专题12二次函数（原卷版）2

专题12二次函数二次函数是初中数学三大函数里面考点内容多，出现频率高，考查难度大的一个函数，一直深受中考各地区命题老师的青睐。此部分知识在考查形式上比较灵活多样，根据往年中考情况分析，选择、填空及解答题均有所考查，有单独知识的考查，也有跟其他知识结合着一起考查，单独考查难度一般不大，难度主要体现在综合知识的考查，特别是作为最后一道题的时候考查，往往除第一问较简单外，剩余的问答基本较难，故此在复习时必须特别熟练的掌握二次函数的图像与性质，同时强化数形结合思想，通过适当训练来提高相关题型的熟悉度，作为重难点去突破。考点知识要求考查角度1二次函数的意义和函数表达式通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义基本以选择题、填空题的形式考查二次函数的意义和函数解析式的求法1.二次函数的概念：一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数．y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）叫做二次函数的一般式．2.二次函数的解析式：二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）（2）顶点式：y=a(xh)2+k（a，h，k是常数，a≠0）（3）两根式（交点式）：当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c=0有实根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式ax2+bx+c=a(xx1)(xx2)，二次函数y=ax2+bx+c可转化为两根式y=a(xx1)(xx2)．如果没有交点，则不能这样表示．3.用待定系数法求二次函数的解析式：（1）若已知抛物线上三点坐标，可设二次函数表达式为y＝ax2＋bx＋c．（2）若已知抛物线上顶点坐标或对称轴方程，则可设顶点式：y＝a(x－h)2＋k，其中对称轴为x＝h，顶点坐标为(h，k)．（3）若已知抛物线与x轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用两根式（交点式）：y＝a(x－x1)(x－x2)，其中与x轴的交点坐标为(x1，0)，(x2，0)．1．下列y关于x的函数中，是二次函数的是（）A．y＝5x2 B．y＝22﹣2x C．y＝2x2﹣3x3+1 D．2．若函数y＝（1+m）x是关于x的二次函数，则m的值是（）A．2 B．﹣1或3 C．3 D．﹣1±3．用配方法将二次函数y＝x2﹣2x﹣4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝（x﹣2）2﹣4 B．y＝（x﹣1）2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣5 D．y＝（x﹣2）2﹣64．抛物线的形状、开口方向与y＝x2﹣4x+3相同，顶点在（﹣2，1），则关系式为（）A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2﹣1 C．y＝（x+2）2+1 D．y＝﹣（x+2）2+15．如图是一条抛物线的图象，则其解析式为（）A．y＝x2﹣2x+3 B．y＝x2﹣2x﹣3 C．y＝x2+2x+3 D．y＝x2+2x﹣36．顶点是（1，3），开口方向、大小与y＝2x2完全相同的抛物线解析式为．7．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴、y轴分别相交于A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．则该抛物线的解析式是．8．已知抛物线经过点A（﹣2，0），B（﹣1，0），C（0，2），求抛物线的解析式．9．已知某二次函数的图象的顶点为（﹣2，2），且过点（﹣1，3）．（1）求此二次函数的关系式．（2）判断点P（1，9）是否在这个二次函数的图象上，并说明理由．10．下列函数中是二次函数的是（）A．y＝﹣2x B．y＝﹣ C．y＝1﹣3x2 D．y＝x+311．若函数y＝（m2+m）是二次函数，那么m的值是（）A．2 B．﹣1或3 C．3 D．12．用配方法将二次函数y＝x2﹣4x﹣6化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝（x﹣2）2﹣2 B．y＝（x﹣2）2﹣10 C．y＝（x+2）2﹣2 D．y＝（x+2）2﹣1013．已知二次函数的图象经过（﹣1，0），（2，0），（0，2）三点，则该函数解析式为（）A．y＝﹣x2﹣x+2 B．y＝x2+x﹣2 C．y＝x2+3x+2 D．y＝﹣x2+x+214．用配方法把二次函数y＝x2﹣6x+3化成顶点式为．15．若二次函数y＝ax2的图象经过点（﹣1，2），则二次函数y＝ax2的解析式是．16．已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（2，﹣3），求该抛物线的解析式．17．已知抛物线的顶点坐标为M（2，﹣5），与y轴交于点A（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）当0≤x≤5时，求y的取值范围．考点知识要求考查角度2二次函数的图象和性质①会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；②会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴；③会利用二次函数图象求一元二次方程的近似解选择题、填空题的形式考查二次函数图象的顶点、对称轴、最值、抛物线的平移、二次函数与方程的关系等基础知识，以解答题、探究题的形式考查二次函数综合能力。1.二次函数的图象：二次函数的图象是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线．（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是抛物线，抛物线的对称轴是直线，顶点是（，）．当a>0时，抛物线的开口向上，函数有最小值；当a<0时，抛物线开口向下，函数有最大值．（2）抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2形状相同，位置不同，把抛物线y＝ax2向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线y＝a(x－h)2＋k．2.二次函数图象的画法：五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴；（2）求抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴的交点：当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A，B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称D.将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图象．3.二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）中，a、b、c的含义：a表示开口方向：a＞0时，抛物线开口向上，a＜0时，抛物线开口向下；b与对称轴有关：对称轴为；c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）．4.二次函数的最值：（1）如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，．（2）如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么，首先要看是否在自变量取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x=x2时，y最大=ax22+bx2+c，当x=x1时，y最小=ax12+bx1+c；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x=x1时，y最大=ax12+bx1+c，当x=x2时，y最小=ax22+bx2+c．5.二次函数与一元二次方程的关系：一元二次方程的解是其对应的二次函数的图象与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的=b24ac，在二次函数中表示图象与x轴是否有交点．当>0时，图象与x轴有两个交点；当=0时，图象与x轴有一个交点；当<0时，图象与x轴没有交点．①如果抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根；②如果抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴只有一个交点，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根；③如果抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根．抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数判别式b24ac的符号方程ax2+bx+c=0的实数根个数2个b24ac>0两个不相等的实数根

