专题05解决问题之列方程（组）解应用题-2021-2022学年八年级数学下册专题训练

编者小k君小注：本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做58题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。专题05解决问题之列方程（组）解应用题（解析版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．受非洲猪瘟及供求关系影响，去年猪肉价格经过连续两轮涨价，价格从40元/千克涨到90元/千克，若两轮涨价的百分率相同，则这个百分率是（）A．20% B．30% C．40% D．50%【标准答案】D【思路指引】设两轮涨价的百分率为x，根据涨价前及经过两轮涨价后的猪肉价格，即可得出关于x的一元二次方程，解完取正值即可得出结论．【详解详析】解：设两轮涨价的百分率为x，依题意，得：40（1+x）2＝90，解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不合题意，舍去）．故选：D．【名师指路】本题考查的知识点是一元二次方程的应用，找出题目中的等量关系式是解此题的关键．2．年月日，北京市正式实施《北京市生活垃圾管理条例》，生活垃圾按照厨余垃圾，可回收物，有害垃圾，其他垃圾进行分类．小红所住小区月和月的厨余垃圾分出量和其他三种垃圾的总量的相关信息如下表所示：类别月份月月厨余垃圾分出量（千克）其他三种垃圾的总量（千克）厨余垃圾分出量如果厨余垃圾分出率(生活垃圾总量厨余垃圾分出量其他三种垃圾的总量），且该小区月的厨余垃圾分出率约是月的厨余垃圾分出率的倍，那么下面列式正确的是（）A． B．C． D．【标准答案】B【思路指引】根据公式列出12月与5月厨余垃圾分出率，根据月的厨余垃圾分出率约是月的厨余垃圾分出率的倍列方程即可．【详解详析】5月份厨余垃圾分出率=，12月份厨余垃圾分出率=，∴由题意得，故选：B．【名师指路】此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键．3．定义：等腰三角形的一个底角与其顶角的度数的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若在等腰三角形中，则它的优美比为（）A． B． C． D．【标准答案】B【思路指引】由已知可以写出∠B和∠C，再根据三角形内角和定理可以得解．【详解详析】解：由已知可得：∠B=∠C=k∠A=（36k）°，由三角形内角和定理可得：2×36k+36=180，∴k=2，故选B．【名师指路】本题考查等腰三角形的应用，熟练掌握等腰三角形的性质、三角形内角和定理及方程思想的应用是解题关键．4．要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为（）A．x（x+1）＝90 B．x（x﹣1）＝90C．x（x+1）＝90 D．x（x﹣1）＝90【标准答案】D【思路指引】设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛90场，可列出方程．【详解详析】解：设有x个队参赛，则x（x﹣1）＝90．故选：D．【名师指路】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数做为等量关系列方程求解．5．某文具店购进，两种款式的书包，其中种书包的单价比种书包的单价低．已知店主购进种书包用了元，购进种书包用了元，且所购进的种书包的数量比种书包多个．设文具店购进种款式的书包个，则所列方程正确的是（）A． B．C． D．【标准答案】B【思路指引】设文具店购进B种款式的笔袋x个，则购进A种款式的笔袋（x＋20）个，根据单价＝总价÷数量结合A种笔袋的单价比B种袋的单价低10%，即可得出关于x的分式方程．【详解详析】解：设文具店购进B种款式的笔袋x个，则购进A种款式的笔袋（x＋20）个，依题意，得：，故选：B．【名师指路】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．6．课本习题：“某超市的一种瓶装饮料每箱售价为36元，五一期间对该瓶装饮料进行促销活动，买一箱送两瓶，这相当于每瓶按原价九折销售，求这家超市销售这种饮料的原价每瓶是多少元及每箱多少瓶？”以下为四位同学列出的方程，正确的是（）A．甲、丁 B．乙、丙 C．甲、乙 D．甲、乙、丙【标准答案】B【思路指引】根据题意可设这种饮料的原价每瓶是元，则根据等量关系“九折购买的饮料数量比36元购买的一箱饮料的数量多2瓶”，或“一箱加2瓶的饮料九折后的价格是36元”；若设每箱有瓶，则根据“购买一箱加2瓶时，每瓶的价格和每瓶九折后的价格相等”分别列出方程即可【详解详析】设这种饮料的原价每瓶是元，则；设这种饮料的原价每瓶是元，则；设每箱有瓶，则故选B【名师指路】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系是解题的关键．