北京市东城区名校2024年数学九上开学质量检测试题【含答案】

学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号…………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………第1页，共3页北京市东城区名校2024年数学九上开学质量检测试题题号一二三四五总分得分批阅人A卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）如图，直线与直线交于点，关于x的不等式的解集是()A． B． C． D．2、（4分）小勇投标训练4次的成绩分别是（单位：环）9，9，x，1．已知这组数据的众数和平均数相等，则这组数据中x是（

）A．7B．1C．9D．103、（4分）若分式的值为0，则x的取值为（）A．x1 B．x1 C．x1 D．无法确定4、（4分）如图所示，正方形纸片ABCD中，对角线AC，BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB，AC于点E，G，连接GF，给出下列结论：①∠ADG=22.5°；②tan∠AED=2；③S△AGD=S△OGD；④四边形AEFG是菱形；⑤BE=2OG；⑥若S△OGF=1，则正方形ABCD的面积是6+4，其中正确的结论个数有（）A．2个 B．4个 C．3个 D．5个5、（4分）已知一次函数y＝（k﹣2）x+k+1的图象不过第三象限，则k的取值范围是（）A．k＞2 B．k＜2 C．﹣1≤k≤2 D．﹣1≤k＜26、（4分）已知AB=8cm，小红在作线段AB的垂直平分线时操作如下：分别以A和B为圆心，5cm的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求，根据此种作图方法所得到的四边形ADBC的面积是（）A．12cm2 B．24cm2 C．36cm2 D．48cm27、（4分）若一次函数的函数图像不经过第（）象限.A．一 B．二 C．三 D．四8、（4分）如图,四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB中点，且AE+EO=4，则四边形ABCD的周长为（）A．32 B．16 C．8 D．4二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）代数式有意义的条件是________．10、（4分）已知，，则=______。11、（4分）如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=5，BC=9，则EF的长为______．12、（4分）在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是_____．13、（4分）如图，直线l1：y=x+n–2与直线l2：y=mx+n相交于点P(1，2)．则不等式mx+n<x+n–2的解集为______．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）如图，AC、BD相交于点O，且O是AC、BD的中点，点E在四边形ABCD外，且∠AEC=∠BED=90°，求证：边形ABCD是矩形.15、（8分）在平面直角坐标系中，直线经过、两点.（1）求直线所对应的函数解析式：（2）若点在直线上，求的值.16、（8分）小辉为了解市政府调整水价方案的社会反响，随机访问了自己居住在小区的部分居民，就“每月每户的用水量”和“调价对用水行为改变”两个问题进行调查，并把调查结果整理成下面的图1，图1．小辉发现每月每户的用水量在之间，有7户居民对用水价格调价涨幅抱无所谓，不用考虑用水方式的改变．根据小军绘制的图表和发现的信息，完成下列问题：(1)，小明调查了户居民，并补全图1；(1)每月每户用水量的中位数落在之间，众数落在之间；(3)如果小明所在的小区有1100户居民，请你估计“视调价涨幅采取相应的用水方式改变”的居民户数多少?17、（10分）如图，在中，点、分别是、上的点，且.求证：四边形是平行四边形.18、（10分）如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB在静止位置时，下端B离地面0.6m，荡秋千到AB的位置时，下端B距静止位置的水平距离EB等于2.4m，距地面1.4m，求秋千AB的长．B卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）若点与点关于原点对称，则_______________.20、（4分）如图，△ABC中，已知AB=8，∠C=90°，∠A=30°，DE是中位线，则DE的长为_____．21、（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知点、、的坐标分别为，，．若点从点出发，沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度向点移动，连接并延长到点，使，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．若点在移动的过程中，使成为直角三角形，则点的坐标是__________．22、（4分）计算（）•（）的结果是_____．23、（4分）如图矩形ABCD中，AD=2，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，∠ACG=∠AGC，∠GAF=∠F=20°，则AB=__．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销量y（件）之间的关系如下表：若日销量y是销售价x的一次函数．（1）求出日销量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；（2）求销售定价为30元时，每日的销售利润．x（元）152025……y（件）252015……25、（10分）如图1，已知△ABC是等边三角形，点D，E分别在边BC，AC上，且CD＝AE，AD与BE相交于点F．（1）求证：∠ABE＝∠CAD；（2）如图2，以AD为边向左作等边△ADG，连接BG．ⅰ）试判断四边形AGBE的形状，并说明理由；ⅱ）若设BD＝1，DC＝k（0＜k＜1），求四边形AGBE与△ABC的周长比（用含k的代数式表示）．26、（12分）已知，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx－3（k≠0）交x轴于点A，交y轴与点B．（1）如图1，若k＝1，求线段AB的长；（2）如图2，点C与点A关于y轴对称，作射线BC；①若k＝3，请写出以射线BA和射线BC所组成的图形为函数图像的函数解析式；②y轴上有一点D(0，3)，连接AD、CD，请判断四边形ABCD的形状并证明；若≥9，求k的取值范围