1个b24ac=0两个相等的实数根

没有b24ac<0

没有实数根6.二次函数与不等式的关系:（1）ax2+bx+c>0的解集：函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴上方对应的点的横坐标的取值范围；（2）ax2+bx+c<0的解集：函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴下方对应的点的横坐标的取值范围．7.图象的平移左加右减，上加下减1．抛物线y＝﹣（3﹣x）2+5的顶点坐标是（）A．（3，﹣5） B．（﹣3，5） C．（3，5） D．（﹣3，﹣5）2．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax﹣b和二次函数y＝﹣ax2﹣b的大致图象是（）A． B． C． D．3．已知二次函数y＝﹣x2+2x﹣3，点A（x1，y1）、B（x2，y2）在该函数图像上，若x1+x2＞2，x1＞x2，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．无法判断4．若函数y＝（a﹣3）x2﹣x+1（a为常数）的图象与x轴有且只有一个交点，那么a满足（）A．a＝且a≠3 B．a＝ C．a＝3 D．a＝或a＝35．已知二次函数y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）在﹣2≤x＜2时有最小值﹣2，则m＝（）A．﹣4或﹣ B．4或﹣ C．﹣4或 D．4或6．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论正确的个数为（）①abc＜0；②c+2a＜0；③9a﹣3b+c＝0；④am2﹣a+bm+b＞0（m为任意实数）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根是﹣1和2，则抛物线y＝bx2﹣ax+c的对称轴为．8．二次函数y＝x2的图象先向左平移2个单位．再向下平移5个单位后的解析式为．9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，比较下列各式与0的大小．①abc0；②b2﹣4ac0；③（a+c）2﹣b20．10．在同一平面直角坐标系中画出二次函数y＝x2+1与二次函数y＝﹣x2﹣1的图形．（1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点；（2）说出两个函数图象的性质的相同点与不同点．11．已知二次函数y＝2x2﹣bx+c的图象经过A（1，n），B（3，n）．（1）用含n的代数式表示c．（2）若二次函数y＝2x2﹣bx+c的最小值为，求n的值．12．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，抛物线y＝x2+bx+c经过点A与点C．（1）求这个二次函数的表达式，并求出抛物线的对称轴．（2）现将抛物线向左平移m（m＞0）个单位，向上平移n（n＞0）个单位，若平移后的抛物线恰好经过点B与点C，求m，n的值．13．已知抛物线y1＝﹣x2﹣6x+c．（1）若抛物线y1过点（﹣2，18），求抛物线y1的表达式及对称轴；（2）如图，若抛物线y1过点A，点A的横坐标为﹣，平移抛物线y1，使平移后的抛物线y2仍过点A，过点A作CB∥x轴，分别交两条抛物线于C，B两点，且CB＝8，点M（﹣5，m）在抛物线y1上，点N（3，n）在抛物线y2上，试判定m与n的大小关系，并说明理由．14．对于二次函数y＝2（x﹣2）2+1，下列说法中正确的是（）A．图象的开口向下 B．函数的最小值为1 C．图象的对称轴为直线x＝﹣2 D．图象的顶点坐标是（1，2）15．二次函数y＝﹣2x2﹣8x+m的图象与x轴只有一个交点，则m的值是（）A．8 B．16 C．﹣8 D．﹣1616．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝ax+b的图象不可能是（）A． B． C． D．17．已知二次函数y＝ax2+bx+3经过点（2，3），且函数最大值为4，则a的值为（）A．﹣ B．﹣1 C．﹣2 D．﹣18．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，图象过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③b2﹣4ac＞0；④9a+c＞3b，其中正确的结论序号为（）A．①②③ B．①③ C．①③④ D．②③19．将抛物线y＝10（x+1）2﹣3向右平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度，平移后抛物线的解析式是．20．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）中，4a﹣b＝0，a﹣b+c＞0，抛物线与x轴的两交点之间的距离小于2，且经过点（0，3）．下列四个结论：①对称轴为直线x＝﹣2；②若点（m﹣2，y1）和（n﹣2，y2）在抛物线上，且m＞n，则y1＞y2；③一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根在﹣2和﹣3之间；④0＜a＜1；其中结论正确结论是（填写序号）．21．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点坐标为（1，2），且交y轴于点C（0，3）．（1）求该二次函数的表达式．（2）求该二次函数图象关于y轴对称的二次函数图象的解析式．（3）点P为二次函数图象上一动点，若点P纵坐标与点C纵坐标之差的绝对值小于或等于1，请根据图象直接写出点P横坐标x的取值范围．22．抛物线C1：y＝x2﹣2ax+a的顶点A在某一条抛物线C2上，将抛物线C1向右平移b（b＞0）个单位后，所得抛物线顶点B仍在抛物线C2上．（1）求点A的坐标（用含a的代数式表示）；（2）求a与b的关系式；（3）抛物线C2的顶点为F，其对称轴与x轴的交点为D，点E是抛物线C2上不同于顶点的任意一点，直线ED交抛物线C2于另一点M，直线EF交直线l：y＝于点N，求证：直线MN与x轴互相垂直．考点知识要求考查角度3二次函数的应用问题能用二次函数知识解决某些实际问题多以选择题、填空题、解答题的形式考查二次函数在实际生活中的应用1.二次函数的应用问题求解思路：建立二次函数模型→求出二次函数解析式→结合函数解析式、函数性质做出解答．2.列二次函数解应用题