7．某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产钢铁1850吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为x，则可得方程（）A． B．C． D．【标准答案】D【详解详析】第一个月是560，第二个月是560（1+x），第三月是560（1+x）2，所以第一季度总计560+560（1+x）+560（1+x）2=1850，选D.8．某市2017年国内生产总值（GDP）比2016年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计2018比2017年增长7%，若这两年GDP年平均增长率为%，则%满足的关系是A． B．C． D．【标准答案】D【详解详析】设2016年的国内生产总值为1，∵2017年国内生产总值（GDP）比2016年增长了12%，∴2017年的国内生产总值为1+12%；∵2018年比2017年增长7%，∴2018年的国内生产总值为（1+12%）（1+7%），∵这两年GDP年平均增长率为x%，∴2018年的国内生产总值也可表示为：，∴可列方程为：（1+12%）（1+7%）=．故选D．9．一个矩形内放入两个边长分别为3cm和4cm的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为8cm2；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为11cm2，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（）A．5cm2 B．6cm2 C．7cm2 D．8cm2【标准答案】C【思路指引】设矩形的长为xcm，宽为ycm，根据矩形的面积公式结合按图①②两种放置时未覆盖部分的面积，即可得出关于x、y的方程组，利用(②①)3可得出x=y+1③，将③代入②中可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值，即可得到y值，进而得出x的值，再利用矩形面积公式得出图③摆放位置时未覆盖的面积即可得出答案．【详解详析】解：设矩形的长为xcm，宽为ycm根据题意可得，，将(②①)3可得出：yx+1=0，即x=y+1③，将③代入②中可得：y(y+1)=16+3(y4)+11，整理得：，解得：或（舍），则x=y+1=6，则矩形的宽为5cm，长为6cm，按照图③放置的时候，未覆盖的面积为：，故选：C．【名师指路】本题考查了二元一次方程组及一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10．等边三角形ABC的边长为1，点P在AB上，PQ⊥BC，QR⊥AC，RS⊥AB，其中Q，R，S为垂足，若SP＝，则AP的长是（）A． B． C． D．或【标准答案】D【思路指引】根据等边三角形性质求出，求出，设则，，，，，当在上时，根据，代入求出即可；当在之间时，同理可求出．【详解详析】解：等边三角形，，，，，，同理，，设则，，，，，当在上时，，，；当在之间时，同理可求出．故选：．【名师指路】本题主要考查对等边三角形性质，含30度角的之间三角形，一元一次方程等知识点的理解和掌握，能求出、、是解此题的关键．二、填空题11．阅读下列材料：①的解为x＝1，②的解为x＝2，③的解为x＝3．请你观察上述方程与解得特征，写出能反映上述方程一般规律的方程___，这个方程的解为___．【标准答案】【思路指引】根据观察发现规律：方程的解是方程的最简公分母为零时x值的平均数，可得答案．【详解详析】解：方程为：，解为，故填：，．【名师指路】此题考查了分式方程的解，弄清题中的规律是解本题的关键．12．某校去年租借了三架无人机A，B，C用于体育节航拍，无人机A，B，C飞行平均速度之比为1：8：3，飞行时间之比为2：1：2．今年继续租借，但根据航拍需求，对三架无人机飞行平均速度和时间均作了调整．无人机B的平均速度比去年低了，无人机C的平均速度为去年的．A，C两架无人机的飞行总路程增加，而无人机B飞行总路程减少．无人机C增加的路程是无人机A增加路程的2倍，且占今年三架无人机总路程的20%．无人机A增加的路程与无人机B减少的路程之比为7：15，则今年无人机B与无人机C的飞行时间之比为________．【标准答案】17：57【思路指引】设去年无人机A，B，C飞行平均速度之比为x，8x，3x，飞行时间之比为2t，t，2t，表示出去年无人机A，B，C飞行的路程分别为2xt，8xt，6xt，设今年无人机A增加路程为m，无人机B减少路程为n，则无人机C增加路程为2m，进而用代数式表示有关的路程和时间，表示出今年无人机B与无人机C的飞行时间，即可求出无人机B与无人机C的飞行时间之比．