2021年高考数学模拟考场仿真演练卷（解析版）

绝密★启用前

2021年高考数学模拟考场仿真演练卷（新高考）

第五模拟

本试卷共22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.设集合A=（—1,3],B={2,3,4},则4口3的子集个数为（）

A.4B.7C.8D.16

【答案】A

【分析】

利用集合的交运算求ACB，再根据所得集合的元素个数判断子集的个数.

【详解】

A=（-1,3],8={2,3,4},则4口8={2,3},

nA的子集个数为2?=4个，

故选：A.

2.设复数Z满足2卜月一）=（1+7）2,则忖=（）

A.-B.也C.BD.1

222

【答案】D

【分析】

利用复数的除法化简复数z,利用复数的模长公式可求得结果.

【详解】

故选：D.

3.老师要从6篇课文中随机抽取3篇让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格，某同学只能背诵其

中的4篇，该同学能及格的概率为（)

2334

A.-B.一C.一D.-

3455

【答案】D

【分析】

若该同学能及格，只需抽取的3篇文章里至少有2篇是会背诵的，所以可以分别求出抽的3篇中有2篇和3

篇的情况，相加即可.

【详解】

若该同学能及格，只需抽取的3篇文章里至少有2篇是会背诵的，

C2C13

所以，抽取的3篇里有2篇会背诵的概率为七2=一，

屐5

C31

抽取的3篇里有3篇会背诵的概率为消=-,

314

故该同学能及格的概率为二.

故选：D.

4.下列图像中，不可能是函数/（x）=ln1x+al（aeR,且k乃）大致图像的是（）

sma

A.B.

【分析】

InIx+11

由/(O)=O,可得|切=1,得到/(x)=L,」,当a=l,由x<—1时，尸(x)<0,可判定图像大致

sml

为A,当a=-1,可判定图像大致为D,当a=4,可判定图像大致为C,即可求解.

【详解】

由题意，函数+由/(0)=0,可得|切=1,

sma

当a=l,可得/(x)=lnU：”,且％=—1,贝ij/'(x)=1

sml(x+1)•sin1'

可知当彳>-1时，/,(%)>0,函数图像单调递增,

当XV-1时，r(x)<0,函数图像单调递减，所以函数图像大致为A,

同理，当a=—1、可得,图像大致为D,

sml

对于图像B,由于图像过原点，必有x=0,\a\=l,

而x=0、a=1,图像为A,%=0,a=-1,图像为D,

所以图像B不可能成为函数y=f(x)的图像,

对于图像C,根据图像特征，x=0,/0)=5回<0,

sina

可选择1团>1、sina<0的。，且满足单调性,

In|X+4I

。不唯一，例如a=4,可得/(x)=」——L图像大致为C.

sin4

故选：B.

5.若角。，耳均为锐角，sina=2叵cos(a+，)=±,则cos/?=()

55

A.寺R2君「2后或26„2迷

D.-------------

255255

【答案】A

【分析】

先求出cos。，sin（＜z+/?）,再利用和差角公式求出cos/?

【详解】

Q。，月均为锐角，sina=2^，cos（a+，）=：,

55

/.cos/3=cos[(tz+/?)-«]=cos(cir+P)cosa+sm(or+/3)sina乜叵Qx正=正

55555

故选：A.

【点睛】

利用三角公式求三角函数值的关键：

⑴角的范围的判断；

（2）根据条件进行合理的拆角，如〃=（a+尸）一%2。=（a+/）+（。一〃）等.

6.设。是一个平面，m,“是两条直线，则m，a的充分不必要条件是（）

A.。内有无数条直线与机垂直

B.。内有两条直线与小垂直

C.nLa,mlIn

D.nila,mLn

【答案】C

【分析】

选项A,B,C都是非充分条件，所以错误；选项C是机，a的充分不必要条件，所以正确.