参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、A【解析】

找到直线函数图像在直线的图像上方时x的取值范围即可.【详解】解：观察图像可知，不等式解集为：，故选A.本题考查了一次函数与一元一次不等式，从函数图像的角度看，就是确定直线在另一条直线上（或下）方部分时，x的取值范围.2、C【解析】【分析】根据题意可知，x是9，不可能是1.【详解】因为这组数据的众数和平均数相等，则这组数据中x是9.故选：C【点睛】本题考核知识点：众数和平均数.解题关键点：理解众数和平均数的定义.3、A【解析】

分式的值为1的条件是：（1）分子=1；（2）分母≠1．两个条件需同时具备，缺一不可，据此列等式，可以解答本题．【详解】根据题意得：，且，解得：x=1，故选A.本题考查分式的值为零的条件，解题的关键是知道分式的值为1的条件是：（1）分子=1；（2）分母≠1．4、C【解析】

根据四边形ABCD为正方形，以及折叠的性质，可以直接得到∠ADG的角度，以及AE=FE，在△BEF中，EF＜BE，可以得到2AE＜AB，结合三角函数的定义对②作出判断；在△AGD和△OGD中高相等，底不同，可以直接判断其大小，而四边形AEFG是菱形的判定需证得AE=EF=GF=AG；要计算OG和BE的关系，我们需利用到中间量EF，即四边形AEFG的边长，可以转化出BE和OG的关系；当已知△OGF的面积时，根据菱形的性质，可以求得OG的长，进而求出BE的长度，而AE的长度与GF相同，GF可由勾股定理得出，进而求出AB的长度，正方形ABCD的面积也出来了.【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴∠GAD=∠ADO=45°.由折叠的性质可得：∠ADG=∠ADO=22.5°，故①正确；∵由折叠的性质可得：AE=EF，∠EFD=∠EAD=90°，∴AE=EF＜BE，∴AE＜AB，∴＞2.故②错误；∵∠AOB=90°，∴AG=FG＞OG.∵△AGD与△OGD同高，∴S△AGD＞S△OGD.故③错误；∵∠EFD=∠AOF=90°，∴EF∥AC，∴∠FEG=∠AGE.∵∠AGE=∠FGE，∴∠FEG=∠FGE，∴EF=GF.∵AE=EF，∴AE=GF.∵AE=EF=GF，AG=GF，∴AE=EF=GF=AG，∴四边形AEFG是菱形，故④正确；∵四边形AEFG是菱形，∴∠OGF=∠OAB=45°，∴EF=GF=OG，∴BE=EF=×OG=2OG.故⑤正确；∵四边形AEFG是菱形，∴AB∥GF，AB=GF.∵∠BAO=45°，∠GOF=90°，∴△OGF是等腰直角三角形.∵S△OGF=1，∴OG=1，解得OG=，∴BE=2OG=2，GF=，∴AE=GF=2，∴AB=BE+AE=2+2，∴S四边形ABCD=AB=(2+2)=12+8.故⑥错误.∴其中正确结论的序号是①④⑤，共3个.故选C.此题考查正方形的性质，折叠的性质，菱形的性质，三角函数，解题关键在于掌握各性质定理5、D【解析】

