学生的学习兴趣，通过设计有趣的教学活动和实际问题，帮助学生克服学习困难，形成良好的学习习惯和态度。学具准备Xxx课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学方法与策略1.采用讲授与讨论相结合的方式，首先通过讲授介绍二次函数的基本概念和性质，然后引导学生进行小组讨论，探究二次函数图像的特点和变化规律。

2.设计二次函数图像绘制实验，让学生通过实际操作，加深对二次函数图像的理解。同时，引入生活中的实际问题，让学生尝试用二次函数模型来解决，增强其应用能力。

3.利用多媒体课件展示二次函数的动态变化过程，辅助教学，使学生更直观地理解二次函数的性质。教学过程1.导入新课

同学们，大家好！我们已经学习了一次函数，知道一次函数的图像是一条直线。今天，我们将学习一种新的函数——二次函数。二次函数的图像不再是直线，而是一个抛物线。那么，什么是二次函数？它的图像有什么特点呢？让我们一起来探究吧！

2.探究二次函数的定义与性质

（1）介绍二次函数的定义

首先，请同学们翻开课本第26章第1节，我们来看一下二次函数的定义。二次函数是形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数，其中a、b、c是常数。这里，a、b、c分别叫做二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项。

（2）探究二次函数的性质

现在，请同学们分组讨论，结合课本上的图示，总结二次函数的其他性质，如对称性、顶点坐标等。

3.绘制二次函数图像

（1）讲解二次函数图像的绘制方法

同学们，我们已经了解了二次函数的定义和性质，下面我们来学习如何绘制二次函数的图像。绘制二次函数图像时，我们需要先确定二次函数的顶点坐标，然后根据抛物线的开口方向，绘制出整个图像。

（2）学生动手绘制

现在，请同学们拿出一张白纸和一支笔，选择一个二次函数，如y=x²，尝试绘制出它的图像。在绘制过程中，注意观察抛物线的开口方向和顶点坐标。

4.二次函数的应用

（1）讲解二次函数的应用

同学们，我们已经学会了绘制二次函数图像，那么二次函数在实际生活中有什么应用呢？实际上，二次函数在许多领域都有广泛的应用，如物理学、经济学等。下面，我们来看一个生活中的例子。

（2）案例分析

假设一个抛物线形状的拱桥，其对称轴为y轴，顶点在原点。现在，我们要计算拱桥在x=3处的截面面积。同学们，你们能根据二次函数的知识解决这个问题吗？

请同学们分组讨论，尝试用二次函数来解决这个问题。

5.总结与拓展

（1）总结本节课的主要内容

同学们，今天我们学习了二次函数的定义、性质和图像绘制方法，还探讨了二次函数在实际生活中的应用。通过本节课的学习，希望大家能够对二次函数有更深入的了解。

（2）布置作业

最后，请同学们完成以下作业：

1.复习本节课所学内容，总结二次函数的性质。

2.绘制一个二次函数的图像，并观察其变化规律。

3.选取一个生活中的实际问题，尝试用二次函数来解决。

同学们，下课！学生学习效果学生学习效果主要体现在以下几个方面：

1.理解并掌握了二次函数的定义和基本性质，能够区分二次函数与其他类型函数的不同，如一次函数和反比例函数。

2.通过绘制和分析二次函数图像，学生能够识别出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴，理解了二次函数的对称性。

3.学生能够运用二次函数的知识解决实际问题，如通过建立二次函数模型来分析物体运动轨迹或计算最大值和最小值问题。

4.在小组讨论和合作学习过程中，学生提高了沟通能力和团队合作精神，能够有效地分享想法和解决问题。

5.学生通过案例分析，学会了如何将二次函数应用于实际情境中，增强了数学应用意识。

6.学生在完成作业和练习题时，能够独立运用二次函数的知识点，正确解答相关题目，提高了解题技巧和逻辑思维能力。

7.学生在绘制二次函数图像的过程中，锻炼了观察和总结规律的能力，能够通过图像预测函数的变化趋势。

8.学生在学习二次函数的过程中，培养了耐心和细致的学习态度，对数学学科的兴趣和自信心有所提升。

9.学生能够将二次函数的知识与之前学习的一次函数、不等式等数学知识进行联系，形成了更加完整的数学知识体系。

10.通过对二次函数的学习，学生在数学抽象和逻辑推理方面的能力得到了加强，为后续学习更高级的数学概念打下了坚实的基础。课后作业请同学们完成以下作业，以巩固我们对二次函数的理解和应用。

1.绘制图像

绘制函数y=2x²-4x+3的图像，并标出顶点坐标和对称轴。

答案：顶点坐标为(1,1)，对称轴为x=1。图像是一个开口向上的抛物线。

2.确定函数性质

给定函数y=-x²+6x+9，判断该函数的开口方向，并找出它的最大值或最小值。

答案：开口向下，最小值为9，当x=3时取到。

3.解方程

解二次方程x²-5x+6=0，并讨论该方程与x轴的交点情况。

答案：方程的解为x=2和x=3，与x轴有两个交点。

4.应用问题

一个小球从地面抛出，其运动轨迹可以用二次函数y=-4.9t²+9.8t+1来表示，其中t是时间（秒），y是高度（米）。求小球到达最高点的时间和高度。

答案：最高点在t=1秒时，高度为5米。

5.建立模型

某工厂生产的产品成本C（元）与生产量x（个）之间的关系可以表示为C=0.1x²-2x+100。求生产多少个产品时，成本最低，并计算最低成本。

答案：生产10个产品时，成本最低，最低成本为90元。

6.分析图像

分析函数y=x²-4的图像，说出它的开口方向、顶点坐标、对称轴，并描述图像在x轴和y轴上的截距。

答案：开口向上，顶点坐标为(0,-4)，对称轴为y轴。图像与x轴的截距为(-2,0)和(2,0)，与y轴的截距为(0,-4)。

7.实际问题

一个抛物线形状的桥梁，其方程为y=0.04x²-0.4x+10，求桥的最大高度和对应的水平位置。

答案：最大高度为10米，对应的水平位置为x=5。

请同学们在完成作业后，对照答案进行自我检查，确保理解了每个问题的解题过程和原理。如果有任何疑问，可以在下次课上提出讨论。教学评价与反馈1.课堂表现：

学生在课堂上的表现积极，能够跟随老师的讲解思路，对二次函数的概念和性质有了初步的理解。在老师提问时，部分学生能够主动回答问题，表现出较好的参与度和积极性。在绘制二次函数图像的环节，学生们能够认真操作，观察图像特点，对抛物线的性质有了直观的认识。

2.小组讨论成果展示：

小组讨论环节，学生们能够围绕老师提出的问题进行积极讨论，合作完成了对二次函数性质的探究。在成果展示时，各小组代表能够清晰地表达自己的观点，展示出对二次函数图像和性质的理解。通过小组讨论，学生们不仅加深了对二次函数的认识，还提高了团队合作能力。

3.随堂测试：

随堂测试环节，学生们独立完成了关于二次函数的题目，测试结果显示，大部分学生能够掌握二次函数的基本概念和图像特点。但在解决实际问题时，部分学生还存在困难，对二次函数的应用不够熟练。

4.作业完成情况：

学生们在完成课后作业时，大多数能够按照要求完成绘图和计算任务。作业批改结果显示，学生们在理解二次函数性质和应用方面有了一定的进步，但仍有少数学生在解题过程中存在逻辑错误和计算失误。

