2024-2025学年高中数学第一章立体几何初步6.1垂直关系的判定课时作业含解析北师大版必修2

PAGE第一章立体几何初步[课时作业][A组基础巩固]1．下列说法正确的个数是()①假如直线l与平面α内的多数条直线垂直，则l⊥α；②假如直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③假如直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；④假如直线l不垂直于α，则α内也可以有多数条直线与l垂直．A．0个 B．1个C．2个 D．3个解析：易知只有④正确．答案：B2．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A．若a∥b，a∥α，则b∥αB．若α⊥β，a∥α，则a⊥βC．若α⊥β，a⊥β，则a∥αD．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β解析：A错，可能bα；B错；C错，可能aα.只有D正确．答案：D3．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是()解析：对于A，易证AB⊥MN，AB⊥NQ，即可得直线AB⊥平面MNQ；对于B，易证AB⊥MN，AB⊥NQ，即可得直线AB⊥平面MNQ；对于C，易证AB⊥NQ，AB⊥MQ，即可得直线AB⊥平面MNQ；对于D，由图可得MN与直线AB相交且不垂直，故直线AB与平面MNQ不垂直．故选D.答案：D4.如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，侧面AA1D1D为正方形，E为棱CD上随意一点，则()A．AD1⊥B1EB．AD1∥B1EC．AD1与B1E共面D．以上都不对解析：连接A1D(图略)，则由正方形的性质，知AD1⊥A1D.又B1A1⊥平面AA1D1D，所以B1A1⊥AD1，所以AD1⊥平面A1B1ED.又B1E平面A1B1ED，所以AD1⊥B1E，故选A.答案：A5．如图，拿一张矩形的纸对折后略微绽开，直立在桌面上，折痕与桌面的位置关系是________．解析：折痕与矩形在桌面内的两条相交直线垂直，因此折痕与桌面垂直．答案：垂直6．已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题：①若l垂直于平面α内两条相交直线，则l⊥α；②若l∥α，则l平行于α内全部直线；③若mα，lβ，且l⊥m，则α⊥β；④若lβ，且l⊥α，则α⊥β；⑤若mα，lβ，且α∥β，则m∥l.其中正确命题的序号是________．解析：①④是线面垂直、面面垂直的判定定理，故均正确．l∥α，则l与α内的直线可能平行，也可能异面，故②不正确；两个平面平行时，分别在两平面内也可以有相互垂直的直线，故③不正确；两个平面平行，两个平面内的直线有可能是异面直线，故⑤不正确．答案：①④7.如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，则图中相互垂直的平面共有________对．解析：因为AB⊥平面BCD，所以平面ABD⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，又因为BC⊥CD，AB⊥CD，AB∩BC＝B，所以DC⊥平面ABC，所以平面ADC⊥平面ABC.故共有3对．答案：38．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么给出下面四个结论：①AH⊥平面EFH；②AG⊥平面EFH；③HF⊥平面AEF；④HG⊥平面AEF.其中正确命题的序号是________．解析：在这个空间图形中，AH⊥HF，AH⊥HE，HF∩HE＝H，所以AH⊥平面EFH.答案：①9.如图，PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.求证：(1)平面AEF⊥平面PBC；(2)PB⊥EF.解析：(1)∵AB是⊙O的直径，C在圆上，∴AC⊥BC.又PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC.又AF平面PAC，∴BC⊥AF.又AF⊥PC，PC∩BC＝C，∴AF⊥平面PBC.又AF平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC.(2)由(1)知AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB.又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.又EF平面AEF，∴PB⊥EF.10.如图，已知四棱锥S­ABCD中ABCD为矩形，SA⊥平面AC，AE⊥SB于点E，EF⊥SC于点F.(1)求证：AF⊥SC；(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD.证明：(1)∵SA⊥平面AC，BC平面AC，∴SA⊥BC.∵四边形ABCD为矩形，∴AB⊥BC.又∵SA∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AE.又SB⊥AE，BC∩SB＝B，∴AE⊥平面SBC.又∵SC平面SBC，∴AE⊥SC.又EF⊥SC，EF∩AE＝E，∴SC⊥平面AEF.∵AF平面AEF，∴AF⊥SC.(2)∵SA⊥平面AC，∴SA⊥DC.又AD⊥DC，AD∩SA＝A，∴DC⊥平面SAD.又AG平面SAD，∴DC⊥AG.又由(1)有SC⊥平面AEF，AG平面AEF，∴SC⊥AG.又SC∩DC＝C，∴AG⊥平面SDC.∵SD平面SDC，∴AG⊥SD.[B组实力提升]1.如图，点A∈α，点B∈α，点P∉α，PB⊥α，C是α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则动点C在平面α内的轨迹是()A．一条线段，但要去掉两个点B．一个圆，但要去掉两个点C．两条平行直线D．半圆，但要去掉两个点解析：连接BC(图略)，由于PC⊥AC，PB⊥AC，所以AC⊥平面PBC，所以AC⊥BC，说明动点C在以AB为直径的圆上，但不与点A，B重合．答案：B2．如图，∠C＝90°，AC＝BC，M，N分别是BC，AB的中点，沿直线MN将△BMN折起至△B′MN位置，使二面角B′­MN­B的大小为60°，则B′A与平面ABC所成角的正切值为()A.eq\f(\r(2),5) B.eq\f(4,5)C.eq\f(\r(3),5) D.eq\f(3,5)解析：设BC＝2.过B′作B′D⊥BC，垂足为D，则B′D⊥平面ABC，连接AD，则∠B′AD是B′A与平面ABC所成的角(图略)．由题意，知∠B′MB＝60°，MB′＝MB＝1，则MD＝eq\f(1,2)，B′D＝eq\f(\r(3),2)，AD＝eq\r(1＋\f(1,2)2＋22)＝eq\f(5,2)，∴tan∠B′AD＝eq\f(B′D,AD)＝eq\f(\f(\r(3),2),\f(5,2))＝eq\f(\r(3),5).答案：C3.如图，已知六棱锥P­ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是________(填序号)．①PB⊥AD；②平面PAB⊥平面PAE；③BC∥平面PAE；④直线PD与平面ABC所成的角为45°.解析：由于AD与AB不垂直，因此得不到PB⊥AD，①不正确；由PA⊥AB，AE⊥AB，PA∩AE＝A，得AB⊥平面PAE，因为AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAE，②正确；延长BC，EA，两者相交，因此BC与平面PAE相交，③不正确；由于PA⊥平面ABC，所以∠PDA就是直线PD与平面ABC所成的角，由PA＝2AB，AD＝2AB，得PA＝AD，所以∠PDA＝45°，④正确．答案：②④4．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN解析：∵B1C1⊥平面ABB1A1，∴B1C1⊥MN.又∵MN⊥B1M，且B1M∩B1C1＝B1，∴MN⊥平面C1B1M，∵C1M平面C1B1M，∴MN⊥C1M.∴∠C1MN＝90°.答案：90°5.如图所示，四棱锥P­ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝eq\r(3).(1)求证：平面PBE⊥平面PAB；(2)求二面角A­BE­P的大小．解析：(1)证明：如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD.又AB∥CD，所以BE⊥AB.又因为PA⊥平面ABCD，BE平面ABCD，所以PA⊥BE.而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB.又BE平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.(2)由(1)知，BE⊥平面PAB，PB平面PAB，所以PB⊥BE.又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A­BE­P的平面角．在Rt△PAB中，tan∠PBA＝eq\f(PA,AB)＝eq\r(3)，所以∠PBA＝60°.故二面角A­BE­P的大小是60°.6.如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥底面ABC，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC.(1)求证：BC⊥平面PAC；(2)是否存在点E使得二面角A­DE­P为直二面角？并说明理由．解析：(1)证明：∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.又∠BCA＝90°，∴AC