【详解详析】解：∵去年无人机A，B，C飞行平均速度之比为1：8：3，飞行时间之比为2：1：2，∴设去年无人机A，B，C飞行平均速度之比为x，8x，3x，飞行时间之比为2t，t，2t，∴去年无人机A，B，C飞行的路程分别为2xt，8xt，6xt，∵今年无人机B的平均速度比去年低了，无人机C的平均速度为去年的∴今年无人机B的平均速度为：（1﹣）×8x＝6x，无人机C的平均速度为：×3x＝4x，设今年无人机A增加路程为m，无人机B减少路程为n，则无人机C增加路程为2m，∴今年无人机A、B、C飞行的路程分别为2xt+m，8xt﹣n，6xt+2m，∴今年无人机A、B、C飞行的时间分别为，，，∵无人机C增加的路程占今年三架无人机总路程的20%，∴2m＝20%（2xt+m+8xt﹣n+6xt+2m），整理得：16xt﹣7m﹣n＝0①，∵无人机A增加的路程与无人机B减少的路程之比为7：15，∴m：n＝7：15，∴m＝②，把②代入①得：16xt﹣7×﹣n＝0，∴xt＝，∴今年无人机B与无人机C的飞行时间之比为：，故答案为：17：57．【名师指路】本题考查了分式方程的应用，利用比例设未知数是解决本题的关键．13．对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{－1，2，3}＝，min{－1，2，3}＝－1，如果M{3，2x＋1，4x－1}＝min{2，－x＋3，5x}，那么x＝_______.【标准答案】或【详解详析】【思路指引】根据题中的运算规则得到M{3，2x＋1，4x－1}=1+2x，然后再根据min{2，－x＋3，5x}的规则分情况讨论即可得.【详解详析】M{3，2x＋1，4x－1}==2x+1，∵M{3，2x＋1，4x－1}＝min{2，－x＋3，5x}，∴有如下三种情况：①2x+1=2，x=，此时min{2，－x＋3，5x}=min{2，，}=2，成立；②2x+1=x+3，x=，此时min{2，－x＋3，5x}=min{2，，}=2，不成立；③2x+1=5x，x=，此时min{2，－x＋3，5x}=min{2，，}=，成立，∴x=或，故答案为或.【名师指路】本题考查了阅读理解题，一元一次方程的应用，分类讨论思想的运用等，解决问题的关键是读懂题意，依题意分情况列出一元一次方程进行求解．14．近年来，网红北京迎来了无数中外游客．除了游故宫、登长城、吃烤鸭以外，稻香村的传统糕点成为了炙手可热的伴手礼．根据消费者的喜好，现推出A、B两种伴手礼礼盒，A礼盒装有2个福字饼，2个禄字饼：B礼盒装有1个福字饼，2个禄字饼，3个寿字饼，A、B两种礼盒每盒成本价分别为盒中福禄寿三种糕点的成本价之和．已知A种礼盒每盒的售价为96元，利润率为20%，每个禄字饼的成本价是寿字饼的成本价的3倍．国庆期间，由于客流量大，一天就卖出A、B两种礼盒共计78盒，工作人员在核算当日卖出礼盒总成本的时候把福字饼和禄字饼的成本看反了，后面发现如果不看反，那么当日卖出礼盒的实际总成本比核算时的总成本少500元，则当日卖出礼盒的实际总成本为_____元．【标准答案】5740【思路指引】根据题意可得A礼盒的成本价格，进而可求出1个福字饼和1个禄字饼的成本和为40元，再设一个福字饼成本x元，一个禄字饼成本（40﹣x）元，A种礼盒m袋，B种礼盒n袋，列出方程得到xn＝20n+250，最后求出每日卖出礼盒的实际总成本即可．【详解详析】解：设A礼盒成本价格a元，根据题意，得96﹣a＝20%a，解得a＝80，∵A礼盒装有2个福字饼，2个禄字饼，∴2个福字饼和2个禄字饼的成本价格为80元，∴1个福字饼和1个禄字饼的成本价格为40元，设个福字饼成本价x元，1个禄字饼成本价（40﹣x）元，则1个寿字饼成本价为（40﹣x）元，A种礼盒m袋，B种礼盒n袋，根据题意，得m+n＝7880m+n[x+2（40﹣x）+3×（40﹣x）]+500＝80m+n[（40﹣x+2x+3×（40﹣x）]∴xn＝20n+250设A、B两种礼盒实际成本为w元，则有w＝80m+xn+2n（40﹣x）+n×（40﹣x）＝80（m+n）﹣500＝80×78﹣500＝5740．故答案为：5740．【名师指路】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是求出A礼盒的成本．15．如图，点O是钟面的中心，射线正好落在3：00时针的位置．当时钟从2：00走到3：00，则经过___________分钟，时针，分针，与所在的三条射线中，其中一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线．【标准答案】6或【思路指引】分两种情况讨论：当时针为角平分线和OC为角平分线进行计算即可．【详解详析】设时针为OB，分针为OA．当时针为OB为角平分线时，如图1所示：设经过x分钟，OB为角平分线，则∠AOB=60゜6x゜+，∠BOC=30゜－，依题意得：606x+＝30－解得x=6；当时针为OC为角平分线时，如图2所示：设经过x分钟，OC为角平分线，则∠AOC=6x゜90゜，∠BOC=30゜－，依题意得：6x90＝30－解得x=；综合上述可得：经过6分钟或分钟时，时针，分针，与所在的三条射线中，其中一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线．