【详解】

对于A,。内有无数条直线与机垂直，mcza,这无数条直线可能平行，故不一定能推出机，a,所以

选项A错误；

对于B,。内有两条直线与机垂直，mucc，这两条直线可能平行，故不一定能推出加，a,所以选项B

错误；

对于C,nLa,mlIn,则机_La,但机J_a不能推出“_La,mlIn,故选项C正确；

对于D,nJla,mLn,则机与a的位置关系可能相交（垂直），可能平行，也可能为加uc,所以选项

D错误.

故选：C.

【点睛】

方法点睛：充分条件必要条件的判定，常用的有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.要根据已知条件

灵活选择方法判断.

Xy2

7.已知48是双曲线=1（Q>0,b>0）上关于坐标原点对称的两点,尸为其右焦点，若满足

a-b2

JTJT

AFQBF,且045厂的取值范围为[一,一],则该双曲线的离心率的取值范围是（）

126

…"，亚B"立用1]C.卓用1]D.W+8）

【答案】A

【分析】

_1_1

设双曲线的左焦点为尸1,设NA4E=e贝阿得e—|cosa-sina|一।枝gs(a+巧],根据

4

7171

ae即可求出.

12’6

【详解】

设双曲线的左焦点为为，

□4,3关于原点对称，□四边形NF8F1为矩形；□□工为下=口48厂；

设

NAEE=:.AFl=2ccosa,AF=2csina,

由双曲线的定义可得：\AFi-AF\=2a,

11「

一Icosa-sina「।后cos(a+%)|'"W运不

4

71715〃cos(a+工)』正史」□e£^5/2,+1]；

U。H-----W

4442

故选：B.

y

【点睛】

关键点睛：本题考查双曲线离心率范围的求解，解题的关键是利用双曲线定义将离心率化为与口48尸相关,

根据口48厂的范围求解.

8.若数列｛a,,｝满足：对任意“wN*，只有有限个正整数机，使得巴，〈”成立，记这样的根的个数为(4)*，

则得到一悠闲的数列｛(4)*｝,例如，若数列｛q｝是1,2,3,n,则得数歹!J(aj是0,1,2,

n-l,已知对任意的"eN*，cin=rT,则=()

A.20142B.2014C.20152D.2015

【答案】C

【分析】

当〃e((女—1)2,左2],关于根的不等式加2<〃的整数解的个数即为k-1,根据的定义可得

dn=k-1,再结合[(%)*｝的定义可求((&015)*)*的值，从而得正确的选项.

【详解】

因为4="2,故满足am<"的正整数m的个数为不等式nr<n的整数解的个数.

当〃e((左—，左2],关于根的不等式加2<〃的整数解的个数即为k-1,

故。：=左一1,其中“€((左一1)2,左2],

故｛[｝中项的大小为01共有产—(左―叶=2左—1项.

,p0,1』，1,2,2,2,2,2,•••，左一1,左一1,•••，左一1,,…

将％列举如下：口口□n

3521

而((”2015)*)*即为4<2。15中a：的个数.

由□可得4<2015中4的个数为1+3+5+.-+(2、2015—1)=20152.

故选：c.

【点睛】

关键点点睛：为了求出不等式加2〈〃的正整数解的个数，我们把所有的正整数按（（左-1）2,42],左eN*分

类，为了求出a：<2015中。：的个数，我们用了列举法找到了计算a：<2015中〃的个数的方法，这体现了

数形结合的数学思想.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.2020年初以来，5G技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统

计了近5个月来5G手机的实际销量，如下表所示：

月份2020年2月2020年3月2020年4月2020年5月2020年6月

月份编号X12345

销量》/部37104a196216

若y与X线性相关，且求得线性回归方程为y=45x+5,则下列说法正确的是（）

A.a=147

B.》与王正相关

C.》与X的相关系数为负数

D.8月份该手机商城的5G手机销量约为36.5万部

【答案】AB

【分析】

计算出销量的平均数，利用总销量可得。值；由回归方程中的％的系数为正可知，》与王正相关；将％=7

代入，可得8月份该手机商城的5G手机销量.

【详解】

由表中数据，计算得x=gx（l+2+3+4+5）=3,所以,=45x3+5=140，

于是得37+104+a+196+216=140x5,解得。=147,故A正确；

由回归方程中的％的系数为正可知，》与x正相关，且其相关系数r>0,故B正确，C错误；

8月份时，x=7,J=32（万部），故D错误.

