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文档简介
绝密★启用前
2021年高考数学模拟考场仿真演练卷(新高考)
第五模拟
本试卷共22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮
擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要
求的。
1.设集合A=(—1,3],B={2,3,4},则4口3的子集个数为()
A.4B.7C.8D.16
【答案】A
【分析】
利用集合的交运算求ACB,再根据所得集合的元素个数判断子集的个数.
【详解】
A=(-1,3],8={2,3,4},则4口8={2,3},
nA的子集个数为2?=4个,
故选:A.
2.设复数Z满足2卜月一)=(1+7)2,则忖=()
A.-B.也C.BD.1
222
【答案】D
【分析】
利用复数的除法化简复数z,利用复数的模长公式可求得结果.
【详解】
故选:D.
3.老师要从6篇课文中随机抽取3篇让同学背诵,规定至少要背出其中2篇才能及格,某同学只能背诵其
中的4篇,该同学能及格的概率为()
2334
A.-B.一C.一D.-
3455
【答案】D
【分析】
若该同学能及格,只需抽取的3篇文章里至少有2篇是会背诵的,所以可以分别求出抽的3篇中有2篇和3
篇的情况,相加即可.
【详解】
若该同学能及格,只需抽取的3篇文章里至少有2篇是会背诵的,
C2C13
所以,抽取的3篇里有2篇会背诵的概率为七2=一,
屐5
C31
抽取的3篇里有3篇会背诵的概率为消=-,
314
故该同学能及格的概率为二.
故选:D.
4.下列图像中,不可能是函数/(x)=ln1x+al(aeR,且k乃)大致图像的是()
sma
A.B.
【分析】
InIx+11
由/(O)=O,可得|切=1,得到/(x)=L,」,当a=l,由x<—1时,尸(x)<0,可判定图像大致
sml
为A,当a=-1,可判定图像大致为D,当a=4,可判定图像大致为C,即可求解.
【详解】
由题意,函数+由/(0)=0,可得|切=1,
sma
当a=l,可得/(x)=lnU:”,且%=—1,贝ij/'(x)=1
sml(x+1)•sin1'
可知当彳>-1时,/,(%)>0,函数图像单调递增,
当XV-1时,r(x)<0,函数图像单调递减,所以函数图像大致为A,
同理,当a=—1、可得,图像大致为D,
sml
对于图像B,由于图像过原点,必有x=0,\a\=l,
而x=0、a=1,图像为A,%=0,a=-1,图像为D,
所以图像B不可能成为函数y=f(x)的图像,
对于图像C,根据图像特征,x=0,/0)=5回<0,
sina
可选择1团>1、sina<0的。,且满足单调性,
In|X+4I
。不唯一,例如a=4,可得/(x)=」——L图像大致为C.
sin4
故选:B.
5.若角。,耳均为锐角,sina=2叵cos(a+,)=±,则cos/?=()
55
A.寺R2君「2后或26„2迷
D.-------------
255255
【答案】A
【分析】
先求出cos。,sin(<z+/?),再利用和差角公式求出cos/?
【详解】
Q。,月均为锐角,sina=2^,cos(a+,)=:,
55
/.cos/3=cos[(tz+/?)-«]=cos(cir+P)cosa+sm(or+/3)sina乜叵Qx正=正
55555
故选:A.
【点睛】
利用三角公式求三角函数值的关键:
⑴角的范围的判断;
(2)根据条件进行合理的拆角,如〃=(a+尸)一%2。=(a+/)+(。一〃)等.
6.设。是一个平面,m,“是两条直线,则m,a的充分不必要条件是()
A.。内有无数条直线与机垂直
B.。内有两条直线与小垂直
C.nLa,mlIn
D.nila,mLn
【答案】C
【分析】
选项A,B,C都是非充分条件,所以错误;选项C是机,a的充分不必要条件,所以正确.
【详解】
对于A,。内有无数条直线与机垂直,mcza,这无数条直线可能平行,故不一定能推出机,a,所以
选项A错误;
对于B,。内有两条直线与机垂直,mucc,这两条直线可能平行,故不一定能推出加,a,所以选项B
错误;
对于C,nLa,mlIn,则机_La,但机J_a不能推出“_La,mlIn,故选项C正确;
对于D,nJla,mLn,则机与a的位置关系可能相交(垂直),可能平行,也可能为加uc,所以选项
D错误.