故答案为：6或．【名师指路】考查了一元一次方程的应用和角平分线的性质，解题关键是分两种情况讨论：当时针为角平分线和OC为角平分线和利用方程求得其角度．16．随着我国疫情的有效控制，各地打造了众多春游景点供市民休闲娱乐．某区特别打造了多彩植物园、亲子游乐园、劳动体验园吸引游客．月份多彩植物园、亲子游乐园、劳动体验园接待游客数量之比为．为增加游客数量，该地区通过发抖音、转发朋友圈等多种方式加大宣传力度，预计月份三个园区接待的游客总人数在月份的基础上会增加．但因为多彩植物园中部分花期已过，多彩植物园的游客人数在3月份的基础上将减少．这样月份，多彩植物园接待的游客总人数占三个园区接待游客总人数的，而亲子游乐园、劳动体验园月份接待游客人数之比将达到，则亲子游乐园新增的人数与月份这三个园区的总人数之比是___________【标准答案】【思路指引】设3月多彩植物园、亲子游乐园、劳动体验园接待游客数量分别为3a，3a，4a，求出4月多彩植物园的人数，得到4月接待总人数，设4月亲子游乐园人数为m，根据4月亲子游乐园、劳动体验园4月份接待游客人数之比将达到3：2，得到，再根据题意求出比值．【详解详析】解：设3月多彩植物园、亲子游乐园、劳动体验园接待游客数量分别为3a，3a，4a，则4月多彩植物园的游客人数为3a（1）=2a，∴4月接待总人数为2a÷=14a，∴4月亲子游乐园、劳动体验园接待游客数量为12a，设4月亲子游乐园人数为m，则劳动体验园人数为12am，由题意可得：，解得：，∴4月亲子游乐园新增的人数与4月份这三个园区的总人数之比为：=，故答案为：．【名师指路】本题考查了分式方程的实际应用，题干较长，解题时要细心认真读题，理清题中的条件，用字母表示出相关量，再进行运算．17．从甲地到乙地有20站，并且任何相邻两站之间的距离相同．快车和慢车每小时从甲地各发一趟，快车整点发车，慢车发车时间晚半小时．快车每站车费5元，慢车每站车费2元，但快车的速度是慢车速度的2倍．快车从甲地到乙地共需2小时．上午九点半，一位只有70元钱的旅客在甲地乘车，若忽略车进出站上下乘客的时间，但旅客等车时间要计算在内，这位旅客从甲地到乙地所需的最短时间为__小时．【标准答案】3【思路指引】从甲地到乙地，快车整点出发，慢车晚半个小时，旅客9：30分上车必须坐慢车，从10：00点钟后整点发车可以看一个追及相遇问题，计算出慢车与后面不同整点发出的快车相遇的站点，方可上快车才能节省时间，同时还考虑旅客只带70元钱够车费，方能到达终点的时间最短．【详解详析】解：∵从甲地到乙地有20站，快车共需2小时，∴快车从上一站点到下一站点的时间为，又∵快车的速度是慢车速度的2倍；∴从甲地到乙地有20站，慢车共需4小时，∴慢车从上一站点到下一站点的时间为．由题意可知：①当9：30旅客坐上慢车后，与第1辆10：00钟发出的快车相遇于第x个站点，则有：，解得：x＝5；∴此刻10：00发出的快车行了小时，慢车行了1个小时；即相遇时刻为10：30分．②当10：30旅客坐慢车继续前行，需过小时，快车将在11：00发出追及慢车相遇于第y个站点，则有：，解得：y＝10，∴此刻11：00发出的快车行了1小时，慢车行了2个小时；即相遇时刻为12：00分．③当12：00旅客坐慢车继续前行，此刻甲地快车发出追及慢车相遇于第z个站点，则有：，解得：z＝20，∴此刻相遇刚好在终点．由上可知：旅客要从慢车坐上快车在第①和第②次相遇时坐上快车节省时间．（Ⅰ）第①种情况旅客坐慢车相遇快车后上快车，从甲地到乙地的总时间为：（小时）；又∵快车每站车费5元，慢车每站车费2元，∴此种方式的总费用：2×5+15×5＝75（元），又∵旅客只有70元钱，∴75＞70，即此时相遇后坐快车钱不够，不合题意舍去．（Ⅱ）第②情况旅客坐慢车相遇快车后上快车，从甲地到乙地的总时间为：（小时）．此种方式的总费用：5×10+2×10＝70（元）即此种情况节约时间，旅客所带的钱够花．故答案为3．【名师指路】本题考查了分式方程的应用，理解题意列出方程，分类讨论是解题的关键．18．某知名服装品牌在北碚共有A、B、C三个实体店．由于疫情的影响，第一季度A、B、C三店的营业额之比为，随着疫情得到有效的控制和缓解，预计第二季度这三个店的总营业额会增加，其中B店增加的营业额占总增加的营业额的，第二季度B店的营业额占总营业额的，为了使A店与C店在第二季度的营业额之比为5∶4，则第二季度A店增加的营业额与第二季度总营业额的比值为______________．【标准答案】【思路指引】设第一季度A、B、C三店的营业额分别为，第二季度A店、C店的营业额为、，根据题意求得与的关系，第二季度B店的营业额，第二季度总营业额为，则第二季度A店增加的营业额与第二季度总营业额的比值为，即可求解．