故选：AB.

【点睛】

本题考查两个变量的线性相关关系，考查了线性回归方程的应用，考查学生逻辑推理能力，属于中档题.

10.已知点A(—2,0),圆C:(x+4)2+y2=i6,点尸在圆。上运动，给出下列命题，其中正确的有()

A.而•无的取值范围是[8,25]

B.在X轴上存在定点8(4,0),使|PA|：|P3|为定值

C.设线段PA的中点为Q,则点。到直线x+y—3=0的距离的取值范围[3&-1,3应+1]

D.过直线x+y-4=0上一点T引圆。的两条切线，切点分别为M，N,则函.西的取值范围是(-16,

0]

【答案】BD

【分析】

多项选择题，一个一个选项验证：

向量坐标化，把有关向量用坐标表示出来.

(1)把丽•无用坐标表示出来，利用三角函数求最值；

⑵用坐标把|PA|：|P8|表示，整理化简即可；

(3)点Q到直线x+y-3=0的距离用坐标表示出来，三角函数求最值；

(4)把两■.函用坐标表示出来，利用三角函数求最值.

【详解】

对于A,设P(4cosa-4,4sina),-A(—2,0),C(-4,0),

PA-PC=(2-4cosa,4-sin«)[(-4coscr,-4sin«)

则=16cos2cr-8coscr+16sin2a

=16-8coscre[8,24]

故A错误；

对于B,设P(4cosa-4,4sina),贝!]

idicNJ(4costz-2>+(4sinayJ20-16cosa1

PA:PB|=\=/=■=-,

A/(4COStz-8)2+(4sintz)2,80-64cosa2

故B正确;

对于C,设P(4cosa-4,4sina),则点。到直线x+y-3=0的距离

12cosa+2sina-61I。也sinS+R—6|

d—G3&-2,30+2]

故c错误;

41n闭一_|-4+0-4|_r-

如图不：CT^m-&-4,2,又：CM±TM,CN±TN,

ZMCNCM4叵ZMCN八

COS-------=<—j==--,cos------->0

2CT4V222

—=CN445。,90).•.NMCNe[90。,180。),

—CM-GV=|GW'||C/VicosZMCNw(-16,0]

故D正确.

故选：BD.

【点睛】

解析几何问题常见处理方法：

(1)正确画出图形，利用平面几何知识简化运算；

(2)坐标化，把几何关系转化为坐标运算.

11.(多选题)关于函数/(X)=|COSH+COS|2X|,则下列结论正确的是(

A.八尤)是偶函数

B.乃是/(x)的最小正周期

C.7(元)在—上单调递增

_44_

一35一

D.当xe-7i-n时，/(尤)的最大值为2

_44_

【答案】ABD

【分析】

根据偶函数的定义和最小正周期的性质，结合二倍角的余弦公式、换元法进行判断即可.

【详解】

A：S%f(-x)=|cos(-x)|+cos|2(-x)|=|cosx|+cos|2x|=f(x),所以/(x)是偶函数，因此本结论正确;

B：因为y=|cos,,y=cos|2年的最小正周期都为万，所以/(%)的最小正周期也为万，故本结论正确；

C：/(x)=|cosx|+cos|2x|=|cosx|+2cos2|x|-1=2|cosx|2+|cosx|-1,

「35

令/=Los，，因为xe—7i,—兀,所以

1144

35

当xe肛万时，函数/=|cosx|单调递增，当xe兀，入兀时，函数/=|cosx|单调递减，函数

y=2厂+f—1=2(zH—)~—在/e[0,1]上，单调递增，

-48

-31「5一

所以/(无)当X6-71,71时单调递增，当xe71-71时单调递减，故本结论不正确；

44

35

D：令/=|cosx|,因为xe—兀，一万,所以

11144_

函数y=2产+/—1=2«+!)2在/e[0,1]上，单调递增，

-48

所以当f=l时，该函数有最大值，最大值为2xF+i—1=2,故本结论正确,

故选：ABD

12.已知函数〃x)=,则下列结论正确的是()

A.函数/(%)存在两个不同的零点

B.函数/(龙)既存在极大值又存在极小值

C.当—e<左<0时，方程/(x)=左有且只有两个实根

D.若xe上,时，/(x)max=4->贝"的最小值为2

【答案】ABC

【分析】

首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选项.