故选:C.
【点睛】
方法点睛:充分条件必要条件的判定,常用的有:(1)定义法;(2)集合法;(3)转化法.要根据已知条件
灵活选择方法判断.
Xy2
7.已知48是双曲线=1(Q>0,b>0)上关于坐标原点对称的两点,尸为其右焦点,若满足
a-b2
JTJT
AFQBF,且045厂的取值范围为[一,一],则该双曲线的离心率的取值范围是()
126
…",亚B"立用1]C.卓用1]D.W+8)
【答案】A
【分析】
_1_1
设双曲线的左焦点为尸1,设NA4E=e贝阿得e—|cosa-sina|一।枝gs(a+巧],根据
4
7171
ae即可求出.
12’6
【详解】
设双曲线的左焦点为为,
□4,3关于原点对称,□四边形NF8F1为矩形;□□工为下=口48厂;
设
NAEE=:.AFl=2ccosa,AF=2csina,
由双曲线的定义可得:\AFi-AF\=2a,
11「
一Icosa-sina「।后cos(a+%)|'"W运不
4
71715〃cos(a+工)』正史」□e£^5/2,+1];
U。H-----W
4442
故选:B.
y
【点睛】
关键点睛:本题考查双曲线离心率范围的求解,解题的关键是利用双曲线定义将离心率化为与口48尸相关,
根据口48厂的范围求解.
8.若数列{a,,}满足:对任意“wN*,只有有限个正整数机,使得巴,〈”成立,记这样的根的个数为(4)*,
则得到一悠闲的数列{(4)*},例如,若数列{q}是1,2,3,n,则得数歹!J(aj是0,1,2,
n-l,已知对任意的"eN*,cin=rT,则=()
A.20142B.2014C.20152D.2015
【答案】C
【分析】
当〃e((女—1)2,左2],关于根的不等式加2<〃的整数解的个数即为k-1,根据的定义可得
dn=k-1,再结合[(%)*}的定义可求((&015)*)*的值,从而得正确的选项.
【详解】
因为4="2,故满足am<"的正整数m的个数为不等式nr<n的整数解的个数.
当〃e((左—,左2],关于根的不等式加2<〃的整数解的个数即为k-1,
故。:=左一1,其中“€((左一1)2,左2],
故{[}中项的大小为01共有产—(左―叶=2左—1项.
,p0,1』,1,2,2,2,2,2,•••,左一1,左一1,•••,左一1,,…
将%列举如下:口口□n
3521
而((”2015)*)*即为4<2。15中a:的个数.
由□可得4<2015中4的个数为1+3+5+.-+(2、2015—1)=20152.
故选:c.
【点睛】
关键点点睛:为了求出不等式加2〈〃的正整数解的个数,我们把所有的正整数按((左-1)2,42],左eN*分
类,为了求出a:<2015中。:的个数,我们用了列举法找到了计算a:<2015中〃的个数的方法,这体现了
数形结合的数学思想.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部
选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
9.2020年初以来,5G技术在我国已经进入高速发展的阶段,5G手机的销量也逐渐上升,某手机商城统
计了近5个月来5G手机的实际销量,如下表所示:
月份2020年2月2020年3月2020年4月2020年5月2020年6月
月份编号X12345
销量》/部37104a196216
若y与X线性相关,且求得线性回归方程为y=45x+5,则下列说法正确的是()
A.a=147
B.》与王正相关
C.》与X的相关系数为负数
D.8月份该手机商城的5G手机销量约为36.5万部
【答案】AB
【分析】
计算出销量的平均数,利用总销量可得。值;由回归方程中的%的系数为正可知,》与王正相关;将%=7
代入,可得8月份该手机商城的5G手机销量.
【详解】
由表中数据,计算得x=gx(l+2+3+4+5)=3,所以,=45x3+5=140,
于是得37+104+a+196+216=140x5,解得。=147,故A正确;
由回归方程中的%的系数为正可知,》与x正相关,且其相关系数r>0,故B正确,C错误;
8月份时,x=7,J=32(万部),故D错误.
