2024-2025学年沪教版初中数学九年级（上）教案 第23章 解直角三角形23.2解直角三角形及其应用（第1课时）

第23章解直角三角形23.2解直角三角形及其应用第1课时解直角三角形教学目标1.使学生理解直角三角形的五个元素的关系.2.会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.教学重难点重点：直角三角形的解法.难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用.教学过程旧知回顾在直角三角形ABC中，∠C＝90°，a，b，c，∠A，∠B这五个元素之间有哪些等量关系呢？解：(1)边角之间的关系：sinA＝eq\f(a,c)，cosA＝eq\f(b,c)，tanA＝eq\f(a,b).(2)三边之间的关系：a2＋b2＝c2(勾股定理).(3)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°.新知讲解一、解直角三角形类型与解法阅读教材，回答以下问题：1.什么叫做解直角三角形？在直角三角形中，除直角外，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.【思考】解直角三角形需要什么条件？解直角三角形除直角外，至少要知道其中的两个元素（这两个元素中至少有一条边）.2.解直角三角形有哪些类型？试填写下表.在Rt△ABC中，∠C＝90°已知选择的边角关系求解策略斜边和一直角边c，a由sinA＝eq\f(a,c)，求∠A；∠B＝90°－∠A，b＝eq\r(c2－a2)两直角边a，b由tanA＝eq\f(a,b)，求∠A；∠B＝90°－∠A，c＝eq\r(a2＋b2)斜边和一锐角c，∠A∠B＝90°－∠A，a＝c·sinA，b＝c·cosA一直角边和一锐角a，∠A∠B＝90°－∠A，b＝，c＝（学生思考交流，代表回答，教师完善）.解：a＝csin60°＝8eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝12，b＝ccos60°＝8eq\r(3)×eq\f(1,2)＝4eq\r(3)，∠B＝30°.（学生思考交流，代表回答，教师完善）.解：∠B＝90°－30°＝60°，b＝atanB＝3eq\r(6)×eq\r(3)＝9eq\r(2)，c＝＝eq\f(3\r(6),\f(1,2))＝6eq\r(6).二、通过构造作图解直角三角形例2已知：如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AB＝6，求BC的长(结果保留根号).解：如图，作AD⊥BC于点D.在Rt△ABD中，sinB＝eq\f(AD,AB)，得AD＝AB·sinB＝6×sin45°＝3eq\r(2).tanB＝eq\f(AD,BD)，得BD＝＝eq\f(3\r(2),tan45°)＝3eq\r(2).在Rt△ADC中，tanC＝eq\f(AD,CD)，得CD＝＝＝eq\r(6).∴BC＝BD＋CD＝3eq\r(2)＋eq\r(6).课堂练习1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝eq\r(3)，c＝2，则∠A＝，b＝.2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝30°，∠C＝60°，AD＝4，AB＝3eq\r(3)，则BC的长为.3.在Rt△ABC中，a，b，c是∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°，∠B＝60°，a＝4，解这个三角形.4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AB＝15，求△ABC的周长和tanA的值.参考答案1.60°12.103.解：∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°，c＝2a＝2×4＝8.由tanB＝eq\f(b,a)，得b＝a·tanB＝4·tan60°＝4eq\r(,3).(或b＝eq\r(,c2－a2)＝eq\r(,82－42)＝4eq\r(,3))4.解：∵sinA＝，∴BC＝，AC＝＝＝9，∴△ABC的周长＝15+12+9＝36，tanA＝.【总结】（师生共同归纳解题思路）解直角三角形时，正确选择关系式是关键，选择关系式遵循以下原则：(1)尽量选可以直接应用原始数据的关系式；(2)选择便于计算的关系式，若能用乘法计算就不用除法计算.课堂小结1.一般锐角的三角函数值的求法在Rt△ABC中，∠C＝90°已知选择的边角关系求解策略斜边和一直角边c，a由sinA＝eq\f(a,c)，求∠A；∠B＝90°－∠A，b＝eq\r(c2－a2)两直角边a，b由tanA＝eq\f(a,b)，求∠A；∠B＝90°－∠A，c＝eq\r(a2＋b2)斜边和一锐角c，∠A∠B＝90°－∠A；a＝c·sinA，b＝c·cosA一直角边和一锐角a，∠A∠B＝90°－∠A，b＝，c＝2.解直角三角形，当图形中没有直角