【详解】

对于A./(%)=0=尤2+尤—1=0,解得/=一］；石,所以A正确；

对于B.f'(x)=」2X2=_(x+l)(x-2),

exex

当/'(x)>0时，一l<x<2,当/'(x)<0时，x<—l或尤>2,

所以(T»,-1),(2,y)是函数的单调递减区间，(-L2)是函数的单调递增区间，

所以/(-1)是函数的极小值，/(2)是函数的极大值，所以B正确.

对于C.当xf外时，y->0,根据B可知，函数的最小值是/(-I)=-e,再根据单调性可知，当—e<女<0

时，方程/(幻=左有且只有两个实根，所以C正确；

对于D：由图象可知，f的最大值是2,所以D不正确.

故选：ABC.

【点睛】

易错点点睛：本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数

为0,判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是(2,+8)是函数的单调递减区间，但当

X.田时，yf0,所以图象是无限接近x轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知尸为椭圆+的右焦点，/为椭圆C的左顶点，尸是椭圆C上一点，且尸尸

垂直于x轴，若直线/尸的斜率为二巳，则椭圆C的离心率为

3

r答窣】

【分析】

设直线AP的倾斜角为0,tan0=a上，整理可得3e2+括e-3+后=0,则离心率可求解.

【详解】

解：设直线4P的倾斜角为仇在出口我厂中，

由题意可得tan0=a=—,整理可得362=若(a-+ac),

a+c3

即3(4-/)(6Z2+(2C),

可得3/+-3+=0,解得e=-l(舍去)，e—.

故答案为：上诋.

3

434

14.己知mH。，(l+/nr)=a0+axx+a2JC+a3x+a4x',若％=。3，则m=.

3

【答案】-

2

【分析】

由二项式定理展开式可知，4=《,苏，&=C：.病,再由生=名列方程可求出机的值

【详解】

。3

解：由题意得，出=C：・自=6m2，%=C：•I=4m3,6m2=4m3=^>m=—

3

故答案为：—

2

15.如图，过球的一条半径0P的中点G，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的面积与球的表面积之比

为________

3

【答案】—

16

【分析】

求出截面圆半径后可得面积比.

【详解】

截面圆半径为小球半径为R,则由题意得r=JR2—13氏］=^R,

所以截面圆面积与球表面积比为工="2=兀不=_3_.

~S~4TTR2~471R2~16

3

故答案为：—.

16

16.正口48。的边长为1,中心为O,过。的动直线/与边45,ZC分别相交于点M、N,画7=2通,

AN=juACf而二丈.给出下列四个结论:

—►1—►1—►

□AO=-AB+-AC

33

——>—,1

□若丽=2祀，则A»NC=-/

11

口:+—不是定值，与直线/的位置有关

A.〃

4

口口AMN与口人5c的面积之比的最小值为

其中所有正确结论的序号是

【答案】□口

【分析】

利用向量加法的平行四边形法则可判断口，利用向量数量积的定义可判断口；根据M,0,N三点共线可判断

□；由三角形的面积公式结合口，利用基本不等式可判断□.

【详解】

对于口，由AO=5AD=耳x耳(AB+AC)=§AB+§AC,故□正确；

对于口，ADNC=-(AB+AC\-AC=-ABAC+-AC故口错误;

2、>3661264

对于口，由□而=!通+：/=々而+」一版，因为",O,N三点共线，

33323〃

11।11c

所以彳7+丁=1,即丁+—=3,故□错误；

325/uA/u

ANinA

对于口saAMN_2^^.

ABAC

'SOABCl|AB||AC|sinAlHl

又工+，=3N2J，•，=>/1•，故口正确.

