2025版高考数学一轮复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入第三讲平面向量的数量积学案含解析新人教版

PAGE第三讲平面对量的数量积学问梳理·双基自测eq\x(知)eq\x(识)eq\x(梳)eq\x(理)学问点一向量的夹角两个非零向量a与b，过O点作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则__∠AOB__叫做向量a与b的夹角；范围是__[0，π]__.a与b的夹角为__eq\f(π,2)__时，则a与b垂直，记作a⊥b.学问点二平面对量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝__|a||b|cosθ__，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．学问点三平面对量数量积的性质及其坐标表示(1)设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．①数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝__x1x2＋y1y2__.②模：|a|＝eq\r(a·a)＝__eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))__.③设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22).④夹角：cosθ＝__eq\f(a·b,|a||b|)__＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).⑤已知两非零向量a与b，a⊥b⇔a·b＝0⇔__x1x2＋y1y2＝0__；a∥b⇔a·b＝±|a||b|.(或|a·b|＝|a|·|b|)．⑥|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·eq\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)).(2)平面对量数量积的运算律①a·b＝b·a(交换律)．②λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(安排律)．eq\x(归)eq\x(纳)eq\x(拓)eq\x(展)1．两个向量的数量积是一个实数．∴0·a＝0而0·a＝0.2．数量积不满意结合律(a·b)·c≠a·(b·c)．3．a·b中的“·”不能省略．a·a＝a2＝|a|2.4．两向量a与b的夹角为锐角⇔a·b>0且a与b不共线；两向量a与b的夹角为钝角⇔a·b<0，且a与b不共线．当a、b为非零向量时a、b同向⇔a·b＝|a||b|；a、b反向⇔a·b＝－|a||b|.5．a在b方向上的投影|a|·cosθ＝eq\f(a·b,|b|).eq\x(双)eq\x(基)eq\x(自)eq\x(测)题组一走出误区1．推断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个向量的夹角的范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(×)(2)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(√)(3)a·b>0，则a与b的夹角为锐角；a·b<0，则a与b的夹角为钝角．(×)(4)两向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(√)(5)在等边三角形ABC中，向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))的夹角为60°.(×)(6)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.(×)(7)(a·b)·c＝a·(b·c)．(×)(8)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.(×)题组二走进教材2．(必修4P107T2改编)向量a＝(2，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝(A)A．6 B．5C．1 D．－6[解析]由题意知2a＋b＝(3,0)，∴(2a＋b)·a＝(3,0)·(2，－1)＝6，故选A．3．(必修4P106T5改编)已知向量a与b的夹角为eq\f(π,3)，|a|＝eq\r(2)，则a在b方向上的投影为(C)A．eq\r(3) B．eq\r(2)C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(3),2)[解析]∵a在b方向上的投影为|a|·cos〈a，b〉＝eq\r(2)coseq\f(π,3)＝eq\f(\r(2),2).选C．4．(必修4P108T4改编)在圆O中，长度为eq\r(2)的弦AB不经过圆心，则eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))的值为__1__.[解析]设向量eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))的夹角为θ，则eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝|eq\o(AO,\s\up6(→))||eq\o(AB,\s\up6(→))|·cosθ＝|eq\o(AO,\s\up6(→))|cosθ·|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)×(eq\r(2))2＝1.题组三走向高考5．(2024·课标Ⅰ，14,5分)设向量a＝(1，－1)，b＝(m＋1,2m－4)，若a⊥b，则m＝__5__.[解析]由a⊥b得a·b＝0，即m＋1－(2m－4)＝0，解得m＝5.6．(2024·课标Ⅰ，14,5分)设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝__eq\r(3)__.[解析]由|a＋b|＝1，得|a＋b|2＝1，即a2＋b2＋2a·b＝1，而|a|＝|b|＝1，故a·b＝－eq\f(1,2)，|a－b|＝eq\r(|a－b|2)＝eq\r(a2＋b2－2a·b)＝eq\r(1＋1＋1)＝eq\r(3).7．(2024·全国卷Ⅰ，5分)已知非零向量a，b满意|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为(B)A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3) D．eq\f(5π,6)[解析]解法一：由题意得，(a－b)·b＝0⇒a·b＝|b|2，∴|a||b|·cos〈a，b〉＝|b|2，∵|a|＝2|b|，∴2|b|2cos〈a，b〉＝|b|2⇒cos〈a，b〉＝eq\f(1,2)，∴〈a，b〉＝eq\f(π,3)，故选B．