5.教师评价与反馈：

针对学生们的表现，教师进行了以下评价与反馈：

-对于课堂表现积极的学生，给予肯定和鼓励，希望他们能够继续保持这种积极态度。

-对于小组讨论成果，教师对每个小组的展示进行了点评，指出了优点和需要改进的地方，鼓励学生们在团队合作中互相学习。

-针对随堂测试的结果，教师分析了学生们普遍存在的问题，如对二次函数性质的理解不够深入，应用题解题思路不清晰等，并在课堂上进行了针对性讲解。

-对于作业完成情况，教师对学生的进步表示认可，同时指出了作业中存在的共性问题，如计算失误、解题步骤不完整等，并给出了改进建议。

-教师强调了对二次函数的深入理解和应用的重要性，鼓励学生们在课后加强练习，提高解题能力。内容逻辑关系①二次函数的定义与表达式

-重点知识点：二次函数的定义、二次项系数、一次项系数、常数项

-重点词：二次函数、抛物线、对称轴、顶点

-重点句：二次函数是形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数

②二次函数的图像与性质

-重点知识点：二次函数图像的开口方向、对称性、顶点坐标、最大值和最小值

-重点词：开口方向、对称轴、顶点、最大值、最小值

-重点句：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下

③二次函数的应用

-重点知识点：二次函数在实际问题中的应用，如物体运动轨迹、最优化问题

-重点词：应用、模型、最优化、轨迹

-重点句：通过建立二次函数模型，我们可以解决实际问题中的最大值或最小值问题教学反思今天我们完成了关于二次函数的教学，回顾整个过程，我有一些想法和感受想要分享。

上课之初，我通过生活中的实例引入了二次函数的概念，希望学生们能够将数学知识与现实生活联系起来，增强学习的兴趣和实用性。从学生的反应来看，他们对抛物线的形状和实际应用表现出了一定的兴趣，这一点让我感到欣慰。

在教学二次函数性质的时候，我发现学生们对于对称性和顶点坐标的理解有些困难。我尝试通过多媒体展示和板书结合的方式来进行讲解，但似乎效果并不理想。我觉得可能需要更多的互动和实际操作，让学生们自己动手绘制图像，观察变化，这样才能更深刻地理解二次函数的性质。

小组讨论环节，学生们表现得非常积极，他们能够围绕问题进行深入的探讨，互相帮助，共同解决问题。这让我看到了团队合作的力量，也让我意识到，作为老师，我需要更多地创造这样的机会，让学生们在互动中学习。

随堂测试的结果让我有些惊讶，虽然学生们在课堂上表现出了一定的理解，但在测试中却暴露出了很多问题。看来，我对学生们的掌握程度还是估计得太高了。我需要在今后的教学中，加强对学生知识掌握情况的了解，及时调整教学策略。

在作业批改过程中，我发现了一些共性的问题，比如计算失误和解题步骤不完整。这让我思考，是否应该在课堂上更多地强调解题的规范性和细节，帮助学生养成良好的解题习惯。

总之，这次教学让我收获了很多，也让我看到了自己需要改进的地方。我会认真反思今天的课堂教学，调整教学方法，努力提高教学效果，帮助学生们更好地理解和掌握二次函数的知识。同时，我也会鼓励学生们多提问、多思考，培养他们的探究精神和解决问题的能力。教学相长，我相信通过我们的共同努力，我们能够一起进步。第26章二次函数26.2二次函数的图象与性质科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）第26章二次函数26.2二次函数的图象与性质设计思路结合九年级学生的认知水平和华师大版初中数学九年级下册第26章内容，本节课以“二次函数的图象与性质”为核心，旨在通过直观的图象引导学生理解二次函数的基本性质。课程设计以学生探究为主，通过以下步骤展开：

1.引导学生回顾二次函数的定义及其表达式。

2.利用多媒体展示不同二次函数的图象，引导学生观察图象特征。

3.通过小组讨论，让学生发现并总结二次函数图象的对称性、开口方向等性质。

4.结合具体例子，讲解二次函数图象与系数的关系。

5.设计练习题，巩固学生对二次函数图象与性质的理解。

6.总结本节课所学内容，布置课后作业，为下一节课做好铺垫。核心素养目标1.通过对二次函数图象的观察与分析，培养学生的直观想象能力和空间观念。

2.通过探究二次函数性质的过程，提高学生的逻辑思维能力和数学抽象能力。

3.在小组讨论中，锻炼学生的合作交流能力，提升沟通与表达能力。

4.通过解决实际问题，培养学生的数学建模意识和应用能力，发展解决实际问题的素养。重点难点及解决办法重点：

1.二次函数图象的特点及其与系数的关系。

2.二次函数的对称性和开口方向。

难点：

1.二次函数图象的对称轴和顶点坐标的确定。

2.利用二次函数性质解决实际问题。

解决办法与突破策略：

1.利用多媒体软件动态展示二次函数图象的变化，帮助学生直观理解图象与系数的关系。

2.通过实例讲解和练习，引导学生掌握对称轴和顶点坐标的计算方法，如通过配方法找到顶点式。

3.设计实际应用问题，让学生在实际情境中运用二次函数的性质，如最值问题、距离问题等。

4.鼓励学生小组讨论，共同解决问题，通过合作学习加深对知识点的理解。

5.定期进行小测验，及时反馈，针对学生掌握不足的部分进行针对性辅导。教学方法与手段教学方法：

1.讲授法：讲解二次函数的基本概念和性质，为学生提供系统的知识结构。

2.探究法：引导学生通过观察、实验和讨论，发现二次函数图象的特点。

3.练习法：布置针对性练习，巩固学生对二次函数图象与性质的理解。

教学手段：

1.多媒体教学：使用PPT展示二次函数图象的变化，增强视觉效果。

2.教学软件：利用教学软件进行互动练习，提高学生的学习兴趣和参与度。

3.网络资源：提供在线学习资源，方便学生课后复习和拓展学习。教学过程设计一、导入新课（5分钟）

目标：引起学生对二次函数图象与性质的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

开场提问：“你们在生活中有没有遇到过抛物线形状的物体或现象？比如投篮、抛物线运动等。”