2〃y2R9

故答案为：□口

四、解答题:本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17.(10分)给出以下两个条件：□数列｛。”｝的首项％=1,4=3,且4m+%=4〃，□数列｛4｝的首

项a=1,且黑L=5+1）.从上面□□两个条件中任选一个解答下面的问题.

S"n

（U）求数列｛a“｝的通项公式；

（□）设数列色｝满足人=〃x2竽，求数列｛2｝的前“项和I.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

n+l

【答案】（口〉an=2n-l（□）Tn=（n-l）x2+2.

【分析】

（U）若选口，根据题意，由等差数列的定义，可判断数列｛%i｝,｛%JkZ）均为公差为4的等差数列，

分别计算数列｛%i｝，｛%』的通项公式，合并以后即可得｛4｝的通项公式；若选口，由累乘法计算得

S“=〃2,再由S”与a”的关系求解a“；（U）由（口）得2=〃x2",利用错位相减法求解数列｛2｝的前“

项和Tn.

【详解】

若选条件口:

（□）由条件a”+i+4,=4〃，得a.+2+a“+i=4（〃+1）,两式相减得a畿=4,

口数列｛%i｝，｛%J（%wZ）均为公差为4的等差数列.一6=1,出-="4（左T）=4左—3,

口当“为奇数时，an=2n-la2=3,_a2k=3+4（^-l）=4^-l,

当”为偶数时，an=2n-\.综上，an=2n-l

4+1

（）由（）得Z?"="x22="x2”，

则其前几项和为4=1x2+2x22+…+〃x2”口，

口27；=lx22+2x23+---+rax2n+1n,

23nn+11+1,2+1

口-□得，-Tn=lx2+lx2+lx2+---+lx2-/zx2=£（z£）_nx2»=（l-w）x2-2,

1-2

,,+1

□7；=（Z2-1）X2+2.

若选条件□:

-邑=Z邑^4=£S”.n2

(□)口^±1>=^_

「s2

S,〃2S12，」。，83—32'…'s〃T(〃-1)2

S九22

上面〃一1个式子相乘得U=H(n>2),n〃N2时，SS=n2a=n2,

51I2］1

而〃=1时，5.=^=^=1,也满足上面等式，—Sn=£,

□〃22时，q=S〃一S〃T=H2-(n-1)2=2〃-1,而〃=1时，%=%=1,也满足上面等式，□见二2〃-1.

4t+1

(口)由(口)得仇=〃x22=nx2n,

则其前〃项和为方=lx2+2x22H------F〃X2”口，

□27；=lx2?+2x23+・.・+〃x2日1」,

□-□得，-7；=1X2+1X22+1X23+・・・+1X2"—〃X2用=2(1-2")_“X2(!+1=0一〃)X2〃+1—2,

1-2

□7；=(n-l)x2,,+1+2.

【点睛】

数列求和的方法技巧

(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和.

(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和.

(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和.

18.(12分)在DABC中，三个内角为/,B,C且满足(tanA-sinC)・(tan3—sinC)=sin2c.

71

(1)如果c=—,求sinAsinB的值；

4

(2)求cosC的最小值，

【答案】(1)!；(2)!

22

【分析】

(1)先对已知条件进行化简得到sinAsin5=sii?。，代入条件。=:，即可求出sinAsin3的值；

(2)由(1)得到sinAsin8=sin2。，根据正弦定理可得到ab=H，再由余弦定理结合基本不等式可得

云］„6/2+/?2—c26/2+/?2—cib2ab—ub目口》钻曰［/土

到cosC=---------------=---------------->------------,即可求出hcosC的最小值.

2ab2ablab

【详解】

(1)由题意，(tanA-sinC)•(tanB-sinC)=tanA-tanB-sinC(tanA+tansin2C=sin2C,

sinAsinB.fsinAsinB

□tanA-tanB-sinC(tanA+tan5)=---------------sinC--------1--------=0,

cosAcosBIcosAcosB

sinAsinB-sinC(sinAcosB+sinBcosA)sinAsin3—sinCsin(A+

----------------------------------------------------=-----------------------------------=0,

cosAcosBcosAcosB

nsinAsinB-sin2C=0.