若函数y=kx+b的图象不过第三象限，则此函数的k＜1，b≥1，据此求解．【详解】解：∵一次函数y＝（k﹣2）x+k+1的图象不过第三象限，∴k﹣2＜1，k+1≥1解得：﹣1≤k＜2，故选：D．本题考查一次函数的图象与系数的关系，一次函数的图象经过第几象限，取决于x的系数是大于1或是小于1．6、B【解析】

根据垂直平分线的画法得出四边形ADBC四边的关系进而得出四边形一定是菱形，由菱形的性质以及勾股定理求出对角线CD的长，代入菱形面积公式即可求解．【详解】如图：∵分别以A和B为圆心，5cm的长为半径画弧，两弧相交于C、D，∴AC=AD=BD=BC=5cm，∴四边形ADBC是菱形，∴AB⊥CD，AO=OB=4cm，CD=2OC，∴由勾股定理得：OC=3cm，∴CD=6cm，∴四边形ADBC的面积=AB•CD=×8×6=24cm2，故选：B．此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及菱形的判定和性质，得出四边形四边关系是解决问题的关键．7、D【解析】

根据k=5＞0，函数图像经过一、三象限，b=1＞0，函数图像与y轴的正半轴相交，即可进行判断．【详解】根据k=5＞0，函数图像经过第一、三象限，b=1＞0，函数图像与y轴的正半轴相交，则一次函数的函数图像过第一、二、三象限，不过第四象限，故选D.本题主要考查了一次函数图像的性质，熟练掌握一次函数图像与系数的关系是解决本题的关键.8、B【解析】

首先证明OE=12BC，再由AE+EO=4【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC，

∵AE=EB，

∴OE=∵AE+EO=4，

∴2AE+2EO=8，

∴AB+BC=8，

∴平行四边形ABCD的周长=2×8=16，

故选：B本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理，属于中考常考题型．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、x≥﹣3【解析】

根据二次根式定义：被开放式大于等于零时根式有意义即可解题.【详解】解：∵有意义,∴x+3≥0,解得：x≥﹣3.本题考查了根式有意义的条件,属于简单题,熟悉二次根式的概念是解题关键.10、60【解析】

=2ab（a+b），将a+b=3，ab=10，整体带入即可.【详解】=2ab（a+b）=2×3×10=60.本题主要考查利用提公因式法分解因式，整体带入是解决本题的关键.11、1【解析】

利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出DF的长，再利用三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，可求出DE的长，进而求出EF的长【详解】解：∵∠AFB=90°，D为AB的中点，∴DF=AB=1.5，∵DE为△ABC的中位线，∴DE=BC=4.5，∴EF=DE-DF=1，故答案为：1．本题考查了直角三角形斜边上的中线性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半和三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．12、2+【解析】

试题分析：过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．∵PE⊥AB，AB=2，半径为2，∴AE=AB=，PA=2，根据勾股定理得：PE=1，∵点A在直线y=x上，∴∠AOC=45°，∵∠DCO=90°，∴∠ODC=45°，∴△OCD是等腰直角三角形，∴OC=CD=2，∴∠PDE=∠ODC=45°，∴∠DPE=∠PDE=45°，∴DE=PE=1，∴PD=∵⊙P的圆心是（2，a），∴a=PD+DC=2+．本题主要考查的就是垂径定理的应用以及直角三角形勾股定理的应用，属于中等难度的题型．解决这个问题的关键就是在于作出辅助线，将所求的线段放入到直角三角形中．本题还需要注意的一个隐含条件就是：直线y=x或直线y=-x与x轴所形成的锐角为45°，这一个条件的应用也是很重要的．13、>1【解析】∵直线l1：y＝x＋n－2与直线l2：y＝mx＋n相交于点P(1，2)，∴关于x的不等式mx＋n＜x＋n－2的解集为x>1，故答案为x>1.三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、见解析.【解析】