故选:AB.
【点睛】
本题考查两个变量的线性相关关系,考查了线性回归方程的应用,考查学生逻辑推理能力,属于中档题.
10.已知点A(—2,0),圆C:(x+4)2+y2=i6,点尸在圆。上运动,给出下列命题,其中正确的有()
A.而•无的取值范围是[8,25]
B.在X轴上存在定点8(4,0),使|PA|:|P3|为定值
C.设线段PA的中点为Q,则点。到直线x+y—3=0的距离的取值范围[3&-1,3应+1]
D.过直线x+y-4=0上一点T引圆。的两条切线,切点分别为M,N,则函.西的取值范围是(-16,
0]
【答案】BD
【分析】
多项选择题,一个一个选项验证:
向量坐标化,把有关向量用坐标表示出来.
(1)把丽•无用坐标表示出来,利用三角函数求最值;
⑵用坐标把|PA|:|P8|表示,整理化简即可;
(3)点Q到直线x+y-3=0的距离用坐标表示出来,三角函数求最值;
(4)把两■.函用坐标表示出来,利用三角函数求最值.
【详解】
对于A,设P(4cosa-4,4sina),-A(—2,0),C(-4,0),
PA-PC=(2-4cosa,4-sin«)[(-4coscr,-4sin«)
则=16cos2cr-8coscr+16sin2a
=16-8coscre[8,24]
故A错误;
对于B,设P(4cosa-4,4sina),贝!]
idicNJ(4costz-2>+(4sinayJ20-16cosa1
PA:PB|=\=/=■=-,
A/(4COStz-8)2+(4sintz)2,80-64cosa2
故B正确;
对于C,设P(4cosa-4,4sina),则点。到直线x+y-3=0的距离
12cosa+2sina-61I。也sinS+R—6|
d—G3&-2,30+2]
故c错误;
41n闭一_|-4+0-4|_r-
如图不:CT^m-&-4,2,又:CM±TM,CN±TN,
ZMCNCM4叵ZMCN八
COS-------=<—j==--,cos------->0
2CT4V222
—=CN445。,90).•.NMCNe[90。,180。),
—CM-GV=|GW'||C/VicosZMCNw(-16,0]
故D正确.
故选:BD.
【点睛】
解析几何问题常见处理方法:
(1)正确画出图形,利用平面几何知识简化运算;
(2)坐标化,把几何关系转化为坐标运算.
11.(多选题)关于函数/(X)=|COSH+COS|2X|,则下列结论正确的是(
A.八尤)是偶函数
B.乃是/(x)的最小正周期
C.7(元)在—上单调递增
_44_
一35一
D.当xe-7i-n时,/(尤)的最大值为2
_44_
【答案】ABD
【分析】
根据偶函数的定义和最小正周期的性质,结合二倍角的余弦公式、换元法进行判断即可.
【详解】
A:S%f(-x)=|cos(-x)|+cos|2(-x)|=|cosx|+cos|2x|=f(x),所以/(x)是偶函数,因此本结论正确;
B:因为y=|cos,,y=cos|2年的最小正周期都为万,所以/(%)的最小正周期也为万,故本结论正确;
C:/(x)=|cosx|+cos|2x|=|cosx|+2cos2|x|-1=2|cosx|2+|cosx|-1,
「35
令/=Los,,因为xe—7i,—兀,所以
1144
35
当xe肛万时,函数/=|cosx|单调递增,当xe兀,入兀时,函数/=|cosx|单调递减,函数
y=2厂+f—1=2(zH—)~—在/e[0,1]上,单调递增,
-48
-31「5一
所以/(无)当X6-71,71时单调递增,当xe71-71时单调递减,故本结论不正确;
44
35
D:令/=|cosx|,因为xe—兀,一万,所以
11144_
函数y=2产+/—1=2«+!)2在/e[0,1]上,单调递增,
-48
所以当f=l时,该函数有最大值,最大值为2xF+i—1=2,故本结论正确,
故选:ABD
12.已知函数〃x)=,则下列结论正确的是()
A.函数/(%)存在两个不同的零点
B.函数/(龙)既存在极大值又存在极小值
C.当—e<左<0时,方程/(x)=左有且只有两个实根
D.若xe上,时,/(x)max=4->贝"的最小值为2
【答案】ABC
【分析】
首先求函数的导数,利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象,最后直接判断选项.
