热点06解直角三角形（原卷版）

热点06解直角三角形命题趋势命题趋势在中考中，直角三角形这一知识点一般不会进行单独考察，往往会和实际问题结合在一起，在求解三角形的实际问题中，正确选择锐角三角函数关系是解题关键。在直角三角形的应用题中，题目中常常涉及仰俯角和坡度角的解决。所以对三角函数公式要非常熟悉。热点解读热点解读在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。解直角三角形需要除直角之外的两个元素，且至少有一个元素是边。三角函数本质上是线段之间的比例关系，我们可以把正弦和余弦放在一起来记忆，正弦和余弦的分母都是斜边，正弦是正对着的直角边除以斜边，余弦是相邻的直角边除以斜边。两个都是直角边除以斜边，而我们知道直角边长度小于斜边，所以正弦余弦值一定小于1。而正切指的是正对着的直角边和相邻的直角边值比，而直角边长度没有大小之分，所以正切可能大于1，也可以小于1.满分技巧满分技巧命题热点1：锐角三角函数锐角三角函数的概念（1）锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数.（2）在△ABC中，∠C=90°,∠A的正弦sinA=,∠A的余弦cosA=,∠A的正切tanA=.特殊角的三角函数值(填写下表)三角函数30°45°60°sinacosatana1命题热点2：解直角三角形解直角三角形（1）解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外,一共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形.（2）直角三角形的解法直角三角形的解法按除直角外已知2个元素的不同情况可大致分为四种类型:①已知一条直角边和一个锐角(如a，∠A)，其解法为:∠B=90°∠A,c=;

②已知斜边和一个锐角(如c，∠A)，其解法为:∠B=90°∠A,a=;

③已知两直角边(如a,b),其解法为:c2=a2+b2，tanA=;

④已知斜边和一直角边(如c,a)，其解法为:b2=c2a2,sinA=.

与解直角三角形有关的名词、术语（1）视角:视线与水平线的夹角叫做视角.从下向上看，叫做仰角;从上往下看，叫做俯角.（2）方位角:目标方向线与正北方向线顺时针时的夹角.（3）坡度、坡角:坡面的垂直高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡度(或坡比),记作i=.坡面与水平面的夹角(α),叫做坡角.【注】正弦函数和余弦函数也具有一些性质，可以帮助我们更好地进行记忆。一个角的正弦等于与它互余的角的余弦。本质上是因为直角三角形ABC中，若角A与角B互余，那么角A的对边BC就是角B的邻边BC，所以角A的正弦等于角B的余弦。限时检测限时检测1．（2023·安徽芜湖·芜湖市第二十九中学校考一模）桑梯是我国古代发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知米，米，与的张角为，为保证安全，的调整范围是，为固定张角大小的绳索．(1)求绳索长的最大值．(2)若时，求桑梯顶端到地面的距离．（参考数据：，，，最后结果精确到0.01米）2．（2023·安徽池州·校联考一模）如图是置物架的侧面示意图，置物板与地面平行，斜支架与地面的夹角，；挡板与置物板的夹角，．求挡板顶端F到地面的距离．（参考数据：，，）3．（2023·河南安阳·统考一模）某校九年级数学项目化学习主题是“测量物体高度”．小明所在小组想测量中国文字博物馆门口字坊的高度．如图，在处测得字坊顶端的仰角为，然后沿方向前进到达点处，测得字坊顶端的仰角为，求字坊的高度．结果精确到，参考数据：s，，，)4．（2023·山东枣庄·校考一模）小王和小李负责某企业宣传片的制作，期间要使用无人机采集一组航拍的资料．在航拍时，小王在处测得无人机的仰角为，同时小李登上斜坡的处测得无人机的仰角为．若小李所在斜坡的坡比为：，铅垂高度米（点，，，在同一水平线上）．(1)小王和小李两人之间的距离；(2)此时无人机的高度．（，，，结果精确到米）5．（2023·安徽合肥·校考一模）为巩固农村脱贫成果，利兴村委会计划利用一块如图所示的空地，培育绿植销售，空地南北边界，西边界，经测量得到如下数据，点在点的北偏东方向，在点的北偏东方向，米，求空地南北边界和的长（结果保留整数，参考数据：，）．6．（2023·山西临汾·统考一模）周末，小红和小宇相约一起去郊外劳动基地参加劳动.已知小红家在小宇家的北偏西方向上，.两人到达劳动基地处后，发现小宇家在劳动基地的南偏西方向上，小红家在劳动基地的南偏西方向上.求小宇家到劳动基地的距离.（结果保留1位小数；参考数据：，，，）7．（2023·安徽滁州·校联考一模）在湖面上修建一座观景桥是乡村振兴战略中一项重要工程．在观测点，两处测得，，，千米，千米，求观景桥的长．参考数据：，，，，，．8．（2023·安徽合肥·校考一模）某商场要建一个地下停车场，下图是地下停车场的入口设计示意图，拟设计斜坡的倾斜角为，一楼到地下停车场地面的距离米，地平线到一楼的垂直距离米．(1)为保证斜坡倾斜角为，应在地面上距点多远的处开始斜坡的施工？（精确到米）(2)如果一辆高米的小货车要进入地下停车场，能否进入？为什么？（参考数据：，，）9．（2023·陕西西安·西安建筑科技大学附属中学校考一模）2022年6月28日，美国“本福德”号导弹驱逐舰穿航台湾海峡并公开炒作，为了维护国家安全和祖国统一，我中国人民解放军东部战区组织海空兵力对美舰进行全程跟监警戒．一架飞机沿水平直线飞行，在点处测得正前方水平地面上某建筑物的顶端的俯角为，飞机面向方向继续飞行米至点处，测得该建筑物底端的俯角为，已知建筑物的高为米，求飞机飞行的高度．(结果精确到1米，参考数据：，)10．（2023·山西吕梁·统考一模）在交城县城西北方向的卦山群峰中，位于中央的小山峰上屹立着一座白塔，它在卦山诸多名胜中最引人注目如图．某数学小组为测量白塔的高度，在处如图测得塔顶的仰角为，然后沿着斜坡前进米到达处，在处测得到塔脚的距离米，已知，，求白塔的高度．中考连接1．（2022·天津）的值等于（