展示一些关于抛物线运动的图片或视频片段，让学生初步感受二次函数图象的特点。

简短介绍二次函数的基本概念和其在实际生活中的应用，为接下来的学习打下基础。

二、二次函数基础知识讲解（10分钟）

目标：让学生了解二次函数的基本概念、表达式及其图象特点。

过程：

讲解二次函数的定义和一般形式，如y=ax^2+bx+c。

详细介绍二次函数图象的基本形状、对称轴和顶点坐标。

三、二次函数图象与性质案例分析（20分钟）

目标：通过具体案例，让学生深入了解二次函数图象与性质。

过程：

选择几个典型的二次函数图象案例进行分析，如不同a值的开口方向、顶点位置等。

详细介绍每个案例的特点，如对称性、单调性等，让学生全面了解二次函数图象的多样性或复杂性。

引导学生思考这些案例在实际问题中的应用，如最值问题、距离问题等。

四、学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。

过程：

将学生分成若干小组，每组选择一个与二次函数相关的实际问题进行深入讨论。

小组内讨论该问题的解决方法，如何利用二次函数的图象与性质找到解决方案。

每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。

五、课堂展示与点评（15分钟）

目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对二次函数图象与性质的认识和理解。

过程：

各组代表依次上台展示讨论成果，包括问题的解决过程和最终答案。

其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。

教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。

六、课堂小结（5分钟）

目标：回顾本节课的主要内容，强调二次函数图象与性质的重要性和意义。

过程：

简要回顾本节课的学习内容，包括二次函数的基本概念、图象特点、案例分析等。

强调二次函数图象与性质在现实生活或学习中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用二次函数。

布置课后作业：让学生选择一个实际问题，利用二次函数的图象与性质撰写一篇解题报告，以巩固学习效果。教学资源拓展1.拓展资源：

（1）拓展二次函数的应用领域，介绍物理学中的抛物线运动、工程学中的优化问题、经济学中的成本分析等实际案例，让学生了解二次函数在不同领域的重要应用。

（2）介绍二次函数的发展历史，包括古代数学家对二次方程的研究，以及现代数学家如何利用计算机技术对二次函数进行深入研究。

（3）拓展二次函数的性质研究，包括二次函数的极值问题、单调性问题、图象的变换等，让学生对二次函数的性质有更全面的认识。

（4）介绍二次函数与其他数学分支的联系，如微积分中的导数与二次函数的关系，线性代数中的二次型等。

（5）提供一些经典的二次函数问题，如阿基米德抛物线、费马点问题等，让学生在解决实际问题的过程中锻炼思维能力。

2.拓展建议：

（1）鼓励学生阅读与二次函数相关的数学书籍和文章，如《数学之美》、《数学的故事》等，以拓宽知识面。

（2）引导学生参加数学竞赛或数学俱乐部活动，与其他同学交流二次函数的心得体会，提高解题技巧。

（3）建议学生观看在线教育平台上的二次函数教学视频，如KhanAcademy、Coursera等，以巩固课堂所学知识。

（4）让学生尝试编写计算机程序，如使用Python、MATLAB等工具，绘制二次函数的图象，并观察不同参数对图象的影响。

（5）鼓励学生利用生活中的物品，如纸张、绳子等，进行二次函数的实验，实际操作中感受二次函数的性质。

（6）引导学生关注现实生活中的二次函数问题，如投篮命中率、抛物线运动轨迹等，将所学知识应用于实际情境。

（7）建议学生阅读数学家的传记，了解他们在研究二次函数过程中的心得体会，培养学生的科学精神。

（8）鼓励学生参加数学讲座和研讨会，与专家、学者交流二次函数的研究成果，提高自己的学术素养。重点题型整理题型一：二次函数图象特征分析

题目：给定二次函数y=-2x^2+4x+2，分析其图象的特征。

解答：该二次函数的图象是一个开口向下的抛物线，对称轴为x=1，顶点坐标为(1,4)。该函数在x<1时单调递增，在x>1时单调递减。

题型二：二次函数的性质应用

题目：某商品销售利润y元与销售量x件的关系可以表示为y=-x^2+6x-9，求销售量x为多少时，可以获得最大利润，并求出最大利润。

解答：该二次函数的顶点坐标为(3,0)，因此当销售量为3件时，可以获得最大利润，最大利润为0元。

题型三：二次函数图象变换

题目：将二次函数y=x^2向右平移2个单位，写出新的二次函数表达式，并分析其图象特征。

解答：新的二次函数表达式为y=(x-2)^2。图象特征为开口向上的抛物线，对称轴为x=2，顶点坐标为(2,0)。

题型四：二次函数在实际问题中的应用

题目：小明从A点出发，以10米/秒的速度向B点匀速直线运动，A、B两点的直线距离为100米。假设运动轨迹是抛物线，写出小明运动轨迹的二次函数表达式，并求出小明到达B点时的高度。

解答：设小明运动轨迹的二次函数表达式为y=-5x^2+10x。当x=10时，y=-5(10)^2+10(10)=0，所以小明到达B点时的高度为0米。

题型五：二次函数的极值问题

题目：求二次函数y=x^2-6x+9的最小值。

解答：该二次函数可以写成顶点式y=(x-3)^2，其最小值为0，当x=3时取得。板书设计1.二次函数的基本概念与表达式

①二次函数的定义：形如y=ax^2+bx+c（a≠0）的函数

②二次函数的一般形式：y=ax^2+bx+c

③二次函数的系数：a、b、c及其意义

2.二次函数图象的基本特征

①开口方向：a的正负决定抛物线的开口方向

②对称轴：x=-b/(2a)

③顶点坐标：(-b/(2a),c-b^2/(4a))

3.二次函数的性质

①单调性：开口向上的抛物线在顶点左侧单调递减，在顶点右侧单调递增；开口向下的抛物线相反

②极值：开口向上的抛物线有最小值，开口向下的抛物线有最大值

③对称性：抛物线关于其对称轴对称

4.二次函数的应用

①实际问题中的最值问题

②抛物线运动轨迹的分析

③优化问题中的二次函数模型构建教学反思与总结这节课我们从二次函数的基本概念入手，通过讲解、案例分析、小组讨论等多种方式，让学生对二次函数的图象与性质有了更深入的理解。现在，我想对整个教学过程进行反思，并对本节课的教学效果进行总结。

教学反思：

在教学方法上，我尝试了讲授法、探究法和练习法等多种教学方法。通过讲授法，学生能够系统地了解二次函数的基本概念和图象特点；通过探究法，学生能够主动发现二次函数的性质，并在小组讨论中相互学习、交流；通过练习法，学生能够巩固所学知识，提高解题能力。但在实际操作中，我也发现了一些问题。例如，在小组讨论环节，部分学生参与度不高，讨论效果不尽如人意。这可能是因为我对小组分工和讨论主题的设置不够细致，今后需要在这方面进行改进。

在策略上，我注重了理论与实践的结合，通过案例分析让学生了解二次函数在实际生活中的应用。但在课堂实践中，我发现部分学生对案例的理解不够深入，这可能是因为我在案例分析环节讲解不够详细，或者案例本身与学生的实际生活距离较远。今后，我需要选择更贴近学生生活的案例，并加强对案例的讲解。

在管理方面，我努力营造了一个轻松、和谐的学习氛围，鼓励学生提问、发表见解。但有时在课堂纪律方面还需加强，特别是在小组讨论环节，部分学生可能会因为过于兴奋而影响到其他同学的讨论。今后，我会在保证课堂氛围的同时，加强对课堂纪律的管理。

教学总结：

总体来说，本节课的教学效果较好。学生在知识、技能、情感态度等方面都有了一定的收获和进步。在知识方面，学生对二次函数的基本概念、图象特点有了更清晰的认识；在技能方面，学生通过练习，提高了解题能力；在情感态度方面，学生对数学产生了更浓厚的兴趣。

然而，教学中也存在一些问题和不足。针对这些问题，我提出以下改进措施和建议：

1.在小组讨论环节，提前为学生分配好任务，确保每个学生都有明确的角色和责任。

2.选择更贴近学生生活的案例，并加强对案例的讲解，让学生更好地理解二次函数在实际生活中的应用。

3.在课堂纪律管理方面，适当调整课堂氛围，既要保证轻松和谐，又要确保课堂秩序井然。作业布置与反馈作业布置：

1.选择几个二次函数，要求学生画出其图象，并标注对称轴和顶点坐标。

2.给定一个二次函数，要求学生分析其图象特征，如开口方向、单调性等。

3.设计一个实际问题，要求学生利用二次函数的图象与性质解决问题，如最值问题、距离问题等。

4.让学生尝试编写一个计算机程序，绘制二次函数的图象，并观察不同参数对图象的影响。

5.鼓励学生收集生活中的二次函数应用案例，并撰写一篇短文，分享自己的发现和体会。

作业反馈：

1.及时批改学生的作业，对学生的解题过程和答案进行详细评价。

2.对学生的作业进行分类整理，对普遍存在的问题进行集中讲解，帮助学生克服困难。

3.针对个别学生的作业，给予个性化的反馈和建议，帮助学生提高解题能力。

4.对学生的创新性想法和解决方案给予鼓励和肯定，激发学生的学习兴趣和创造力。

5.定期组织学生进行作业展示和交流，让学生互相学习、借鉴，共同进步。第26章二次函数26.3实践与探索主备人备课成员教学内容《初中数学九年级下册华师大版（2024）第26章二次函数26.3实践与探索》主要包括以下内容：

1.理解二次函数在实际生活中的应用场景。

2.学习如何通过二次函数解决实际问题，如物体运动、投资收益等。

3.掌握运用二次函数图像和性质分析问题的方法。

4.实践运用二次函数的顶点坐标、对称轴、开口方向等特征解决问题。

5.结合具体实例，探讨二次函数在工程、科学等领域的应用。核心素养目标培养学生数学抽象思维能力，通过分析二次函数的性质，提升逻辑推理和数学建模能力；增强学生运用数学知识解决实际问题的意识，提高数据分析与数学应用能力；激发学生探索数学问题的兴趣，培养独立思考和创新精神。教学难点与重点1.教学重点

①掌握二次函数的基本概念和图像特征，包括顶点坐标、对称轴、开口方向等。

②学会利用二次函数的性质解决实际问题，如最值问题、距离问题等。

③能够通过实际例子，理解二次函数在实际生活中的应用。

2.教学难点

①理解二次函数图像与性质之间的关系，并能灵活运用这些关系分析问题。

②对于复杂的实际问题，能够准确建立二次函数模型，并求解最优化问题。

③在解决实际问题时，能够综合考虑各种因素，选择合适的数学工具和方法。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时步骤师生互动设计二次备课教学资源准备1.教材：确保每位学生都配备华师大版九年级下册数学教材，以便于课堂学习和课后复习。