列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．(6)写出答案．要点：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.

3.建立二次函数模型求解实际问题一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．要点：(1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.(2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题：

①首先必须了解二次函数的基本性质；

②学会从实际问题中建立二次函数的模型；

③借助二次函数的性质来解决实际问题.1．如图，一位运动员推铅球，铅球运行高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是y＝﹣．问：此运动员能把铅球推出多远？（）A．12m B．10m C．3m D．4m2．向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度关系为y＝ax2+bx．若此炮弹在第5秒与第10秒时的高度相等，则高度达到最高时为（）A．第6秒 B．第7秒 C．第7.5秒 D．第8.5秒3．某种商品每天的销售利润y元与单价x元（x≥2）之间的函数关系式为y＝﹣0.1（x﹣3）2+50．则这种商品每天的最大利润为（）A．0.1元 B．3元 C．50元 D．75元4．一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形．建立如图所示的坐标系，其函数关系式为y＝﹣，当水面离桥拱顶的高度OD是4m时，水面的宽度AB为m．5．用总长为a米的铝合金材料做成如图1所示的“日”字形窗框（材料厚度忽略不计），窗户的透光面积y（米2）与窗框的宽x（米）之间的函数图象如图2所示，则a的值是．6．如图，有长为24m的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），设矩形花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．（1）求S与x的函数关系式及x的取值范围；（2）当花圃的面积为54m2时，求AB的长；（3）当AB的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？7．某超市经销一种商品，每千克的成本为10元，经试销发现，该种商品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的两组对应值如表所示：销售单价x（元/千克）1214销售量y（千克）8060（1）请直接写出y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；（2）为保证某天获得240元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？8．用三根同样长的铁丝围成长方形，正方形，圆，（）面积最大．A．长方形 B．正方形 C．圆 D．三角形9．我校办公楼前的花园是一道美丽的风景，现计划在花园里再加上一喷水装置，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝﹣x2+5x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（）A．4.5米 B．5米 C．6.25米 D．7米10．便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足y＝﹣2x2+80x+758，由于某种原因，价格需满足15≤x≤19，那么一周可获得最大利润是（）A．1554元 B．1556元 C．1558元 D．1560元11．如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位上升0.5米后，水面的宽度为米．（结果可带根号）12．某初三学生对自己某次实心球训练时不慎脱手，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为，由此可知该考生此次实心球训练的成绩为米．13．福建某公司经销一种红茶，每千克成本为40元．市场调查发现，在一段时间内，销售量p（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，其关系式为p＝﹣3x+300．设这段时间内，销售这种红茶总利润为y（元）．（1）求y与x的函数关系式．（2）求这段时间内，销售这种红茶可获得的最大总利润．14．为了有效预防和控制疫情，及时监测疫情发展态势，实施定期核酸检测．某社区准备搭建一个动态核酸检测点，现有33米可移动的隔离带，围成如图的临时检测点，这是一个一面靠墙（墙面为AE）的矩形，内部分成两个区，M区为登记区，N区为检测区，入口通道在AB边上，两区通道在CD边上，出口通道在EF边上，通道宽均为1米．设AB＝x，矩形ABFE的面积为w．（1）BF可表示为；（2）当x为何值时，w有最大值？最大值是多少？（3）所围成矩形ABFE的面积能否达到96平方米？如果能，求出AB的长；如果不能，请说明理由．一．选择题1．（2020•广东）把函数y＝（x﹣1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（）A．