解法二：如图所示，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则eq\o(BA,\s\up6(→))＝a－b，∴B＝eq\f(π,2)，|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝2|eq\o(OB,\s\up6(→))|，∴∠AOB＝eq\f(π,3)，即〈a，b〉＝eq\f(π,3).考点突破·互动探究考点一平面对量数量积的运算——师生共研例1(1)(2024·全国卷Ⅱ，5分)已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(3，t)，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝1，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(C)A．－3 B．－2C．2 D．3(2)(2024·北京，13,5分)已知正方形ABCD的边长为2，点P满意eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，则|eq\o(PD,\s\up6(→))|＝__eq\r(5)__；eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))＝__－1__.[解析](1)因为eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，t－3)，所以|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝eq\r(1＋t－32)＝1，解得t＝3，所以eq\o(BC,\s\up6(→))＝(1,0)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝2×1＋3×0＝2，故选C．(2)如图，在正方形ABCD中，由eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))得点P为BC的中点，∴|eq\o(PD,\s\up6(→))|＝eq\r(5)，eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·(eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝1×1×cos180°＝－1.[一题多解]∵eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，∴P为BC的中点．以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意知A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，P(2,1)，∴|eq\o(PD,\s\up6(→))|＝eq\r(2－02＋1－22)＝eq\r(5)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(0，－1)，eq\o(PD,\s\up6(→))＝(－2,1)，∴eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))＝(0，－1)·(－2,1)＝－1.名师点拨向量数量积的四种计算方法(1)当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cosθ.(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.(3)转化法：当模和夹角都没给出时，即用已知模或夹角的向量作基底来表示要求数量积的向量求解．(4)坐标法：结合图形特征适当建立坐标系，求出向量的坐标，进而求其数量积(如本例(2))．〔变式训练1〕(1)(2024·江西名校高三质检)已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝eq\r(10)，则a·b＝__10__.(2)在菱形ABCD中，对角线AC＝4，E为CD的中点，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(C)A．8 B．10C．12 D．14[解析](1)因为a＝(－2，－6)，所以|a|＝eq\r(－22＋－62)＝2eq\r(10)，又|b|＝eq\r(10)，向量a与b的夹角为60°，所以a·b＝|a||b|cos60°＝2eq\r(10)×eq\r(10)×eq\f(1,2)＝10.(2)解法一：转化法：留意到菱形的对角线AC⊥BD．故用eq\o(AC,\s\up6(→))、eq\o(BD,\s\up6(→))表示eq\o(AE,\s\up6(→))，由题意知eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(BD,\s\up6(→))，∴eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)\o(AC,\s\up6(→))＋\f(1,4)\o(BD,\s\up6(→))))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＋eq\f(1,4)eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)|AC|2＝12，故选C．解法二：坐标法：如图建立平面直角坐标系，则A(－2,0)，C(2,0)，不妨设D(0,2a)，则E(1，a)∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝(3，a)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(4,0)∴eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(3，a)·(4,0)＝12，故选C．考点二向量的模、夹角——多维探究角度1向量的模例2(1)(2024·四川双流中学月考)若平面对量a、b的夹角为60°，且a＝(1，－eq\r(3))，|b|＝3，则|2a－b|的值为(C)A．13 B．eq\r(37)C．eq\r(13) D．1(2)(2024·黄冈调研)已知平面对量m，n的夹角为eq\f(π,6)，且|m|＝eq\r(3)，|n|＝2，在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2m＋2n，eq\o(AC,\s\up6(→))＝2m－6n，D为BC的中点，则|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝__2__.[分析](1)求出|a|，再由|2a－b|＝eq\r(2a－b2)求解；[解析](1)∵a＝(1，－eq\r(3))，∴|a|＝2.∴a·b＝|a||b|cos60°＝3，|2a－b|＝eq\r(2a－b2)＝eq\r(4a2－4a·b＋b2)＝eq\r(13).故选C．(2)由题意知m·n＝eq\r(3)×2×coseq\f(π,6)＝3.∵△ABC中，D为BC的中点，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(2m＋2n＋2m－6n)＝2m－2n.