2.辅助材料：收集与二次函数相关的实际案例资料，包括图片、视频和电子文档，以增强学生对知识的理解和应用能力。

3.实验器材：无需特殊实验器材，但应准备一些教学模型或软件工具，如几何画板，以帮助学生直观理解二次函数的性质。

4.教室布置：将教室分为小组讨论区域，以便学生进行合作学习和问题探讨。确保黑板和投影仪等教学设备正常运行。教学过程设计1.导入环节（用时5分钟）

-创设情境：展示几个生活中常见的二次函数图像，如投篮轨迹、抛物线拱桥等，让学生观察并讨论这些图像的特点。

-提出问题：引导学生思考这些图像与二次函数有什么关系，激发学生对二次函数的兴趣。

-预习反馈：快速询问学生对二次函数基础知识的掌握情况，如定义、图像特征等。

2.讲授新课（用时15分钟）

-知识讲解：详细介绍二次函数的顶点坐标、对称轴、开口方向等性质，结合教材中的例题进行讲解。

-①用图示和实际案例解释二次函数的顶点坐标和对称轴。

-②通过实际例子分析开口方向与系数的关系。

-核心概念巩固：强调二次函数在实际问题中的应用，如最值问题、距离问题等。

-方法指导：教授如何利用二次函数性质解决实际问题，如建立模型、求解最值等。

3.巩固练习（用时10分钟）

-练习题布置：给出几个与二次函数性质和实际应用相关的练习题，让学生独立完成。

-小组讨论：学生分小组讨论练习题的解答过程，互相帮助解决问题。

-解答反馈：教师挑选几个学生的答案进行讲解和反馈，纠正错误，强化正确理解。

4.课堂提问与师生互动（用时10分钟）

-提问环节：教师提出一些开放性问题，如“如何确定二次函数的顶点坐标？”、“在实际问题中，如何选择合适的二次函数模型？”等。

-互动讨论：学生思考并回答问题，教师引导学生进行讨论，鼓励不同观点的交流。

-点评总结：教师对学生的回答进行点评，总结关键点，加深学生对知识点的理解。

5.拓展提升（用时5分钟）

-创新应用：展示一些复杂的实际问题，如物理中的运动轨迹问题，让学生尝试建立二次函数模型并解决问题。

-核心素养培养：强调数学建模和逻辑推理在解决实际问题中的重要性，鼓励学生将所学知识应用到实际生活中。

6.结束语（用时1分钟）

-总结本节课的主要内容，强调二次函数在实际应用中的价值。

-鼓励学生在课后继续探索二次函数的更多应用，为下节课的学习做好铺垫。拓展与延伸1.拓展阅读材料：

-《生活中的二次函数》

-《二次函数在物理学中的应用》

-《数学建模与实际问题解决》

-《二次函数的图像与性质探究》

2.课后自主学习和探究：

-二次函数的图像变换：研究二次函数的平移、伸缩变换对图像的影响，如将标准二次函数y=x^2进行水平和垂直平移，观察图像变化。

-实际问题研究：收集生活中的实际问题，如物体抛射、投资收益、成本最小化等，尝试建立二次函数模型，并运用所学知识解决。

-二次函数的性质探究：深入研究二次函数的对称性、单调性、极值等性质，通过数学软件或手工绘图验证性质。

-数学建模竞赛：鼓励学生参加数学建模竞赛，如中学生数学建模竞赛，将所学知识应用于解决实际问题。

-数学研究论文：撰写关于二次函数的研究论文，探讨其在不同领域的应用，如经济学、生物学等。

-互动讨论平台：利用学校网络资源，建立数学学习交流群，鼓励学生在群内分享二次函数的学习心得和问题讨论。

-数学实验室：如果学校条件允许，参与数学实验室的活动，通过实验验证二次函数的性质和图像特征。

-家庭作业：设计一些具有挑战性的家庭作业，如设计一个二次函数游戏，让学生在解决问题的过程中加深对二次函数的理解。

-二次函数的艺术：探索二次函数图像与艺术的关系，尝试用二次函数创作艺术作品，如抛物线图案设计。

-课后小组项目：组织学生进行小组项目，每个小组选择一个与二次函数相关的课题进行研究，并在课堂上进行报告分享。教学反思与改进在完成了关于二次函数的实践与探索这一章节的教学后，我进行了以下反思活动：

课堂上学生的参与度很高，尤其是在讨论环节，学生们能够积极地提出问题和想法。但是，我也注意到一些学生在理解二次函数图像与性质之间的关系上存在困难。例如，当他们面对复杂的实际问题时，他们往往难以将问题转化为二次函数模型。

针对这一点，我计划采取以下改进措施：

1.加强直观教学：我将在未来的教学中使用更多的教学模型和软件工具，如几何画板，来帮助学生直观地理解二次函数的图像和性质。通过实际操作，学生可能会更容易理解这些抽象概念。

2.设计更多实际案例：我会设计更多的实际案例，让学生能够将二次函数应用到具体的情境中。这不仅有助于他们理解二次函数的应用，还能提高他们解决实际问题的能力。

3.小组合作学习：我会鼓励学生在小组中更多地合作学习，这样他们可以从同伴那里得到不同的观点和解决问题的方法。小组合作也能帮助他们学会如何与他人沟通和协作。

4.个性化指导：对于在学习上遇到困难的学生，我会提供更多的个性化指导。这可能包括额外的练习题、一对一的辅导或额外的学习材料。

5.反馈和评估：我将在每节课后收集学生的反馈，了解他们对课程内容的理解程度。此外，我还会定期进行评估，以监测学生的进步并调整教学策略。

6.激发兴趣：我会尝试不同的教学方法，如数学游戏或竞赛，来激发学生对二次函数的兴趣。当学生对一个主题感兴趣时，他们往往更愿意投入时间和精力去学习。

7.家长沟通：我会与家长保持良好的沟通，让他们了解学生在数学学习上的进展，并寻求他们的支持和鼓励。课后作业1.作业题目：

-编写一个关于二次函数的实际问题，并建立相应的二次函数模型。

-利用二次函数的图像，解释其在实际问题中的应用。

-探索二次函数的顶点坐标、对称轴和开口方向之间的关系。

-分析二次函数的极值点，并解释其在实际问题中的意义。

2.补充和说明举例题型及答案：

题型一：实际问题建模

题目：某抛物线拱桥的形状可以用二次函数表示，其顶点在水面以上10米处，水面宽度为20米。求该抛物线拱桥的二次函数表达式。

答案：设抛物线顶点为（0，10），开口向下，则二次函数的一般形式为y=-a(x-h)^2+k，其中h为顶点的横坐标，k为顶点的纵坐标。由于水面宽度为20米，因此抛物线的对称轴为x=0，所以h=0。将顶点坐标代入得y=-a(x-0)^2+10。又因为水面宽度为20米，即当x=±10时，y=0。代入得0=-a(±10)^2+10，解得a=1/20。所以，抛物线拱桥的二次函数表达式为y=-1/20x^2+10。

题型二：图像应用

题目：给定二次函数y=(x-3)^2+2，描述其图像的开口方向、顶点坐标和对称轴。

答案：该二次函数的开口方向向上，因为二次项系数为正。顶点坐标为（3，2），对称轴为x=3。

题型三：性质探究

题目：对于二次函数y=2(x+1)^2-5，求其顶点坐标、对称轴和开口方向。

答案：顶点坐标为（-1，-5），对称轴为x=-1，开口方向向上。

题型四：极值分析

题目：某产品的成本函数为C(x)=x^2-6x+9，其中x为生产的产品数量。求生产多少个产品时，成本最低，并求出最低成本。

答案：成本函数C(x)=x^2-6x+9可以重写为C(x)=(x-3)^2，因此成本函数的顶点为（3，0），对称轴为x=3。因为二次项系数为正，开口向上，所以当x=3时，成本最低。此时，最低成本为C(3)=(3-3)^2=0。