【详解】
对于A./(%)=0=尤2+尤—1=0,解得/=一];石,所以A正确;
对于B.f'(x)=」2X2=_(x+l)(x-2),
exex
当/'(x)>0时,一l<x<2,当/'(x)<0时,x<—l或尤>2,
所以(T»,-1),(2,y)是函数的单调递减区间,(-L2)是函数的单调递增区间,
所以/(-1)是函数的极小值,/(2)是函数的极大值,所以B正确.
对于C.当xf外时,y->0,根据B可知,函数的最小值是/(-I)=-e,再根据单调性可知,当—e<女<0
时,方程/(幻=左有且只有两个实根,所以C正确;
对于D:由图象可知,f的最大值是2,所以D不正确.
故选:ABC.
【点睛】
易错点点睛:本题考查了导数分析函数的单调性,极值点,以及函数的图象,首先求函数的导数,令导数
为0,判断零点两侧的正负,得到函数的单调性,本题易错的地方是(2,+8)是函数的单调递减区间,但当
X.田时,yf0,所以图象是无限接近x轴,如果这里判断错了,那选项容易判断错了.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知尸为椭圆+的右焦点,/为椭圆C的左顶点,尸是椭圆C上一点,且尸尸
垂直于x轴,若直线/尸的斜率为二巳,则椭圆C的离心率为
3
r答窣】
【分析】
设直线AP的倾斜角为0,tan0=a上,整理可得3e2+括e-3+后=0,则离心率可求解.
【详解】
解:设直线4P的倾斜角为仇在出口我厂中,
由题意可得tan0=a=—,整理可得362=若(a-+ac),
a+c3
即3(4-/)(6Z2+(2C),
可得3/+-3+=0,解得e=-l(舍去),e—.
故答案为:上诋.
3
434
14.己知mH。,(l+/nr)=a0+axx+a2JC+a3x+a4x',若%=。3,则m=.
3
【答案】-
2
【分析】
由二项式定理展开式可知,4=《,苏,&=C:.病,再由生=名列方程可求出机的值
【详解】
。3
解:由题意得,出=C:・自=6m2,%=C:•I=4m3,6m2=4m3=^>m=—
3
故答案为:—
2
15.如图,过球的一条半径0P的中点G,作垂直于该半径的平面,所得截面圆的面积与球的表面积之比
为________
3
【答案】—
16
【分析】
求出截面圆半径后可得面积比.
【详解】
截面圆半径为小球半径为R,则由题意得r=JR2—13氏]=^R,
所以截面圆面积与球表面积比为工="2=兀不=_3_.
~S~4TTR2~471R2~16
3
故答案为:—.
16
16.正口48。的边长为1,中心为O,过。的动直线/与边45,ZC分别相交于点M、N,画7=2通,
AN=juACf而二丈.给出下列四个结论:
—►1—►1—►
□AO=-AB+-AC
33
——>—,1
□若丽=2祀,则A»NC=-/
11
口:+—不是定值,与直线/的位置有关
A.〃
4
口口AMN与口人5c的面积之比的最小值为
其中所有正确结论的序号是
【答案】□口
【分析】
利用向量加法的平行四边形法则可判断口,利用向量数量积的定义可判断口;根据M,0,N三点共线可判断
□;由三角形的面积公式结合口,利用基本不等式可判断□.
【详解】
对于口,由AO=5AD=耳x耳(AB+AC)=§AB+§AC,故□正确;
对于口,ADNC=-(AB+AC\-AC=-ABAC+-AC故口错误;
2、>3661264
对于口,由□而=!通+:/=々而+」一版,因为",O,N三点共线,
33323〃
11।11c
所以彳7+丁=1,即丁+—=3,故□错误;
325/uA/u
ANinA
对于口saAMN_2^^.