【详解详析】解：∵第一季度A、B、C三店的营业额之比为∴设第一季度A、B、C三店的营业额分别为∵第二季度A店与C店在第二季度的营业额之比为5∶4∴设第二季度A店、C店的营业额为、，B店的营业额为∵第二季度B店的营业额占总营业额的，∴，解得∴第二季度总营业额为∵B店增加的营业额占总增加的营业额的∴，解得第二季度A店增加的营业额与第二季度总营业额的比值为【名师指路】此题考查了分式方程的应用，理解题意设合适的未知数，弄清楚题中的等量关系是解题的关键．19．小方同学设计了一个“魔法棒转不停”程序，如图所示，点，在直线上，第一步，绕点顺时针旋转度至；第二步，绕点顺时针旋转度至；第三步，绕点顺时针旋转度至，以此类推，在旋转过程中若碰到直线则立即绕点反方向旋转．当时，则等于______度．【标准答案】或或【思路指引】根据题意，由旋转的性质和角度的变化规律，可对射线进行讨论分析：①未反弹；②反弹后落在之间；③反弹后落在之间；④反弹后落在之间；分别求出每一种情况的答案，并结合实际情况，即可得到答案．【详解详析】解：根据题意，可对射线进行讨论分析：①未反弹时，如图：∵，∴，∴此时满足题意；②反弹后落在之间，如图：∴，，∴，∴，∴，此时，不符合题意，舍去；③反弹后落在之间，如图：∴，，∴，∴此时，成立；④反弹后落在之间，如图：∴，，∴，∴，∴，成立；∵，∴，∴射线不可能反弹；综上所述，等于或或．故答案为：或或．【名师指路】本题考查了一元一次方程的应用，平角的定义，角度的和差关系，解题的关键是熟练掌握题意，掌握角度的规律探索，注意运用分类讨论的思想进行分析．20．已知：如图1，点是直线上一点，过点作射线，使，过点作射线，使．如图2，绕点以每秒9°的速度顺时针旋转得，同时射线绕点以每秒3°的速度顺时针旋转得射线，当射线落在的反向延长线上时，射线和同时停止，在整个运动过程中，当______时，的某一边平分（指不大于180°的角）．【标准答案】t=3或t=30或t=54【思路指引】本题分情况讨论，当OE'平分∠A'OM，即∠MOE'=∠A'OE'，用t的式子表示∠MOE'，∠A'OE'，求出t的值，当ON'平分∠A'OM，∠MON'=∠A'ON'，此时分为两种情况，第一种情况：ON'没有旋转完360°，第二种情况：ON'旋转完了360°．用t的式子表示∠MON'，∠A'ON'，分别求出t的值即可．【详解详析】解：∵∠EOM=∠EON，∠EOM+∠EON=180°得：∠EOM=30°，∠EON=150°①OE'平分∠A'OM，即∠MOE'=∠A'OE'

∠MOE'=30+9t∠A'OE'=60+3t9t∴30+9t=60+3t9t解得t=3，②ON'平分∠A'OM，此时分为两种情况，第一种情况：ON'没有旋转完360°，

∠MON'=∠A'ON'∠MON'=9t180∠A'ON'=90+(9t180)3t∴9t180=90+(9t180)3t解得t=30，第二种情况：ON'旋转完了360°

∠MON'=∠A'ON'∠MON'=1809t+360，∠A'ON'=180(3t90)(1809t+360)1809t+360=180(3t90)(1809t+360)解得t=54，故答案为：t=3或t=30或t=54【名师指路】此题主要考查角的和差，角平分线的性质与一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系求解.三、解答题21．某商场第一次用元购进某款智能清洁机器人进行销售，很快销售一空，商家又用元第二次购进同款智能清洁机器人，所购进数量是第一次的倍，但单价比第一次贵了元．（1）该商家第一次购进智能清洁机器人多少台？（2）若第二次购进的智能清洁机器人的销售价格与第一次购进的智能清洁机器人的销售价格相同，要求两次全部销售完毕的利润率不低于（不考虑其它因素），那么每台智能清洁机器人的销售价格至少是多少元？【标准答案】（1）该商家第一次购进智能清洁机器人台；（2）每台智能清洁机器人的标价至少是元．【思路指引】（1）设该商家第一次购进智能清洁机器人台，列分式方程求解即可；（2）设每台智能清洁机器人的标价是元，列不等式解决问题.【详解详析】解：设该商家第一次购进智能清洁机器人台，依题意得：，解得.经检验是所列方程的解，且符合题意.答：该商家第一次购进智能清洁机器人台.设每台智能清洁机器人的标价是元.则依题意得：，解得.答：每台智能清洁机器人的标价至少是元.【名师指路】此题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键.22．在落实“精准扶贫”战略中，三峡库区某驻村干部组织村民依托著名电商平台“拼多多”组建了某土特产专卖店，专门将进货自本地各家各户的A、B两款商品销售到全国各地．2020年10月份，该专卖店第一次购进A商品40件，B商品60件，进价合计8400元；第二次购进A商品50件，B商品30件，进价合计6900元．（1）求该专卖店10月份A、B两款商品进货单价分别为多少元？（2）10月底，该专卖店顺利将两次购进的商品全部售出．由于季节原因，B商品缺货，该专卖店在11月份和12月份都只能销售A商品，且A商品11月份的进货单价比10月份上涨了m元，进价合计49000元；12月份的进货单价又比11月份上涨了0.5m元，进价合计61200元，12月份的进货数量是11月份进货数量的1.2倍．