□C=—,□sinAsinB=sin2C=sin2—.

442

(2)设三角形ABC的三边长分别为。，b,c,

由(1)得sinAsin3=sin2C，

根据正弦定理，可得次?=c2.

中石^-c2a2+b2-ab2ab-abab1小口人小…呈口寸十

因为cosC=--------------=--------------->-----------=-----=一,当且仅当a=匕时，等节成乂，

2ab2ab2ab2ab2

所以cosC的最小值为:

【点睛】

关键点点睛：本题考查正、余弦定理的应用，解题的关键是根据题中等式关系，求得sinAsin3=sin?C.

本题中根据题中等式关系，利用切化弦，并结合两角和的正弦公式，可求得sinAsin5=sin?C.考查学生

的逻辑推理能力与计算能力，属于中档题.

19.(12分)如图，四棱台4BCD-451cLDi的底面是矩形，平面N2CD□平面NAB/i,4B=24Bi=2,

AAi=2,BB}=5/5.

H

(1)求证：DCUAAi；

(2)若二面角8-CG-D的二面角的余弦值为-义上，求4D的长.

10

【答案】(1)证明见解析；(2)40=4.

【分析】

(1)先利用勾股定理可得=郎2+4石2,由此可知即，4后，结合AE//A4，可知AALAB,

可得441□平面/BCD,进而得证；

(2)建立空间直角坐标系，设AD=2。，根据题设关系，求出平面及平面BCG的法向量，根据题

设建立方程，即可求解.

【详解】

(1)取中点E,连接4石，可得AE=A耳且AE//44，

所以四边形AEBl4为平行四边形，所以

12

所以BB；=BE+BfE,则BE二BiE,所以AAiUiAB,

又平面48co□平面4821/1,所以441□平面48cD,

又由。Cu平面N8CD,所以。CM/i.

(2)由(1)知设(。〉0),

分别以">,朋,A3所在的直线为X轴、》轴、2轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

则4(0,0,0),B(0,0,2),C⑵，0,2),D⑵，0,0),Ci(a,2,1),

故Mi=(-a,2,-1),DC=(0,0,2),BC=(2a,0,0)，

_n-CC,—0—ax+2y—z=0

设平面CCYD的法向量”=(x,y,z),贝叫———八，即七八"，

ri-DC=02z=0

取％=2,可得平面CC。的一个法向量3=(2,〃,0),

m-CC=0-ax+2y-z=0

设平面BCC\的法向量加=(x,y,z)，则<X即《

m-BC=020r=0

取y=l,可得平面BCG的一个法向量沅=(0,1,2),

_、

所以c°s(I",时=n丽-m=不ga

由二面角B-CCx-D的二面角的余弦值为―%,

10

aV1U

可得一；二~1———=~77-＞解得a=2,所以AD=4.

、六410

【点睛】

求解直线与平面所成角的方法：

1、定义法：根据直线与平面所成角的定义，结合垂线段与斜线段的长度比求得线面角的正弦值；

2、向量法：分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个向量方法向量的夹角（或

补角）:

3、法向量法：求出斜线的方向向量和平面的法向量所夹的锐角，取其余角即为斜线与平面所成的角.

20.（12分）某校为了解高三学生周末在家学习情况，随机抽取高三年级甲、乙两班学生进行网络问卷调查，

统计了甲、乙两班各40人每天的学习时间（单位：小时），并将样本数据分成[3,4）,[4,5）,设,6）,[6,7）,

[7,8]五组，整理得到如下频率分布直方图:

(1)将学习时间不少于6小时和少于6小时的学生数填入下面的2x2列联表:

不少于6小时少于6小时总计

甲班

乙班

总计

能以95%的把握认为学习时间不少于6小时与班级有关吗？为什么？

(2)此次问卷调查甲班学生的学习时间大致满足。〜N(〃,0.36),其中〃等于甲班学生学习时间的平均数,

求甲班学生学习时间在区间(6.2,6.8]的概率.