）A．2 B．1 C． D．2．（2022·云南）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是OO的弦，AB⟂CD．垂足为E．若AB=26，CD=24，则∠OCE的余弦值为（

）A． B． C． D．3．（2022·陕西）如图，是的高，若，，则边的长为（

）A． B． C． D．4．（2022·广西贵港）如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点A处测得树顶C的仰角为，在点B处测得树顶C的仰角为，且A，B，D三点在同一直线上，若，则这棵树的高度是（

）A． B． C． D．5．（2022·湖北十堰）如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的树影BC长为m，则大树AB的高为（

）A． B． C． D．6．（2022·福建）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，，BC＝44cm，则高AD约为（

）（参考数据：，，）A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm7．（2022·广西桂林）如图，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由点O出发沿OB方向行走．已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40m，当观景视角∠MPN最大时，游客P行走的距离OP是_____米．8．（2022·湖南衡阳）回雁峰座落于衡阳雁峰公园，为衡山七十二峰之首．王安石曾赋诗联“万里衡阳雁，寻常到此回”．峰前开辟的雁峰广场中心建有大雁雕塑，为衡阳市城徽．某课外实践小组为测量大雁雕塑的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图，，，．已知测角仪的高度为，则大雁雕塑的高度约为_________．（结果精确到．参考数据：）9．（2022·山东泰安）如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔的高度，他从古塔底部点处前行到达斜坡的底部点C处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，且点A，B，C，D，在同一平面内，小明同学测得古塔的高度是___________．10．（2022·江苏连云港）如图，在正方形网格中，的顶点、、都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则_________．11．（2022·山东聊城）我市某辖区内的兴国寺有一座宋代仿木楼阁式空心砖塔，塔旁有一棵唐代古槐，称为“宋塔唐槐”（如图①）．数学兴趣小组利用无人机测量古槐的高度，如图②所示，当无人机从位于塔基B点与古槐底D点之间的地面H点，竖直起飞到正上方45米E点处时，测得塔AB的顶端A和古槐CD的顶端C的俯角分别为26.6°和76°（点B，H，D三点在同一直线上）．已知塔高为39米，塔基B与树底D的水平距离为20米，求古槐的高度（结果精确到1米）．（参考数据：，，，，，）12．（2022·内蒙古通辽）某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算的长度（结果保留小数点后一位，）.13．（2022·天津）如图，某座山的项部有一座通讯塔，且点A，B，C在同一条直线上，从地面P处测得塔顶C的仰角为，测得塔底B的仰角为．已知通讯塔的高度为，求这座山的高度（结果取整数）．参考数据：．14．（2022·浙江湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3．求AC的长和sinA的值．15．（2022·新疆）周米，王老师布置了一项综合实践作业，要求利用所学知识测量一栋楼的高度．小希站在自家阳台上，看对面一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，已知两楼之间的水平距离为，求这栋楼的高度．（参考数据：）16．（2022·湖南株洲）如图1所示，某登山运动爱好者由山坡①的山顶点A处沿线段至山谷点处，再从点处沿线段至山坡②的山顶点处．如图2所示，将直线视为水平面，山坡①的坡角，其高度为0.6千米，山坡②的坡度，于，且千米．(1)求的度数；(2)求在此过程中该登山运动爱好者走过的路程．17．（2022·湖南郴州）如图是某水库大坝的横截面，坝高，背水坡