为了尽快回笼资金，A商品在11月份和12月份的销售过程中维持每件150元的售价不变，到2021年元旦节，该专卖店把剩下的50件A商品打八折促销，很快便售完，求该专卖店在A商品进货单价上涨后的销售总金额为多少元？【标准答案】（1）该店A、B两款商品进货单价分别为90元和80元；（2）该专卖店在A商品进货单价上涨后的销售总金额为163500元．【思路指引】（1）设每件A种商品的进价为x元，每件B种商品的进价为y元，根据“若购进A种商品40件，B种商品60件，需要8400元；若购进A种商品50件，B种商品30件，需要6900元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据题意，可以得到相应的分式方程，从而可以得到m的值，然后即可计算出商店销售这两批A商品的销售总金额．【详解详析】（1）设10月份A商品的进货单价为x元，B商品的进货单价为y元，由题意得：，解得，，答：该店A、B两款商品进货单价分别为90元和80元；（2）由题意可得，，解得，m=8，经检验，m=8是原分式方程的解，故11月份购进的A商品数量为（件），12月份购进的A商品数量为500×1.2=600（件），（500+60050）×150+150×0.8×50=163500（元）．答：该专卖店在A商品进货单价上涨后的销售总金额为163500元．【名师指路】本题考查了分式方程的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和分式方程，注意分式方程要检验．23．如果实数a，b满足的形式，那么a和b就是“智慧数”，用表示．如：由于，所以是“智慧数”．（1）下列是“智慧数”的是（填序号）；①和，②和，③和．（2）如果是“智慧数”，那么“☆”的值为；（3）如果是“智慧数”，①y与x之间的关系式为；②当x＞0时，y的取值范围是；③在②的条件下，y随x的增大而（填“增大”，“减小”或“不变”）．【标准答案】（1）①，③；`（2）；（3）①（）；②；③增大【思路指引】（1）将三组数据逐一代入智慧数的式子可得出结论；（2）满足新定义的等式，代入求出☆；（3）①将x和y代入智慧数的式子整理可得；②用x表示y，通过x＞0的条件可得出y的取值范围；③将y=整理成1的形式可得．【详解详析】（1）①1.26=7.2=1.2×6，①是智慧数；②（3）=≠×（3），②不是智慧数；③（1）==×（1），③是智慧数．故答案为①，③；（2）∵是“智慧数”，∴3☆=3☆4☆=3☆=（3）①∵是“智慧数”，∴xy=xyx=xy+yx=y（x+1）y=（）．②用x表示y，y=x（1y）x=∵x＞0，∴＞0，y（1y）＞0，∴．③由①得，y==1，当x>0时，1+x>1，当x增大时，1+x随x的增大而增大，随x的增大而减小，1随x的增大而增大，故答案为增大．【名师指路】本题主要考查了新定义下实数和分式方程的运算，熟练掌握实数运算和分式方程的性质是解题的关键．24．己知在数轴上有A，B两点，点B表示的数为最大的负整数，点A在点B的右边，且AB=24．若有一动点Р从数轴上点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设Q运动时间为t秒．（1）若点Р和点Q同时出发，当秒时，写出数轴上点P，Q所表示的数；（2）若点P，Q分别从A，B两点出发，Р先出发2秒，然后Q才出发，问当t为何值点P与点相距3个单位长度；（3）若点О到点M，N两点的距离之和为10，则称点О是的“整十点”，设点C为线段AB上的点，且，点P，Q分别从A，B两点同时出发，点P向左运动到C点时返回到A点时停止，动点Q一直向右运动到A点后停止运动，求当t为何值时，点C为的“整十点”．【标准答案】（1）点P表示的数为19，点Q表示的数为5；（2）当t为或时点P与点相距3个单位长度；（3）当t为或时，C为的“整十点”【思路指引】（1）先求出点A、B表示的数，再求出t=2时点P、Q运动的路程，即可求得点P、Q所表示的数；（2）先求出点P、Q表示的数，再根据PQ=3列出关于t的一元一次方程，解方程即可解答；（3）根据AC=10可求得点C表示的数，再分情况表示出点P表示的数，然后分0＜t≤、＜t≤5、5＜t≤8、8＜t≤10四种情况，根据点C为的“整十点”列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解详析】解：根据题意，点B表示的数为﹣1，点A表示的数为23，当t=2时，AP=2×2=4，BQ=3×2=6，则点P表示的数为23﹣4=19，点Q表示的数为﹣1+6=5；（2）当运动时间为t秒时，点P表示的数为23﹣2×2﹣2t=19﹣2t，点Q表示的数为﹣1+3t，由题意得：∣（19﹣2t）﹣（﹣1+3t）∣=3，即20﹣5t=3或5t﹣20=3，解得：t=或t=，答：当t为或时点P与点相距3个单位长度；（3）依题意，点C表示的数是13，点P运动到C点需10÷2=5秒，返回到A点需10秒，∴点P表示的数为，点Q运动到C点需要14÷3=秒，运动到A点需24÷3=8秒,∴点Q表示的数为﹣1+3t（0＜t≤8）当0＜t≤时，由CQ+CP=10得：13﹣（﹣1+3t）+23﹣2t﹣13=24﹣5t=10，解得：t=；当＜t≤5时，由CQ+CP=10得：（﹣1+3t）﹣13+23﹣2t﹣13=t﹣4=10，解得：t=14＞5，不存在；当5＜t≤8时，由CQ+CP=10得：（﹣1+3t）﹣13+3+2t﹣13=5t﹣24=10，解得：t=；当8＜t≤10时，由CQ+CP=10得：10+3+2t﹣13=10，解得：t=5＜8，不存在，综上，当t为或时，C为的“整十点”．