y＝x2+2 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x﹣1）2+32．（2021•广州）抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，﹣5），则当x＝2时，y的值为（）A．﹣5 B．﹣3 C．﹣1 D．53．（2021•深圳）二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．4．（2022•广州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝﹣2，下列结论正确的是（）A．a＜0 B．c＞0 C．当x＜﹣2时，y随x的增大而减小 D．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小5．（2020•广东）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0，正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个6．（2020•深圳）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣1，n），其部分图象如图所示．以下结论错误的是（）A．abc＞0 B．4ac﹣b2＜0 C．3a+c＞0 D．关于x的方程ax2+bx+c＝n+1无实数根7．（2018•深圳）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（）A．abc＞0 B．2a+b＜0 C．3a+c＜0 D．ax2+bx+c﹣3＝0有两个不相等的实数根二．填空题8．（2018•广州）已知二次函数y＝x2，当x＞0时，y随x的增大而（填“增大”或“减小”）．9．（2021•广东）把抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为．10．（2020•广州）对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果（单位：mm）9.9，10.1，10.0，若用a作为这条线段长度的近似值，当a＝mm时，（a﹣9.9）2+（a﹣10.1）2+（a﹣10.0）2最小．对另一条线段的长度进行了n次测量，得到n个结果（单位：mm）x1，x2，…，xn，若用x作为这条线段长度的近似值，当x＝mm时，（x﹣x1）2+（x﹣x2）2+…+（x﹣xn）2最小．三．解答题11．（2021•深圳）某科技公司销售高新科技产品，该产品成本为8万元，销售单价x（万元）与销售量y（件）的关系如表所示：x（万元）10121416y（件）40302010（1）求y与x的函数关系式；（2）当销售单价为多少时，有最大利润，最大利润为多少？12．（2021•广东）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；（2）设猪肉粽每盒售价x元（50≤x≤65），y表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．13．（2022•广州）已知直线l：y＝kx+b经过点（0，7）和点（1，6）．（1）求直线l的解析式；（2）若点P（m，n）在直线l上，以P为顶点的抛物线G过点（0，﹣3），且开口向下．①求m的取值范围；②设抛物线G与直线l的另一个交点为Q，当点Q向左平移1个单位长度后得到的点Q′也在G上时，求G在≤x≤+1的图象的最高点的坐标．14．（2020•深圳）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴的交点A（﹣3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求该抛物线的解析式；（2）连接AD，DC，CB，将△OBC沿x轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到△O'B'C'，点O、B、C的对应点分别为点O'、B'、C'，设平移时间为t秒，当点O'与点A重合时停止移动．记△O'B'C'与四边形AOCD重合部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式；（3）如图2，过该抛物线上任意一点M（m，n）向直线l：y＝作垂线，垂足为E，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得ME﹣MF＝？若存在，请求出F的坐标；若不存在，请说明理由．15．（2018•广东）如图，已知顶点为C（0，﹣3）的抛物线y＝ax2+b（a≠0）与x轴交于A，B两点，直线y＝x+m过顶点C和点B．（1）求m的值；（2）求函数y＝ax2+b（a≠0）的解析式；（3）抛物线上是否存在点M，使得∠MCB＝15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．16．（2021•广州）已知抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3．（1）当m＝0时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；（3）已知点E（﹣1，﹣1）、F（3，7），若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．17．（2020•广州）平面直角坐标系xOy中，抛物线G：y＝ax2+bx+c（0＜a＜12）过点A（1，c﹣5a），B（x1，3），C（x2，3）．