题型五：模型建立与求解

题目：一个小球从地面以初速度v0竖直向上抛出，其运动轨迹可以用二次函数h(t)=-4.9t^2+v0t来描述，其中t为时间，h为高度。如果小球达到最大高度时的高度为10米，求小球的初速度v0。

答案：小球达到最大高度时，其运动轨迹的二次函数h(t)=-4.9t^2+v0t的顶点即为最大高度点。由于顶点的横坐标t为0，因此可以忽略t项，得到h(t)=-4.9t^2+v0t的顶点纵坐标为v0^2/(2*4.9)。将最大高度10米代入得10=v0^2/(2*4.9)，解得v0=±10√2。由于初速度为正值，所以v0=10√2米/秒。第26章二次函数本章复习与测试一、教学内容

本章复习与测试主要包括华师大版初中数学九年级下册第26章“二次函数”的相关内容。具体包括：

1.二次函数的定义与性质：二次函数的定义、图像的开口方向、对称轴、顶点坐标等。

2.二次函数的标准式与一般式：标准式与一般式的转换，以及如何从一般式转换为顶点式。

3.二次函数的图像与性质：图像的对称性、单调性、最大值和最小值等。

4.二次函数的应用：解决实际问题，如运动轨迹、最优化问题等。

5.二次函数的解析式求解：利用待定系数法、配方法等求解二次函数的解析式。

6.二次函数与一元二次方程的关系：二次函数的根与一元二次方程的解的关系。

7.二次函数的综合应用：结合实际问题，运用二次函数解决方程、不等式等问题。二、核心素养目标分析

本章复习与测试旨在提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算等核心素养。通过复习二次函数的定义、图像和性质，培养学生对数学概念的理解和抽象思维能力。在解析式的求解和应用问题解决中，锻炼学生的逻辑推理和数学建模能力，使其能够将实际问题转化为数学问题，并运用数学知识解决。同时，通过二次函数与一元二次方程的关系，提高学生的数学运算能力，增强对数学知识内在联系的认识。三、学习者分析

1.学生已经掌握了二次函数的基本概念，包括二次函数的定义、图像特点、开口方向、对称轴等，以及一元二次方程的解法。

2.学习兴趣：学生对二次函数的应用问题通常表现出较高的兴趣，如物理运动轨迹、最优化问题等。学习能力：学生在逻辑推理和数学运算方面已有一定基础，能够理解并运用二次函数的性质。学习风格：学生偏好通过实际例题和练习来加深对知识点的理解和掌握。

3.学生可能遇到的困难和挑战：在二次函数解析式的求解过程中，学生可能会对配方法、待定系数法等求解技巧感到困难。在解决实际问题时，学生可能难以将实际问题抽象为二次函数模型。此外，对于二次函数图像的变换和综合应用题，学生可能会因为缺乏直观理解而感到挑战。四、教学资源

-硬件资源：多媒体教学设备、计算机、投影仪

-软件资源：数学教学软件、PPT演示文稿

-课程平台：学校教学管理系统

-信息化资源：网络教学资源、电子教案、在线习题库

-教学手段：小组讨论、问题驱动、案例分析、课堂练习五、教学流程

1.导入新课（5分钟）

详细内容：通过提问方式引导学生回顾二次函数的基本概念，如“请同学们回忆一下，二次函数的定义是什么？它的图像有哪些特点？”接着，展示一个简单的二次函数图像，让学生观察并描述其特征，从而自然引入本章复习与测试的内容。

2.新课讲授（15分钟）

详细内容：

-复习二次函数的性质，包括图像的开口方向、对称轴、顶点坐标等，通过例题演示如何从一般式转换为顶点式。

-介绍二次函数的应用，如最优化问题，通过实例分析如何建立二次函数模型并求解。

-讲解二次函数与一元二次方程的关系，展示如何通过二次函数的图像来分析一元二次方程的根的情况。

3.实践活动（10分钟）

详细内容：

-让学生独立完成几个二次函数的图像绘制，观察不同系数对图像的影响。

-要求学生解决一个与二次函数相关的实际问题，如计算物体抛物运动的最高点。

-安排学生使用数学软件或在线工具，探索二次函数图像的变换，如平移、缩放等。

4.学生小组讨论（10分钟）

详细内容：

-讨论二次函数在实际问题中的应用，举例回答：如何利用二次函数解决生活中的最大利润问题？

-分析不同类型的二次函数问题，举例回答：对于给定的一般式二次函数，如何快速找到其顶点坐标？

-探讨二次函数图像的对称性，举例回答：为什么二次函数的图像总是关于其对称轴对称？

5.总结回顾（5分钟）

详细内容：回顾本节课的重点内容，包括二次函数的性质、应用和与一元二次方程的关系。通过一个简短的小结，强调二次函数在实际问题中的重要性，并提醒学生在解决二次函数问题时要注意的事项，如正确确定二次函数的解析式和图像特征。同时，指出本节课的重难点，如二次函数图像的变换和实际问题的建模。

总用时：45分钟六、学生学习效果

学生学习效果体现在以下几个方面：

1.知识掌握方面：学生能够熟练掌握二次函数的定义、性质和图像特征，能够准确描述二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标。通过本章复习与测试，学生能够灵活运用二次函数的标准式与一般式进行转换，并能够利用配方法和待定系数法求解二次函数的解析式。

2.解题技能方面：学生在解决二次函数相关问题时，能够熟练运用所学知识。例如，在解决最优化问题时，学生能够快速建立二次函数模型，并运用数学工具求解最大值或最小值。在解决二次函数与一元二次方程的关系问题时，学生能够通过图像分析方程的根的情况。

3.实际应用方面：学生能够将二次函数知识应用于实际问题中。通过实践活动，学生学会了如何将现实生活中的问题抽象为二次函数模型，并运用数学知识求解。例如，在物理学科中，学生能够利用二次函数描述物体的抛物运动，计算最高点、最远距离等。

4.思维能力方面：本章复习与测试有助于培养学生的逻辑推理、数学建模和数学运算能力。学生在解决二次函数问题时，需要运用逻辑推理分析问题，运用数学建模将实际问题转化为数学问题，并通过数学运算求解。这些能力的提升有助于学生在其他数学领域的学习。

5.学习兴趣方面：学生对二次函数的学习表现出较高的兴趣。通过本章复习与测试，学生对二次函数的应用有了更深入的了解，从而激发了他们进一步学习的动力。

6.团队协作方面：在小组讨论环节，学生能够积极参与讨论，分享自己的见解和经验。通过与同伴的合作，学生不仅加深了对二次函数知识的理解，还提高了团队协作能力和沟通能力。

7.自我反思方面：学生在本章复习与测试过程中，能够主动发现自己在二次函数学习中的不足，并通过课堂练习和课后作业进行针对性的巩固。这种自我反思的习惯有助于学生提高学习效果。七、课后作业

1.请写出二次函数的一般式和顶点式的表达式，并说明它们之间的转换关系。

答案：二次函数的一般式为\(y=ax^2+bx+c\)，顶点式为\(y=a(x-h)^2+k\)。它们之间的转换关系是通过完成平方，将一般式转换为顶点式。

2.给定二次函数\(y=-2x^2+4x+2\)，求其顶点坐标，并画出其图像。

答案：顶点坐标为\((1,4)\)。图像开口向下，顶点在点\((1,4)\)。

3.一个抛物线运动物体的最高点距离地面15米，落地时水平距离为20米。请写出描述该物体运动轨迹的二次函数方程。

答案：设二次函数为\(y=ax^2+bx+c\)。因为最高点为\((10,15)\)，所以顶点式为\(y=a(x-10)^2+15\)。落地时\(x=20\)，\(y=0\)，代入得\(0=a(20-10)^2+15\)，解得\(a=-\frac{3}{2}\)。所以二次函数方程为\(y=-\frac{3}{2}(x-10)^2+15\)。