【名师指路】本题考查数轴、一元一次方程的应用，解答的关键是会表示数轴上的数，找准等量关系，利用分类讨论思想列出对应的一元一次方程．25．2020年初，国家发展改革委、生态环境部印发了《关于进一步加强塑料污染治理的意见》，明确了加强塑料污染治理分阶段的任务目标．某企业积极响应国家号召，加强对A型，B型可降解环保购物袋的研发生产和销售，2020年第二季度，A型环保袋的销量比B型销量的2倍少40吨，其中B型环保袋每吨的利润是A型的倍，该季度销售A，B两种环保袋分别获得利润50万元和36万元．（1）第二季度A型，B型环保袋的销量分别为多少吨？（2）第三季度，该企业扩大了A，B两种环保袋的生产销售，A型增加的销量是B型增加销量的倍，该季度A型环保袋的销量是B型的1.5倍．到了第四季度，为响应国家号召，该企业主动降低了两种环保袋的售价，A型，B型环保袋每吨的利润比第二季度分别降低了和，两种环保袋的销量却比第三季度分别增加了和，第四季度A，B两型环保袋的总利润比第二季度增加了49万元，求a的值．【标准答案】（1）A型环保袋的销量为200吨，B型环保袋的销量为120吨；（2）a的值为25．【思路指引】（1）设B型环保袋的销量为x吨，A型的环保袋销量为(2x40)吨，根据题意列出方程即可；（2）先设B型增加了b吨销量，根据第三季度A型环保袋的销量是B型的1.5倍列出方程求出b，再根据第四季度A，B两型环保袋的总利润比第二季度增加了49万元列出关于a的方程即可求解．【详解详析】解：（1）设B型环保袋的销量为x吨，A型的环保袋销量为(2x40)吨，根据题意，得：，解此方程得，经检验，是原方程的根，∴（吨），所以，A型环保袋的销量为200吨，B型环保袋的销量为120吨；（2）设B型增加了b吨销量，由题意得：200＋b＝1.5(120＋b)，解得b＝80，∴200＋b＝300（吨），120＋b＝200（吨）则A型销量为300吨，B型销量为200吨，由题意可得，第四季度A型环保袋的销量为，B型环保袋的销量为，由（1）可得，第二季度A型环保袋每吨的利润为万元，B型环保袋每吨的利润为万元，∴第四季度A型环保袋每吨的利润为万元，B型环保袋每吨的利润为万元，由题意得：，此方程可化为，解得（舍去），，∴a的值为25．【名师指路】本题考查了分式方程、一元一次方程及一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，弄清数量关系，列出方程．26．（1）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=（）的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（n，6），点C的坐标为（﹣2，0），且tan∠ACO=2．①求该反比例函数和一次函数的解析式；②求点B的坐标；③在x轴上求点E，使△ACE为直角三角形．（直接写出点E的坐标）（2）某书店老板去图书批发市场购买某种图书．第一次用1200元购书若干本，并按该书定价7元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用1500元所购该书数量比第一次多10本．当按定价售出200本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书．①求第一次购进图书的进价是每本多少元？②该书店老板在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？【标准答案】（1）①，；②；③，；（2）①5元；②盈利了，共盈利了520元【思路指引】（1）①过点A作AD⊥x轴于D，根据A、C的坐标求出AD=6，CD=n+2，已知tan∠ACO=2，可求出n的值，把点的坐标代入解析式即可求得反比例函数和一次函数解析式；②求出反比例函数和一次函数的另外一个交点即可；③分两种情况：AE⊥x轴②EA⊥AC，分别写出E的坐标即可．（2）①设第一次购书的单价为x元，根据第一次用1200元购书若干本，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用1500元所购该书的数量比第一次多10本，列出方程，求出x的值即可得出答案；②根据（1）先求出第一次和第二次购书数目，再根据卖书数目×（实际售价当次进价）求出二次赚的钱数，再分别相加即可得出答案．