∴|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|2m－2n|＝2eq\r(m－n2)＝2eq\r(m2－2m·n＋n2)＝2eq\r(3－2×3＋4)＝2.名师点拨平面对量的模的解题方法(1)若向量a是以坐标(x，y)形式出现的，求向量a的模可干脆利用|a|＝eq\r(x2＋y2).(2)若向量a，b是非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．即“模的问题平方求解．”角度2向量的夹角例3(1)(2024·新高考八省联考)已知单位向量a，b满意a·b＝0，若向量c＝eq\r(7)a＋eq\r(2)b，则sin<a，c>＝(B)A．eq\f(\r(7),3) B．eq\f(\r(2),3)C．eq\f(\r(7),9) D．eq\f(\r(2),9)(2)(2024·全国Ⅲ理，6)已知向量a，b满意|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos〈a，a＋b〉＝(D)A．－eq\f(31,35) B．－eq\f(19,35)C．eq\f(17,35) D．eq\f(19,35)[分析](1)利用夹角公式求解．[解析](1)设a＝(1,0)，b＝(0,1)，则c＝(eq\r(7)，eq\r(2))，cos<a，c>＝eq\f(a·c,|a||c|)＝eq\f(\r(7),1×3)＝eq\f(\r(7),3)，∴sin<a，c>＝eq\f(\r(2),3)，故选B．(2)∵|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，∴a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝19.又|a＋b|＝eq\r(a2＋2a·b＋b2)＝eq\r(25－12＋36)＝7，∴cos〈a，a＋b〉＝eq\f(a·a＋b,|a||a＋b|)＝eq\f(19,5×7)＝eq\f(19,35).故选D．名师点拨求两向量夹角的方法及留意事项(1)一般是利用夹角公式：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(2)留意：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角．(3)a在b方向上的投影等于|a|cosθ＝eq\f(a·b,|b|)；b在a方向上的投影等于|b|cosθ＝eq\f(a·b,|a|).角度3平面对量的垂直例4(1)(2024·全国Ⅲ，5)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是(D)A．a＋2b B．2a＋bC．a－2b D．2a－b(2)(2024·安徽宣城调研)已知在△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，且eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，则实数λ的值为(A)A．eq\f(22,15) B．eq\f(10,3)C．6 D．eq\f(12,7)[解析](1)本题考查向量的数量积．由题意得a·b＝|a||b|cos60°＝eq\f(1,2)，b2＝|b|2＝1.对于A，(a＋2b)·b＝a·b＋2b2＝eq\f(1,2)＋2＝eq\f(5,2)≠0，故A错；对于B，(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝1＋1＝2≠0，故B错；对于C，(a－2b)·b＝a·b－2b2＝eq\f(1,2)－2＝－eq\f(3,2)≠0，故C错；对于D，(2a－b)·b＝2a·b－b2＝1－1＝0，所以(2a－b)⊥b，故选D．(2)因为eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－λeq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AC,\s\up6(→))2＋(λ－1)eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，因此－λ×32＋42＋(λ－1)×3×4×cos120°＝0，所以λ＝eq\f(22,15).故选A．名师点拨平面对量垂直问题的解题思路解决向量垂直问题一般利用向量垂直的充要条件a·b＝0求解．〔变式训练2〕(1)(角度3)(2024·全国Ⅱ，13)已知单位向量a，b的夹角为45°，ka－b与a垂直，则k＝__eq\f(\r(2),2)__.(2)(角度1)(2024·山西康杰中学五校期中)已知向量a、b满意|b|＝2|a|＝2，a与b的夹角为120°，则|a－2b|＝(B)A．eq\r(13) B．eq\r(21)C．13 D．21(3)(角度2)(2024·江西七校联考)已知向量a＝(1，eq\r(3))，b＝(3，m)，且b在a上的投影为－3，则向量a与b的夹角为__eq\f(2π,3)__.[解析](1)本题考查平面对量的数量积运算．由题意知|a|＝|b|＝1，所以a·b＝|a||b|cos45°＝eq\f(\r(2),2).因为ka－b与a垂直，所以(ka－b)·a＝0，即ka2－a·b＝0，即k－eq\f(\r(2),2)＝0，得k＝eq\f(\r(2),2).(2)|a|＝1，|b|＝2，a·b＝－1，∴|a－2b|＝eq\r(a－2b2)＝eq\r(|a|2－4a·b＋4|b|2)＝eq\r(21).故选B．(3)由题意可知eq\f(a·b,|a|)＝－3，∴eq\f(3＋\r(3)m,2)＝－3.∴m＝－3eq\r(3)，∴|b|＝eq\r(32＋3\r(3)2)＝6，记a与b的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－3,|b|)＝－eq\f(1,2)，又0≤θ≤π，∴θ＝eq\f(2π,3).名师讲坛·素养提升有关数量积的最值(范围)问题例5(1)(2024·全国卷Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))的最小值是(B)A．－2 B．－eq\f(3,2)C．－eq\f(4,3) D．－1[思维导引]思路一：思路二：[解析]解法一：结合题意画出图形，如图所示，设BC的中点为D，AD的中点为E，连接AD，PE，PD，则有eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PD,\s\up6(→))，则eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))＝2(eq\o(PE,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→)))·(eq\o(PE,\s\up6(→))－eq\o(EA,\s\up6(→)))＝2(eq\o(PE,\s\up6(→))2－eq\o(EA,\s\up6(→))2)．而eq\o(EA,\s\up6(→))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2＝eq\f(3,4)，当点P与点E重合时，eq\o(PE,\s\up6(→))2有最小值0，故此时eq\o(PA,\s\up6(→))·(e