2025届高考数学统考一轮复习第四章平面向量与复数第一节平面向量的概念及线性运算课时规范练文含解析北师大版

PAGE第四章平面对量与复数第一节平面对量的概念及线性运算课时规范练A组——基础对点练1．①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③向量eq\o(AB,\s\up6(→))与向量eq\o(CD,\s\up6(→))共线，则A，B，C，D四点共线；④假如a∥b，b∥c，那么a∥c.以上命题中正确的个数为()A．1 B．2C．3 D．0解析：①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段；②不正确，若a与b中有一个为零向量时也相互平行，但零向量的方向是不确定的，故两向量方向不肯定相同或相反；③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；④不正确，当b＝0时，a与c不肯定平行，故正确命题的个数为0.答案：D2．(2024·威海模拟)设a，b不共线，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋pb，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为()A．－2 B．－1C．1 D．2答案：B3．已知向量a，b，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，则肯定共线的三点是()A．B，C，D B．A，B，CC．A，B，D D．A，C，D解析：因为eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝－5a＋6b＋7a－2b＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，所以A，B，D三点共线．答案：C4．已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是()A．a＋b＝0B．a＝bC．a与b共线反向D．存在正实数λ，使a＝λb解析：由已知得，向量a与b为同向向量，即存在正实数λ，使a＝λb.答案：D5．在下列选项中，“a∥b”的充分不必要条件是()A．a，b都是单位向量B．|a|＝|b|C．|a＋b|＝|a|－|b|D．存在不全为零的实数λ，μ，使λa＋μb＝0解析：a，b都是单位向量，但方向可能既不相同，又不相反，故A错误；|a|＝|b|，但方向不定，故B错误；|a＋b|＝|a|－|b|，若a，b都是非零向量，则a，b反向共线，且|a|＞|b|；若a，b中恰有一个零向量，则a≠0，b＝0；若a＝b＝0，则a，b也符合|a＋b|＝|a|－|b|，所以“|a＋b|＝|a|－|b|”⇒“a∥b”，而“a∥b”“|a＋b|＝|a|－|b|”，故C正确；D选项中“存在不全为零的实数λ，μ，使λa＋μb＝0”⇔“a∥b.”答案：C6．已知a＝(3，－2)，b＝(－2，1)，c＝(7，－4)，则()A．c＝a＋2b B．c＝a－2bC．c＝2b－a D．c＝2a－解析：设c＝xa＋yb，所以(7，－4)＝(3x－2y，－2x＋y)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－2y＝7，,－2x＋y＝－4，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－2，))所以c＝a－2b.答案：B7.如图所示，已知AB是圆O的直径，点C、D是半圆弧的两个三等分点，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝()A．a－eq\f(1,2)b B．eq\f(1,2)a－bC．a＋eq\f(1,2)b D．eq\f(1,2)a＋b解析：连接OC、OD、CD，由点C、D是半圆弧的三等分点，有∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°，且OA＝OC＝OD，则△OAC与△OCD均为边长等于圆O的半径的等边三角形，所以四边形OACD为菱形，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋b.答案：D8．在△ABC中，点D在AB上，CD平分∠ACB.若eq\o(CB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，|a|＝1，|b|＝2，则eq\o(CD,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b B．eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)bC.eq\f(3,5)a＋eq\f(4,5)b D．eq\f(4,5)a＋eq\f(3,5)b解析：因为CD平分∠ACB，由角平分线定理得eq\f(|AD|,|DB|)＝eq\f(|CA|,|CB|)＝eq\f(2,1)，所以D为AB的三等分点，且eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))，所以eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.答案：B9．设e1，e2是两个不共线的向量，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，则实数k的值为________．解析：因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，由A，B，D三点共线，得eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(BD,\s\up6(→))，所以2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝2，,－4λ＝k，))则k＝－8.答案：－810．若a与b不共线，已知下列各向量：①a与－2b；②a＋b与a－b；③a＋b与a＋2b；④a－eq\f(1,2)b与eq\f(1,2)a－eq\f(1,4)b.其中可以作为基底的是________(填序号)．解析：对于①，因为a与b不共线，所以a与－2b不共线；对于②，假设a＋b与a－b共线，则有a＋b＝λ(a－b)，所以λ＝1且λ＝－1，冲突．所以a＋b与a－b不共线；对于③，同理a＋b与a＋2b不共线；对于④，因为a－eq\f(1,2)b＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a－\f(1,4)b))，所以a－eq\f(1,2)b与eq\f(1,2)a－eq\f(1,4)b共线．由基底的定义知，①②③都可以作为基底，④不行以．答案：①②③B组——素养提升练11．