ABAC
'SOABCl|AB||AC|sinAlHl
又工+,=3N2J,•,=>/1•,故口正确.
2〃y2R9
故答案为:□口
四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.(10分)给出以下两个条件:□数列{。”}的首项%=1,4=3,且4m+%=4〃,□数列{4}的首
项a=1,且黑L=5+1).从上面□□两个条件中任选一个解答下面的问题.
S"n
(U)求数列{a“}的通项公式;
(□)设数列色}满足人=〃x2竽,求数列{2}的前“项和I.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
n+l
【答案】(口〉an=2n-l(□)Tn=(n-l)x2+2.
【分析】
(U)若选口,根据题意,由等差数列的定义,可判断数列{%i},{%JkZ)均为公差为4的等差数列,
分别计算数列{%i},{%』的通项公式,合并以后即可得{4}的通项公式;若选口,由累乘法计算得
S“=〃2,再由S”与a”的关系求解a“;(U)由(口)得2=〃x2",利用错位相减法求解数列{2}的前“
项和Tn.
【详解】
若选条件口:
(□)由条件a”+i+4,=4〃,得a.+2+a“+i=4(〃+1),两式相减得a畿=4,
口数列{%i},{%J(%wZ)均为公差为4的等差数列.一6=1,出-="4(左T)=4左—3,
口当“为奇数时,an=2n-la2=3,_a2k=3+4(^-l)=4^-l,
当”为偶数时,an=2n-\.综上,an=2n-l
4+1
()由()得Z?"="x22="x2”,
则其前几项和为4=1x2+2x22+…+〃x2”口,
口27;=lx22+2x23+---+rax2n+1n,
23nn+11+1,2+1
口-□得,-Tn=lx2+lx2+lx2+---+lx2-/zx2=£(z£)_nx2»=(l-w)x2-2,
1-2
,,+1
□7;=(Z2-1)X2+2.
若选条件□:
-邑=Z邑^4=£S”.n2
(□)口^±1>=^_
「s2
S,〃2S12,」。,83—32'…'s〃T(〃-1)2
S九22
上面〃一1个式子相乘得U=H(n>2),n〃N2时,SS=n2a=n2,
51I2]1
而〃=1时,5.=^=^=1,也满足上面等式,—Sn=£,
□〃22时,q=S〃一S〃T=H2-(n-1)2=2〃-1,而〃=1时,%=%=1,也满足上面等式,□见二2〃-1.
4t+1
(口)由(口)得仇=〃x22=nx2n,
则其前〃项和为方=lx2+2x22H------F〃X2”口,
□27;=lx2?+2x23+・.・+〃x2日1」,
□-□得,-7;=1X2+1X22+1X23+・・・+1X2"—〃X2用=2(1-2")_“X2(!+1=0一〃)X2〃+1—2,
1-2
□7;=(n-l)x2,,+1+2.
【点睛】
数列求和的方法技巧
(1)倒序相加:用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和.
(2)错位相减:用于等差数列与等比数列的积数列的求和.
(3)分组求和:用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和.
18.(12分)在DABC中,三个内角为/,B,C且满足(tanA-sinC)・(tan3—sinC)=sin2c.
71
(1)如果c=—,求sinAsinB的值;
4
(2)求cosC的最小值,
【答案】(1)!;(2)!
22
【分析】
(1)先对已知条件进行化简得到sinAsin5=sii?。,代入条件。=:,即可求出sinAsin3的值;
(2)由(1)得到sinAsin8=sin2。,根据正弦定理可得到ab=H,再由余弦定理结合基本不等式可得
云]„6/2+/?2—c26/2+/?2—cib2ab—ub目口》钻曰[/土
到cosC=---------------=---------------->------------,即可求出hcosC的最小值.
2ab2ablab
【详解】
(1)由题意,(tanA-sinC)•(tanB-sinC)=tanA-tanB-sinC(tanA+tansin2C=sin2C,
sinAsinB.fsinAsinB
□tanA-tanB-sinC(tanA+tan5)=---------------sinC--------1--------=0,
cosAcosBIcosAcosB
sinAsinB-sinC(sinAcosB+sinBcosA)sinAsin3—sinCsin(A+
----------------------------------------------------=-----------------------------------=0,
cosAcosBcosAcosB
nsinAsinB-sin2C=0.