4.某企业生产一种产品，其成本函数为\(C(x)=x^2-6x+9\)，其中\(x\)为生产的产品数量。求该企业生产多少产品时，成本最低，并计算最低成本。

答案：成本函数为\(C(x)=x^2-6x+9\)，写成顶点式为\(C(x)=(x-3)^2\)。因为\(a=1>0\)，所以成本函数开口向上，最小值在顶点处取得。顶点为\((3,0)\)，所以生产3个产品时，成本最低，最低成本为0。

5.一块矩形土地被分成若干块，其中一块三角形区域被卖出，剩下的部分是一个直角梯形。已知直角梯形的上底长为\(x\)，下底长为\(3x\)，高为\(4\)，且直角梯形的面积为\(24\)。求\(x\)的值。

答案：直角梯形的面积公式为\(\frac{1}{2}(a+b)h\)，代入已知值得到\(\frac{1}{2}(x+3x)\cdot4=24\)，解得\(x=2\)。所以\(x\)的值为2。八、作业布置与反馈

作业布置：

1.完成课后作业中的题目，包括写出二次函数的一般式和顶点式的表达式，并说明它们之间的转换关系。

2.绘制给定二次函数\(y=-2x^2+4x+2\)的图像，并标注顶点坐标。

3.根据抛物线运动物体的最高点和落地距离，写出描述物体运动轨迹的二次函数方程。

4.分析成本函数\(C(x)=x^2-6x+9\)，求出生产多少产品时成本最低，并计算最低成本。

5.解答有关直角梯形面积的数学问题，求出未知数\(x\)的值。

具体作业内容如下：

1.理解并总结二次函数的一般式\(y=ax^2+bx+c\)和顶点式\(y=a(x-h)^2+k\)的关系，并通过具体例子说明如何从一般式转换为顶点式。

2.对于二次函数\(y=-2x^2+4x+2\)，绘制其图像，并找出顶点坐标，说明图像的开口方向和对称轴。

3.一个物体抛物线运动，最高点距地面15米，水平距离20米，写出该物体运动轨迹的二次函数方程。

4.一个企业生产某种产品的成本函数为\(C(x)=x^2-6x+9\)，求生产多少产品时成本最低，并计算最低成本。

5.一块直角梯形土地的上底长为\(x\)，下底长为\(3x\)，高为4，面积为24平方米，求\(x\)的值。

作业反馈：

1.对于学生的作业，教师将及时进行批改，重点关注学生对二次函数一般式和顶点式转换的理解程度。

2.在图像绘制方面，教师将检查学生是否能够准确找到顶点坐标，并正确描绘图像的开口方向和对称轴。

3.在解决抛物线运动问题时，教师将评估学生是否能够正确建立二次函数模型，并准确计算出方程的系数。

4.对于成本函数的分析，教师将检查学生是否能够通过数学方法找到成本最低时的产品数量，并计算出最低成本。

5.在直角梯形面积的问题上，教师将关注学生是否能够正确应用面积公式，并准确求解未知数\(x\)。

反馈时，教师将指出以下问题并给出改进建议：

-如果学生在二次函数的转换过程中出现错误，教师将指出具体的错误步骤，并提供正确的转换方法。

-对于图像绘制，如果学生未能准确描绘，教师将提供正确的图像，并解释为何如此描绘。

-在解决实际问题时，如果学生的模型建立或计算有误，教师将指导学生如何正确建模和计算。

-教师还将关注学生的解题格式和表达是否规范，对于不规范的作业，教师将给出相应的改进建议。九、内容逻辑关系

①二次函数的基本概念与性质

-重点知识点：二次函数的定义、图像的开口方向、对称轴、顶点坐标

-重点词：二次函数、开口方向、对称轴、顶点

-重点句：二次函数\(y=ax^2+bx+c\)的图像是一个抛物线，开口方向由\(a\)的正负决定，对称轴为\(x=-\frac{b}{2a}\)，顶点坐标为\((-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})\)。

②二次函数的应用

-重点知识点：二次函数在实际问题中的应用，如最优化问题、运动轨迹问题

-重点词：应用、最优化、运动轨迹、模型

-重点句：通过建立二次函数模型，我们可以解决生活中的最优化问题，例如求最大利润、最短路径等。

③二次函数与一元二次方程的关系

-重点知识点：二次函数的根与一元二次方程的解的关系，二次函数图像与方程根的几何意义

-重点词：根、一元二次方程、几何意义

-重点句：二次函数\(y=ax^2+bx+c\)的根对应于一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)的解，这些根在图像上表示为抛物线与\(x\)轴的交点。第27章圆27.1圆的认识授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间设计意图核心素养目标1.空间观念：能够运用直观感知和抽象思考，理解圆的基本性质，培养在二维和三维空间中识别和描述圆的能力。

2.逻辑推理：学会运用数学语言进行合乎逻辑的推理，掌握圆的定义、定理和性质，以及圆与其它几何图形的关系。

3.数学运算：能够熟练使用圆的周长和面积公式进行计算，提高解决实际问题的能力。

4.数学应用：理解圆在实际生活中的应用，培养将数学知识应用于现实情境的意识和能力。

5.数学思维：通过探索圆的性质，发展学生的批判性思维和创造性思维，提高解决数学问题的策略和技巧。教学难点与重点1.教学重点

-圆的基本概念和性质：理解圆的定义、圆的周长和面积公式，以及圆的轴对称性。

例如，强调圆是平面上所有距离圆心相等的点的集合，以及圆的周长C=2πr和面积A=πr²的计算方法。

-圆的画法：掌握使用圆规和直尺正确画圆的技巧。

例如，演示如何以一个点为圆心，给定半径画一个圆，以及如何利用圆规作圆的等分。

-圆与其它几何图形的关系：理解圆与直线、圆与圆、圆与多边形的位置关系和交点性质。

例如，探讨圆与直线相切、相交的情况，以及两圆内切、外切时的性质。

2.教学难点

-圆的周长和面积公式的推导：理解圆的周长和面积公式是如何从圆的基本性质推导出来的。

例如，引导学生通过切割圆形纸片并重新排列成近似矩形的方法，来推导圆的面积公式。

-圆的对称性质的应用：掌握如何利用圆的对称性来解决实际问题。

例如，让学生通过实际操作，探索圆的对称性在制作旋转对称图案中的应用。

-圆与其它几何图形的复杂关系：理解圆与多边形、圆与圆之间复杂的交点性质和角度关系。

例如，解释当两个圆相交时，它们所形成的弧和角的关系，以及如何利用这些关系来解决问题。教学资源-硬件资源：多媒体教室、圆规、直尺、三角板、计算器

-软件资源：几何画板软件、PPT演示文稿

-课程平台：校园网络教学平台

-信息化资源：教学视频片段、数学问题库、在线测试系统

-教学手段：小组讨论、问题驱动、探究活动、实例分析教学过程1.导入新课

-（教师）同学们，大家好！今天我们将开始学习初中数学九年级下册华师大版第27章《圆》的第一节《圆的认识》。在日常生活中，我们经常会遇到圆形的物体，如硬币、车轮等。那么，大家对圆有哪些了解呢？请同学们分享一下你们对圆的认识。

2.知识讲解

-（教师）首先，我们来学习圆的基本概念。圆是由平面上所有距离圆心相等的点组成的图形。请大家拿出圆规，我来演示如何画一个圆。

-（教师）接下来，我们学习圆的周长和面积。圆的周长C=2πr，其中r是圆的半径，π是圆周率，约等于3.14。圆的面积A=πr²。请大家用计算器计算一下半径为5的圆的周长和面积。

-（教师）现在，我们来探讨圆的对称性。圆是一种轴对称图形，它有无数条对称轴。请大家找出圆的对称轴，并尝试画出几个对称轴。

3.实例分析

-（教师）接下来，我们通过一些实例来巩固圆的知识。请大家看这个图形（展示PPT），这是一个圆与直线相切的例子。请大家观察并思考，圆与直线相切时，它们之间有什么关系？