参考公式：K2=-------Wjc)------------〃=a+6+c+d.

(a+b)[c+d)[a+c)(b+d)

参考数据口:

尸"％)0.0500.0100.001

k03.8416.63510.828

口若则P(〃一b<X<〃+b)=0.6827,—2b<XK〃+2b)=0.9545.

【答案】(1)列联表答案见解析，没有95%的把握认为学习时间不少于6小时与班级有关，理由见解析；(2)

0.1359.

【分析】

(1)利用频率分布直方图计算出甲班学习时间不少于6小时的人数和乙班学习时间不少于6小时的人数,

可得2x2列联表；计算K2,对照临界值表可得结果;

(2)根据频率分布直方图计算〃，再根据P(6.2<』K6.8)=F(〃+b<J<〃+2b)

=尸(〃-2b<XW〃+2G-P(〃一+G计算可得结果

2

【详解】

(1)由频率分布直方图可知，甲班学习时间不少于6小时的人数为：

(0.250+0.050)x1x40=12A,则甲班学习时间少于6小时的人数为28人；

同理得乙班学习时间不少于6小时的人数为(0.250+0.200)x1x40=18人，

则甲班学习时间少于6小时的人数为22人.

由此得到2x2列联表：

不少于6小时少于6小时总计

甲班122840

乙班182240

总计305080

因为K2=80x(12x22-18x28『“92<3.841，

所以没有95%的把握认为学习时间不少于6小时与班级有关.

(2)甲班学生学习时间的平均数

〃=0.05x3.5+0.15x4.5+0.5x5.5+0.25x6.5+0.05x7.5=5.6.

cr=A/0.36=0.6，

所以P(6.2<^<6.8)=P(//+CT<^<//+2cr)

_尸(〃-2a<X<ju+2a)--a<X</j+a)

~2

0.9545-0.6827…“

=---------------------=0.1359.

2

即甲班学生学习时间在区间(6.2,6.8］的概率为0.1359.

【点睛】

关键点点睛：(1)中掌握独立性检验的基本思想是解题关键；(2)中利用正态分布的两个特殊概率求解是

解题关键.

21.已知直线/1,/2分别于抛物线y2=x相切于2两点.

(1)若点/的坐标为(1,-1),求直线的方程;

(2)若直线与/2的交点为尸，且点尸在圆(X+2)2y2=1上，设直线/2与〉轴分别交于点“，N,求

匕\M一N的\取值范围.

\AB\

.非1

【答案】(1)x+2y+l=0；(2)

W，2

【分析】

(1)设直线八：y+l=k(x-1),与抛物线方程联立，再由根的判别式等于零求得直线的斜率，由此可求得

直线的方程.

(2)设/(xi,以)，B(X2,/)，求得直线/j：xy=苫土，直线小为尸二黄，得到点〃(0件)，

W,—).表示出直线N8方程，与抛物线方程联立，由根与系数的关系表示1r7高，可求得范围.

2\AB\

【详解】

(1)由题意知直线/2的斜率一定存在，设直线小y+l=k(x-1),与抛物线方程联立，得V-y-k

-1=0.

由口=1+4左(左+1)=0,得左=—g,则/i的方程为y=；入一；.

1

(2)设4(xi,yi),5(x2,y2),设直线li：y-y\=^(x-x1),与抛物线方程产=》联立,得ky—y+yy—y^k=0.

由△=1_4左(%_短左)=o,解得左=丁，所以直线4：=x；'，同理得直线4:y2y=

，X22

则〃(0件)，Ng,

XQ+再

%%=

2，则直线N5方程为=

设点尸(xo,yo),代入可得，

x0+x22

%〉。=2

与抛物线方程联立，得俨-2yoy+xo=O,则有歹1+竺=2M，yiy2=xo.

1一\MN\_1

则I"Nl=]l%%I，I1=+11%_1所以|AB|一2J4y?+i

\MN\1

又点P在圆(x+2)2+产=1上，所以—即0«为2<］,所以

132国

\MN\

所以匕T的取值范围为非1

\AB\To'2'

【点睛】

方法点睛：(1)解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消