□C=—,□sinAsinB=sin2C=sin2—.
442
(2)设三角形ABC的三边长分别为。,b,c,
由(1)得sinAsin3=sin2C,
根据正弦定理,可得次?=c2.
中石^-c2a2+b2-ab2ab-abab1小口人小…呈口寸十
因为cosC=--------------=--------------->-----------=-----=一,当且仅当a=匕时,等节成乂,
2ab2ab2ab2ab2
所以cosC的最小值为:
【点睛】
关键点点睛:本题考查正、余弦定理的应用,解题的关键是根据题中等式关系,求得sinAsin3=sin?C.
本题中根据题中等式关系,利用切化弦,并结合两角和的正弦公式,可求得sinAsin5=sin?C.考查学生
的逻辑推理能力与计算能力,属于中档题.
19.(12分)如图,四棱台4BCD-451cLDi的底面是矩形,平面N2CD□平面NAB/i,4B=24Bi=2,
AAi=2,BB}=5/5.
H
(1)求证:DCUAAi;
(2)若二面角8-CG-D的二面角的余弦值为-义上,求4D的长.
10
【答案】(1)证明见解析;(2)40=4.
【分析】
(1)先利用勾股定理可得=郎2+4石2,由此可知即,4后,结合AE//A4,可知AALAB,
可得441□平面/BCD,进而得证;
(2)建立空间直角坐标系,设AD=2。,根据题设关系,求出平面及平面BCG的法向量,根据题
设建立方程,即可求解.
【详解】
(1)取中点E,连接4石,可得AE=A耳且AE//44,
所以四边形AEBl4为平行四边形,所以
12
所以BB;=BE+BfE,则BE二BiE,所以AAiUiAB,
又平面48co□平面4821/1,所以441□平面48cD,
又由。Cu平面N8CD,所以。CM/i.
(2)由(1)知设(。〉0),
分别以">,朋,A3所在的直线为X轴、》轴、2轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则4(0,0,0),B(0,0,2),C⑵,0,2),D⑵,0,0),Ci(a,2,1),
故Mi=(-a,2,-1),DC=(0,0,2),BC=(2a,0,0),
_n-CC,—0—ax+2y—z=0
设平面CCYD的法向量”=(x,y,z),贝叫———八,即七八",
ri-DC=02z=0
取%=2,可得平面CC。的一个法向量3=(2,〃,0),
m-CC=0-ax+2y-z=0
设平面BCC\的法向量加=(x,y,z),则<X即《
m-BC=020r=0
取y=l,可得平面BCG的一个法向量沅=(0,1,2),
_、
所以c°s(I",时=n丽-m=不ga
由二面角B-CCx-D的二面角的余弦值为―%,
10
aV1U
可得一;二~1———=~77->解得a=2,所以AD=4.
、六410
【点睛】
求解直线与平面所成角的方法:
1、定义法:根据直线与平面所成角的定义,结合垂线段与斜线段的长度比求得线面角的正弦值;
2、向量法:分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个向量方法向量的夹角(或
补角):
3、法向量法:求出斜线的方向向量和平面的法向量所夹的锐角,取其余角即为斜线与平面所成的角.
20.(12分)某校为了解高三学生周末在家学习情况,随机抽取高三年级甲、乙两班学生进行网络问卷调查,
统计了甲、乙两班各40人每天的学习时间(单位:小时),并将样本数据分成[3,4),[4,5),设,6),[6,7),
[7,8]五组,整理得到如下频率分布直方图:
(1)将学习时间不少于6小时和少于6小时的学生数填入下面的2x2列联表:
不少于6小时少于6小时总计
甲班
乙班
总计
能以95%的把握认为学习时间不少于6小时与班级有关吗?为什么?
(2)此次问卷调查甲班学生的学习时间大致满足。〜N(〃,0.36),其中〃等于甲班学生学习时间的平均数,
求甲班学生学习时间在区间(6.2,6.8]的概率.