-（学生）圆与直线相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径。

-（教师）很好！现在请大家看这个图形（展示PPT），这是两个圆相交的例子。请大家观察并思考，两圆相交时，它们之间有什么关系？

-（学生）两圆相交时，它们有两个交点，且两圆心之间的距离小于两圆半径之和。

4.练习与讨论

-（教师）现在，请大家分成小组，完成以下练习题。每个小组选一个代表来回答问题。

-练习题1：计算半径为6cm的圆的周长和面积。

-练习题2：判断以下说法是否正确：圆是轴对称图形，它有无数条对称轴。

-（学生）小组讨论并回答问题。

5.小组展示与评价

-（教师）现在，请每个小组派一个代表来展示你们的讨论成果。其他小组注意听，等会儿我们要对这些小组的展示进行评价。

-（学生）小组展示讨论成果，其他小组进行评价。

6.总结与拓展

-（教师）通过今天的学习，我们掌握了圆的基本概念、周长和面积的计算方法，以及圆的对称性和圆与其它几何图形的关系。请大家回顾一下本节课的内容，并思考以下问题：圆的知识在生活中有哪些应用？

-（学生）思考并回答问题。

7.作业布置

-（教师）今天的作业是：完成练习册第27章第1节的练习题。请大家认真完成，明天上课时我要检查你们的作业。

-（学生）记录作业并准备下课。

8.下课

-（教师）好了，今天的课就到这里。下课！学生学习效果学生学习效果显著，以下为学生在本节课学习后取得的具体效果：

1.理解并掌握了圆的基本概念，能够准确描述圆的定义和性质，如圆心、半径、直径、圆周率等。

2.学生能够熟练运用圆的周长和面积公式进行计算，对于给定半径或直径的圆，能够迅速求出其周长和面积。

3.通过实例分析和练习，学生能够识别圆与直线相切、相交的情况，以及两圆相交时的位置关系和性质。

4.学生理解了圆的轴对称性，能够在平面几何图形中找出圆的对称轴，并利用对称性解决一些几何问题。

5.在小组讨论和展示环节，学生展现了良好的合作精神和沟通能力，能够有效地表达自己的思路和观点，同时也能够倾听和接受他人的意见。

6.学生通过练习题的完成，提高了数学运算能力和问题解决能力，能够将所学知识应用于实际问题的解决中。

7.学生对圆在实际生活中的应用有了更深刻的认识，能够联系生活实际，将数学知识应用于日常生活和其他学科的学习中。

8.学生在学习过程中，培养了空间观念和逻辑推理能力，能够通过观察和分析，推断出圆的性质和图形间的关系。

9.通过课堂上的互动和作业的完成，学生对自己的学习进度有了清晰的认识，能够自我评估并调整学习策略。

10.学生在完成作业和练习题时，展现出了良好的学习态度和责任感，能够按时完成学习任务，并积极寻求帮助以解决学习中遇到的问题。

总体而言，学生在本节课中不仅掌握了圆的基础知识，而且在数学思维、问题解决和学习态度等方面都有了明显的提升，为后续章节的学习奠定了坚实的基础。教学反思与总结在教学《圆的认识》这节课后，我深感教学过程中的各个环节都至关重要，以下是我对本次教学的一些反思与总结。

教学反思：

在设计教学活动时，我力求将抽象的圆的概念与学生的实际生活相结合，通过引入生活中的圆形物品来引发学生的兴趣。然而，我也发现，在导入环节，我可能过于注重激发兴趣，而未能及时引导学生进入数学知识的探究。今后的教学中，我需要更加精确地把握导入的时间和质量，确保学生能够快速进入学习状态。

在知识讲解环节，我使用了圆规和直尺进行演示，但观察到部分学生在跟随操作时存在困难。这提示我，在今后的教学中，我需要更加关注学生的个体差异，提供更多的个别指导，确保每个学生都能跟上教学进度。

此外，我在实例分析环节可能没有给予学生足够的时间进行思考和讨论。我意识到，应该给予学生更多的时间去探索和发现，而不是急于给出答案。在未来的教学中，我会更加注重培养学生的探究精神和批判性思维。

教学总结：

从学生的反馈来看，他们在本节课中取得了显著的进步。他们不仅掌握了圆的基本概念和性质，而且能够熟练运用周长和面积公式进行计算。在小组讨论和练习环节，学生的合作能力和问题解决能力得到了锻炼和提升。

然而，我也注意到，在课堂上，部分学生对于圆的对称性和复杂的位置关系理解不够深入。针对这一问题，我计划在下一节课中安排更多的练习和讨论，以加深学生对这些概念的理解。

针对教学中存在的问题，我提出以下改进措施和建议：

-在导入环节，我将更加注重引导学生从生活实例过渡到数学知识，确保学生能够快速进入学习状态。

-在知识讲解环节，我将提供更多的个别指导，确保每个学生都能够理解和掌握圆的基本概念和性质。

-在实例分析环节，我将给予学生更多的时间进行思考和讨论，鼓励他们提出问题和解决方案。

-在课后，我将布置更具挑战性的作业，以巩固学生对课堂所学知识的理解和应用。

-对于理解不够深入的概念，我将在下一节课中安排更多的练习和讨论，以确保学生能够深入理解并掌握。课后作业1.作业题目一：计算圆的周长和面积

题目：已知一个圆的半径为7cm，求这个圆的周长和面积。

解答：圆的周长C=2πr=2×π×7cm≈43.96cm；圆的面积A=πr²=π×7²cm²≈153.94cm²。

2.作业题目二：圆的对称性应用

题目：在平面直角坐标系中，点A(3,2)是圆O的圆心，圆O的半径为5cm。请画出圆O，并找出圆O关于x轴的对称圆的圆心坐标。

解答：圆O关于x轴对称的圆心坐标为B(3,-2)。

3.作业题目三：圆与直线的关系

题目：直线y=4与圆(x-2)²+(y+3)²=16相交于A、B两点，求线段AB的长度。

解答：圆心C(2,-3)到直线y=4的距离为5cm，由于圆的半径为4cm，因此线段AB为直径，AB的长度为直径的长度，即8cm。

4.作业题目四：两圆的位置关系

题目：两个圆C1和C2的半径分别为3cm和5cm，它们的圆心距离为8cm。求这两个圆的位置关系，并说明理由。

解答：两个圆C1和C2相切，因为两圆的半径之和等于它们的圆心距离（3cm+5cm=8cm），符合相切的条件。

5.作业题目五：圆的面积计算应用

题目：一个圆的周长是31.4cm，求这个圆的面积。

解答：首先求出圆的半径r=C/(2π)=31.4cm/(2×π)≈5cm，然后计算圆的面积A=πr²=π×5²cm²≈78.54cm²。板书设计①圆的基本概念

-圆的定义

-圆心、半径、直径

-圆周率π

②圆的周长和面积

-周长公式：C=2πr

-面积公式：A=πr²

③圆的性质

-圆是轴对称图形

-圆的对称轴

-圆与直线的关系：相离、相切、相交

-两圆的位置关系：内含、内切、相交、外切、外离第27章圆27.2与圆有关的位置关系科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）第27章圆27.2与圆有关的位置关系教学内容分析1.本节课的主要教学内容是华师大版初中数学九年级下册第27章第2节“与圆有关的位置关系”，主要包括点与圆、直线与圆的位置关系，以及相关的性质和定理。

2.教学内容与学生已有知识的联系主要体现在：本节课所讲内容是在学生已经学习了圆的基本概念、性质以及圆的方程等基础知识的基础上进行的。通过本节课的学习，学生将能够运用已有知识，理解和掌握点与圆、直线与圆的位置关系，以及相关的判定定理和性质定理，为后续解决有关圆的问题奠定基础。核心素养目标分析本节课的核心素养目标旨在培养学生的逻辑思维、空间想象以及数学运用能力。通过探究点与圆、直线与圆的位置关系，学生将提高观察、分析几何图形间位置关系的能力，发展空间观念和几何直观。同时，通过运用相关定理解决实际问题，学生将增强数学建模和问题解决的能力，培养运用数学知识解决实际问题的意识，提升数学核心素养。学习者分析1.学生已经掌握了圆的基本概念、圆的性质、圆的方程等基础知识，对圆的画法有一定的了解，能够识别圆的基本元素。