【详解详析】解：（1）①过点作轴于，的坐标为，的坐标为，，，，，解得：，经检验为原方程解；故，，反比例函数表达式为：，又点、在直线上，，解得：，一次函数的表达式为：；②由得：，解得：或，，；③分两种情况：当轴时，即点与点重合，此时；当时，此时，则，，又的坐标为，．综上所述，，．（2）①设第一次购书的单价为x元，根据题意得：，解得：x=5．经检验，x=5是原方程的解，答：第一次购书的进价是每本5元；②第一次购书为1200÷5=240（本），第二次购书为240+10=250（本），第一次盈利为240×（75）=480（元），第二次盈利为200×（75×1.2）+50×（7×0.45×1.2）=40（元），所以两次共盈利480+40=520（元），答：该老板两次售书总体上是盈利了，共盈利了520元．【名师指路】本题考查了反比例函数的综合题，涉及了点的坐标的求法以及待定系数法求函数解析式的知识，同时考查了分式方程的应用，主要考查学生的计算能力和理解能力．27．接种疫苗是阻断病毒传播的有效途经，为了保障人民群众的身体健康，我国目前正在开展新冠疫苗大规模接种工作．现有、两个社区疫苗接种点，已知社区疫苗接种点每天接种的人数是社区疫苗接种点每天接种人数的1.2倍，社区疫苗接种点种完6000支疫苗的时间比社区疫苗接种点种完6000支疫苗的时间少1天．（1）求、两个社区疫苗接种点每天各接种多少人？（2）一段时间后，社区接种点每天前来接种的人数比（1）中的人数减少了人，而社区疫苗接种点由于加大了宣传力度，每天前来接种的人数增加到了（1）中社区疫苗接种点每天接种的人数，这样社区接种点天与社区接种点天一共种完了69000支疫苗，求的值．【标准答案】（1）A社区疫苗接种点每天各接种1200人，B社区疫苗接种点每天各接种1000人；（2）m的值是10【思路指引】（1）设B社区疫苗接种点每天各接种x人，则A社区疫苗接种点每天各接种1.2x人，根据“A社区疫苗接种点种完6000支疫苗的时间比B社区疫苗接种点种完6000支疫苗的时间少1天”列出方程解答即可；

（2）根据“A社区接种点3m天与B社区接种点（m+20）天一共种完了69000支疫苗”列出方程解答即可．【详解详析】解：（1）设B社区疫苗接种点每天各接种x人，则A社区疫苗接种点每天各接种1.2x人，

根据题意，得：解得x=1000．

经检验x=1000是原方程的解，且符合题意．

所以1.2x=1200．

答：A社区疫苗接种点每天各接种1200人，B社区疫苗接种点每天各接种1000人；

（2）根据题意，得（120010m）•3m+1200（m+20）=69000，

整理，得m2160m+1500=0．

解得m1=150（舍去），m2=10，

答：m的值是10．【名师指路】本题主要考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程并解答．28．某商场在一楼至二楼间安装了一部自动扶梯，以匀速向上行驶甲、乙两同学同时从扶梯上匀速走到二楼，且甲每分钟走动的级数是乙的两倍．已知甲走了24级到扶梯顶部，乙走了16级到扶梯顶部（甲、乙两同学每次只跨一级台阶）．（1）扶梯露在外面的部分有多少级？（2）如果与扶梯并排有一从二楼到一楼的楼梯道，台阶数与扶梯级数相同，甲乙各自到扶梯顶部后按原速再下楼梯到楼梯底部再乘扶梯，若楼梯与扶梯之间的距离忽略不计，问甲第1次追上乙时是在扶梯上还是在楼梯上？他已经走动的级数是多少级？【标准答案】（1）扶梯露在外面的部分有48级；（2）在楼梯上，176级【思路指引】（1）如果扶梯露在外面的部分有x级，乙每分钟走动的级数为a级，则甲每分钟走动的级数为2a级，扶梯每分钟向上运动b级．题中有两个等量关系，甲走24级的时间等于扶梯走（2a＋b）级的时间；乙走16级的时间等于扶梯走（a＋b）级的时间，据此列出方程组，求出x的值即可；（2）如果设甲第一次追上乙时走过自动扶梯m遍，走过楼梯n遍，那么乙走过自动扶梯（m−1）遍、走过楼梯（n−1）遍．根据两人所走的时间相等，列出方程．将（1）中求得的y与x的关系式y＝2x代入，可得6n＋m＝16．由已知条件可知m、n中一定有一个是正整数，且0≤m−n≤1．通过试验可以求出m，n的具体值，进而求出结果．【详解详析】解：（1）设扶梯露在外面的部分有x级，乙每分钟走动的级数为a级，则甲每分钟走动的级数为级，扶梯每分钟向上运动级，由题意得：，①÷②得：，整理得：，代入②得．答：扶梯露在外面的部分有48级；（2）设追上乙时，甲扶梯走了遍，楼梯走了遍，则乙走扶梯遍，走楼梯遍．由题意得：，整理得：，这里，中必有一个是整数，且．①若为整数，则．∴（不合，舍去），（不合，舍去）（符合条件）（不合，舍去）（不合，以后均不合，舍去）②若n为整数，，∴，，，…，这些均不符合要求，∴，此时，甲在楼梯上．∴（级）．【名师指路】本题考查分式方程在行程问题中的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题属于竞赛题型，有一定难度．难点在于自动扶梯在上升，具有一定的速度，同时甲、乙