参考公式:K2=-------Wjc)------------〃=a+6+c+d.
(a+b)[c+d)[a+c)(b+d)
参考数据口:
尸"%)0.0500.0100.001
k03.8416.63510.828
口若则P(〃一b<X<〃+b)=0.6827,—2b<XK〃+2b)=0.9545.
【答案】(1)列联表答案见解析,没有95%的把握认为学习时间不少于6小时与班级有关,理由见解析;(2)
0.1359.
【分析】
(1)利用频率分布直方图计算出甲班学习时间不少于6小时的人数和乙班学习时间不少于6小时的人数,
可得2x2列联表;计算K2,对照临界值表可得结果;
(2)根据频率分布直方图计算〃,再根据P(6.2<』K6.8)=F(〃+b<J<〃+2b)
=尸(〃-2b<XW〃+2G-P(〃一+G计算可得结果
2
【详解】
(1)由频率分布直方图可知,甲班学习时间不少于6小时的人数为:
(0.250+0.050)x1x40=12A,则甲班学习时间少于6小时的人数为28人;
同理得乙班学习时间不少于6小时的人数为(0.250+0.200)x1x40=18人,
则甲班学习时间少于6小时的人数为22人.
由此得到2x2列联表:
不少于6小时少于6小时总计
甲班122840
乙班182240
总计305080
因为K2=80x(12x22-18x28『“92<3.841,
所以没有95%的把握认为学习时间不少于6小时与班级有关.
(2)甲班学生学习时间的平均数
〃=0.05x3.5+0.15x4.5+0.5x5.5+0.25x6.5+0.05x7.5=5.6.
cr=A/0.36=0.6,
所以P(6.2<^<6.8)=P(//+CT<^<//+2cr)
_尸(〃-2a<X<ju+2a)--a<X</j+a)
~2
0.9545-0.6827…“
=---------------------=0.1359.
2
即甲班学生学习时间在区间(6.2,6.8]的概率为0.1359.
【点睛】
关键点点睛:(1)中掌握独立性检验的基本思想是解题关键;(2)中利用正态分布的两个特殊概率求解是
解题关键.
21.已知直线/1,/2分别于抛物线y2=x相切于2两点.
(1)若点/的坐标为(1,-1),求直线的方程;
(2)若直线与/2的交点为尸,且点尸在圆(X+2)2y2=1上,设直线/2与〉轴分别交于点“,N,求
匕\M一N的\取值范围.
\AB\
.非1
【答案】(1)x+2y+l=0;(2)
W,2
【分析】
(1)设直线八:y+l=k(x-1),与抛物线方程联立,再由根的判别式等于零求得直线的斜率,由此可求得
直线的方程.
(2)设/(xi,以),B(X2,/),求得直线/j:xy=苫土,直线小为尸二黄,得到点〃(0件),
W,—).表示出直线N8方程,与抛物线方程联立,由根与系数的关系表示1r7高,可求得范围.
2\AB\
【详解】
(1)由题意知直线/2的斜率一定存在,设直线小y+l=k(x-1),与抛物线方程联立,得V-y-k
-1=0.
由口=1+4左(左+1)=0,得左=—g,则/i的方程为y=;入一;.
1
(2)设4(xi,yi),5(x2,y2),设直线li:y-y\=^(x-x1),与抛物线方程产=》联立,得ky—y+yy—y^k=0.
由△=1_4左(%_短左)=o,解得左=丁,所以直线4:=x;',同理得直线4:y2y=
,X22
则〃(0件),Ng,
XQ+再
%%=
2,则直线N5方程为=
设点尸(xo,yo),代入可得,
x0+x22
%〉。=2
与抛物线方程联立,得俨-2yoy+xo=O,则有歹1+竺=2M,yiy2=xo.
1一\MN\_1
则I"Nl=]l%%I,I1=+11%_1所以|AB|一2J4y?+i
\MN\1
又点P在圆(x+2)2+产=1上,所以—即0«为2<],所以
132国
\MN\
所以匕T的取值范围为非1
\AB\To'2'
【点睛】
方法点睛:(1)解答直线与抛物线的题目时,时常把两个曲线的方程联立,消
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