顶点D不在第一象限，线段BC上有一点E，设△OBE的面积为S1，△OCE的面积为S2，S1＝S2+．（1）用含a的式子表示b；（2）求点E的坐标：（3）若直线DE与抛物线G的另一个交点F的横坐标为+3，求y＝ax2+bx+c在1＜x＜6时的取值范围（用含a的式子表示）．18．（2020•广东）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，BO＝3AO＝3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C，D，BC＝CD．（1）求b，c的值；（2）求直线BD的函数解析式；（3）点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上．当△ABD与△BPQ相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．19．（2019•广东）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+x﹣与x轴交于点A、B（点A在点B右侧），点D为抛物线的顶点，点C在y轴的正半轴上，CD交x轴于点F，△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE，点A恰好旋转到点F，连接BE．（1）求点A、B、D的坐标；（2）求证：四边形BFCE是平行四边形；（3）如图2，过顶点D作DD1⊥x轴于点D1，点P是抛物线上一动点，过点P作PM⊥x轴，点M为垂足，使得△PAM与△DD1A相似（不含全等）．①求出一个满足以上条件的点P的横坐标；②直接回答这样的点P共有几个？20．（2018•深圳）已知抛物线，顶点为A，且经过点，点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，直线AB与x轴相交于点M，y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若∠OPM＝∠MAF，求△POE的面积；（3）如图2，点Q是折线A﹣B﹣C上一点，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将△QEN沿QE翻折得到△QEN1，若点N1落在x轴上，请直接写出Q点的坐标．21．（2021•广东）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0），且对任意实数x，都有4x﹣12≤ax2+bx+c≤2x2﹣8x+6．（1）求该二次函数的解析式；（2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是（1）中二次函数图象上的动点．问在x轴上是否存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．22．（2019•深圳）如图抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点D、E是直线x＝1上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值．（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．23．（2019•广州）已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣3有最低点．（1）求二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值（用含m的式子表示）；（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围．24．（2018•广州）已知抛物线y＝x2+mx﹣2m﹣4（m＞0）．（1）证明：该抛物线与x轴总有两个不同的交点；（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，A，B，C三点都在⊙P上．①试判断：不论m取任何正数，⊙P是否经过y轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由；②若点C关于直线x＝﹣的对称点为点E，点D（0，1），连接BE，BD，DE，△BDE的周长记为l，⊙P的半径记为r，求的值．一．选择题1．（2022•珙县模拟）抛物线y＝x2+4x﹣1的顶点坐标向上平移一个单位后，再向右平移一个单位后的坐标为（）A．（4，﹣1） B．（2，﹣1） C．（﹣1，﹣4） D．（1，﹣4）2．（2022•东宝区校级模拟）若函数y＝（a﹣3）x2﹣x+1（a为常数）的图象与x轴有且只有一个交点，那么a满足（）A．a＝且a≠3 B．a＝ C．a＝3 D．a＝或a＝33．（2022•碑林区校级模拟）一身高1.8m的篮球运动员在距篮板AB4m（DE与AB的水平距离）处跳起投篮，球在运动员头顶上方0.25m处出手，在如图所示的直角坐标系中，球在空中运行的路线可以用y＝﹣0.2x2+3.5来描述，那么球出手时，运动员跳离地面的高度为（）A．0.1 B．0.15 C．0.2 D．0.254．（2022•东宝区校级模拟）设O为坐标原点，点A、B为抛物线y＝4x2上的两个动点，且OA⊥OB．连接点A、B，过O作OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值为（）A． B． C． D．15．（2022•新会区校级三模）已知二次函数y＝ax