2.学生的学习兴趣方面，学生对几何图形的位置关系有较强的好奇心，喜欢探索图形之间的相互关系。在能力上，九年级的学生已经具备了一定的逻辑推理能力和空间想象力，能够进行简单的几何证明。在学习风格上，学生更倾向于通过实际操作和小组讨论来加深对知识点的理解。

3.学生可能遇到的困难和挑战包括：对位置关系的理解不够深入，难以把握点与圆、直线与圆位置关系的判定定理；在运用定理进行证明时，可能因为逻辑思维不严密而难以得出正确结论；在实际问题解决中，可能因为空间想象力不足而难以构建几何模型。教学资源-教科书：华师大版初中数学九年级下册

-教学PPT

-直尺、圆规、三角板等绘图工具

-数学模型或实物模型

-多媒体教学设备

-课程教学平台

-互动式白板

-数学软件（如几何画板）教学过程一、导入新课

1.同学们，上一节课我们学习了圆的基本概念和性质，大家还记得圆的方程是如何表示的吗？

2.很好，那么今天我们将进一步学习圆的另一个重要内容——与圆有关的位置关系。请大家打开教科书，翻到第27章第2节。

二、探究点与圆的位置关系

1.首先，我们来探讨点与圆的位置关系。请大家观察PPT上的图形，这里有一个圆，圆心为O，半径为r。现在有一个点P，我们来看看点P与圆的位置关系。

2.请大家思考一下，点P可能在圆的内部、圆上还是圆的外部呢？请同学们分组讨论，并尝试给出答案。

3.（学生讨论后回答）很好，同学们都给出了自己的答案。现在我们一起来总结一下：如果点P到圆心O的距离小于半径r，那么点P在圆的内部；如果点P到圆心O的距离等于半径r，那么点P在圆上；如果点P到圆心O的距离大于半径r，那么点P在圆的外部。

三、探究直线与圆的位置关系

1.接下来，我们来探讨直线与圆的位置关系。请大家看PPT上的另一个图形，这里有一条直线l和一个圆。请大家思考，直线l与圆的位置关系有哪些可能呢？

2.（学生回答）很好，同学们说出了三种可能：直线l与圆相离、相切或相交。那么，如何判断这三种位置关系呢？这就需要我们了解一些判定定理。

3.现在，请大家阅读教材上的相关内容，了解直线与圆位置关系的判定定理。阅读完毕后，请一位同学来分享一下你的理解。

4.（学生分享后）非常好，这位同学讲解得很清楚。根据判定定理，如果直线l到圆心O的距离d大于半径r，那么直线l与圆相离；如果直线l到圆心O的距离d等于半径r，那么直线l与圆相切；如果直线l到圆心O的距离d小于半径r，那么直线l与圆相交。

四、应用定理进行证明

1.现在，我们已经了解了直线与圆的位置关系及其判定定理，下面我们来应用这些定理进行一些证明。

2.请大家看教材上的例题，这里有一个关于直线与圆位置关系的证明题目。请大家先独立思考，然后尝试在纸上写出证明过程。

3.（学生独立完成后）现在，请一位同学来分享一下你的证明过程。

4.（学生分享后）很好，这位同学的证明过程很清晰。接下来，请大家再看另一道题目，尝试运用我们刚刚学到的知识进行证明。

五、巩固练习

1.为了巩固大家的学习成果，下面我们来做一些练习题。请大家打开练习册，完成第27章第2节的练习题。

2.（学生完成后）现在，请一位同学来分享一下你的解题过程和答案。

3.（学生分享后）很好，这位同学做得非常棒。接下来，请大家再做一些类似的题目，加深对直线与圆位置关系的理解。

六、课堂小结

1.通过今天的学习，我们探讨了点与圆、直线与圆的位置关系，学习了相关的判定定理。

2.希望大家能够将这些知识运用到实际问题的解决中，不断提高自己的数学素养。

七、课后作业

1.请大家课后完成练习册上第27章第2节的剩余练习题。

2.此外，请大家预习第27章第3节的内容，下节课我们将学习圆的性质定理。

八、结束语

1.同学们，这节课我们就学习到这里。希望大家能够在课后认真复习，巩固所学知识。

2.下节课，我们将继续学习圆的性质定理。请大家做好预习，下节课我们再见！教学资源拓展1.拓展资源：

-拓展阅读：关于圆的历史和文化背景资料，如圆在古代建筑、艺术和科学中的应用案例。

-拓展视频：几何画板或数学软件制作的相关动画，展示点与圆、直线与圆位置关系的动态变化。

-拓展活动：设计一些实践活动，如使用圆规和直尺绘制不同位置的点与圆、直线与圆的组合图形，以及进行相关的测量和计算。

2.拓展建议：

-鼓励学生在课后收集和阅读有关圆的历史和文化背景资料，了解圆在人类文明中的重要地位，从而增强对数学学习的兴趣和认识。

-建议学生观看相关的教学视频，通过视觉辅助理解点与圆、直线与圆的位置关系，加深对判定定理的理解。

-安排学生在课外使用几何画板或数学软件，自主探索点与圆、直线与圆的位置关系，通过实际操作加深对知识点的理解。

-设计一些实际操作活动，如让学生使用圆规和直尺绘制特定的图形，测量圆心到直线的距离，以及计算相关角度，以此来巩固课堂所学知识。

-推荐学生阅读一些数学杂志或书籍中的相关文章，了解圆在现实世界中的应用，如圆周率π的计算、圆在工程和科技领域的应用等。

-鼓励学生参与数学竞赛或挑战活动，通过解决实际问题来提高自己的数学思维能力，将课堂所学知识应用到实际中。

-建议学生建立学习小组，定期讨论和分享学习心得，共同解决学习中遇到的问题，培养合作学习和探究学习的能力。

-鼓励学生定期复习和总结所学知识，形成知识网络，为后续学习打下坚实的基础。重点题型整理题型一：判定点与圆的位置关系

题目：已知圆的方程为(x-2)²+(y-3)²=16，点P的坐标为(5,7)。判断点P与圆的位置关系。

答案：点P到圆心(2,3)的距离为√((5-2)²+(7-3)²)=√20，因为√20<4，所以点P在圆的内部。

题型二：判定直线与圆的位置关系

题目：已知圆的方程为(x-2)²+(y-3)²=16，直线的方程为3x+4y-10=0。判断直线与圆的位置关系。

答案：圆心(2,3)到直线的距离为d=|3*2+4*3-10|/√(3²+4²)=2/5，因为2/5<4，所以直线与圆相交。

题型三：求直线与圆的交点

题目：已知圆的方程为(x-2)²+(y-3)²=16，直线的方程为2x-y-5=0。求直线与圆的交点坐标。

答案：将直线方程y=2x-5代入圆的方程，得到(x-2)²+(2x-5-3)²=16，解得x=1或x=3。将x的值代入直线方程，得到对应的y值，交点坐标为(1,-3)和(3,1)。

题型四：证明直线与圆相切

题目：已知圆的方程为(x-2)²+(y-3)²=16，直线过点(4,5)，且斜率为-1。证明直线与圆相切。

答案：设直线方程为y=-x+b，将点(4,5)代入得b=9，所以直线方程为y=-x+9。圆心(2,3)到直线的距离为d=|2*(-1)+3-9|/√(1²+(-1)²)=4/√2=2√2，因为2√2=4，所以直线与圆相切。

题型五：求圆的切线方程

题目：已知圆的方程为(x-2)²+(y-3)²=16，点P(4,5)在圆上。求过点P的切线方程。

答案：因为点P在圆上，所以过点P的切线垂直于通过点P的半径。半径的斜率为(5-3)/(4-2)=1，所以切线的斜率为-1。设切线方程为y=-x+b，将点P(4,5)代入得b=9，所以切线方程为y=-x+9。教学反思与总结在刚刚完成的这节课中，我们共同探讨了与圆有关的位置关系这一重要内容。回顾整个教学过程，我深感教学既是艺术也是挑战。以下是我对这节课的反思与总结。

教学反思：

在设计课程时，我力求让教学内容既符合课程标准，又贴近学生的实际水平。我尝试通过导入环节激发学生的兴趣，让他们带着好奇心进入新知识的