连接EO，首先根据O为BD和AC的中点，得出四边形ABCD是平行四边形，在Rt△AEC中EO=12AC，在Rt△EBD中，EO=12BD，得到【详解】解：连接EO如图所示：∵O是AC、BD的中点，∴AO=CO，BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形，在RtΔEBD中，∵O为BD中点，∴EO=1在RtΔAEC中，∵O为AC中点，∴EO=1∴AC=BD，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形.此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定、直角三角形斜边上的中线性质，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．15、(1)；（2）【解析】

（1）设直线AB解析式为y=kx+b，把A与B坐标代入求出k与b的值，即可确定出直线AB所对应的函数解析式；（2）把点P（a，-2）代入吧（1）求得的解析式即可求得a的值．【详解】解：（1）设直线所对应的函数表达式为.直线经过、两点，解得直线所对应的函数表达式为.（2）点在直线上，..此题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，解题关键在于把已知值代入解析式.16、（1）110，84，补图见解析；（1），；（3）700户【解析】

（1）利用即可求出n的值，利用“对用水价格调价涨幅抱无所谓，不用考虑用水方式的改变”的居民的数量除以相应的百分比即可求出调查的总数量，然后用总数量减去用水量在，的居民的数量，即可求出用水量在之间的居民的数量，即可补全图1；（1）根据中位数和众数的概念即可得出答案；（3）用总人数1100×样本中“视调价涨幅采取相应的用水方式改变”的居民所占的百分比即可得出答案．【详解】(1)，调查的居民的总数为，用水量在之间的居民的数量为，补全的图1如图：(1)根据中位数的概念，因为共调查了84户居民，每月每户用水量的中位数为第41，41个数据的平均数，即中位数落在之间，由图可知，用水量在的数据最多，所以众数落在之间；(3)∵(户)，∴估计“视调价涨幅采取相应的用水方式改变”的居民户数有700户．本题主要考查扇形统计图和频数分布直方图，掌握中位数，众数的概念，用样本估计总体的方法是解题的关键．17、见解析.【解析】

在▱ABCD中，根据平行四边形的性质可得AB＝CD，AB∥CD，又由于BE＝CF，则AE＝CF，根据平行四边形的判定可证四边形AECF是平行四边形．【详解】∵四边形是平行四边形，∴且∵∴∴∴四边形是平行四边形本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．18、4m【解析】试题分析：利用已知得出B′E的长，再利用勾股定理得出即可．解：由题意可得出：B′E=1.4﹣0.6=0.8（m），则AE=AB﹣0.8，在Rt△AEB中，AE2+BE2=AB2，∴（AB﹣0.8）2+2.42=AB2解得：AB=4，答：秋千AB的长为4m．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、【解析】

直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值．【详解】解：∵点A（a，1）与点B（−3，b）关于原点对称，∴a＝3，b＝−1，∴ab＝3-1=．故答案为：．此题主要考查了关于原点对称的点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．20、2【解析】

先由含30°角的直角三角形的性质,得出BC,再由三角形的中位线定理得出DE即可.【详解】因为，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，所以，,因为，DE是中位线，所以，.故答案为2本题考核知识点：直角三角形，三角形中位线.解题关键点：熟记直角三角形性质，三角形中位线性质.21、（5，1），（−1）【解析】