已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb与a－2b共线，则eq\f(m,n)等于()A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)C．－2 D．2解析：因为向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，所以a－2b＝(4，－1)，ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，因为ma＋nb与a－2b共线，所以4(3m＋2n)－(－1)(2m－n)＝0，所以eq\f(m,n)＝－eq\f(1,2).答案：A12．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满意5eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋3eq\o(AC,\s\up6(→))，则△ABM与△ABC的面积比为()A.eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D．eq\f(4,5)解析：如图所示，设AB的中点为D，由5eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋3eq\o(AC,\s\up6(→))，得3eq\o(AM,\s\up6(→))－3eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))－2eq\o(AM,\s\up6(→))，所以eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(MD,\s\up6(→))，所以C，M，D三点共线，且eq\o(MD,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)eq\o(CD,\s\up6(→))，所以△ABM与△ABC公共边AB上的两高之比为3∶5，则△ABM与△ABC的面积比为eq\f(3,5).答案：C13．(2024·湖南省八校联考)如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且满意BD＝eq\f(1,2)DC，过点D的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若eq\o(AM,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝neq\o(AC,\s\up6(→))，则()A．m＋n是定值，定值为2B．2m＋n是定值，定值为C.eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)是定值，定值为2D.eq\f(2,m)＋eq\f(1,n)是定值，定值为3解析：法一：如图，过点C作CE平行于MN交AB于点E.由eq\o(AN,\s\up6(→))＝neq\o(AC,\s\up6(→))可得eq\f(AC,AN)＝eq\f(1,n)，所以eq\f(AE,EM)＝eq\f(AC,CN)＝eq\f(1,n－1)，由BD＝eq\f(1,2)DC可得eq\f(BM,ME)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(AM,AB)＝eq\f(AE＋EM,AE＋EM＋MB)＝eq\f(\f(AE,EM)＋1,\f(AE,EM)＋1＋\f(MB,EM))＝eq\f(\f(1,n－1)＋1,\f(1,n－1)＋1＋\f(1,2))＝eq\f(n,n＋\f(n－1,2))＝eq\f(2n,3n－1)，因为eq\o(AM,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))，所以m＝eq\f(2n,3n－1)，整理可得eq\f(2,m)＋eq\f(1,n)＝3.法二：因为M，D，N三点共线，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(AN,\s\up6(→)).又eq\o(AM,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝neq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝λmeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－λ)neq\o(AC,\s\up6(→))①，又eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))②，由①②知λm＝eq\f(2,3)，(1－λ)n＝eq\f(1,3)，所以eq\f(2,m)＋eq\f(1,n)＝3，故选D.答案：D14.如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至点E，使得DE＝CD.若动点P从点A动身，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点A，其中eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AE,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，下列推断正确的是()A．满意λ＋μ＝2的点P必为BC的中点B．满意λ＋μ＝1的点P有且只有一个C．满意λ＋μ＝a(a＞0)的点P最多有3个D．λ＋μ的最大值为3答案：D15．(2024·海口模拟)在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，若AB＝4，且eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＋λeq\o(AB,\s\up6(→))(λ∈R)，则AD的长为________．解析：因为B，D，C三点共线，所以eq\f(1,4)＋λ＝1，解得λ＝eq\f(3,4)，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，则eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))，经计算得AN＝AM＝3，AD＝3eq\r(3).答案：3eq\r(3)16．(2024·长沙模拟)矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，P为矩形内部一点，且AP＝1，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))，则3x＋2y的取