当P位于线段OA上时，显然△PFB不可能是直角三角形；由于∠BPF＜∠CPF=90°，所以P不可能是直角顶点，可分两种情况进行讨论：

①F为直角顶点，过F作FD⊥x轴于D，BP=6-t，DP=1OC=4，在Rt△OCP中，OP=t-1，由勾股定理易求得CP=t1-1t+5，那么PF1=（1CP）1=4（t1-1t+5）；在Rt△PFB中，FD⊥PB，由射影定理可求得PB=PF1÷PD=t1-1t+5，而PB的另一个表达式为：PB=6-t，联立两式可得t1-1t+5=6-t，即t=；

②B为直角顶点，得到△PFB∽△CPO，且相似比为1，那么BP=1OC=4，即OP=OB-BP=1，此时t=1．【详解】解：能；

①若F为直角顶点，过F作FD⊥x轴于D，则BP=6-t，DP=1OC=4，

在Rt△OCP中，OP=t-1，

由勾股定理易求得CP1=t1-1t+5，那

么PF1=（1CP）1=4（t1-1t+5）；

在Rt△PFB中，FD⊥PB，

由射影定理可求得PB=PF1÷PD=t1-1t+5，

而PB的另一个表达式为：PB=6-t，

联立两式可得t1-1t+5=6-t，即t=，

P点坐标为（，0），

则F点坐标为：（−1）；

②B为直角顶点，得到△PFB∽△CPO，且相似比为1，

那么BP=1OC=4，即OP=OB-BP=1，此时t=1，

P点坐标为（1，0）．FD=1（t-1）=1，

则F点坐标为（5，1）．

故答案是：（5，1），（−1）．此题考查直角三角形的判定、相似三角形的判定和性质，解题关键在于求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．22、－2【解析】

利用平方差公式进行展开计算即可得.【详解】==-2，故答案为：-2.本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键.23、6【解析】试题分析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AGC=∠GAF+∠F=40°，再根据等腰三角形的性质求出∠CAG，然后求出∠CAF=120°，再根据∠BAC=∠CAF-∠BAF求出∠BAC=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC=2BC=2AD，然后利用勾股定理列式计算即可得解．试题解析：由三角形的外角性质得，∠AGC=∠GAF+∠F=20°+20°=40°，∵∠ACG=∠AGC，∴∠CAG=180°-∠ACG-∠AGC=180°-2×40°=100°，∴∠CAF=∠CAG+∠GAF=100°+20°=120°，∴∠BAC=∠CAF-∠BAF=30°，在Rt△ABC中，AC=2BC=2AD=22，由勾股定理，AB=AB【考点】1.矩形的性质；2.等腰三角形的判定与性质；3.含30度角的直角三角形；4.直角三角形斜边上的中线；5.勾股定理．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、(1)y＝﹣x+1;(2)200元【解析】

（1）已知日销售量y是销售价x的一次函数，可设函数关系式为y=kx+b（k，b为常数，且k≠0），代入两组对应值求k、b，确定函数关系式．

（2）把x=30代入函数式求y，根据：（售价-进价）×销售量=利润，求解．【详解】解：（1）设此一次函数解析式为y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）．则解得即一次函数解析式为y＝﹣x+1．（2）当x＝30时，每日的销售量为y＝﹣30+1＝10（件）每日所获销售利润为（30﹣10）×10＝200（元）本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式，解题的关键是理解题意，学会构建一次函数解决实际问题．25、（1）详见解析；（2）ⅰ）四边形AGBE是平行四边形，证明详见解析；ⅱ）.【解析】

（1）只要证明△BAE≌△ACD；

（2）ⅰ）四边形AGBE是平行四边形，只要证明BG=AE，BG∥AE即可；

ⅱ）求出四边形BGAE的周长，△ABC的周长即可；【详解】（1）证明：如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAE＝∠C＝60°，∵AE＝CD，∴△BAE≌△ACD，∴∠ABE＝∠CAD．（2）ⅰ）如图2中，结论：四边形AGBE是平行四边形．理由：∵△ADG，△ABC都是等边三角形，∴AG＝AD，AB＝AC，